絶対値（入試問題）

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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ 高卒・大学初年度
*** 単元 ***
数と式不等式二次関数二次不等式三角比三角比と図形集合・命題・証明順列・組合せ確率整数の性質

※高校数学Ⅰ・Ａの「数と式」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓単項式と多項式
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↓展開の順序
↓展開公式の応用問題
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↓たすき掛け因数分解(2文字)
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↓因数分解の応用問題
↓因数分解の入試問題
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↓根号計算
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↓分母の有理化
↓無理数の独立
↓式の値(無理数の対称式)
↓xⁿ+1/xⁿの値
↓センター問題平方根の計算
↓根号計算の入試問題
↓二重根号
↓文字式を含む根号計算
↓絶対値
↓絶対値2つの外し方
↓絶対値の入試問題
センター共通数と式(2013～)

== 絶対値の入試問題 ==
【例題１】

　|4x−3|≦−x+7を解くとaである．

（神奈川大2011年度）

（解説）

【要点１】
絶対値記号は，|　　|の中身全体の正負に応じて場合分けして外すのが基本です．
すなわち

|a|=

a　（a≧0のとき）
−a　（a<0のとき）

※（初歩的な注意）
1)　絶対値記号に慣れていない高校生が，次のような間違い答案を書くことがあります．教える側から見れば「何もわかっていない！」「猛反省が必要」「不注意にもほどがある，はらわたが煮えくり返る」というビックリ答案ですので，心当たりのある人は気を付けてください．

|a|=

a　（|a|≧0のとき）　←×××
−a　（|a|<0のとき）　←×××

○そもそも絶対値記号|　　|は，中身が負の数のときに符号を変えて正の数にするためのものです．（中身が０以上の数のときは，そのまま何も変えません．）
だから，|　　|の付いている式は，つねに０以上になります．

|a|≧0のとき　というのは当然のことで，場合分けの役に立っていません．

また，|　　|の付いている式が負の数になることはありません．

|a|<のとき　というのはあり得ない話をしており，場合分けの役に立っていません．

○勢い余って，以上のような間違い答案で恥をかかないように，絶対値記号をはずすための場合分けは，上の要点に述べたように「中身全体で場合分けする」ことが重要です．

2)　|4x−3|の絶対値をはずすとき，

|4x−3|=

4x−3　（x≧0のとき）
−(4x−3)　（x<0のとき）

と書いている間違い答案も多く見られます．

上に述べた要点１をもう一度よく見てください．

|　|の中身全体の正負に応じて場合分けして外す

ので，要点１をこの問題に当てはめると，|　|の中身全体とは4x−3のことなので

|4x−3|=

4x−3　（4x−3≧0のとき）
−(4x−3)　（4x−3<0のとき）

のようになるはずです．ただし，この書き方では（　）内がxの範囲を直接に表していないので，通常は次のようにxの範囲について解き直した形で書きます．

|4x−3|=

4x−3　（

x ≧ \frac{3}{4}

のとき）
−(4x−3)　（

x < \frac{3}{4}

のとき）

ここまでで，絶対値記号をはずす準備ができたので，実際に問題を解いてみます．
|4x−3|≦−x+7
より

ア）　

x ≧ \frac{3}{4}

のとき
4x−3≦−x+7
5x≦10
x≦2
したがって

\frac{3}{4} ≦ x ≦ 2

…(*1)

イ）　

x < \frac{3}{4}

のとき
−(4x−3)≦−x+7
−4x+3≦−x+7
−3x≦4

x ≧ - \frac{4}{3}

したがって

- \frac{4}{3} ≦ x < \frac{3}{4}

…(*2)

以上のア）イ）をまとめると

- \frac{4}{3} ≦ x ≦ 2

…(*3)

(*1)について

x ≧ \frac{3}{4}

のときx≦2
は

x ≧ \frac{3}{4}

かつx≦2
の形にまとめます．

x ≧ \frac{3}{4}

を無視して，x≦2だけになっている答案をよく見かけますが，そのようにしてしまうと，せっかく

x ≧ \frac{3}{4}

のように場合分けしたものが全く役に立っていないことになります．

(*2)も同様です．

【要点２】

（条件１）のとき（条件２）

と解けたら
「（条件１）かつ（条件２）」
の形にまとめる．

【要点３】
(*3)について
下着などによく使われているボタン（スナップボタンというのかもしれない）でつなぐと２つのものはつながる。

- \frac{4}{3} ≦ x < \frac{3}{4}, \frac{3}{4} ≦ x ≦ 2

ではなくて

- \frac{4}{3} ≦ x ≦ 2

と答えなければならない．

【問題１】

(1)
　不等式x2−x−5<|2x−1|を解け．

（東京電機大2016年度）

参考答案を見る

あらかじめ|　|の中身全体の符号が「０以上になる場合」と「負になる場合」とを求めておきます．
2x−1<0を解くと

x < \frac{1}{2}

2x−1≧0を解くと

x ≧ \frac{1}{2}

そこで，xの値の範囲によって場合分けして

x < \frac{1}{2}

のとき|2x−1|=−(2x−1)

