PC用は別頁
窶サ鬮俶�。謨ー蟄ヲ竇「縺ョ縲瑚、�エ�謨ー蟷ウ髱「縲阪↓縺、縺�※�後%縺ョ繧オ繧、繝医↓縺ッ谺。縺ョ謨呎攝縺後≠繧翫∪縺呻シ�
縺薙�鬆√∈Google繧ШAHOO ! 縺ェ縺ゥ縺ョ讀懃エ「縺九i逶エ謗・譚・縺ヲ縺励∪縺」縺溘�縺ァ縲悟燕謠舌→縺ェ縺」縺ヲ縺�k蜀�ョケ縺悟�縺九i縺ェ縺�€阪→縺�≧蝣エ蜷医d縲後%縺ョ鬆√�蛻�°縺」縺溘′繧ゅ▲縺ィ蠢懃畑蝠城。後r隕九◆縺�€阪→縺�≧蝣エ蜷医��御サ悶�鬆√r隕九※縺上□縺輔>��縲€ 縺檎樟蝨ィ蝨ー縺ァ縺呻シ�
竊�隍�エ�謨ー蟷ウ髱「
竊�蝗櫁サ「縺ィ諡。螟ァ
竊�轤ケ�。縺ョ蜻ィ繧翫�蝗櫁サ「-迴セ蝨ィ蝨ー
竊�荳芽ァ貞ス「縺ョ蠖「迥カ蝠城。�
竊�繝峨�繝「繧「繝悶Ν縺ョ螳夂炊
竊�繝峨�繝「繧「繝悶Ν縺ョ螳夂炊(蜈・隧ヲ蝠城。�)
竊�隍�エ�謨ー縺ァ陦ィ縺輔l繧玖サ瑚キ。縺ョ譁ケ遞句シ�
竊�蜷�(2)
竊�隍�エ�謨ー縺ョ�第ャ。邨仙粋縺瑚。ィ縺吝峙蠖「
竊�蜀��轤ケ繝サ螟門�轤ケ
竊��堤峩邱壹�莠、轤ケ
竊�蜀��轤ケ縺ョ蜀��轤ケ
竊��堤峩邱壹�蟷ウ陦梧擅莉カ繝サ蝙ら峩譚。莉カ
竊�隍�エ�謨ー蟷ウ髱「縺ョ蜈・隧ヲ蝠城。�1
竊�隍�エ�謨ー蟷ウ髱「縺ョ蜈・隧ヲ蝠城。�2
竊�隍�エ�謨ー蟷ウ髱「縺ョ蜈・隧ヲ蝠城。�3
隍�エ�謨ー蟷ウ髱「縺ョ蜈・隧ヲ蝠城。�4

== 点Aの周りの回転 ==
【複素数の極形式】
 2つの複素数を極形式で表したとき,それらの積は回転・拡大を表す.
 すなわち
z1=r1(cosθ1+i sinθ1)
z2=r2(cosθ2+i sinθ2)
のとき
z1z2=r1r2{ cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2) }となるから
z1z2z1r2倍して,角θ2だけ回転したものを表す.
z1z2z2r1倍して,角θ1だけ回転したものを表すと考えてもよい.
図1
 特に,絶対値が1の複素数を掛けると,原点の周りに回転したものを表す.
z1=r1(cosθ1+i sinθ1)
z2=cosθ2+i sinθ2
のとき
z1z2=r1{ cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2) }となる.
【例1】
z1=1+i=.2√ni(cos.π4n+i sin.π4n)
z2=2i=2(cos.π2n+i sin.π2n)
のとき
z1z2=2i(1+i)=−2+2i=2.2√ni{ cos.4nn+i sin.4nn }
となるから
z1z2z12倍して,角.π2nだけ回転したものを表す.
図2
【例2】
z1=1+.3√nii=2(cos.π3n+i sin.π3n)
z2=i=cos.π2n+i sin.π2n
のとき
z1z2=i(1+.3√nii)=−.3√ni+i=2{ cos.6nn+i sin.6nn }
となるから
z1z2z1を,角.π2nだけ回転したものを表す.

【点αの周りの回転】
 点zを点αの周りに角θだけ回転した点w
w=(z−α)(cosθ+i sinθ)+α
(解説)
(1) 初めに,点αと点zをいずれも−αだけ平行移動すると,点αは原点に,点zは点z−αにきます.
(2) 次に,z−αを原点の周りに角θだけ回転すると
(z−α)(cosθ+i sinθ)
になります.
(3) 最後に,この点をだけ平行移動すると,回転した点が得られます.
w=(z−α)(cosθ+i sinθ)+α
図3
【例3】
z=3を点α=1の周りにθ=.π3nだけ回転して得られる点w
w=(3−1)(cos.π3n+i sin.π3n)+1
=2(.12n+..3√ni2nni)+1=1+.3√nii+1=2+.3√nii

【三角形の形状】
 A(z1 ), B(z2 ), C(z3 )について
z3−z1=(z2−z1r(cosθ+i sinθ)…(1)
もしくは
.z3−z1z2−z1nnnn=r(cosθ+i sinθ)…(2)
のとき
AC=AB×r
∠BAC=θ
図4

