PC用は別頁
※高校数学Ⅲの「数列の極限」について,このサイトには次の教材があります.
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は,他の頁を見てください.  が現在地です.
数列の極限(∞/∞型)-現在地
無理式の極限
rnの極限
同(2)
漸化式と極限
無限級数
循環小数

== 数列の極限(∞/∞型) ==

【はじめに】
○高校の教科書では,「数列の極限」を先に学習し,その後しばらくしてから「関数の極限」を学習するように教材が並んでいます.
○関数の極限では

limx2x+1x1limx2x+1x1limx12x+1x1
のように
limxaf(x)において変数xが限りなく近づく値aは,
」も「」も「有限の値」もあります.

○これに対して,数列の極限では

limn2n+1n1
のようにlimnanにおいて第n項のnが近づく値としては「」だけを考えます.「」や「有限の値」ということはありません.

※高校の数列はa1,a2,a3,のように正の整数番目の項だけを考えるので,nは考えないのは当然でしょう.
また,nは整数しかないのでn1.5ということもないでしょう.nが有限の正の整数(例えば5)の場合は,「近づく」必要はなく単純にその項(例えばa5)を考えれば済むことなので,nが有限の値に「近づく」ということもありません.
数列の極限と言えば,nの場合,すなわちlimnanlimnbnなど無限数列で項の番号nが限りなく大きくなる場合のことです.

【収束するとは】
 nを限りなく大きくすると,anの値が限りなくある値αに近づいていくとき,数列 {an} はα収束するといい
limnan=α
で表す.このときαを数列 {an} の極限値という.
【例1】
limn1n=0(重要)
【例2】
limn(13n)=1
高校の数学では,「限りなく近づく」とはどういうことかということを厳密には証明せず,直感的に理解するものとします.

(1) nが10, 100, 1000, ...と限りなく大きくなるとき,
1n=110,1100,11000,...
=0.1,0.01,0.001,...

のように,1nは「限りなく0に近づきます」.
これが【例1】の意味です.この式は今後何度も登場しますので確実に答えられるようにしておきましょう.


(2) nが10, 100, 1000, ...と限りなく大きくなるとき,
3n=310,3100,31000,...
=0.3,0.03,0.003,...

のように,3nも「限りなく0に近づきます」.
だから,
limn(13n)=10=1
になります.【例2】
この極限は,上で示した(重要)を使えば
limn(13n)=limn(13×1n)
=13×0=1
とすることもできます.
【無限大とは】
 数列 {an} が「有限確定」の値に収束しないときは発散するといいます.

 正の無限大 は特定の数字ではありませんが,正の無限大に発散するときも極限があるといいます.
 負の無限大 に発散するときも同様に,極限があるといいます.
 有限の値でなく「無限大に発散する」場合
【例3】
limn(n+1)=
【例4】
limn(3n2)=
 高校の数学では,「無限大」とは何かということを厳密には定義せず,直感的に理解するものとします.
  というのは特定の値を表す(1つの)数字ではないので,普通の文字式のように扱うことはできません.
limnn=だからといって,limn(n+1)=+1とは書きません.
また,limn(n+1)は"無限よりも大きい"とは言いません.
さらに,+1=なら1=0かとも考えません.
 nが10, 100, 1000, ...と限りなく大きくなるとき,n+1も限りなく大きくなるということを,単に
limn(n+1)=
と書きます.【例3】
 高校の数学では,無限大の厳密な定義(εδ論法)を要求しませんので
limn(n+1)=
を証明せよとは言いません.
n<n+1であって,かつn
だから
n+1
とするまでです.
 同様にして,無限大になる式の定数倍も無限大と書きます.
limn2n=
 ただし,符号が逆の場合は負の無限大になります.
limn(2n)=
limn(3n2)=【例4】
 有限ではあっても「振動して値が確定しない」場合も,数列は発散するといいます.
【例5】
limn(1)n…(極限なし,発散)
 絶対値が無限に大きくなってかつ振動する場合も発散です.
【例6】
limn(2)n…(極限なし,発散)