x ≧ \frac{1}{2}

のとき|2x−1|=2x−1とします

ア）

x < \frac{1}{2}

のとき
|2x−1|=−(2x−1)となるから
x2−x−5<−(2x−1)を解く
x2+x−6<0
(x+3)(x−2)<0より
−3<x<2
以上から

- 3 < x < \frac{1}{2}

イ）

x ≧ \frac{1}{2}

のとき
|2x−1|=2x−1となるから
x2−x−5<2x−1を解く
x2−3x−4<0
(x+1)(x−4)<0より
−1<x<4
以上から

\frac{1}{2} ≦ x < 4

ア）イ）をまとめると
−3<x<4…（答）

(2)
　不等式|x2−6|+x≧0を満たすxの範囲は(iii)である．

（北見工大2016年度）

参考答案を見る

- \sqrt{6} < x < \sqrt{6}

x2−6≧0を解くと

x ≦ - \sqrt{6}

または

x ≧ \sqrt{6}

そこで，xの値の範囲によって場合分けして

- \sqrt{6} < x < \sqrt{6}

のとき|x2−6|=−(x2−6)

x ≦ - \sqrt{6}

または

x ≧ \sqrt{6}

のとき|x2−6|=x2−6とします

ア）

x ≦ - \sqrt{6} (= - 2.449 . . .)

のとき
|x2−6|=x2−6となるから
x2−6+x≧0を解く
x2+x−6≧0
(x+3)(x−2)≧0より
x≦−3, 2≦x
以上から
x≦−3

イ）

- \sqrt{6} < x < \sqrt{6} (= 2.449 . . .)

のとき
|x2−6|=−(x2−6)となるから
−(x2−6)+x≧0を解く
x2−x−6≦0
(x+2)(x−3)≦0より
−2≦x≦3
以上から

- 2 ≦ x < \sqrt{6}

ウ）

x ≧ \sqrt{6} (= 2.449 . . .)

のとき
|x2−6|=x2−6となるから
x2−6+x≧0を解く
x2+x−6≧0
(x+3)(x−2)≧0より
x≦−3, 2≦x
以上から

x ≧ \sqrt{6}

ア）イ）ウ）をまとめると
x≦−3, −2≦x…（答）

【例題２】　絶対値記号が２つある場合

　|x+1|+|x−2|>5の解はx<ア，x>イである．

（東海大2011年度）

【要点２】
１直線上の２つの場合分けを組み合わせるには，３つの場合に分けるとよい

区切り目は（以上）（未満）の形がよく使われる．

ア）x<−1のとき
イ）−1≦x<2のとき
ウ）2≦xのとき

※数学Ⅰでは，場合分けは「もれなく」「重複なく」行うようにするので，２つの場合分けの両方に区切り目が重複しているような答案はよくない．

x≦−1，−1≦x≦2，2≦xの分け方はダメ

※答案作成の都合上，区切り目が（よりも大）（以下）の形になるのはかまわない．

（答案）

x<−1のときは当然x<2になるから
|x+1|=−(x+1)
|x−2|=−(x−2)

ア）x<−1のとき

−(x+1)−(x−2)>5
−x−1−x+2>5
−2x>4
x<−2
（もとのx<−1も満たしている）

イ）−1≦x<2のとき

(x+1)−(x−2)>5
x+1−x+2>5
3>5
これが成立することはない

x>2のときは当然x>−1になるから
|x+1|=x+1
|x−2|=x−2

ウ）2≦xのとき

(x+1)+(x−2)>5
x+1+x−2>5
2x>6
x>3
（もとの2≦xも満たしている）

以上をまとめると

x<−2, 3<x…（答）

【問題２】

(1)
　式2|x−4|+|x+3|≦13を満たすxの解は
−エ≦x≦オである．

（東洋大2011年度）

参考答案を見る

|x−4|の絶対値記号をはずすには，x<4, x≧4に分ける．
|x+3|の絶対値記号をはずすには，x<−3, x≧−3に分ける．
結局，x<−3, −3≦x<4, 4≦xに分けるとよい

x<−3のときは当然x<4になるから
|x+3|=−(x+3)
|x−4|=−(x−4)

ア） x<−3のとき

−2(x−4)−(x+3)≦13
−2x+8−x−3≦13
−3x≦8

x ≧ - \frac{8}{3} = - 2.666 . . .

x<−3のときだから，ここからは解は出ない．

イ） −3≦x<4のとき

−2(x−4)+(x+3)≦13
−2x+8+x+3≦13
−x≦2
x≧−2
したがって，−2≦x<4

x>4のときは当然x>−3になるから
|x+3|=x+3
|x−4|=x−4

ウ） 4≦xのとき

2(x−4)+(x+3)≦13
2x−8+x+3≦13
3x≦18
x≦6
したがって，4≦x≦6

ア）イ）ウ）をまとめると
−2≦x≦6…（答）

(2)
(i)　関数y=|2x−1|+|x−2|のグラフをかけ．
(ii) |2x−1|+|x−2|=2を満たすxの値を求めよ．

（関西大2011年度）

参考答案を見る

(i)

