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３点A(α), B(β), C(γ)を頂点とする△ABCが正三角形であるための条件は
${\displaystyle \frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }=\cos {60}^{\circ }\pm i\sin {60}^{\circ }}$

２つの複素数${\displaystyle z_1=r_1(\cos {\theta }_1+i\sin {\theta }_1),z_1=r_2(\cos {\theta }_2+i\sin {\theta }_2)}$の商（割り算）を極形式で書くと
${\displaystyle \frac{z_2}{z_1}=\frac{r_2(\cos {\theta }_2+i\sin {\theta }_2)}{r_1(\cos {\theta }_1+i\sin {\theta }_1)}}$
${\displaystyle =\frac{r_2}{r_1}\{\cos ({\theta }_2-{\theta }_1)+i\sin ({\theta }_2-{\theta }_1)\}}$
これにより${\displaystyle z_1}$から${\displaystyle z_2}$へ移るときの「辺の長さの比」と「回転角」が分かる．

二等辺三角形でかつ頂角が60°なら，残り2つの角も60°になるので，正三角形になる

引用元の問題は記述式の問題ですが，以下の問題ではWeb画面上での操作性をよくするため，選択問題に変えています．
まぐれ当たりでは力が付きませんので，計算用紙を使って，よく考えてから選択肢の内の１つをクリックしてください．解答すれば解説が出ます．
なお，答案はこの教材の筆者が作成したものです．間違い等がありましたらお知らせください．

(1)　（やさしい）
　zを複素数とする．複素数平面上の３点z, z2, z3を頂点とする三角形が正三角形となるzをすべて求めよ．

解説 やり直す

${\displaystyle z=\pm i}$ ${\displaystyle z=\frac{1\pm \sqrt{3}i}{2}}$
${\displaystyle z=\frac{-1\pm \sqrt{3}i}{2}}$ ${\displaystyle z=\frac{\sqrt{3}\pm i}{2}}$

z=0またはz=1のときは，３点が同一の点になり三角形ができないから，z≠0, 1とおける．
${\displaystyle \frac{z^3-z}{z^2-z}=\cos {60}^{\circ }\pm i\sin {60}^{\circ }}$
より
${\displaystyle \frac{z(z-1)(z+1)}{z(z-1)}=\frac{1\pm \sqrt{3}i}{2}}$
${\displaystyle z+1=\frac{1\pm \sqrt{3}i}{2}}$
${\displaystyle z=\frac{-1\pm \sqrt{3}i}{2}}$…（答）

(2)
　複素数平面上で，３点A(4z), B(3z+2), C(z3)を頂点とする△ABCが正三角形となるような複素数zをすべて求めよ．

解説 やり直す

${\displaystyle z=\frac{1\pm \sqrt{3}i}{2}}$ ${\displaystyle z=\frac{-1\pm \sqrt{3}i}{2}}$ ${\displaystyle z=\frac{\sqrt{3}\pm i}{2}}$ ${\displaystyle z=\frac{-2+\sqrt{3}\pm i}{2},\frac{-2-\sqrt{3}\pm i}{2}}$

点A(4z)を中心としてB(3z+2)を±60°回転するとC(z3)に重なればよい（右図青の線）
${\displaystyle \frac{z^3-4z}{3z+2-4z}=\cos {60}^{\circ }\pm i\sin {60}^{\circ }}$
より
${\displaystyle \frac{z(z+2)(z-2)}{-(z-2)}=\frac{1\pm \sqrt{3}i}{2}}$
A(8),B(8),C(8)が１つの点になり三角形ができないからz≠2とする．
${\displaystyle z(z+2)=\frac{-1\mp \sqrt{3}i}{2}}$
${\displaystyle z^2+2z=\frac{-1\mp \sqrt{3}i}{2}}$
${\displaystyle z^2+2z+1=\frac{1\mp \sqrt{3}i}{2}}$
${\displaystyle (z+1{)}^2=\cos {60}^{\circ }\mp i\sin {60}^{\circ }}$