【例4】
 複素数平面上に3点A, B, Cが反時計回りの順に並んでいる.A(−1+2i), B(1−i), C(z)とするとき,△ABC∠A=90°の直角二等辺三角形となるようにzを定めてください.
(解答)
図5
 Aの周りにAB90°だけ回転したときACに重なるから,
z−(−1+2i)={ 1−i−(−1+2i) }×(cos90°+i sin90°)
={ 1−i+1−2i) }×i=(2−3i)×i=3+2i
z=3+2i−1+2i=2+4i…(答)
【例5】
 複素数平面上に3点A, B, Cが反時計回りの順に並んでいる.A(1), B(2+.3√nii), C(z)とするとき,△ABC∠A=30°, AB=ACの二等辺三角形となるようにzを定めてください.
(解答)
図6
 Aの周りにAB30°だけ回転したときACに重なるから,
z−1=(2+.3√nii−1)×(cos30°+i sin30°)
=(1+.3√nii)×..3√ni+i2nnnnn=2i
z=1+2i…(答)

【問題】各々正しいものを選んでください.
(1).3√ni+iを点2iの周りに30°だけ回転すると,どんな点に移されますか.

1+.3√nii .3√ni+i 2+2i 2+.3√nii
(2)原点を点3+iの周りに90°だけ回転すると,どんな点に移されますか.

3−.3√nii 3+.3√nii 4−2i 4+2i
(3)複素数平面上に3点A, B, Cが反時計回りの順に並んでいる.A(−1+2i), B(3+i), C(z)とするとき,△ABCABを斜辺とする直角二等辺三角形となるようにzを定めてください.


.3+7i2nnnn .3−7i2nnnn .5+5i2nnnn .5−5i2nnnn
(5)複素数平面上で3点A(z1 ), B(z2 ), C(z3 )について,z3−z1=(z2−z1)(1+i)が成り立つとき,△ABCはどのような形の三角形ですか.


∠A=90°の直角二等辺三角形
∠B=90°の直角二等辺三角形
∠C=90°の直角二等辺三角形
正三角形

[注]直前にPC版から入られた場合は,自動転送でスマホ版に来ていますので,ブラウザの[戻るキー]では戻れません(堂々巡りになる).下記のリンクを使ってメニューに戻ってください.
...(携帯版)メニューに戻る

...(PC版)メニューに戻る


■[個別の頁からの質問に対する回答][点Aの周りの回転について/16.12.7]
点αの周りの回転、最後の+αを知らないで覚えてました どうりで合わないわけだ ありがとうございました
=>[作者]:連絡ありがとう.
■[個別の頁からの質問に対する回答][点Aの周りの回転について/16.11.18]
様々な解説をお読みさせて頂きました。 とても分かりやすく、いい解説でした。 ここからは要望です。 カリキュラム上この順番なのかも知れませんが、出来れば「回転と拡大」のページの後に入れた方が理解が楽かも知れません。 お願いします。
=>[作者]:連絡ありがとう.やや応用問題ということで,深い考えもなく後ろの方に配置していましたが,内容のまとまりという点からはご指摘の通りですので訂正しました.

笆�縺薙�繧オ繧、繝亥�縺ョGoogle讀懃エ「笆�

笆ウ縺薙�繝壹�繧ク縺ョ蜈磯�ュ縺ォ謌サ繧銀無
縲� 繧「繝ウ繧ア繝シ繝磯€∽ソ。 縲�
… 縺薙�繧「繝ウ繧ア繝シ繝医�謨呎攝謾ケ蝟��蜿り€�↓縺輔○縺ヲ縺�◆縺�縺阪∪縺�

笆�縺薙�鬆√↓縺、縺�※�瑚憶縺�園�梧が縺�園�碁俣驕輔>縺ョ謖�遭�後◎縺ョ莉悶�諢滓Φ縺後≠繧後�騾∽ソ。縺励※縺上□縺輔>��
笳区枚遶�縺ョ蠖「繧偵@縺ヲ縺�k諢滓Φ縺ッ蜈ィ驛ィ隱ュ縺セ縺帙※繧ゅi縺」縺ヲ縺�∪縺呻シ�
笳区─諠ウ縺ョ蜀�〒�後←縺ョ蝠城。後′縺ゥ縺�〒縺ゅ▲縺溘°繧呈ュ」遒コ縺ェ譁�ォ�縺ァ莨昴∴縺ヲ縺�◆縺�縺�◆謾ケ蝟�ヲ∵悍縺ォ蟇セ縺励※縺ッ�悟庄閭ス縺ェ髯舌j蟇セ蠢懊☆繧九h縺�↓縺励※縺�∪縺呻シ趣シ遺€サ縺ェ縺奇シ梧判謦�噪縺ェ譁�ォ�縺ォ縺ェ縺」縺ヲ縺�k蝣エ蜷医��後◎繧後r蜈ャ髢九☆繧九→遲�€�□縺代〒縺ェ縺剰ェュ閠�b隱ュ繧€縺薙→縺ォ縺ェ繧翫∪縺吶�縺ァ�梧治逕ィ縺励∪縺帙s�趣シ�


雉ェ蝠上↓蟇セ縺吶k蝗樒ュ斐�荳ュ蟄ヲ迚医�縺薙�鬆��碁ォ俶�。迚医�縺薙�鬆�縺ォ縺ゅj縺セ縺