 振動する場合でも振幅が0に近づく場合は収束します.
【例7】
limn(1)nn=0

【ここまでの要約】
【例1,2】 有限確定の極限値に収束するもの
limn1n=0 limn(13n)=1
【例3】 正の無限大に発散するもの
limn(n+1)=
【例4】 負の無限大に発散するもの
limn(3n2)=
【例5】 有限であるが振動するもの
limn(1)n…(極限なし)
【例6】 絶対値が無限に大きくなって振動するもの
limn(2)n…(極限なし)
【例7】 振動するが振幅が0に近づいて収束するもの
limn(1)nn=0

【問題1】
 下の選択肢のうちで正しいものをクリックしてください.
(1) 一般項が次の式で表される数列の極限を求めてください.
an=2n+3
2 3 5
(2) 一般項が次の式で表される数列の極限を求めてください.
2+3n
2 3 5 6
(3) 次の極限を求めてください.
limn(3n2)
9 6 9
(4) 次の極限を求めてください.
limn(1)n+1
1 0 1 なし
(5) 次の極限を求めてください.
limn(2n)
2 0 2 なし
(6) 次の極限を求めてください.
limn(12)n
12 0 12 なし

【ここから後の要約】
(1) 多項式形の数列の極限
【変形】 次数が最大の項でくくる(→解説1)
limn(3n24n)=limn3n2(14n3n2)
limn(2n2+3n)=limn(2n2)(13n2n2)
【結果】 次数が最大の項だけで決まり,次数の低い項は影響しない(→解説2)
limn3n2(143n)=
limn(2n2)(132n)=

(2) 分数式形の数列の極限
【変形】 分母と分子の各々を次数最大の項でくくる(→解説3)
limn2n1n+1=limn2n(112n)n(1+1n)
【結果】 次数が最大の項だけで決まり,次数の低い項は影響しない
(分母の次数)>(分子の次数)なら「0」になる(→解説4)
limn2n1n2+1=limn2n(112n)n2(1+1n2)
=limn2(112n)n(1+1n2)
=limn2n=0
(分母の次数)=(分子の次数)なら「次数最大の項の係数の比」になる(→解説5)
limn2n1n+1=limn2n(112n)n(1+1n)
=limn2(112n)(1+1n)
=limn21=2
(分母の次数)<(分子の次数)なら「∞または−∞」になる(→解説6)
limn2n21n+1=limn2n2(112n2)n(1+1n)
=limn2n(112n)(1+1n)
=limn2n1=
limn2n2+13n+1=limn2n2(112n2)3n(1+13n)
=limn2n(112n2)3(1+13n)
=limn2n3=
(解説1)
 多項式の形の数列の極限で
limn(n2+4n)limn(2n23n)のように見かけ上「∞+∞」や「−∞−∞」に見えるものの極限は,直ちに「∞」「−∞」と答えられます.
 これに対して,limn(3n24n)のように「大きくするものと小さくするものが対立」しているとき,どちらが強いか決着をつける必要があります.
limn(3n24n)=limn3n2(14n3n2)
=limn3n2(143n)
のように次数最大の項でくくると,
143n1
となるので,次数の低い項は結果に影響していないことが分かります.

(解説2)
 上の解説1のように変形すると,つねに
limn(an+b)=limnan
limn(an2+bn+c)=limnan2
limn(an3+bn2+cn+d)=limnan3
となって,次数が最大の項だけを見れば結果が得られますが,いろいろな応用問題にも対応できるように「最大項でくくる」という変形方法も覚えておく方がよいでしょう.

(解説3)
 limn(n+1)(2n1)のように見かけ上「∞×∞」に見えるものは直ちに「∞」と答えることができます.

 これに対して,limn2n1n+1のようにに見えるものは,分母(小さくするもの)が強いか分子(大きくするもの)が強いかの決着をつける必要があります.
 はじめに「分母と分子の各々を次数最大の項でくくり」,次に「最大項同士を約分すると」結果が見えます.
limn2n1n+1=limn2n(112n)n(1+1n)
=limn2nn×(112n)(1+1n)
=limn21×11=2
とできます.

(解説4,5,6)
 上記の解説3のように「最大項でくくる」をキーワードに変形していくと,分母,分子とも次数の低い項は結果に影響せず
limnan+bpn2+qn+r=limnanpn2=limnapn
limnan+bpn+q=limnanpn=limnap
limnan2+b+cpn+q=limnan2pn=limnanp
などと最大項と最大項の比になり,約分すれば結果が見えます.
【要点】
 多項式でも分数式でも,「次数最大の項でくくれば」なんとかなります.

