 ...（携帯版）メニューに戻る...(ＰＣ版)メニューに戻る*** 科目 *** 数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度 *** 単元 *** 複素数平面二次曲線媒介変数表示と極座標 数列の極限関数導関数不定積分定積分 行列1次変換 ※高校数学Ⅲの「複素数平面」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください． が現在地です． ↓複素数平面 ↓回転と拡大 ↓点Ａの周りの回転 ↓三角形の形状問題 ↓ド・モアブルの定理 ↓ド・モアブルの定理(入試問題) ↓複素数で表される軌跡の方程式-現在地 ↓同(2) ↓複素数の１次結合が表す図形 ↓内分点・外分点 ↓２直線の交点 ↓内分点の内分点 ↓２直線の平行条件・垂直条件 ↓複素数平面の入試問題1 ↓複素数平面の入試問題2 ↓複素数平面の入試問題3 複素数平面の入試問題4 |
|
【基本となる考え方】
２つの複素数z1 , z2間の距離は |z2−z1| ○ 定点からの距離が一定である点の軌跡
定点をA(α)，動点をP(z)，正の定数をrとするとき，
（解説）|z−α|=r (>0) を満たす点P(z)の軌跡はAを中心とする半径rの円になる． 
特に，|z|=rは原点を中心とする半径rの円になる．
図のように，定点A(α)から動点P(z)までの距離は|z−α|で，これが一定の値rになるのだから，円になります．
z=x+yi, α=a+biとして，|z−α|=rを(x, y)座標で表すと，
【例】 √(x−a)2+(y−b)2=r(x−a)2+(y−b)2=r2 となって，数学IIで習う円の方程式と一致する． しかし，複素数で示された問題を常に(x, y)座標に直して考えていると能率が悪いので，特に行き詰ったときだけ(x, y)座標に直すようにし，複素数の問題は複素数のままで答えるようにするのがよい．
方程式|z−i|=2を満たす動点P(z)の軌跡は，iを中心とする半径2の円になる．
 ○ ２定点からの距離が等しい点の軌跡
２定点をA(α), B(β)，動点をP(z)とするとき，
（解説）|z−α|=|z−β| を満たす点P(z)の軌跡は，線分ABの垂直二等分線になる．  中学校で習うように，２定点からの距離が等しい点は垂直二等分線上にあります． 【例】
方程式|z−i|=|z+1|を満たす動点P(z)の軌跡は，２点i, −1を結ぶ線分の垂直二等分線になる．
z=x+yiとおいて，以下のようにx, y座標で示すこともできるが，複素数の問題は複素数のまま答えるのがよく，元の問題の式を見て直接答えてよい．
|z−i|=|z+1|
→ |x+(y−1)i|=|(x+1)+yi| → √x2+(y−1)2=√(x+1)2+y2→ x2+(y−1)2=(x+1)2+y2 → y=−x |
|
○ ２定点からの距離の比が一定（≠1）である点の軌跡
２定点をA(α), B(β)，動点をP(z)とするとき，
【例】|z−α|:|z−β|=1:k ←→ |z−β|=k|z−α| を満たす点P(z)の軌跡は，アポロニウスの円になる．
アポロニウスは円，楕円，放物線などを研究したギリシャの数学者の名前．「アポロニウスの円」は，変な形ではなく，普通の円．「アポロニウスの･･･」というのは，「２定点からの距離の比が一定であるような点の軌跡」という，この円の作り方を表す言葉．
 (1) AB間では，ABを1:kに内分する点を通る． (2) ABの外側では，（上の図は1<kの場合の例）ABを1:kに外分する点を通る． 以上により
|z−α|:|z−β|=1:k ←→ |z−β|=k|z−α|を満たす点P(z)の軌跡は，「A(α), B(β)を1:kに内分する点と1:kに外分する点を直径の両端とする円」になる．･･･長いセリフになるが，このように覚えるとよい．
円になることの証明は 1) xy座標に直す． 2) 中心と半径を用いて複素数の方程式直す． 3) 角の二等分線の性質を使って∠PABがつねに90°であることを示す． などによって行うことができるが，これらの変形は長くなるので，実際の問題を解くときは|z−β|=k|z−α|ときたら，アポロニウスの円になると覚えておく方がよい． 
方程式2|z|=|z−3|を満たす動点P(z)の軌跡は，２点1, −3を直径の両端とする円になる．
以下のように変形して示すこともできるが，長くなるので，「0と3を1:2に内分する点1」「0と3を1:2に外分する点−3」を直径の両端とする円と考える方がよい．
（参考）
4|z|2=|z−3|2