※グラフとしては，最低限折り目の座標が分かるように書いてなければならない．

ア）

x < \frac{1}{2}

のとき

y=−(2x−1)−(x−2)
=−2x+1−x+2
=−3x+3

イ）

\frac{1}{2} ≦ x < 2

のとき

y=(2x−1)−(x−2)
=2x−1−x+2
=x+1

ウ）

x ≧ 2

のとき

y=(2x−1)+(x−2)
=3x−3

グラフは右図の通り
(ii)　グラフにより

x < \frac{1}{2}

のとき
−3x+3=2を解いて
−3x=−1

x = \frac{1}{3}

\frac{1}{2} ≦ x < 2

のとき
x+1=2を解いて
x=1

以上から，

x = \frac{1}{3}, 1

…（答）

【例題３】　絶対値記号が３つ以上ある場合

　関数y=|x|+|x+1|+|x+2|+|x+3|は最小値ウをとる．

（山梨大2016年度）

（答案）
ア） x<−3のとき

y=−(x)−(x+1)−(x+2)−(x+3)=−4x−6
は減少関数（y>6）

イ） −3≦x<−2のとき

y=−(x)−(x+1)−(x+2)+(x+3)=−2x
は減少関数（y>4）

ウ） −2≦x<−1のとき

y=−(x)−(x+1)+(x+2)+(x+3)=4
は定数値関数（y=4）

エ） −1≦x<0のとき

y=−(x)+(x+1)+(x+2)+(x+3)=2x+6
は増加関数（y≧4）

オ） 0≦xのとき

y=(x)+(x+1)+(x+2)+(x+3)=4x+6
は増加関数（y≧6）

したがって，−2≦x≦−1のとき最小値4をとる…（答）

（別解１）
絶対値記号をはずしても符号が正になるか負になるかの相違のみなので，１次関数の絶対値を何個加えても結果は１次関数になる．
したがって，区切り目となる点を結んだ折れ線になる．
x<−3のとき

y=−(x)−(x+1)−(x+2)−(x+3)=−4x−6
は減少関数（y>6）

x=−3のときy=3+2+1+0=6
x=−2のときy=2+1+0+1=4
x=−1のときy=1+0+1+2=4
x=0のときy=0+1+2+3=6
x≧0のとき

y=(x)+(x+1)+(x+2)+(x+3)=4x+6
は増加関数（y≧6）

結局，−2≦x≦−1のとき最小値4をとる…（答）

（別解２）
|x|は原点からの距離を表す．|x+1|=|x−(−1)|は−1からの距離を，|x+2|=|x−(−2)|は−2からの距離を...表す．

ア） x<−3のとき，−3からの距離をLとすると

4L+3+2+1=6+4L

イ） −3≦x<−2のとき，−2からの距離をLとすると

1+2L+2+1=4+2L

ウ） −2≦x<−1のとき

1+2+1=4

エ） −1≦x<−0のとき，−1からの距離をLとすると

1+2+1+2L=4+2L

オ） 0≦xのとき，0からの距離をLとすると

1+2+3+4L=6+4L

以上により，ウ）のとき最小値4をとる

【問題３】

(1)
　折れ線L:y=4|x|−5|x−2|+4|x−3|は

x<0のとき，y=アイx+ウ
0≦x<2のとき，y=エx+オ
2≦x<3のとき，y=カキx+クケ
3≦xのとき，y=3x−2

と表される．Lと直線y=2x+k（kは定数）の共有点が４個となるようなkの値の範囲は，コ<k<サである．

（千葉工大2014年度）

参考答案を見る

（複雑な問題になると基本に忠実に外していく方が堅実・安全）
x=0, 2, 3以上、未満で４通りに分ける．
i)　x<0のとき

y=−4(x)+5(x−2)−4(x−3)
=−4x+5x−10−4x+12
=−3x+2

ii)　0≦x<2のとき

y=4(x)+5(x−2)−4(x−3)
=4x+5x−10−4x+12
=5x+2

iii)　2≦x<3のとき

y=4(x)−5(x−2)−4(x−3)
=4x−5x+10−4x+12
=−5x+22

iii)　3≦xのとき

y=4(x)−5(x−2)+4(x−3)
=4x−5x+10+4x−12
=3x−2

右図で青で示したy=2x+kのグラフが４か所で交わるためには，

x=0のときy=2 → k=2よりも大
x=2のときy=12 → 12=4+k → k=8よりも小

したがって，2<k<8

*** この頁の要点（まとめ） *** 【要点１】
絶対値記号は，|　　|の中身全体の正負に応じて場合分けして外すのが基本です．
すなわち

|a|=

a　（a≧0のとき）
−a　（a<0のとき）

【要点２】
１直線上の２つの場合分けを組み合わせるには，３つの場合に分けるとよい

【要点３】
x<a, a≦xのような場合はつながる．

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