右の公式により
${\displaystyle (z+1{)}^2=\cos {60}^{\circ }+i\sin {60}^{\circ }}$から
${\displaystyle z+1=\cos {30}^{\circ }+i\sin {30}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}+i}{2}}$…(1)
${\displaystyle z+1=\cos {210}^{\circ }+i\sin {210}^{\circ }=\frac{-\sqrt{3}-i}{2}}$…(2)
${\displaystyle (z+1{)}^2=\cos {60}^{\circ }-i\sin {60}^{\circ }}$から
${\displaystyle z+1=\cos {30}^{\circ }-i\sin {30}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}-i}{2}}$…(3)
${\displaystyle z+1=\cos {210}^{\circ }-i\sin {210}^{\circ }=\frac{-\sqrt{3}+i}{2}}$…(4)
(1)(2)(3)(4)より
${\displaystyle z=\frac{-2+\sqrt{3}\pm i}{2},\frac{-2-\sqrt{3}\pm i}{2}}$
上の図の赤で示した点B(3z+2)を中心とした回転を考えた場合は
${\displaystyle \frac{4z-(3z+2)}{z^3-(3z+2)}=\cos {60}^{\circ }\pm i\sin {60}^{\circ }}$
${\displaystyle \frac{z-2}{(z+1{)}^2(z-2)}=\cos {60}^{\circ }\pm i\sin {60}^{\circ }}$
${\displaystyle (z+1{)}^2=\frac{1}{\cos {60}^{\circ }\pm i\sin {60}^{\circ }}=\cos (-{60}^{\circ })\pm i\sin (-{60}^{\circ })}$
${\displaystyle =\cos {60}^{\circ }\pm i\sin {60}^{\circ }}$
以下同様にして解ける． ${\displaystyle z^2+2z+\frac{1\pm \sqrt{3}i}{2}=0}$
のような複素係数の２次方程式に対して解の公式を使うこともできますが，その場合は，根号内に虚数を含む形で形式的に書かれる解
${\displaystyle z=-1\pm \sqrt{1-\frac{1\pm \sqrt{3}i}{2}}=-1\pm \sqrt{\frac{1\pm \sqrt{3}i}{2}}}$
の根号の部分は，２乗が${\displaystyle \frac{1\pm \sqrt{3}i}{2}}$になる複素数としてa+biの形に書きなおす必要があります．これを満たす実数a, bを連立方程式から求めるのはそれなりの計算になります．むしろ，上記のように
${\displaystyle (z+1{)}^2=\cos {60}^{\circ }\mp i\sin {60}^{\circ }}$
のようにn乗からn乗根に変形するのが楽です．

３点A(α), B(β), C(γ)を頂点とする△ABCについて
${\displaystyle \frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }=r(\cos \theta \pm i\sin \theta )(r>0)}$
のとき
${\displaystyle \frac{CA}{BA}=|\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }|=r}$
∠BAC=θ

２つの複素数${\displaystyle z_1=r_1(\cos {\theta }_1+i\sin {\theta }_1),z_2=r_2(\cos {\theta }_2+i\sin {\theta }_2)}$の商（割り算）を極形式で書くと
${\displaystyle \frac{z_2}{z_1}=\frac{r_2(\cos {\theta }_2+i\sin {\theta }_2)}{r_1(\cos {\theta }_1+i\sin {\theta }_1)}}$
${\displaystyle =\frac{r_2}{r_1}\{\cos ({\theta }_2-{\theta }_1)+i\sin ({\theta }_2-{\theta }_1)\}}$
これにより${\displaystyle z_1}$から${\displaystyle z_2}$へ移るときの「辺の長さの比」と「回転角」が分かる．

引用元の問題は記述式の問題ですが，以下の問題ではWeb画面上での操作性をよくするため，選択問題に変えています．
まぐれ当たりでは力が付きませんので，計算用紙を使って，よく考えてから選択肢の内の１つをクリックしてください．解答すれば解説が出ます．
なお，答案はこの教材の筆者が作成したものです．間違い等がありましたらお知らせください．

(1)
　α, βを等式9α2−18αβ+25β2=0を満たす0でない複素数とする．このとき複素平面上で３点0, α, βを頂点とする三角形の３辺の長さの比を求めよ．

解説 やり直す

${\displaystyle 1:1:1}$ ${\displaystyle 1:2:\sqrt{3}}$ ${\displaystyle 1:2:\sqrt{5}}$
${\displaystyle 2:3:4}$ ${\displaystyle 3:4:5}$

