PC用は別頁
※高校数学Ⅲの「複素数平面」について,このサイトには次の教材があります.
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は,他の頁を見てください.  が現在地です.
複素数平面
回転と拡大
点Aの周りの回転
三角形の形状問題
ド・モアブルの定理
ド・モアブルの定理(入試問題)
複素数で表される軌跡の方程式
同(2)-現在地
複素数の1次結合が表す図形
内分点・外分点
2直線の交点
内分点の内分点
2直線の平行条件・垂直条件
複素数平面の入試問題1
複素数平面の入試問題2
複素数平面の入試問題3
複素数平面の入試問題4

== 軌跡の方程式2 ==
【例1】
 複素数z, w|z|=1, w−2i=z+3を満たすとき,wが描く図形を調べてください.
(解答)
 w−2i=z+3zについて解くと
z=w−3−2i
ここで
|z|=1だから
|w−3−2i|=1
ゆえに,wは, 3+2iを中心とする半径1の円を描く.
○ ≪解き方≫
(1) zについての方程式
(2) w=f(z)の形の関係式
が与えられているとき
(2)をz=g(w)の形の関係式に直して,(1)に代入するとwについての方程式が得られる.

○ 複素数の定数をαとするとき
|w−α|=r (r>0)
αを中心とする半径rの円を表す.



○ 複素数の定数をαとするとき
w=z+α
の変換により,各々の点はαだけ平行移動した点に移される.

【例2】
 複素数z, w|z−1|=1, w=2izを満たすとき,wが描く図形を調べてください.
(解答)
 w=2izzについて解くと
z=.w2inn
ここで
|z−1|=1に代入すると
|.w2inn−1|=1
|w−2i|=|2i|=2
ゆえに,wは, 2iを中心とする半径2の円を描く.
○ 2つの複素数をz1 , z2とするとき
|z1z2|=|z1||z2|
が成り立つ.すなわち,積の絶対値は絶対値の積に等しい.
(解説)
 各々を極形式で表したとき
z1=r1(cosθ1+i sinθ1)
z2=r2(cosθ2+i sinθ2)
になるとすれば
z1z2=r1r2{cos(θ12)+i sin(θ12)}
となるから,積z1z2の絶対値は,r1r2すなわち絶対値の積になる.(積z1z2の偏角は,偏角θ1 , θ2の和になる.)
⇒ 積z1z2は,複素数平面上で点z1を原点の周りにθ2だけ回転して,r2だけ拡大(縮小)した点になる.
左の【例2】では,2i=2(cos.π2n+i sin.π2n)だから,w=2izとなる点wzを原点の周りに.π2nだけ回転して2倍した点になる.
一般に,複素数αの極形式がα=r(cosθ+i sinθ)となるとき,w=αzとなる変換によって,各々の点zは原点の周りに角θだけ回転してr倍した点に移される.

【例3】
 複素数z|2z−1|=1 (z≠0)で表される円周上を動くとき,
w=.1zn
が描く図形を調べてください.
(解答)
 |2z−1|=1すなわち|z−.12n|=.12n
は,点.12nを中心とする半径.12nの円を表す.
このとき
z=.1wnだから
|.2wn−1|=1
|2−w|=|w|
|w−2|=|w|
ゆえに,wは, 原点と点2を結ぶ線分の垂直二等分線となる.
すなわち直線x=1となる.
○ 一般にw=.1znとなる変換は「反転」と呼ばれ,
|w|=.1|z|nnだから,大きさは逆数になる.
したがって,原点を中心とする半径1の円(単位円)の中と外が逆になる.
w=.zw|z|2nnだから,偏角は正負が逆になる.
したがって,上下が逆になる.

【例4】
 複素数z|z|=1 (z≠1)で表される円周上を動くとき,
w=.z+1z−1nnn
が描く図形を調べてください.
(解説)
zについて解くと
wz−w=z+1
wz−z=w+1
(w−1)z=w+1
z=.w+1w−1nnn
|z|=1の条件をwの式に直すと
|.w+1w−1nnn|=1
|w+1|=|w−1|
したがって,
1, −1を結ぶ線分の垂直二等分線
すなわち,y軸
(参考)
w=.z+1z−1nnn=.2z−1nnn+1
と変形できるので,左の変換は次の4個の変換を順次行ったものとなる.
(1) z−1 :左に1平行移動
(2) .1z−1nnn :反転
(3) .2z−1nnn :2倍に拡大
(4) .2z−1nnn+1 :右に1平行移動
※ 一般に,複素数a, b, c, dを用いて
w=.az+bcz+dnnnn
で表される変換は,「平行移動」「回転・拡大」「反転」を組み合わせたものとなる.

【問題】各々正しいものを選んでください.
(1) 複素数z|z|=1を満たしながら動くとき,w+i=z−2を満たす点wはどのような図形を描きますか.





(2) 複素数z|z|=1を満たしながら動くとき,w=(1+i)zを満たす点wはどのような図形を描きますか.





(3) 複素数z|z|=1を満たしながら動くとき,w=i(z−1)+1を満たす点wはどのような図形を描きますか.





(4) 青で示した各点z
w=.1zn
によって反転させたとき,wの場所を複素数平面上でポイントしてください.
問題は8題あります→
[第1問 / 全8問]





(5) 複素数z|z|=1 (z≠1)を満たしながら動くとき,
w=.2iz−1nnn
を満たす点wはどのような図形を描きますか.





(6) 複素数z|z|=1を満たしながら動くとき,
w=.3zz−2nnn
を満たす点wはどのような図形を描きますか.





(7) 複素数z|z|=1 (z≠1)を満たしながら動くとき,
w=.−z+iz−1nnnn
を満たす点wはどのような図形を描きますか.





[注]直前にPC版から入られた場合は,自動転送でスマホ版に来ていますので,ブラウザの[戻るキー]では戻れません(堂々巡りになる).下記のリンクを使ってメニューに戻ってください.
...(携帯版)メニューに戻る

...(PC版)メニューに戻る

■このサイト内のGoogle検索■

△このページの先頭に戻る△
【 アンケート送信 】
… このアンケートは教材改善の参考にさせていただきます

この頁について,良い所,悪い所,間違いの指摘,その他の感想があれば送信してください.
○文章の形をしている感想は全部読ませてもらっています.
○感想の内で,どの問題がどうであったかを正確な文章で伝えていただいた改善要望に対しては,可能な限り対応するようにしています.(※なお,攻撃的な文章になっている場合は,それを公開すると筆者だけでなく読者も読むことになりますので,採用しません.)


質問に対する回答の中学版はこの頁,高校版はこの頁にあります