![]() ![]() *** 科目 *** 数Ⅰ・A数Ⅱ・B数Ⅲ高卒・大学初年度 *** 単元 *** 数と式不等式二次関数二次不等式三角比三角比と図形集合・命題・証明順列・組合せ確率整数の性質 ※高校数学Ⅰ・Aの「数と式」について,このサイトには次の教材があります. この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は,他の頁を見てください. が現在地です. ↓単項式と多項式
↓指数法則 ↓展開公式1 ↓展開公式2 ↓置き換えによる展開 ↓展開の順序 ↓展開公式の応用問題 ↓対称式の値 ↓2次式の因数分解 ↓いろいろな因数分解 ↓1文字について整理 ↓たすき掛け因数分解 ↓同(1文字) ↓同(1文字)2 ↓たすき掛け因数分解(2文字) ↓同(2文字)2 ↓3次以上の因数分解 ↓因数分解の応用問題 ↓因数分解の入試問題 ↓実数と根号(公式と例) ↓根号計算 ↓同2 ↓分母の有理化 ↓無理数の独立 ↓式の値(無理数の対称式) ↓xn+1/xnの値 ↓センター問題 平方根の計算 ↓根号計算の入試問題 ↓二重根号 ↓文字式を含む根号計算 ↓絶対値 ↓絶対値2つの外し方 ↓絶対値の入試問題 センター共通 数と式(2013~) |
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○ 置き換えによる展開とは 同じ式が2回以上登場するとき,これらに名前を付けて1文字で表わすと,「見やすく」「間違いにくく」なる.ここでは2回以上登場する式を1文字で置き換えて展開の計算を行うことを考える. 例1 (a+b+c)2 のように3つ以上からなる項の2乗は,教科書の基本公式にないからと言って,(a+b+c)(a+b+c) に直して「総当たり」で展開していると大変 これを a+b=A と置き換えると,(A+c)2 になり展開公式が使えて, (a+b+c)2※ 計算が多いので,1題解くだけなら「力まかせ・総当たり・単純計算主義」でバラバラにした方が速いと考える人がいるかもしれない.しかし,何題も解くときは,やはり置き換え方式が有利.さらに,バラバラにする方式では,展開の逆=因数分解(右辺を左辺に戻す)のときに見通しが立たなくなる. |
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「総当たりで」展開してもできないことはないが![]()
実は,次の展開はかなりよく登場するので「準公式」として覚えてしまうことが多い.
この立場に立つと,以下の問題は直ちに解決する. ・ (a−b+c)2=a2+(−b)2+c2+2·a·(−b)+2·(−b)·c+2ca =a2+b2+c2−2ab−2bc+2ca ・ (a+b−c)2 上の変形を見ていると知恵がついてきて,直ちに分かるようになる(符号と係数を変えるだけ) 2+b2+c2+2ab−2bc−2ca =a ・ (a−b−c)2=a2+b2+c2−2ab+2bc−2ca
【要約】
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca (a−b+c)2=a2+b2+c2−2ab−2bc+2ca (←bが-) (a+b−c)2=a2+b2+c2+2ab−2bc−2ca (←cが-) (a−b−c)2=a2+b2+c2−2ab+2bc−2ca (←b, cが-) (−a+b+c)2は(a−b−c)2と同じ (−a−b+c)2は(a+b−c)2と同じ (−a−b−c)2は(a+b+c)2と同じ
※a2+b2+c2−2ab−2bc−2caとなるものはない!
(そのわけ) −2ab → a, bは異符号 −2bc → b, cは異符号 を前提とすれば,a, cは同符号になる
結果のまとめ方:上の例のように
しりとりで一周させて |
例2 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) のように一見同じものがないように見える式でも( x を A に置き換えても無駄 ) 工夫次第で同じ式が作れることがある. (x+1)(x+4)(x+2)(x+3) のように組み合わせると, (x2+5x+4)(x2+5x+6) になるので,x2+5x=A とおけば簡単に展開できる. |
(2次と1次)の組を考える例 (x+1)(x+3)(x−5)(x−7) → x2−4x=A とおくと (2次と定数項)の組を考える例 (x+1)(x+2)(x+3)(x+6) → x2+6=A とおくと |
■問題 次の式を展開せよ. |
■追加問題■・・・次の各式を展開してください・・・各自で計算用紙を使って答えを出し,次の[解説を見る]をクリックして,解説・解答を確かめてください.