両辺をβ2≠0で割ると
${\displaystyle 9(\frac{\alpha }{\beta }{)}^2-18(\frac{\alpha }{\beta })+25=0}$
2次方程式の解の公式を使って${\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}$を求めると
${\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }=\frac{9\pm \sqrt{81-225}}{9}=\frac{9\pm \sqrt{-144}}{9}=\frac{9\pm 12i}{9}=\frac{3\pm 4i}{3}}$
${\displaystyle \frac{\alpha -\beta }{\beta }=\frac{\alpha }{\beta }-1=\pm \frac{4i}{3}}$
これにより
${\displaystyle |\frac{\alpha }{\beta }|=\frac{5}{3}}$
${\displaystyle |\frac{\alpha -\beta }{\beta }|=\frac{4}{3}}$
したがって
${\displaystyle |\alpha |:|\beta |:|\alpha -\beta |=5:3:4}$…（答）

(2)
　複素数α, βは，α2−2αβ+4β2=0, |α−2β|=4の関係を満たす．複素数平面上に，O（原点），A(α), B(β)の３点をとる．三角形AOBの∠AOBの値を求めよ．また，三角形AOBの面積の値を求めよ．

解説 やり直す

30° 45° 60° 90° 120°

α, βのいずれかが0なら三角形ができないから，α, βはいずれも0でないとする．
α2−2αβ+4β2=0の両辺をβ2で割ると
${\displaystyle (\frac{\alpha }{\beta }{)}^2-2(\frac{\alpha }{\beta })+4=0}$
２次方程式の解の公式を使って${\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}$を求めると
${\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }=1\pm \sqrt{3}i=2(\cos {60}^{\circ }\pm i\sin {60}^{\circ })}$
∠AOB=60°

解説 やり直す

${\displaystyle \sqrt{2}}$ ${\displaystyle 2\sqrt{2}}$ ${\displaystyle \sqrt{3}}$ ${\displaystyle 2\sqrt{3}}$ ${\displaystyle \sqrt{6}}$ ${\displaystyle 2\sqrt{6}}$

${\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }=1\pm \sqrt{3}i=2(\cos {60}^{\circ }\pm i\sin {60}^{\circ })}$
${\displaystyle \frac{\alpha -\beta }{\beta }=\frac{\alpha }{\beta }-1=\pm \sqrt{3}i}$
${\displaystyle |\alpha |:|\beta |:|\alpha -\beta |=2:1:\sqrt{3}}$
また，右図のように|α−2β|=4だから
${\displaystyle |\alpha |=4,|\beta |=2,|\alpha -\beta |=2\sqrt{3}}$
△AOBの面積は
${\displaystyle \frac{1}{2}\times 2\times 2\sqrt{3}=2\sqrt{3}}$

(3)
　原点をOとする複素数平面上において，複素数α, βの表す点をそれぞれA, Bとする．α, βが条件
${\displaystyle |\alpha |=\sqrt{2},2(1+i)\alpha -(\sqrt{3}-i)\beta =0}$
を満たすとき，次の問いに答えよ．ただし，iは虚数単位である．
(1)　|β|の値を求めよ．
(2)　2(1+i)および${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}$の偏角をそれぞれ−180°より大きく180°以下の範囲で求めよ．
(3)　△ABCの面積を求めよ．

解説 やり直す

${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \sqrt{2}}$ ${\displaystyle \sqrt{3}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 2\sqrt{2}}$ ${\displaystyle 2\sqrt{3}}$ ${\displaystyle 3}$

${\displaystyle \beta =\frac{2(1+i)}{\sqrt{3}-i}\alpha =\frac{2\sqrt{2}(\cos {45}^{\circ }+i\sin {45}^{\circ })}{2\{\cos (-{30}^{\circ })+i\sin (-{30}^{\circ })\}}\alpha }$
${\displaystyle =\sqrt{2}(\cos {75}^{\circ }+i\sin {75}^{\circ })\alpha }$
${\displaystyle |\beta |=\sqrt{2}\times 1\times |\alpha |=\sqrt{2}\times \sqrt{2}=2}$

解説 やり直す

30° 45° 60° 75° 90° 105° 120° 135°

${\displaystyle 2(1+i)=2\sqrt{2}(\cos {45}^{\circ }+i\sin {45}^{\circ })}$
だから
${\displaystyle arg\{2(1+i)\}={45}^{\circ }}$

