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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 単元 ***
数と式不等式二次関数二次不等式三角比三角比と図形集合・命題・証明順列・組合せ確率整数の性質

※高校数学Ⅰ・Ａの「数と式」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．

[I]　　ma+mb=m(a+b)

(a+b)x2−(a+b)x=(a+b)(x2−x)=(a+b)x(x−1)

(a−b)x+(b−a)y=(a−b)x−(a−b)y=(a−b)(x−y)

一般に，引き算の順序が逆になっているものは「同じ因数で符号だけが逆」になる．　y−x=−(x−y) など

2x3−50x=2x(x2−25)=2x(x+5)(x−5)

(1)　3x2−x
⇒ 2x ， 2x2 ， x(3x−1) ， 3x(x−1)

(2)　6ax2−3axy
⇒　 3(2ax2−axy) ， x(6ax−3ay)

_3a(2x2−xy) ， 3ax(2x−y) ， 6ax(x−y)

(3)　(a+2b)x−(a+2b)y
⇒　 (a+2b)(x+y) ， (a+2b)(x−y)

______(a−2b)(x+y) ， (a−2b)(x−y)

(4)　a(x−y)+y−x
⇒　 (x−y)(a+1) ， (x−y)(a−1)

______(y−x)(a+1) ， (y−x)(a−1)

[II]　　a2+2ab+b2=(a+b)2
[III]　　a2−2ab+b2=(a−b)2
[IV]　　a2−b2=(a+b)(a−b)

■　両端の式 3x , 1 を先に見ること．最後に中央の項がそれらの積の 2 倍になっていれば（　）の２乗としてよい．
■　前から順に見ていくと失敗することが多い．

■　次のような式は，中央の項が両端として考える１次式の積の 2 倍になっていないので（　）の２乗とはならないので注意すること． 4x2−6xy+9y2 x2+x+1

■公式を考える前に共通因数でくくっておく．

(1)　x2+8x+16
⇒ (x+4)2,(x+12)2，(x+18)2,２乗にならない

(2)　9x2−24xy+16y2
⇒　9(x+4y)2 ， 9(x−4y)2，２乗にならない

_ (3x+4y)2 ， (3x−4y)2 ， (3x−8y)2

(3)　x2−2xy+4y2
⇒　 (x−2)2 ， (x−2y)2

_(x−4)2 ， (x−4y)2 ，２乗にならない

(4)　5x3−45x
⇒　 3x(x+5)(x−5) ， 3x(x+9)(x−9)

______5x(x+2)(x−2) ， 5x(x+3)(x−3)

______5x(x+9)(x−9) ， 因数分解できない

[V]　　x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

x2+5x+6=x2+(2+3)x+2·3=(x+2)(x+3)

■　このような問題では，
「最初に」２数の積が 6 になる組を考えること．
　　1と6の組，2と3の組　が考えられる．
「次に」それらのうちで２数の和が 5 になる組を採用する．
　　1と6の組 → 1+6=7 ×　，2と3の組 → 2+3=5　○
こうして，(x+2)(x+3) を答えにする．
※「最初に」２数の和が5になる組を考えると，いくらでもあるから絞りきれない．

x2−7x+12=x2+(−4−3)x+(−3)·(−4)=(x−3)(x−4)

■　積が正の数12で，和が負の数−7となる２数は「負の数」と「負の数」の組で探す．

x2+2x−15=x2+(−3+5)x+(−3)·(5)=(x−3)(x+5)

■　積が負の数−15となる２数は「負の数」と「正の数」の組で探す．
そのうちで，和が2となるのは「正の数」が強い方となる

(1)　x2+14x+24
⇒　 (x+3)(x+8) ， (x+4)(x+6)

(x+2)(x+12) ， (x+2)(x+7)

(2)　x2−7x−18
⇒ (x+3)(x−4) ， (x+4)(x−3) ， (x+6)(x−3)

(x+3)(x−6) ， (x+9)(x−2) ，(x+2)(x−9)

(3)　x2−10xy+24y2
⇒ (x−2)(x−8) ， (x−2y)(x−8y) ， (x−4)(x−6)

(x−4y)(x−6y)， (x−3)(x−8)，(x−3y)(x−8y)

$x^2+2x+\frac{3}{4}$の因数分解

$x^2+(\sqrt{2}+\sqrt{3})x+\sqrt{6}$の因数分解

(1)　$x^2+\frac{5}{6}x+\frac{1}{6}$
⇒ $(x+1)(x+\frac{1}{6})$ $(x+1)(x+\frac{5}{6})$

