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【例１】
（解答）複素数z, wが|z|=1, w−2i=z+3を満たすとき，wが描く図形を調べてください． w−2i=z+3をzについて解くと z=w−3−2i ここで |z|=1だから |w−3−2i|=1 ゆえに，wは， 点3+2iを中心とする半径1の円を描く． |
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○ ≪解き方≫
(1) zについての方程式
が与えられているとき(2) w=f(z)の形の関係式
(2)をz=g(w)の形の関係式に直して，(1)に代入するとwについての方程式が得られる．
 ○ 複素数の定数をαとするとき
|w−α|=r (r>0)
はαを中心とする半径rの円を表す．
 ○ 複素数の定数をαとするとき
w=z+α
の変換により，各々の点はαだけ平行移動した点に移される．
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【例２】
複素数z, wが|z−1|=1, w=2izを満たすとき，wが描く図形を調べてください．  （解答）w=2izをzについて解くと z=  w2iここで |z−1|=1に代入すると | w2i−1|=1|w−2i|=|2i|=2 ゆえに，wは， 点2iを中心とする半径2の円を描く． |
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○ ２つの複素数をz1 , z2とするとき
（解説）
|z1z2|=|z1||z2|
が成り立つ．すなわち，積の絶対値は絶対値の積に等しい．
各々を極形式で表したとき z1=r1(cosθ1+i sinθ1) z2=r2(cosθ2+i sinθ2) になるとすれば z1z2=r1r2{cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)} となるから，積z1z2の絶対値は，r1r2すなわち絶対値の積になる．（積z1z2の偏角は，偏角θ1 , θ2の和になる．）
⇒ 積z1z2は，複素数平面上で点z1を原点の周りにθ2だけ回転して，r2だけ拡大（縮小）した点になる．
左の【例２】では，2i=2(cos
一般に，複素数αの極形式がα=r(cosθ+i sinθ)となるとき，w=αzとなる変換によって，各々の点zは原点の周りに角θだけ回転してr倍した点に移される．
 π2+i sinπ2)だから，w=2izとなる点wはzを原点の周りにπ2だけ回転して2倍した点になる．
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【例３】
複素数zが|2z−1|=1 (z≠0)で表される円周上を動くとき， w= 1zが描く図形を調べてください．  （解答）|2z−1|=1すなわち|z− 12|=12は，点 12を中心とする半径12の円を表す．このとき z= 1wだから| 2w−1|=1|2−w|=|w| |w−2|=|w| ゆえに，wは， 原点と点2を結ぶ線分の垂直二等分線となる． すなわち直線x=1となる． |
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○ 一般にw=
1zとなる変換は「反転」と呼ばれ，
|w|=
1|z|だから，大きさは逆数になる．
したがって，原点を中心とする半径１の円（単位円）の中と外が逆になる．
w=
——z|z|2だから，偏角は正負が逆になる．
したがって，上下が逆になる．
 
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【例４】
（解説）複素数zが|z|=1 (z≠1)で表される円周上を動くとき， w= z+1z−1
が描く図形を調べてください．
zについて解くと wz−w=z+1 wz−z=w+1 (w−1)z=w+1 z= w+1w−1
|z|=1の条件をwの式に直すと
|w+1w−1|=1
|w+1|=|w−1|したがって， 1, −1を結ぶ線分の垂直二等分線 すなわち，ｙ軸 |
（参考） z+1z−1=2z−1+1
と変形できるので，左の変換は次の４個の変換を順次行ったものとなる．
(1) z−1 ：左に１平行移動
※ 一般に，複素数a, b, c, dを用いて
w=(2) 1z−1 ：反転
(3) 2z−1 ：２倍に拡大
(4)  2z−1+1 ：右に１平行移動
az+bcz+d
で表される変換は，「平行移動」「回転・拡大」「反転」を組み合わせたものとなる．
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【問題】各々正しいものを選んでください．
z=w+2+i
|z|=|w+2+i|=1 により，点−2−iを中心とする半径1の円になります． |
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z=
w1+i|z|=| w1+i|=1|w|=|1+i|= √2により，原点を中心とする半径 √2の円になります．
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z=
w−1+ii|z|=| w−1+ii|=1|w−1+i|=|i|=1 により，点1−iを中心とする半径1の円になります．  （別解）
1) 左へ1平行移動：z−1
により，右図のようになります．
2) 90°回転：i(z−1) 3) 右へ1平行移動：i(z−1)+1 |
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wz−w=2i
z= w+2iw|z|=| w+2iw|=1|w+2i|=|w| により，原点0と点−2iを結ぶ線分の垂直二等分線 すなわち，直線y=−1になります．  （別解）
1) 左へ1平行移動：z−1
2) 反転： 1z−13) 90°回転して２倍に拡大： 2iz−1により，右図のようになります． |
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zについて解くと
wz−2w=3z
|z|=1だから
wz−3z=2w (w−3)z=2w z= 2ww−3
|z|=|
により，原点0と点3からの距離の比が1：2となるアポロニウスの円になる．2ww−3|=1|2w|=|w−3| 2|w|=|w−3| すなわち，原点0と点3を1：2に内分する点1と1：2に外分する点−3を直径の両端とする円になります． すなわち，−1を中心とする半径2の円になります． |
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zについて解くと
wz−w=−z+i
|z|=1だから
wz+z=w+i (w+1)z=w+i z= w+iw+1
|z|=|
により，点−iと点−1を結ぶ線分の垂直二等分線になる．w+iw+1|=1|w+i|=|w+1| すなわち，直線y=xになります． |
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で示した各点