解説 やり直す

30° 45° 60° 75° 90° 105° 120° 135°

${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }=\sqrt{2}(\cos {75}^{\circ }+i\sin {75}^{\circ })}$
だから
${\displaystyle arg(\frac{\beta }{\alpha })={75}^{\circ }}$

解説 やり直す

${\displaystyle \sqrt{3}+1}$ ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}+1}{2}}$ ${\displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}}$
${\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{2}}$ ${\displaystyle \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}}$

${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}$の偏角は75°だからαとβのなす角は75°
${\displaystyle S=\frac{1}{2}|\alpha |\cdot |\beta |\sin {75}^{\circ }}$
ここで${\displaystyle |\alpha |=\sqrt{2},|\beta |=2}$
(1)または(2)の途中経過を見ると，${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}$の虚部が${\displaystyle \sqrt{2}\sin {75}^{\circ }}$であるから
${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }=\frac{2(1+i)}{\sqrt{3}-i}=\frac{2(1+i)(\sqrt{3}+i)}{4}=\frac{(\sqrt{3}-1)+(\sqrt{3}+1)i}{2}}$
より

(4)　(3)とよく似ているが少し違う．誘導はより明確．
　原点をOとする複素数平面上において，複素数α, βの表す点をそれぞれA, Bとする．α, βが次の２つの式を満たすとき，次の各問いに答えよ．ただし，iは虚数単位とする．
${\displaystyle |\alpha |=2,2(1+i)\alpha -(\sqrt{3}+i)\beta =0}$
(1)　|β|の値を求めよ．
(2)　${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}$の偏角をθ（0≦θ≦π）とするとき，sinθの値を求めよ．
(3)　△ABCの面積を求めよ．

解説 やり直す

${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \sqrt{2}}$ ${\displaystyle \sqrt{3}}$ ${\displaystyle 2}$
${\displaystyle 2\sqrt{2}}$ ${\displaystyle 2\sqrt{3}}$ ${\displaystyle 3}$

${\displaystyle \beta =\frac{2(1+i)}{\sqrt{3}+i}\alpha =\frac{2\sqrt{2}(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4})}{2(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6})}\alpha }$
${\displaystyle =\sqrt{2}\{\cos (\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{6})+i\sin (\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{6})\}\alpha }$
${\displaystyle =\sqrt{2}(\cos \frac{\pi }{12}+i\sin \frac{\pi }{12})\alpha }$
${\displaystyle |\beta |=\sqrt{2}\times 1\times |\alpha |=\sqrt{2}\times 2=2\sqrt{2}}$

解説 やり直す

${\displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}}$ ${\displaystyle \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$ ${\displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}}$ ${\displaystyle \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}}$

${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }=\sqrt{2}(\cos \frac{\pi }{12}+i\sin \frac{\pi }{12})}$
${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }=\frac{2(1+i)}{\sqrt{3}+i}=\frac{2(1+i)(\sqrt{3}-i)}{4}=\frac{(\sqrt{3}+i)+(\sqrt{3}-1)i}{2}}$
の虚部を比較すると
${\displaystyle \sqrt{2}\sin \frac{\pi }{12}=\frac{\sqrt{3}-1)}{2}}$
${\displaystyle \sin \frac{\pi }{12}=\frac{\sqrt{3}-1)}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$

解説 やり直す

${\displaystyle \frac{\sqrt{2}-1}{2}}$ ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}+1}{2}}$ ${\displaystyle \sqrt{3}-1}$ ${\displaystyle \sqrt{3}+1}$

${\displaystyle S=\frac{1}{2}|\alpha |\cdot |\beta |\sin \frac{\pi }{12}=\frac{1}{2}\times 2\times 2\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$
${\displaystyle =\frac{2(\sqrt{3}-1)}{2}=\sqrt{3}-1}$

　４つの複素数z1, z2, z3, z4は互いに異なり，その絶対値はすべて1であるとする．
(1)　略
(2)　z1+z2+z3=0が成り立つとき，z1, z2, z3を頂点とする複素数平面上の三角形は正三角形であることを示せ．
(3)　z1+z2+z3+z4=0が成り立つとき，z1, z2, z3, z4を頂点とする複素数平面上の四角形は長方形であることを示せ．

