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== 内分点の内分点 ==
【内分点の公式】
 複素数平面において,2点A(z1 ), B(z2 )を結ぶ線分ABp:qの比に内分する点を表す複素数は
.qz1+pz2p+qnnnnnn
(解説)
図1
 図1のようになりますが,見かけの上で遠い方の比率を掛けたものが分子に来ます.

【内分点の内分点】
 複素数平面上に3点A(z1 ), B(z2 ), C(z3 )があるとき
z=.pz1+qz2+rz3p+q+rnnnnnnnnn
とすると,
(1)
ABq:pに内分する点をFとするとき,
zCF(q+p):rに内分する点になる.
(2)
BCr:qに内分する点をDとするとき,
zAD(q+r):pに内分する点になる.
(3)
CAr:pに内分する点をEとするとき,
zBE(r+p):qに内分する点になる.
(*)
zCF,AD, BEの交点を表す.
(解説)
図2
(1)
C:z3 , F:.qz1+pz2p+qnnnnnn
だから
z=.pz1+qz2+rz3p+q+rnnnnnnnnn=.(q+p).pz1+qz2q+pnnnnnn+rz3r+(q+p)nnnnnnnnnnnnnn
のように変形すると,zCF(q+p):rに内分する点を表すことがわかります.
(2)
A:z1 , D:.qz2+rz3r+qnnnnnn
だから
z=.pz1+qz2+rz3p+q+rnnnnnnnnn=.pz1+(r+q).qz2+rz3r+qnnnnnn(r+q)+pnnnnnnnnnnnnnn
のように変形すると,zAD(r+q):pに内分する点を表すことがわかります.
(3)
B:z2 , E:.pz1+rz3r+pnnnnnn
だから
z=.pz1+qz2+rz3p+q+rnnnnnnnnn=.qz2+(r+p).pz1+rz3r+pnnnnnn(r+p)+qnnnnnnnnnnnnnn
のように変形すると,zBE(r+p):qに内分する点を表すことがわかります.

(*)
 (1)(2)(3)の結果から,zは3直線CF,AD, BEのいずれの上にもあるから,CF,AD, BEの交点を表す.

【例1】
図3
 右図3のように,複素数平面において,△ABCの頂点Aを表す複素数をz1,頂点Bを表す複素数をz2,頂点Cを表す複素数をz3とし,AB2:3に内分する点をFAC3:4に内分する点をEBECFの交点をPとする.
(1)Pを表す複素数をz1 , z2 , z3で表してください.
(2)BP:PE, CP:PFを求めてください.
(3)APの延長が線分BCと交わる点をDとするとき,CD:DB, AP:PDを求めてください.
(解答)
図4
(1)図4のように,FからBEに平行な線を引き,ACと交わる点をGとすると
AG:GE=2:3=8:12
AE:EC=4:5=20:25だから
AG:GE:EC=8:12:25
したがって
FP:PC=12:25
PF(.3z1+2z25nnnnnn) , C(z3)12:25に内分する点だから
.25.3z1+2z25nnnnnn+12z337nnnnnnnnnnnnnn=.15z1+10z2+12z337nnnnnnnnnnnnn…(答)
(2)(1)よりCP:PF=25:12…(答)
また
.15z1+10z2+12z337nnnnnnnnnnnnn=.27.15z1+12z327nnnnnnnn+10z237nnnnnnnnnnnnnn
=.27.5z1+4z39nnnnnn+10z237nnnnnnnnnnnnnn
と変形すると,
PE(.5z1+4z39nnnnnn) , B(z2)10:27に内分する点であることがわかる.
BP:PE=27:10…(答)

(3)
.15z1+10z2+12z337nnnnnnnnnnnnn=.15z1+22.10z2+12z322nnnnnnnn37nnnnnnnnnnnnnn
=.15z1+22.5z2+6z311nnnnnn37nnnnnnnnnnnnnn
と変形すると,
PA(z1) , D(.5z2+6z39nnnnnn)22:15に内分する点であることがわかる.
CD:DB=5:6…(答)
AP:PD=22:15…(答)

【問題1】
--図5--
 図5のように,複素数平面において,△ABCの頂点Aを表す複素数をz1,頂点Bを表す複素数をz2,頂点Cを表す複素数をz3とし,ABの中点をFAC2:3に内分する点をEBECFの交点をPとする.
(以下,正しいものを選んでください.)
(1)Pを表す複素数をz1 , z2 , z3で表してください.

.z1+2z2+3z36nnnnnnnnn .3z1+z2+2z36nnnnnnnnn
.3z1+3z2+2z38nnnnnnnnnn .2z1+3z2+3z38nnnnnnnnnn
(2)BP:PE, CP:PFを求めてください.


(3)APの延長が線分BCと交わる点をDとするとき,CD:DB, AP:PDを求めてください.


【問題2】
--図6--
 図6のように,複素数平面において,△ABCの頂点Aを表す複素数をz1,頂点Bを表す複素数をz2,頂点Cを表す複素数をz3とし,AB1:3に内分する点をFAC2:1に内分する点をEBECFの交点をPとする.
(以下,正しいものを選んでください.)
(1)Pを表す複素数をz1 , z2 , z3で表してください.

.z1+3z2+6z310nnnnnnnnn .z1+6z2+3z310nnnnnnnnn
.3z1+z2+6z310nnnnnnnnnn .3z1+6z2+z310nnnnnnnnnn
(2)BP:PE, CP:PFを求めてください.


(3)APの延長が線分BCと交わる点をDとするとき,CD:DB, AP:PDを求めてください.


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