$(x+\frac{1}{2})(x+\frac{1}{3})$ $(x+\frac{5}{2})(x+\frac{1}{3})$

積が$\frac{1}{6}$で，和が$\frac{5}{6}$となる２数は$\frac{1}{2}$と$\frac{1}{3}$だから
$x^2+\frac{5}{6}x+\frac{1}{6}=(x+\frac{1}{2})(x+\frac{1}{3})$

(2)　$x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$
⇒ $(x+\frac{3}{4})(x+\frac{1}{4})$ $(x+\frac{1}{4})(x-\frac{1}{4})$

$(x+\frac{1}{2})(x-1)$ $(x-\frac{1}{2})(x+1)$

積が$-\frac{1}{2}$で和が$\frac{1}{2}$となる２数は$-\frac{1}{2}$と1だから
$x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}=(x-\frac{1}{2})(x+1)$

(3)　$x^2-\frac{1}{3}x-\frac{2}{9}$
⇒ $(x-\frac{1}{3})(x+\frac{2}{3})$ $(x+\frac{1}{3})(x-\frac{2}{3})$

$(x+\frac{2}{9})(x-1)$ $(x-\frac{1}{3})(x+\frac{1}{9})$

積が$-\frac{9}{2}$で和が $-\frac{1}{3}$ となる２数は$-\frac{2}{3}$と$\frac{1}{3}$だから
$x^2-\frac{1}{3}x-\frac{2}{9}=(x-\frac{2}{3})(x+\frac{1}{3})$

(4)　$x^2-(\sqrt{2}+1)x+\sqrt{2}$
⇒ $(x-\sqrt{2})(x-1)$ $(x+\sqrt{2})(x+1)$

$(x+\sqrt{2})(x-1)$ $(x-\sqrt{2})(x+1)$

積が$\sqrt{2}$で和が$-\sqrt{2}-1$となる２数は$-\sqrt{2}$と−1だから
$x^2-(\sqrt{2}+1)x+\sqrt{2}=(x-\sqrt{2})(x-1)$

(5)　$x^2+\sqrt{2}x-4$
⇒ $(x+\sqrt{2})(x-2\sqrt{2})$ $(x-\sqrt{2})(x+2\sqrt{2})$

$(x+\sqrt{2}-1)(x-\sqrt{2}-3)$ $(x-\sqrt{2})(x+4\sqrt{2})$

積が−4で和が$\sqrt{2}$ となる２数は$-\sqrt{2}$ と$2\sqrt{2}$ だから
$x^2+\sqrt{2}x-4=(x-\sqrt{2})(x+2\sqrt{2})$

(6)　$x^2+4\sqrt{3}x+9$
⇒ $(x+4)(x+\sqrt{3})$ $(x+2\sqrt{3})(x+\sqrt{3})$

$(x+4\sqrt{4})(x+1)$ $(x+\sqrt{3})(x+3\sqrt{3})$

積が9で和が $4\sqrt{3}$ となる２数は$\sqrt{3}$ と$3\sqrt{3}$ だから
$x^2+4\sqrt{3}x+9=(x+\sqrt{3})(x+3\sqrt{3})$

[VI]　　acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)

2x2+5x+3

x2 の係数として，掛けて 2 になる組は 1 と 2 だから

(1x+…)(2x+…) の形になる．

定数項の部分は，掛けて 3 になる組は 1 と 3 だから

(…+1)(…+3) の形になる．

それらの組合せは，
　　(1x+3)(2x+1) …（ア） と
　　(1x+1)(2x+3) …（イ）

（ア）は，
　　···x2+(1·1+3·2)x+···=···x2+7x+··· になり，合わない
（イ）は，
　　···x2+(1·3+1·2)x+···=···x2+5x+··· になり，合う

（イ）より，(x+1)(2x+3) …（答）

(1)　5x2+7x−6
⇒　 (5x+3)(x−2) ， (5x−3)(x+2)

(5x+2)(x−3) ， (5x−2)(x+3)

(2)　6x2−13x−5
⇒　 (2x−1)(3x+5) ， (2x+1)(3x−5)

(2x+5)(3x−1) ， (2x−5)(3x+1)

(3)　6x2+5x−6
⇒　 (3x−2)(2x+3) ， (3x+2)(2x−3)

(6x+1)(x−6) ， (6x−1)(x+6)

分かりやすくていいと思います
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

問題数を増やして欲しいです！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．１つのページに問題を詰め込んであるよりも，必要に応じて様々な問題ができるように，いくつかのページに分けてあります．先頭のサブメニューから，前のまたは後ろのページを選んで，前後の教材を見てください．

問題5(1)の解説で「先頭5と末尾-24」とありますが、末尾の24という数字はどこから来ているのでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．確かに変です.
訂正しました．

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