　式の変形：計算力で解決できる問題も多いが，図形の問題は図形によって解決する方が見通しが立てやすい． 　ベクトルで考えて，複素数z1, z2, z3をベクトル${\displaystyle \overrightarrow{z_1},\overrightarrow{z_2},\overrightarrow{z_3}}$に対応させると
${\displaystyle \overrightarrow{z_1}+\overrightarrow{z_2}+\overrightarrow{z_3}=\overrightarrow{0}}$
ならば，各ベクトルのなす角が120°になることを示せばよい．

　仮定により，${\displaystyle \overrightarrow{z_1}}$の終点に${\displaystyle \overrightarrow{z_2}}$の始点を，${\displaystyle \overrightarrow{z_2}}$の終点に${\displaystyle \overrightarrow{z_3}}$の始点を継いで行くと${\displaystyle \overrightarrow{z_3}}$の終点が原点に戻る．また，${\displaystyle \overrightarrow{z_1},\overrightarrow{z_2},\overrightarrow{z_3}}$の大きさ（長さ）はすべて１だから，右の下の図のように「３辺の長さが等しい」正三角形ができる．
　正三角形の内角は60°だから，その外角は120°になり，ベクトル${\displaystyle \overrightarrow{z_1},\overrightarrow{z_2}}$のなす角は120°になる．同様にして，他の2組のベクトルのなす角も120°になる．

　右の上の図において，黄色，水色，桃色で示した三角形はすべて２辺の長さが１でその間の角が120°であるから合同．よって頂点z1, z2, z3をつないでできる三角形は正三角形になる．

　ベクトルで考えて，複素数z1, z2, z3, z4をベクトル${\displaystyle \overrightarrow{z_1},\overrightarrow{z_2},\overrightarrow{z_3},\overrightarrow{z_4}}$に対応させると
${\displaystyle \overrightarrow{z_1}+\overrightarrow{z_2}+\overrightarrow{z_3}+\overrightarrow{z_4}=\overrightarrow{0}}$
ならば，四角形の内角がすべて90°になることを示せばよい．

　${\displaystyle \overrightarrow{z_1},\overrightarrow{z_2},\overrightarrow{z_3},\overrightarrow{z_4}}$の大きさはすべて１だから，右の下の図において四角形ABCDはひし形になる．
　頂点z1, z2, z3, z4の並び方は指定されていないが，例えば右の下の図のように，z1, z2, z3, z4の順に左回りに並んでいる場合，
${\displaystyle \overrightarrow{z_1}=-\overrightarrow{z_3},\overrightarrow{z_2}=-\overrightarrow{z_4}}$
になる．
　半径1の円において，大きさが１の２つのベクトル${\displaystyle \overrightarrow{z_1},\overrightarrow{z_3}}$が逆向きに入っているのだから，${\displaystyle \overrightarrow{z_1},\overrightarrow{z_3}}$は，右の上の図のように直径になる．
　直径の上に立つ円周角は90°だから∠z1z2z3=90°, ∠z1z4z3=90°となる．
　同様にして，∠z2z1z4=90°, ∠z2z3z4=90°も言えるから，4つの内角がすべて90°となり，長方形であることが示される．
（頂点z1, z2, z3, z4の並び方が他の順である場合も同様にして示される）

*** この話は一般化できるものかどうか興味を引く問題である．５つの場合，６つの場合を検討してみよう ***

(4)　互いに異なる５つの複素数が|z1|=|z2|=|z3|=|z4|=|z5|=1
z1+z2+z3+z4+z5=0
を満たすとき，この五角形は正五角形といえるか？
(5)　互いに異なる６つの複素数が|z1|=|z2|=|z3|=|z4|=|z5|=|z6|=1
z1+z2+z3+z4+z5+z6=0
を満たすとき，この六角形は正六角形といえるか？

右図上のようにz1, z2, z3が正三角形になるように並べておくと，z1+z2+z3=0になる．
これとは独立にz4, z5が直径になるように並べておくと，z4+z5=0になる．
そうすると，
(z1+z2+z3)+(z4+z5)=0
が成り立ち，正三角形と直径は独立に決められるから，五角形としては正五角形でも何でもないものになる．

