 ...（携帯版）メニューに戻る...(ＰＣ版)メニューに戻る*** 科目 *** 数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度 *** 単元 *** 複素数平面二次曲線媒介変数表示と極座標 数列の極限関数導関数不定積分定積分 行列1次変換 ※高校数学Ⅲの「複素数平面」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください． が現在地です． ↓複素数平面 ↓回転と拡大 ↓点Ａの周りの回転-現在地 ↓三角形の形状問題 ↓ド・モアブルの定理 ↓ド・モアブルの定理(入試問題) ↓複素数で表される軌跡の方程式 ↓同(2) ↓複素数の１次結合が表す図形 ↓内分点・外分点 ↓２直線の交点 ↓内分点の内分点 ↓２直線の平行条件・垂直条件 ↓複素数平面の入試問題1 ↓複素数平面の入試問題2 ↓複素数平面の入試問題3 複素数平面の入試問題4 |
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【複素数の極形式】
【例１】２つの複素数を極形式で表したとき，それらの積は回転・拡大を表す． すなわち
z1=r1(cosθ1+i sinθ1)
z2=r2(cosθ2+i sinθ2) のとき z1z2=r1r2{ cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2) }となるから z1z2はz1をr2倍して，角θ2だけ回転したものを表す． z1z2はz2をr1倍して，角θ1だけ回転したものを表すと考えてもよい． 
z1=r1(cosθ1+i sinθ1)
z2=cosθ2+i sinθ2 のとき z1z2=r1{ cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2) }となる．
z1=1+i=
 √2(cosπ4+i sinπ4)z2=2i=2(cos  π2+i sinπ2)のとき z1z2=2i(1+i)=−2+2i=2 √2{ cos 3π4+i sin3π4 }となるから z1z2はz1を2倍して，角 π2だけ回転したものを表す．
z1=1+
√3i=2(cosπ3+i sinπ3)z2=i=cos π2+i sinπ2のとき z1z2=i(1+ √3i)=−√3+i=2{ cos5π6+i sin5π6 }となるから z1z2はz1を，角 π2だけ回転したものを表す． |
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【点αの周りの回転】
（解説）点zを点αの周りに角θだけ回転した点wは w=(z−α)(cosθ+i sinθ)+α (1) 初めに，点αと点zをいずれも−αだけ平行移動すると，点αは原点に，点zは点z−αにきます． (2) 次に，z−αを原点の周りに角θだけ回転すると (z−α)(cosθ+i sinθ)
になります．(3) 最後に，この点を+αだけ平行移動すると，回転した点が得られます． w=(z−α)(cosθ+i sinθ)+α
 
点z=3を点α=1の周りにθ=
π3だけ回転して得られる点wはw=(3−1)(cos
π3+i sinπ3)+1=2(
12+√32i)+1=1+√3i+1=2+√3i |
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【三角形の形状】
A(z1 ), B(z2 ), C(z3 )について z3−z1=(z2−z1)×r(cosθ+i sinθ)…(1) もしくは z3−z1z2−z1=r(cosθ+i sinθ)…(2)のとき AC=AB×r ∠BAC=θ 
【例４】
（解答）複素数平面上に３点A, B, Cが反時計回りの順に並んでいる．A(−1+2i), B(1−i), C(z)とするとき，△ABCが∠A=90°の直角二等辺三角形となるようにzを定めてください．  z−(−1+2i)={ 1−i−(−1+2i) }×(cos90°+i sin90°) ={ 1−i+1−2i) }×i=(2−3i)×i=3+2i z=3+2i−1+2i=2+4i…（答）
【例５】
（解答）複素数平面上に３点A, B, Cが反時計回りの順に並んでいる．A(1), B(2+ √3i), C(z)とするとき，△ABCが∠A=30°, AB=ACの二等辺三角形となるようにzを定めてください． z−1=(2+ √3i−1)×(cos30°+i sin30°)=(1+ √3i)×√3+i2=2iz=1+2i…（答） |
| 【問題】各々正しいものを選んでください． |
(√3+i−2i)(cos30°+i sin30°)+2i=( √3−i)√3+i2+2i=2+2i |
(0−3−i)(cos90°+i sin90°)+3+i=(−3−i)i+3+i=−3i+1+3+i=4−2i |
ACはABを45°回転して，1√2倍したものだからz−(−1+2i) =(4−i) 1√2(cos45°+i sin45°)=(4−i) 1+i2=5+3i2z= 5+3i2+(−1+2i)=3+7i2 |
ACはABを60°回転したものだからz−i =(−3i)(cos60°+i sin60°) =(−3i) 1+√3i2=−3i+3√32z= −3i+3√32+i=3√3−i2 |
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(5)複素数平面上で３点A(z1 ), B(z2 ), C(z3 )について，z3−z1=(z2−z1)(1+i)が成り立つとき，△ABCはどのような形の三角形ですか．
解説 ∠A=90°の直角二等辺三角形 ∠B=90°の直角二等辺三角形 ∠C=90°の直角二等辺三角形 正三角形 |
z3−z1=(z2−z1)(1+i)1+i=cos45°+i sin45°だから AC=AB× √2∠CAB=45° したがって， ∠B=90°の直角二等辺三角形 （別解） だからBA⊥BC, BA=BC ゆえに，∠B=90°の直角二等辺三角形 |
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［注］直前にPC版から入られた場合は，自動転送でスマホ版に来ていますので，ブラウザの［戻るキー］では戻れません（堂々巡りになる）．下記のリンクを使ってメニューに戻ってください．
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■［個別の頁からの質問に対する回答］[点Ａの周りの回転について／16.12.7］
点αの周りの回転、最後の＋αを知らないで覚えてました
どうりで合わないわけだ
ありがとうございました
■［個別の頁からの質問に対する回答］[点Ａの周りの回転について／16.11.18］
＝＞［作者］：連絡ありがとう． 様々な解説をお読みさせて頂きました。
とても分かりやすく、いい解説でした。
ここからは要望です。
カリキュラム上この順番なのかも知れませんが、出来れば「回転と拡大」のページの後に入れた方が理解が楽かも知れません。
お願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．やや応用問題ということで，深い考えもなく後ろの方に配置していましたが，内容のまとまりという点からはご指摘の通りですので訂正しました． |
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