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高校数学Ⅰ・A「数と式」について,このサイトには次の教材があります.
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は,他の頁を見てください.  が現在地です.

単項式と多項式
指数法則
展開公式1
展開公式2
置き換えによる展開
展開の順序
展開公式の応用問題
対称式の値
2次式の因数分解
いろいろな因数分解
1文字について整理
たすき掛け因数分解
同(1文字)
同(1文字)2
たすき掛け因数分解(2文字)
同(2文字)2
3次以上の因数分解
因数分解の応用問題
因数分解の入試問題
実数と根号(公式と例)
根号計算
同2
分母の有理化
無理数の独立
式の値(無理数の対称式)
xn+1/xnの値
センター問題 平方根の計算
根号計算の入試問題
二重根号
文字式を含む根号計算
絶対値
絶対値2つの外し方
絶対値の入試問題
センター共通 数と式(2013~)

== 根号計算の入試問題 ==

*** 目次 ***(クリックすればその項目にジャンプします)




[1] 分母の有理化
【例題1】
 12+3+23+535+2
(解説)
このような式を簡単にするとき「通分する」と分母は3つの式の積になり,分子は2つずつの積の形になります.(これは不利です)
(3+5)(5+2)+2(2+3)(5+2)3(2+3)(3+5)(2+3)(3+5)(5+2)
しかし「1つずつ有理化する」と残りの2つの式とは無関係にできます.(この方が有利です)
2323+2(35)353(52)52 =32+53+25=0
【要点1】
根号を含む分数が幾つもある場合,通分よりも分母の有理化の方が有利
引用元の問題は記述式の問題ですが,以下の問題ではWeb画面上での操作性をよくするため,選択問題に変えています.
まぐれ当たりでは力が付きませんので,計算用紙を使って,よく考えてから選択肢の内の1つをクリックしてください.解答すれば解説が出ます.
なお,答案はこの教材の筆者が作成したものです.間違い等がありましたらお知らせください.
【問題1】
11+2+3+112+3+11+23+1123
を計算せよ.
(尾道大2005年度)
1 2 3 5 6
【類題】
12+3+5+123+5+12+3512+3+5
を計算せよ.
0 2 3 65 56 303

[2] 対称式の値
【例題2】
 x=17+3,y=173とする.このとき
xy,x+y,x3+y3
の値をそれぞれ求めよ.
(埼玉大2001年度)
(解説)
xy=1(7+3)(73)=14
また
x=17+3=7373=734
y=173=7+373=7+34
だから
x+y=274=72
x3+y3=(x+y)(x2xy+y2)
=(x+y){(x+y)23xy}=72(72)234)
=72(7434)=72
【要点2】
x3+y3のような「対称式」の値は,「基本対称式」x+y, xyを利用して求める.
【問題2】
(1)
x=3+131,y=313+1のとき,x3+y3の値を求めよ.
(防衛大2016年度)
(2)
x=5212,y=5+212のとき,次の式の値を求めよ.
(i) x2+y2(ii)xy
(東北学院大2016年度)
(i) (ii)

[3] 逆数の和の値
【要点3】

xn+1xnのように逆数の和になっている式の値は,x+1xで表すことができる.
x2+1x2=(x+1x)22
x3+1x3=(x2+1x2)(x+1x)(x+1x)
x4+1x4=(x2+1x2)22
または
x4+1x4=(x3+1x3)(x+1x)(x2+1x2)
x5+1x5=(x3+1x3)(x2+1x2)(x+1x)
または
x5+1x5=(x4+1x4)(x+1x)(x3+1x3)
※結果を覚える必要はない.次数の低い式で作ってみて,「後出しジャンケン」風に多い分を引けばよい.
【問題3】
(1)

x=23のとき,x+1x=x3+1x3=
(工学院大2014年度)
(ア)
1 2 3 4 5
(イ)
(2)

x+1x=3のとき,x3+x2+x+1+1x+1x2+1x3=である.
(東北学院大2014年度)

[4] 二重根号
二重根号は,高等学校学習指導要領から一時期消えていて,平成21年改訂後の教科書では発展学習として復活しています.
【要点3】

a>0, b>0のとき
(a+b)2=(a+b)+2ab
だから
(a+b)+2ab=a+b
です.
【例】
5+26=2+3
7+212=4+3=2+3
同様にしてa>0, b>0, a>bのとき

(ab)2=(a+b)2ab
だから
(ab)2ab=ab
です.
【例】
526=32
7212=43=23
※いずれも,内側の根号の前に2が付いている場合に,和と積が与えられた2数を求めると二重根号がはずれます.
【問題4】
[1]
a=7+43とする.このaを2重根号を使わずに簡単な形で表すとa=と表せる.
また,a5−4a4+2a3−4a2+a−2の値はである.
(慶応義塾大2005年度)
の値) の値)
[2]
x=32+4,y=324のとき,xy+yxの値を求めよ.
(岩手大2011年度)
2 3 6 12 18

[5] 整数部分,小数部分
【要点4】

例えば
2=1.41421の小数部分をaとするとき,a2の値を求めよ
という問題において
a2=0.41421···2=0.1715699···
などという答は近似値に過ぎず,小数を無限に書いていくこともできません.
この問題について正確に答えるには,12=1.41421<2から,初めに整数部分を求めます
整数部分は1
次に,整数部分を取り除いたものが小数部分です.
小数部分は21
の小数部分をaとするとき,a2の値は
(21)2=322
【例題5】
2+121の整数部分をa,小数部分をbとするとき,
a=である.また,
1bの整数部分はである.
(北海道工業大2005年度)
(解説)
2+121=(2+1)221=3+22=5.8
だから
a=5,b=3+225=222
1b=1222=2284=224=22=2.42
=1.2···の整数部分は1
【問題5】
[1]
231の整数部分をa,小数部分をbとする.このとき,a2+ab+b21ab11a+b+1の値を求めよ.
(琉球大2011年度)
a2+ab+b2)の値
6 7 8 9 10
1ab11a+b+1)の値
3 23 33 43 53
[2]
2+3の小数部分をaとするとき,次の設問に答えよ.
(1) aの値を求めよ.
(2) a3+1a3の値を求めよ.
(3) a3+4a2+2a−3の値を求めよ.
(岡山理科大2005年度)
(1) aの値
(2) a3+1a3の値
(3) a3+4a2+2a−3の値
0 1 2 3 4
[3]
3+232の小数部分をaとするとき,aは2次方程式
x2+x+=0の解であり,a3+6a2−21a+23
値は+.√nnnnniである.

(早稲田大2014年度)
x2+x+=0の式)
a3+6a2−21a+23の値)

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■[個別の頁からの質問に対する回答][根号計算の入試問題について/18.7.16]
[4]二重根号の【要点3】の a>0,b>0,a>bのとき の(例)の一行目の右辺√2の符号は-でないでしょうか?
=>[作者]:連絡ありがとう.間違わなくてもいい所で間違っていますが,別にわざとではない.管理人にも,それなりの事情があるかもしれん.訂正しました.

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