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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 単元 ***
数と式不等式二次関数二次不等式三角比三角比と図形集合・命題・証明順列・組合せ確率整数の性質

※高校数学Ⅰ・Ａの「数と式」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．

　|4x−3|≦−x+7を解くとaである．

【要点１】
絶対値記号は，|　　|の中身全体の正負に応じて場合分けして外すのが基本です．
すなわち

※（初歩的な注意）
1)　絶対値記号に慣れていない高校生が，次のような間違い答案を書くことがあります．教える側から見れば「何もわかっていない！」「猛反省が必要」「不注意にもほどがある，はらわたが煮えくり返る」というビックリ答案ですので，心当たりのある人は気を付けてください．

○そもそも絶対値記号|　　|は，中身が負の数のときに符号を変えて正の数にするためのものです．（中身が０以上の数のときは，そのまま何も変えません．）
だから，|　　|の付いている式は，つねに０以上になります． また，|　　|の付いている式が負の数になることはありません． ○勢い余って，以上のような間違い答案で恥をかかないように，絶対値記号をはずすための場合分けは，上の要点に述べたように「中身全体で場合分けする」ことが重要です．

2)　|4x−3|の絶対値をはずすとき，

と書いている間違い答案も多く見られます．

上に述べた要点１をもう一度よく見てください．
ので，要点１をこの問題に当てはめると，|　|の中身全体とは4x−3のことなので

のようになるはずです．ただし，この書き方では（　）内がxの範囲を直接に表していないので，通常は次のようにxの範囲について解き直した形で書きます．

ア）　$x\geqq \frac{3}{4}$のとき
4x−3≦−x+7
5x≦10
x≦2
したがって
$\frac{3}{4}\leqq x\leqq 2$…(*1)

イ）　$x<\frac{3}{4}$のとき
−(4x−3)≦−x+7
−4x+3≦−x+7
−3x≦4
$x\geqq -\frac{4}{3}$
したがって
$-\frac{4}{3}\leqq x<\frac{3}{4}$…(*2)

以上のア）イ）をまとめると
$-\frac{4}{3}\leqq x\leqq 2$…(*3)

(*1)について
$x\geqq \frac{3}{4}$のときx≦2
は
$x\geqq \frac{3}{4}$かつx≦2
の形にまとめます．

$x\geqq \frac{3}{4}$を無視して，x≦2だけになっている答案をよく見かけますが，そのようにしてしまうと，せっかく$x\geqq \frac{3}{4}$のように場合分けしたものが全く役に立っていないことになります．

(*2)も同様です．

【要点３】
(*3)について
下着などによく使われているボタン（スナップボタンというのかもしれない）でつなぐと２つのものはつながる。
$-\frac{4}{3}\leqq x<\frac{3}{4},\frac{3}{4}\leqq x\leqq 2$
ではなくて
$-\frac{4}{3}\leqq x\leqq 2$
と答えなければならない．

(1)
　不等式x2−x−5<|2x−1|を解け．

(2)
　不等式|x2−6|+x≧0を満たすxの範囲は(iii)である．

ウ）$x\geqq \sqrt{6}(=2.449...)$のとき
|x2−6|=x2−6となるから
x2−6+x≧0を解く
x2+x−6≧0
(x+3)(x−2)≧0より
x≦−3, 2≦x
以上から
$x\geqq \sqrt{6}$

　|x+1|+|x−2|>5の解はx<ア，x>イである．

【要点２】
１直線上の２つの場合分けを組み合わせるには，３つの場合に分けるとよい
区切り目は（以上）（未満）の形がよく使われる．
※数学Ⅰでは，場合分けは「もれなく」「重複なく」行うようにするので，２つの場合分けの両方に区切り目が重複しているような答案はよくない．
※答案作成の都合上，区切り目が（よりも大）（以下）の形になるのはかまわない．

x<−1のときは当然x<2になるから
|x+1|=−(x+1)
|x−2|=−(x−2)

−(x+1)−(x−2)>5
−x−1−x+2>5
−2x>4
x<−2
（もとのx<−1も満たしている）

(x+1)−(x−2)>5
x+1−x+2>5
3>5
これが成立することはない

x>2のときは当然x>−1になるから
|x+1|=x+1
|x−2|=x−2

(x+1)+(x−2)>5
x+1+x−2>5
2x>6
x>3
（もとの2≦xも満たしている）

x<−2, 3<x…（答）

(1)
　式2|x−4|+|x+3|≦13を満たすxの解は
−エ≦x≦オである．

ア） x<−3のとき
イ） −3≦x<4のとき
ウ） 4≦xのとき
ア）イ）ウ）をまとめると
−2≦x≦6…（答）

(2)
(i)　関数y=|2x−1|+|x−2|のグラフをかけ．
(ii) |2x−1|+|x−2|=2を満たすxの値を求めよ．

(i)
ア） $x<\frac{1}{2}$のとき
イ） $\frac{1}{2}\leqq x<2$のとき
ウ） $x\geqq 2$のとき
グラフは右図の通り
(ii)　グラフにより
$x<\frac{1}{2}$のとき
−3x+3=2を解いて
−3x=−1
$x=\frac{1}{3}$

$\frac{1}{2}\leqq x<2$のとき
x+1=2を解いて
x=1

以上から，$x=\frac{1}{3},1$…（答）

　関数y=|x|+|x+1|+|x+2|+|x+3|は最小値ウをとる．

y=−(x)−(x+1)−(x+2)−(x+3)=−4x−6
は減少関数（y>6）

y=−(x)−(x+1)−(x+2)+(x+3)=−2x
は減少関数（y>4）

y=−(x)−(x+1)+(x+2)+(x+3)=4
は定数値関数（y=4）

y=−(x)+(x+1)+(x+2)+(x+3)=2x+6
は増加関数（y≧4）

y=(x)+(x+1)+(x+2)+(x+3)=4x+6
は増加関数（y≧6）

y=−(x)−(x+1)−(x+2)−(x+3)=−4x−6
は減少関数（y>6）

y=(x)+(x+1)+(x+2)+(x+3)=4x+6
は増加関数（y≧6）

4L+3+2+1=6+4L

1+2L+2+1=4+2L

1+2+1=4

1+2+1+2L=4+2L

1+2+3+4L=6+4L

(1)
　折れ線L:y=4|x|−5|x−2|+4|x−3|は
と表される．Lと直線y=2x+k（kは定数）の共有点が４個となるようなkの値の範囲は，コ<k<サである．

（複雑な問題になると基本に忠実に外していく方が堅実・安全）
x=0, 2, 3以上、未満で４通りに分ける．
i)　x<0のとき
ii)　0≦x<2のとき
iii)　2≦x<3のとき
iii)　3≦xのとき
右図で青で示したy=2x+kのグラフが４か所で交わるためには，
したがって，2<k<8

*** この頁の要点（まとめ） *** 【要点１】
絶対値記号は，|　　|の中身全体の正負に応じて場合分けして外すのが基本です．
すなわち

【要点２】
１直線上の２つの場合分けを組み合わせるには，３つの場合に分けるとよい
【要点３】
x<a, a≦xのような場合はつながる．