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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 単元 ***
複素数平面二次曲線媒介変数表示と極座標
数列の極限関数導関数不定積分定積分
行列1次変換

※高校数学Ⅲの「複素数平面」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．
↓複素数平面-現在地
↓回転と拡大
↓点Ａの周りの回転
↓三角形の形状問題
↓ド・モアブルの定理
↓ド・モアブルの定理(入試問題)
↓複素数で表される軌跡の方程式
↓同(2)
↓複素数の１次結合が表す図形
↓内分点・外分点
↓２直線の交点
↓内分点の内分点
↓２直線の平行条件・垂直条件
↓複素数平面の入試問題1
↓複素数平面の入試問題2
↓複素数平面の入試問題3
複素数平面の入試問題4

図１

【例】 図1において
(1) 点Aは，虚数2+3iを表している．
(2) 点Bは，虚数−2+iを表している．
(3) 点Cは，実数4を表している．
(4) 点Dは，純虚数−3iを表している．

図２

問題１[第1問 / 全8問]
　次の複素数を下の複素数平面上で示してください．
（実部や虚部が整数にならないものは，目分量で測るものとし，そこそこ近ければ正解とします．）

ある複素数zとその共役複素数——zwとは，図３のように実軸に関して線対称な位置にある．

図３

(1) z=3+4iのとき——zw=3−4i
(2) ————————1+2iwwww=1−2i
(3) ————————1−2iwwww=1+2i
(4) ————————————————1+2iwwwwwwww=————————1−2iwwww=1+2i

図４

　極形式で，0≦θ<2πとすれば，偏角はただ１通りに定まる･･･ただし，原点だけは偏角を考えない．
　例えば，図５の点は絶対値が2で偏角が.4π3nn
として，
2(cos.4π3nn+isin.4π3nn)
とするのが普通であるが，必要に応じてr≧0や0≦θ<2πという制限を緩めることがある．
【例】
図６のような直線の方程式は

θ=.π6n
で表すことができるが，r≧0だけに制限すると青で示した半直線だけとなり，赤で示した部分を含めることができなくなる．このような場合にr<0となるときは，θで表される角から見て原点の反対側の点を表すとしておくと，この不自由を取り除くことができる．
【例】
図７のような螺旋は
r=θ
で表すことができるが，その場合にθとしては2πよりも大きな値まで無限に考えることになる．

(1) 1+i_解説
cos.π4n+isin.π4n .√2√ni(cos.π4n+isin.π4n) 2(cos.π4n+isin.π4n)

右図のようにr=.√12+12√nnnnni=.√2√ni, θ=.π4nとなるから
1+i=.√2√ni(cos.π4n+isin.π4n)

(2) 1−.√3√nii_解説
2(cos.π6n+isin.π6n) 2(cos.π3n−isin.π3n)
2(cos.5π3nn+isin.5π3nn) 2(cos.5π3nn−isin.5π3nn)

右図のようにr=.√12+(.√3√ni)2√nnnnnnni=2, θ=.53nとなるから
1−.√3√nii=2(cos.5π3nn+isin.5π3nn)
なお，2(cos.π3n−isin.π3n)
は値としては等しいが，極形式は必ずr(cosθ+isinθ)の形で書かなければならないので，不適当

(3) −.√2√ni_解説
2(cosπ+isinπ) .√2√ni(cosπ+isinπ)
2(cosπ−isinπ) .√2√ni(cosπ−isinπ)

右図のようにr=.√2√ni=2, θ=πとなるから
−.√2√ni=.√2√ni(cosπ+isinπ)
なお，.√2√ni(cosθ−isinθ)
は値としては等しいが，極形式は必ずr(cosθ+isinθ)の形で書かなければならないので，不適当

(4) −3i_解説
−3(cos.π2n+isin.π2n) 3(cos.π2n+isin.π2n)
3(cos.3π2nn+isin.3π2nn) −3(cos.3π2nn+isin.3π2nn)

右図のようにr=3, θ=.3π2nnとなるから
3(cos.3π2nn+isin.3π2nn)
なお，−3(cos.π2n+isin.π2n)
は値としては正しいが，r≧0の形になっていないので不適当

問題４極形式で表された次の複素数を下の複素数平面上でポイントしてください．
（実部や虚部が整数にならないものは，目分量で測るものとし，そこそこ近ければ正解とします．）
［第1問 / 全7問］
次の問題 解説1 解説2

わかりやすい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

分かりやすいと思います 非常にためになります。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．複素数平面の単元は，教育課程の改訂の度に出たり入ったりで，現役大学生でも習っていない場合があるかもしれません．採用試験の担当者が，教育課程についてどこまで正確に調べているのか分かりませんが，「分からない者は採用しない」とすべて受験者責任にしてしまうと楽だろうな，さもなければ新人教育の経費をどうするのかな，などと他人ごとながら現場の対応が気になる今日この頃です．

こんにちは。お世話になっております。問題３の右図の軸が問題の点（ＨＥＬＰで確認）とずれて表示されるようです。私のシステムの問題でしょうか。確認をお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．確かにEdgeで見ると点がやや下にずれるようです．今忙しいので今夜訂正します．

z=2-6iを(1/6)πだけ回転させた複素数を出すにはどうすればいいですか？ 極形式に直してから回転させるというステップはわかるのですが、2と6なので三角比が使えず極形式に直せません。 よろしくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．複素数の回転についてはこの頁に解説があります．
　極形式に直さなくても(1/6)πだけ回転させるには，単にcos(π/6)+isin(π/6)を掛けたらよいので，(2-6i)(cos(π/6)+isin(π/6))=(3+√3)+(1/3√3)i