【問題2】
 次の数列の極限を求めてください.(下の選択肢のうちで正しいものをクリック)
(1)
limn(2n3)
6 1 1 なし
(2)
limn(2n3n2)
9 1 9 なし
(3)
limn3n12n2+1
0 32 なし
(4)
limn3n+12n1
0 32 なし
(5)
limn3n2+12n1
32 0 なし

...(携帯版)メニューに戻る

...(PC版)メニューに戻る

髫ィ�ス�ソ�ス驍オ�コ髦ョ蜻サ�ソ�ス驛「�ァ�ス�オ驛「�ァ�ス�、驛「譏懶スコ�・�ス�ス驍オ�コ�ス�ョGoogle髫カツ€隲幢ソス�ス�エ�ス�「髫ィ�ス�ソ�ス

髫ィ�ス�ス�ウ驍オ�コ髦ョ蜻サ�ソ�ス驛「譎擾ス」�ケ�ス�ス驛「�ァ�ス�ク驍オ�コ�ス�ョ髯キ閧イ�」�ッ�ス�ス�ス�ュ驍オ�コ�ス�ォ髫ー魃会スス�サ驛「�ァ鬩ォツ€霎滂ス。
驍オ�イ�ス�ス 驛「�ァ�ス�「驛「譎「�ス�ウ驛「�ァ�ス�ア驛「譎「�ス�シ驛「譎会ス」�ッ�つ€遶擾スス�ス�ソ�ス�。 驍オ�イ�ス�ス
… 驍オ�コ髦ョ蜻サ�ソ�ス驛「�ァ�ス�「驛「譎「�ス�ウ驛「�ァ�ス�ア驛「譎「�ス�シ驛「譎冗樟�ス�ス髫ー�ィ陷サ蜿夜ァ�垈�セ�ス�ケ髯懈サゑスソ�ス�ス�ス髯キ�ソ郢ァ迺ーツ€�ス�ス遶企豪�ク�コ髴域喚髮キ驍オ�コ�ス�ヲ驍オ�コ�ス�ス隨ウ�ス�ク�コ�ス�ス驍オ�コ鬮ヲ�ェ遶擾スェ驍オ�コ�ス�ス