また，右図下のように１つの頂点z1=1を固定してから，${\displaystyle z_5=\overline{z_2},z_4=\overline{z_3}}$のように２組の共役複素数で４つの複素数z2, z3, z4, z5を決めると，２つずつ共役だからこれらの和は実数になる．
次に，z2, z3の実部の和が${\displaystyle -\frac{1}{2}}$になるように決めると

右図上のようにz1, z3, z5が正三角形になるように並べておくと，z1+z3+z5=0になる．
これとは独立にz2, z4, z6が正三角形になるように並べておくと，z2+z4+z6=0になる．
そうすると，
(z1+z2+z3)+(z4+z5+z6)=0
が成り立ち，六角形としては正六角形でも何でもないものになる．

また，右図下のように互いに直径となる３組の複素数z1, z4，z2, z5，z3, z6を作ると，それぞれz1+z4=0，z2+z5=0，z3+z6=0となるから
(z1+z2)+(z3+z4)+(z5+z6)=0
を満たす．このとき六角形は正六角形でも何でもない．

そもそも，複素数で書かれた１つの等式は，実数で書かれた２つの等式と同値になります．

○1　実部，虚部で書けば

○2　極形式で書けば
r1(cosα+isinα)=r2(cosβ+isinβ)
(r1, r2>0, 0≦α, β<2π)
↓↑
r1=r2
α=β

○そこで(2)の問題のようにz1, z2, z3で表される三角形の頂点を決めるには，
${\displaystyle z_1=r_1(\cos {\theta }_1+i\sin {\theta }_1)}$
${\displaystyle z_2=r_2(\cos {\theta }_2+i\sin {\theta }_2)}$
${\displaystyle z_3=r_3(\cos {\theta }_3+i\sin {\theta }_3)}$
の6つの自由度${\displaystyle r_1,r_2,r_3,{\theta }_1,{\theta }_2,{\theta }_3}$がある．
ここに大きさが１という条件を付ければ，${\displaystyle r_1=r_2=r_3=1}$となるから，残り３つの変数${\displaystyle {\theta }_1,{\theta }_2,{\theta }_3}$が自由になっている．
ここに１つの等式z1+z2+z3=0を指定すると，自由度が２つ減って，１つの変数だけが自由に決められることになる．自由に決められる１つの変数とは例えば${\displaystyle {\theta }_1}$（z1の偏角）である．
このようにして，z1+z2+z3=0を指定すると， z1の偏角だけは自由に決められるが，残りはすべて決まることになる．

○これに対して(3)の問題のようにz1, z2, z3, z4で表される四角形の頂点を決めるには，
${\displaystyle z_1=r_1(\cos {\theta }_1+i\sin {\theta }_1)}$
${\displaystyle z_2=r_2(\cos {\theta }_2+i\sin {\theta }_2)}$
${\displaystyle z_3=r_3(\cos {\theta }_3+i\sin {\theta }_3)}$
${\displaystyle z_4=r_4(\cos {\theta }_4+i\sin {\theta }_4)}$
の8つの自由度${\displaystyle r_1,r_2,r_3,r_4{\theta }_1,{\theta }_2,{\theta }_3,{\theta }_4}$がある．
ここに大きさが１という条件を付ければ，${\displaystyle r_1=r_2=r_3=r_4=1}$となるから，残り４つの変数${\displaystyle {\theta }_1,{\theta }_2,{\theta }_3,{\theta }_4}$が自由になっている．
ここに１つの等式z1+z2+z3+z4=0を指定すると，自由度が２つ減って，２つの変数が自由に決められることになる．自由に決められる２つの変数とは例えば${\displaystyle {\theta }_1,{\theta }_2}$（z1, z2の偏角）である．
右図においてz1, z2の偏角は自由に定めることができ，その分だけ形は定まらない．

○同様にして，５つの点から五角形を作る場合，自由度が10のところが，大きさがすべて１という条件が付いていると自由度が５だけ減少し，さらに１つの等式z1+z2+z3+z4+z5=0が指定されていると自由度が２だけ減少するから，結局自由度は３になる．したがって，例えば${\displaystyle {\theta }_1,{\theta }_2,{\theta }_3}$のように３つの偏角が自由に決められることになり，形は定まらない．（どの問題でも，１つの頂点z1の位置は自由に定められるが，五角形のこの問題では，さらに２つの角度が自由になり，形が定まらないということです．）