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※高校数学Ⅲの「複素数平面」について,このサイトには次の教材があります.
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は,他の頁を見てください.  が現在地です.
複素数平面
回転と拡大
点Aの周りの回転-現在地
三角形の形状問題
ド・モアブルの定理
ド・モアブルの定理(入試問題)
複素数で表される軌跡の方程式
同(2)
複素数の1次結合が表す図形
内分点・外分点
2直線の交点
内分点の内分点
2直線の平行条件・垂直条件
複素数平面の入試問題1
複素数平面の入試問題2
複素数平面の入試問題3
複素数平面の入試問題4

== 点Aの周りの回転 ==
【複素数の極形式】
 2つの複素数を極形式で表したとき,それらの積は回転・拡大を表す.
 すなわち
z1=r1(cosθ1+i sinθ1)
z2=r2(cosθ2+i sinθ2)
のとき
z1z2=r1r2{ cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2) }となるから
z1z2z1r2倍して,角θ2だけ回転したものを表す.
z1z2z2r1倍して,角θ1だけ回転したものを表すと考えてもよい.
図1
 特に,絶対値が1の複素数を掛けると,原点の周りに回転したものを表す.
z1=r1(cosθ1+i sinθ1)
z2=cosθ2+i sinθ2
のとき
z1z2=r1{ cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2) }となる.
【例1】
z1=1+i=.2√ni(cos.π4n+i sin.π4n)
z2=2i=2(cos.π2n+i sin.π2n)
のとき
z1z2=2i(1+i)=−2+2i=2.2√ni{ cos.4nn+i sin.4nn }
となるから
z1z2z12倍して,角.π2nだけ回転したものを表す.
図2
【例2】
z1=1+.3√nii=2(cos.π3n+i sin.π3n)
z2=i=cos.π2n+i sin.π2n
のとき
z1z2=i(1+.3√nii)=−.3√ni+i=2{ cos.6nn+i sin.6nn }
となるから
z1z2z1を,角.π2nだけ回転したものを表す.

【点αの周りの回転】
 点zを点αの周りに角θだけ回転した点w
w=(z−α)(cosθ+i sinθ)+α
(解説)
(1) 初めに,点αと点zをいずれも−αだけ平行移動すると,点αは原点に,点zは点z−αにきます.
(2) 次に,z−αを原点の周りに角θだけ回転すると
(z−α)(cosθ+i sinθ)
になります.
(3) 最後に,この点をだけ平行移動すると,回転した点が得られます.
w=(z−α)(cosθ+i sinθ)+α
図3
【例3】
z=3を点α=1の周りにθ=.π3nだけ回転して得られる点w
w=(3−1)(cos.π3n+i sin.π3n)+1
=2(.12n+..3√ni2nni)+1=1+.3√nii+1=2+.3√nii

【三角形の形状】
 A(z1 ), B(z2 ), C(z3 )について
z3−z1=(z2−z1r(cosθ+i sinθ)…(1)
もしくは
.z3−z1z2−z1nnnn=r(cosθ+i sinθ)…(2)
のとき
AC=AB×r
∠BAC=θ
図4

【例4】
 複素数平面上に3点A, B, Cが反時計回りの順に並んでいる.A(−1+2i), B(1−i), C(z)とするとき,△ABC∠A=90°の直角二等辺三角形となるようにzを定めてください.
(解答)
図5
 Aの周りにAB90°だけ回転したときACに重なるから,
z−(−1+2i)={ 1−i−(−1+2i) }×(cos90°+i sin90°)
={ 1−i+1−2i) }×i=(2−3i)×i=3+2i
z=3+2i−1+2i=2+4i…(答)
【例5】
 複素数平面上に3点A, B, Cが反時計回りの順に並んでいる.A(1), B(2+.3√nii), C(z)とするとき,△ABC∠A=30°, AB=ACの二等辺三角形となるようにzを定めてください.
(解答)
図6
 Aの周りにAB30°だけ回転したときACに重なるから,
z−1=(2+.3√nii−1)×(cos30°+i sin30°)
=(1+.3√nii)×..3√ni+i2nnnnn=2i
z=1+2i…(答)

【問題】各々正しいものを選んでください.
(1).3√ni+iを点2iの周りに30°だけ回転すると,どんな点に移されますか.

1+.3√nii .3√ni+i 2+2i 2+.3√nii
(2)原点を点3+iの周りに90°だけ回転すると,どんな点に移されますか.

3−.3√nii 3+.3√nii 4−2i 4+2i
(3)複素数平面上に3点A, B, Cが反時計回りの順に並んでいる.A(−1+2i), B(3+i), C(z)とするとき,△ABCABを斜辺とする直角二等辺三角形となるようにzを定めてください.


.3+7i2nnnn .3−7i2nnnn .5+5i2nnnn .5−5i2nnnn
(5)複素数平面上で3点A(z1 ), B(z2 ), C(z3 )について,z3−z1=(z2−z1)(1+i)が成り立つとき,△ABCはどのような形の三角形ですか.


∠A=90°の直角二等辺三角形
∠B=90°の直角二等辺三角形
∠C=90°の直角二等辺三角形
正三角形

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■[個別の頁からの質問に対する回答][点Aの周りの回転について/16.12.7]
点αの周りの回転、最後の+αを知らないで覚えてました どうりで合わないわけだ ありがとうございました
=>[作者]:連絡ありがとう.
■[個別の頁からの質問に対する回答][点Aの周りの回転について/16.11.18]
様々な解説をお読みさせて頂きました。 とても分かりやすく、いい解説でした。 ここからは要望です。 カリキュラム上この順番なのかも知れませんが、出来れば「回転と拡大」のページの後に入れた方が理解が楽かも知れません。 お願いします。
=>[作者]:連絡ありがとう.やや応用問題ということで,深い考えもなく後ろの方に配置していましたが,内容のまとまりという点からはご指摘の通りですので訂正しました.

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