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■正弦定理（解説） …（この頁は解説だけの頁で，問題演習は別の頁にあります）（はじめに） 三角形を表すとき
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 多くの場合、頂点の名前はA , B , Cの順に左回りに付けます。○辺の名前は「向かい合う角」の小文字で表します。したがって、Aの対辺BCをaとします。同様にして、特に断り書きがなければb=AC , c=ABになります。 ○頂点の名前A , B , Cでその内角∠A、∠B、∠Cの大きさを表し、単にsinA , sinB , sinCなどと書きます。  【例】図においてa=BC=8, b=AC=6 , c=AB=7になります。  （角度が大きいと辺も大きい）
図のような三角形を描いてみると、3つの角度の中でBが一番大きいとき、その対辺bは3辺の中で一番大きくなります。Aが一番小さいとき、その対辺aは3辺の中で一番小さくなります。（中間の角度Cには中間の辺cが対応します。）
しかし、  のような単純な関係にはなりません。辺の長さが角度に比例する  のではなく、実は「辺の長さは角度の正弦に比例する」  という関係になっています。そこで、以下に述べる関係式は「正弦定理」と呼ばれます。 |
 【正弦定理】△ABCの外接円の半径をRとするとき、 
【例】
次の図において、  
■3(2)B)の「師匠が直接管理する」参照
（ア） A=90°のとき
の代わりに 、 、 に分けて証明します。
図1
図1のように、Aは直径の上に立つ円周角になるから、
（イ） 0°<A<90°のとき
sinA=sin90°=1、a=2R
このとき、
（ア）でうまく証明できたのは、直径を利用したからでした。そこで、直径を利用すればうまくいくかもしれないと考えます。
図2
図2のようにBから中心を通る直線を引くと、BA’は直径になります。このとき、
（ウ） 90°<A<180°のとき は「式の値」なので、形が変わってもaの値とsinAの値が同じならば、値は等しいことに注意します。そうすると、図のようにAとA’とが円周角として等しい場合には、 は に等しいので、を求めてもよいことになります。△A’BCは直角三角形ですから、  したがって 
（イ）でうまく証明できたのは、直径を利用したからでした。そこで、もう一度直径を利用することを考えます。（柳の下のどじょうを狙います。ただし、今度は90°<A<180°なので円の中心は三角形の外にありますが、かまわずBOを延長してBA’を作ります。）
図3
図3のようにBから中心を通る直線を引くと、BA’は直径になります。このとき、
以上の（ア）（イ）（ウ）により、は「式の値」なので、形が変わってもaの値とsinAの値が同じならば、値は等しいことに注意します。そうすると、図3のようにAとA’とが円に内接する四角形の向かい合う角になっているときは、A’=180°−Aになりますので、■1を見ても分かるようにsinA=sinA’が成り立ちます。 はに等しいので、を求めてもよいことになります。△A’BCは直角三角形ですから、 したがって が示されたことになります。同様にしてB、Cについても証明することができますので、 が証明されます。 |
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【正弦定理を理解するために前提となる事柄】
■1 「正弦」とは三角関数のうちのsinθの値のことで、正弦定理を使うためには0°～180°の三角関数の値が言えなければなりません。 実際に、宙で暗記して言えなければならなのは次の9つの値だけです。
■2 そもそもsinAは辺の長さの比とは限らない!!
≪いくら読んでも分からない人へ≫
そもそも，次の図イのような場合sinAは 4/6 にはなりません． 
三角形の「2辺の長さの比」が正弦の値になるのは直角三角形の場合だけで、それ以外の場合にはsinAの値は「2辺の長さの比」にはなりません。（図イのような場合も含めて）一般に、角度Aの値によってsinAの値が決まり、これとは別に辺の長さが決められていると考えることが重要です。
■3
次のような「比例式」の変形に慣れることが重要です。 (1) 比例の関係を分数に直すには、2つの考え方がありますが、3つ以上のときにも使えるのは、番号順に対応させる方法です。
【例】
(2) 連なっている比例式は、切り離して使います。
A) ２つに分けて使います：  ⇒  と 
【例】
⇒  と 
B) 「師匠が直接管理する」
【例】
⇒ 3=kx , 5=ky , 7=kz |
⇒ 3つ以上には使えない
⇒ ◎
と 
と 
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【例1】
（考え方）
△ABCにおいて、a=8 , A=45°, B=60°のとき、bを求めてください。
■3(2)A)の考え方で
  と解くことができます。■（ここだけの話として）次のような「作戦盤」を書いて、上下（辺と角）１組と他の角（または辺）が分かっていれば、残りの1つは「正弦定理」で解けます。（ただし、分母はsin を付けて使います。）
（解答）  より  ･･･（答）
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【例2】
（考え方）
△ABCにおいて、a=2 ,  , A=30°, のとき、Cを求めてください。
■「作戦盤」
  と解くことができます。（ただし、正弦定理で”角度”を求めると、次の答案のように解が2つ出てくることがあります。そのとき、2つとも解であることも、1つだけが解で他方は解でないこともあります。A+C>180°のようなときは、その解は不適当です。）  より、  C=60° , 120°･･･（答）
A=30° , C=60° , 120°のいずれの組でも、B=90° , 30°となって三角形はできますので、両方とも解です。
【例3】
（考え方）
△ABCにおいて、a=3 , A=120°, のとき、外接円の半径Rを求めてください。
■「師匠が直接管理します」
をそのまま使います。
 より、  ･･･（答） |
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