【問題2.1】
[解説を見る](2x+3y−4z)2
(原式)=4x2+9y2+16z2+12xy−24yz−16zx・・・(答)
【問題2.2】
[解説を見る](−a+b−c)2
(原式)=a2+b2+c2−2ab−2bc+2ca・・・(答)
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【問題2.3】
[解説を見る](2x−3y−z)2
(原式)=4x2+9y2+z2−12xy+6yz−4zx・・・(答)
【問題2.4】
[解説を見る](x2−2x+3)2
x2−2x=Aとおくと
(原式)=(A+3)2=A2+6A+9
苦労すれば,それだけ偉くなるとは限らない.
=(x2−2x)2+6(x2−2x)+9♪~「お目に留まれば元へと戻す.あらま不思議な玉手箱」~♪などと,つぶやく =x4−4x3+4x2+6x2−12x+9 =x4−4x3+10x2−12x+9・・・(答) |
【問題2.5】
[解説を見る](x+y+2)(x+y−3)
x+y=Aとおくと
(原式)=(A+2)(A−3)=A2−A−6
♪~「お目に留まれば元へと戻す.・・・」~♪
=(x+y)2−(x+y)−6=x2+2xy+y2−x−y−6・・・(答)
【問題2.6】
[解説を見る](x2−3x+2)(x2−3x−1)
x2−3x=Aとおくと
(原式)=(A+2)(A−1)=A2+A−2
♪~「お目に留まれば元へと戻す.・・・」~♪
=(x2−3x)2+(x2−3x)−2=x4−6x3+9x2+x2−3x−2 =x4−6x3+10x2−3x−2・・・(答) |
【問題2.7】
[解説を見る](x2−3x+2)(x2+x+2)
順に並んでいなくても,同じ組があればAとおく
x2+2=Aとおくと (原式)=(A−3x)(A+x)=A2−2xA−3x2
♪~「お目に留まれば元へと戻す.・・・」~♪
=(x2+2)2−2x(x2+2)−3x2=x4+4x2+4−2x3−4x−3x2 =x4−2x3+x2−4x+4・・・(答)
【問題2.8】
[解説を見る](a−2b+3c)(a+2b−3c)
符号だけ逆で,同じものがあればAとおく
2b−3c=Aとおくと (原式)=(a−A)(a+A)=a2−A2
♪~「お目に留まれば元へと戻す.・・・」~♪
=a2−(2b−3c)2=a2−4b2+12bc−9c2・・・(答) |
【問題2.9】・・・やや難
[解説を見る](a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)(a−b−c)
符号だけ逆で,同じものがあればAとおく
b+c=Aとおくと (a+b+c)(a−b−c)=(a+A)(a−A)=a2−A2 符号だけ逆で,同じものがあればBとおく b−c=Bとおくと (a−b+c)(a+b−c)=(a−B)(a+B)=a2−B2 (原式)=(a2−A2)(a2−B2) =a4−(A2+B2)a2+(AB)2 A2+B2=(b+c)2+(b−c)2 =b2+2bc+c2+b2−2bc+c2 =2b2+2c2 (AB)2={(b+c)(b−c)}2=(b2−c2)2 =b4−2b2c2+c4 (原式)=a4−(2b2+2c2)a2+(b4−2b2c2+c4) =a4+b4+c4−2a2b2−2b2c2−2c2a2・・・(答)
【問題2.10】・・・やさしい
[解説を見る](a+b+c)2+(a−b+c)2+(a+b−c)2+(a−b−c)2
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
(a−b+c)2=a2+b2+c2−2ab−2bc+2ca (a+b−c)2=a2+b2+c2+2ab−2bc−2ca +)(a−b−c)2=a2+b2+c2−2ab+2bc−2ca (原式)=4a2+4b2+4c2・・・(答) |
【問題2.11】
[解説を見る](x+y+z+w)(−x+y+z−w)+(x−y+z−w)(x+y−z−w)
同じものがあれば1文字に置き換える
y+z=A, x+w=Bとおくと (x+y+z+w)(−x+y+z−w)=(A+B)(A−B)=A2−B2
♪~「お目に留まれば元へと戻す.・・・」~♪
=y2+2yz+z2−(x2+2xw+w2)同じものがあれば1文字に置き換える x−w=C, y−z=Dとおくと (x−y+z−w)(x+y−z−w)=(C−D)(C+D)=C2−D2
♪~「お目に留まれば元へと戻す.・・・」~♪
=x2−2xw+w2−(y2−2yz+z2)(原式)=y2+2yz+z2−x2−2xw−w2 +x2−2xw+w2−y2+2yz−z2 =4yz−4xw・・・(答)
【問題2.12】
[解説を見る](a+b+c)(a−b−c)+(a−b+c)(a+b−c)
同じものがあれば1文字に置き換える
b+c=Aとおくと (a+b+c)(a−b−c)=(a+A)(a−A)=a2−A2
♪~「お目に留まれば元へと戻す.・・・」~♪
=a2−(b2+2bc+c2)同じものがあれば1文字に置き換える b−c=Bとおくと (a−b+c)(a+b−c)=(a−B)(a+B)=a2−B2
♪~「お目に留まれば元へと戻す.・・・」~♪
=a2−(b2−2bc+c2)(原式)=a2−b2−2bc−c2 +a2−b2+2bc−c2 =2a2−2b2−2c2・・・(答) |
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■[個別の頁からの質問に対する回答][置き換えによる展開について/18.8.19]
(4)はx^4-x^2×y^2+y^4ではないのですか?