髫ィ�ス�ソ�ス驍オ�コ髦ョ蜻サ�ソ�ス鬯ッ�ス�ス遶企豪�ク�コ�ス�、驍オ�コ�ス�ス遯カ�サ�ス�ス霑ケ螢ス�ス驍オ�コ�ス�ス陜ィ謚オ�ソ�ス隴エ�ァ邵コ讙趣スク�コ�ス�ス陜ィ謚オ�ソ�ス驕停或�ソ�」鬯ゥ謌奇スシ雋サ�シ讓抵スク�コ�ス�ョ髫ー蜴�スソ�ス鬩包スュ�ス�ス陟募ィッ關ス驍オ�コ�ス�ョ髣皮判縺假ソス�ス髫イ�「雋企ウカ�ヲ驍オ�コ陟募ィッ譌コ驛「�ァ陟暮ッ会スソ�ス鬯ィ�セ遶擾スス�ス�ソ�ス�。驍オ�コ陷会スア遯カ�サ驍オ�コ闕ウ蟯ゥ蜻ウ驍オ�コ髴郁イサ�シ讖ク�ソ�ス�ス�ス
髫ィ�ウ陋ケ�コ隴ォ螟撰ソス�ス�ス驍オ�コ�ス�ョ髯溷私�ス�「驛「�ァ陋幢スオ�ス�ス驍オ�コ�ス�ヲ驍オ�コ�ス�ス�ス邇厄スォ�「雋企ウカ�ヲ驍オ�コ�ス�ッ髯キ闌ィ�ス�ィ鬯ゥ蟷「�ス�ィ鬮ォ�ア�ス�ュ驍オ�コ�ス�セ驍オ�コ陝カ蜷ョツ€�サ驛「�ァ郢ァ�ス�ス閾・�ク�コ�ス�」驍オ�コ�ス�ヲ驍オ�コ�ス�ス遶擾スェ驍オ�コ陷サ�サ�ス�シ�ス�ス
髫ィ�ウ陋ケ�コ隨渉€髫イ�ス�ス�ウ驍オ�コ�ス�ョ髯キツ€�ス�ス邵イ謚オ�ソ�ス陟募ィッ�ス驍オ�コ�ス�ョ髯懶ソス陜楢カ」�ス�。陟募ィッツ€�イ驍オ�コ�ス�ゥ驍オ�コ�ス�ス邵イ蝣、�ク�コ郢ァ�ス螟「驍オ�コ雋�シ会スー驛「�ァ陷サ闌ィ�ス�ュ�ス�」鬩墓慣�ス�コ驍オ�コ�ス�ェ髫エ�ス�ソ�ス�ス�ォ�ス�ス驍オ�コ�ス�ァ髣費スィ隴擾スエ遶擾スエ驍オ�コ�ス�ヲ驍オ�コ�ス�ス隨ウ�ス�ク�コ�ス�ス驍オ�コ�ス�ス隨ウ�ス�ャ�セ�ス�ケ髯懈サゑスソ�ス�ス�ヲ遶擾スオ隰泌調�ク�コ�ス�ォ髯晢ソス�ス�セ驍オ�コ陷会スア遯カ�サ驍オ�コ�ス�ッ�ス�ス隰疲コキ�コ�ス螯呻ソス�ス驍オ�コ�ス�ェ鬯ョ�ッ髣企ッ会スス鬘俶ア橸ソス�セ髯滂ス「隲帛イゥ�ス驛「�ァ闕オ譎「�ス閧イ�ク�コ�ス�ス遶企豪�ク�コ陷会スア遯カ�サ驍オ�コ�ス�ス遶擾スェ驍オ�コ陷サ�サ�ス�シ髮懶ス」�ス�シ鬩包スコ�つ€�ス�サ驍オ�コ�ス�ェ驍オ�コ陞ゑソス�ス�シ隴エ�ァ陋サ�、髫ー�ヲ�ス�ス陜趣スェ驍オ�コ�ス�ェ髫エ�ス�ソ�ス�ス�ォ�ス�ス驍オ�コ�ス�ォ驍オ�コ�ス�ェ驍オ�コ�ス�」驍オ�コ�ス�ヲ驍オ�コ�ス�ス�ス邇匁捗�ス�エ髯キ�キ陋ケ�サ�ス�ス�ス�ス陟募ィッ關ス驛「�ァ陟暮ッ会スス螳壽€ヲ�ス�ャ鬯ョ�「闕オ譏カ�ス驛「�ァ闕オ譏カ�ス鬩包スイ�ス�ス�つ€�ス�ス隨�ス。驍オ�コ闔会ス」邵イ蝣、�ク�コ�ス�ェ驍オ�コ陷托スー�ス�ェ�ス�ュ鬮「�ス�ス�ス�ス繧句擅�ス�ュ驛「�ァ�つ€驍オ�コ髦ョ蜷ョ�ス驍オ�コ�ス�ォ驍オ�コ�ス�ェ驛「�ァ驗呻スォ遶擾スェ驍オ�コ陷キ�カ�ス�ス驍オ�コ�ス�ァ�ス�ス隴エ�ァ雎撰スサ鬨セ蛹�スス�ィ驍オ�コ陷会スア遶擾スェ驍オ�コ陝カ蜻サ�ス髮」�ソ�ス髮懶ス」�ス�シ�ス�ス


鬮ョ莨夲スス�ェ髯懶ソス闕ウ蟯ゥ�ス髯晢ソス�ス�セ驍オ�コ陷キ�カ�ス邇匁綜隶捺慣�ス�ュ隴∵腸�ソ�ス髣包スウ�ス�ュ髯晢ソス�ス�ヲ髴大」シ迴セ�ス�ス驍オ�コ髦ョ蜻サ�ソ�ス鬯ッ�ス�ソ�ス�ス�ス驕抵ソス�ス�ォ闖ォ�カ�ス�ス�ス�。髴大」シ迴セ�ス�ス驍オ�コ髦ョ蜻サ�ソ�ス鬯ッ�ス�ソ�ス驍オ�コ�ス�ォ驍オ�コ郢ァ�ス�ス鬘費スク�コ�ス�セ驍オ�コ�ス�ス