→ 4z=(z−3)( −3) → 4z=z−3z−3+9 → 3z+3z+3−9=0 → z+z+−3=0 → (z+1)( +1)=4 → |z+1|=2 ≪注意≫ ２定点からの距離の比が1:1 ⇒ 直線（半径が無限大の円） ２定点からの距離の比が1:k, k:1 (k≠1) ⇒ アポロニウスの円  |
|
問題各々正しいものを選んでください．
中心が原点0で，半径が
 √2の円だから，|z|= √2なお，|z|=(const)の形ではなく，z=(const)の形になっている場合は，円ではなく１つの点を表すことに注意．
|z−(−i)|=1と変形すると，中心が−iで，半径が1の円を表すことがわかる．
中心が1+iで，半径が
√2の円だから，|z−1−i|= √2
２点1, −2を結ぶ線分の垂直二等分線になるので，
y軸に平行な直線x=− 12になります． |
|
式から見ると
1) |z+1|=|z+1−2i|は−1, −1+2iを結ぶ線分の垂直二等分線だから，y=1 → 図と合わない 2) |z+1|=|z−1+2i|は−1, 1−2iを結ぶ線分の垂直二等分線だから，y=x−1 → 図と合わない 3) |z−1|=|z+1−2i|は1, −1+2iを結ぶ線分の垂直二等分線だから，y=x+1 → 図と一致する 4) |z−1|=|z−1+2i|は1, 1−2iを結ぶ線分の垂直二等分線だから，y=−1 → 図と合わない
原点と点−2iを結ぶ線分の垂直二等分線になるので，y=−1になります．
２点2i, −iを結ぶ線分を2:1に内分する点（0）と2:1に外分する点（−4i）を直径の両端とする円だから，−2iを中心とする半径2の円になります．
|
|
式から見ると
1) |z|=2|z−3| → ２点0, 3を結ぶ線分を2:1に内分する点 （2）と2:1に外分する点（6）を直径の両端とする円だから，4を中心とする半径2の円になります．→ 対応しない． 2) |z|=3|z−3| → ２点0, 3を結ぶ線分を3:1に内分する点 （ 94）と3:1に外分する点（92）を直径の両端とする円だから，278を中心とする半径98の円になります．→ 対応しない．3) |z−3|=2|z| → ２点3, 0を結ぶ線分を2:1に内分する点（1）と2:1に外分する点（−3）を直径の両端とする円だから，−1を中心とする半径2の円になります．→ 対応している． 4) |z−3|=3|z−2| → ２点3, 2を結ぶ線分を3:1に内分する点 （ 94）と3:1に外分する点（32）を直径の両端とする円だから，158を中心とする半径38の円になります．→ 対応しない． |
|
［注］直前にPC版から入られた場合は，自動転送でスマホ版に来ていますので，ブラウザの［戻るキー］では戻れません（堂々巡りになる）．下記のリンクを使ってメニューに戻ってください．
...（携帯版）メニューに戻る...（PC版）メニューに戻る |
|
■［個別の頁からの質問に対する回答］[（複素数で表される）軌跡の方程式 について／18.6.13］
コメント失礼しますm(__)m
定点からの距離が一定である点の軌跡のところの、赤字、z=x+yi, α~a+biとして，|z－α|=rを(x, y)座標で表すと，
√(x－a)2+(y－b)2=r
(x－a)2+(y－b)2=r2
となって，数学IIで習う円の方程式と一致する．
しかし，複素数で示された問題を常に(x, y)座標に直して考えていると能率が悪いので，特に行き詰ったときだけ(x, y)座標に直すようにし，複素数の問題は複素数のままで答えるようにするのがよい．
の冒頭、α~a+bi は、 α=a+biなのではないでしょうか？
■［個別の頁からの質問に対する回答］[軌跡の方程式について／18.3.22］
＝＞［作者］：連絡ありがとう．Shiftきーを押しながら，１つ隣のキーを押したようですので，訂正しました． (8)の2の解答の3：1内分する点は9/4ではないのですか？
■［個別の頁からの質問に対する回答］[（複素数で表される）軌跡の方程式について／18.3.5］
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました． 複素数の垂直二等分線の式がダブり？
(x+1)2+y2=(x+1)2+y2
■［個別の頁からの質問に対する回答］[軌跡の方程式 について／17.2.18］
＝＞［作者］：連絡ありがとう．転記ミスですので訂正しました． 私は学生時代部活ばかりしていて、高度な数学知識はありません。中学時代の数学ですら数学として理解してない場合が多い。算数のそろばん時代に戻りたい。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．言っても始まらないことを考えるのは前向きな考えではないので，できることを探しましょう． |
| ■このサイト内のGoogle検索■ |