■[個別の頁からの質問に対する回答][置き換えによる展開について/18.4.24]
=>[作者]:連絡ありがとう.そこに解説がありますので読んでください. (X-1)(X+1)=
■[個別の頁からの質問に対する回答][置き換えによる展開について/18.3.3]
=>[作者]:連絡ありがとう.それがどうしたのですか?質問内容を言葉で言わないと,通じません. とても分かりやすいものとなっています。
大変参考になりました。
今後もよろしくお願いします。
■[個別の頁からの質問に対する回答][置き換えによる展開について/18.1.25]
=>[作者]:連絡ありがとう. ここまでは一応、順調に来れました。
■[個別の頁からの質問に対する回答][置き換えによる展開について/17.12.01]
=>[作者]:連絡ありがとう. このページの問題を解いたのにも関わらずトップのメニューのところに印が付きません
■[個別の頁からの質問に対する回答][置き換えによる展開について/17.8.23]
=>[作者]:連絡ありがとう.なぜかそのページのPC版で記録用のページ番号が抜けていましたので訂正しました. 6番の問題、難しく感じました。二乗する、一つずつ掛け合わせいく事が、理解出来ました。
■[個別の頁からの質問に対する回答][置き換えによる展開について/17.8.17]
=>[作者]:連絡ありがとう.最後の問題なのでそれなりに骨のある問題になっていたかも 自分なりのやり方ではなく、解答どうりの方法が出来ようになると、いいです。
■[個別の頁からの質問に対する回答][置き換えによる展開について/17.8.15]
=>[作者]:連絡ありがとう.そこそこは程度問題ですが(ものすごく遠回りの答案とか,体力仕事だけの単純計算主義はあまりよくないが),模範解答も1つの見本なので,自分なりのやり方でよいと思いますが. 6番の問題が難しいです。理解は出来ました!
■[個別の頁からの質問に対する回答][置き換えによる展開について/17.8.15]
=>[作者]:連絡ありがとう. 全て解答してから答えを出さないと、全て答えが出てしまう。
■[個別の頁からの質問に対する回答][置き換えによる展開について/17.6.13]
=>[作者]:連絡ありがとう.携帯版の方は1つずつ採点するようになっていますが,PC版の方はまだ直っていなかったようです.(お急ぎの場合は携帯版を見てください) (6)について質問があります。何度やっても-1以外符号が反対になってしまうのですが、解き方が間違っているのでしょうか?
■[個別の頁からの質問に対する回答][置き換えによる展開について/17.2.20]
=>[作者]:連絡ありがとう.この質問の仕方は間違っています.何度やっても・・ということよりも,どのようにやったのか,つまり自分の答案を書かないとどこが間違っているのかを回答するのは無理です.
【よくある間違い】
各問題に解説がついているのでそれを読んでください.
a2−(b−c)2=a2+(−b+c)2と考えている人は,符号が全部逆になります. a2−(b−c)2=a2−(b2−2bc+c2)=a2−b2+2bc−c2 a2+(−b+c)2=a2+b2−2bc+c2 です. (5)に関しての質問です。
X3(Xの3乗)-X2(Xの2乗)=A、X-1=Bとおいたのですが、
(A-B)(-A-B)で計算すると答えが違ってきます。
この置き換えは間違いなのでしょうか?
=>[作者]:連絡ありがとう.質問が間違っています・・・(6)の問題でしょう.次に,その置き替えはできません. |
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