無理式の極限

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== 無理式の極限 == 【例１】

lim_{n \to \infty} (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n})

のような数列の極限では

\sqrt{n + 1}

がどんどん大きくなろうとしているのに対して，

- \sqrt{n}

が足を引っ張って小さくしようとしているので，「見かけ上」は

\infty - \infty

の形になっています．大きくする方と小さくする方のどちらが強いのか，そのままの形では判断できません．
　このような形の無理式の極限を求めるには

まず，次の展開公式を思い出します

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

その応用として，次のように使えます

(\sqrt{a} - \sqrt{b}) (\sqrt{a} + \sqrt{b}) = a - b

初めの例では

(\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}) (\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}) = (n + 1) - (n)

だから

\sqrt{n + 1} - \sqrt{n} = \frac{(n + 1) - (n)}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}

　このように，根号を含んだ式の「分子を有理化」する

※印象に残りやすいように，あえて常識をひっくり返す言い方をすれば
「分母を無理化」する

と「根号を２乗してから引く式が出てくる」ので「根号の中身の引き算ができ」ます．

　この後，初めの式は

lim_{n \to \infty} \sqrt{n + 1} = \infty, lim_{n \to \infty} \sqrt{n} = \infty

により，分母が無限大になるので

lim_{n \to \infty} (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}) = lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = 0

となって，極限が求まります．

【例２】

lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{2 n} + 1}{\sqrt{n} + 1}

のような数列の極限では分子の

\sqrt{2 n} + 1

がどんどん大きくなろうとしているのに対して，分母の

\sqrt{n} + 1

が足を引っ張って小さくしようとしているので，「見かけ上」は

\frac{\infty}{\infty}

の形になっています．大きくする方と小さくする方のどちらが強いのか，そのままの形では判断できません．
　このような形の無理式の極限を求めるには
　分子の最大項

\sqrt{2 n}

と分母の最大項

\sqrt{n}

を直接比較できるように，分子，分子をそれぞれの最大項でくくります．

\frac{\sqrt{2 n} (1 + \frac{1}{\sqrt{2 n}})}{\sqrt{n} (1 + \frac{1}{\sqrt{n}})}

= \frac{\sqrt{2 n}}{\sqrt{n}} \cdot \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{2 n}}}{1 + \frac{1}{\sqrt{n}}}

ここで，根号の割り算についての次の公式を思い出します（ただし，

a > 0, b > 0

）

\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}

これにより，根号の中身同士が直接約分できるところがミソです

\frac{\sqrt{2 n}}{\sqrt{n}} = \sqrt{\frac{2 n}{n}} = \sqrt{2}

　この後，初めの式は

\frac{\sqrt{2 n}}{\sqrt{n}} = \sqrt{2}, 1 + \frac{1}{\sqrt{2 n}} \to 1, 1 + \frac{1}{\sqrt{n}} \to 1

により

\frac{\sqrt{2 n}}{\sqrt{n}} \cdot \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{2 n}}}{1 + \frac{1}{\sqrt{n}}} \to \sqrt{2}

になります．
　

lim_{n \to \infty}

のままで変形していくと，答案は次のようになります

lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{2 n} + 1}{\sqrt{n} + 1} = lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{2 n} (1 + \frac{1}{\sqrt{2 n}})}{\sqrt{n} (1 + \frac{1}{\sqrt{n}})}

= lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{2 n}}{\sqrt{n}} \cdot \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{2 n}}}{1 + \frac{1}{\sqrt{n}}}

= lim_{n \to \infty} \sqrt{2} \times \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{2 n}}}{1 + \frac{1}{\sqrt{n}}} = \sqrt{2}

【ここまでの要約】
(1)　

\sqrt{n + a} - \sqrt{n + b}

のような ∞−∞ の形の数列の極限を求めるには，分子の有理化を行って，根号の中身の引き算ができるようにする．
(2)　

\frac{\sqrt{n + . . .} + \sqrt{n + . . .}}{\sqrt{n + . . .} + \sqrt{n + . . .}}

のような

\frac{\infty}{\infty}

の形の数列の極限を求めるには，分子，分母をそれぞれの最大項でくくって最大項同士の約分に持ち込む．

元の式のままでは ∞−∞ となって，どちらの無限が強いか決められないので，根号が２乗になるように変形する

\sqrt{n + 2} - \sqrt{n}

の分母と分子に

\sqrt{n + 2} + \sqrt{n}

を掛ける

\sqrt{n + 2} - \sqrt{n} = \frac{(n + 2) - (n)}{\sqrt{n + 2} + \sqrt{n}}

= \frac{2}{\sqrt{n + 2} + \sqrt{n}}

このように変形すると，（分子）→有限の値２，（分母）→∞の形になるから，（分数）→０であると言える元の式のままでは括弧の中が ∞−∞ となって，どちらの無限が強いか決められないので，分母の無理化（分子の有理化）を行う

\sqrt{n} (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n})

の分母と分子に

\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}

を掛ける

\sqrt{n} \frac{(n + 1) - (n)}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = \sqrt{n} \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}

このように変形すると，分母→∞，分子→∞の形になるから，次に分母と分子の最大の項

\sqrt{n}

で割る

\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + \sqrt{1}} \to \frac{1}{2}

　分母が根号の付いていない引き算になるように分母と分子に

\sqrt{n + 2} + \sqrt{n + 1}

を掛ける
　同様にして分子を根号の付いていない引き算になるように分母と分子に

\sqrt{n + 4} + \sqrt{n + 3}

を掛ける

\frac{\sqrt{n + 4} - \sqrt{n + 3}}{\sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}} = \frac{(n + 4) - (n + 3)}{\sqrt{n + 4} + \sqrt{n + 3}} \cdot \frac{\sqrt{n + 2} + \sqrt{n + 1}}{(n + 2) - (n + 1)}

= \frac{\sqrt{n + 2} + \sqrt{n + 1}}{\sqrt{n + 4} + \sqrt{n + 3}}

このように変形すると，分母→∞，分子→∞の形になるから，次に分母と分子の次数最大の項

\sqrt{n}

で割る

\frac{\sqrt{1 + \frac{2}{n}} + \sqrt{1 + \frac{1}{n}}}{\sqrt{1 + \frac{4}{n}} + \sqrt{1 + \frac{3}{n}}} \to \frac{2}{2} = 1

分母と分子を各々の最大項でくくる

\frac{n}{\sqrt{n} \sqrt{1 - \frac{1}{n}}} = \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{1 - \frac{1}{n}}}

ここで（分子）→∞，（分母）→１だから（元の分数）→∞
分母が根号の付いていない引き算になるように分母と分子に

n + \sqrt{n^{2} + 2}

を掛ける

\frac{n + \sqrt{n^{2} + 2}}{n^{2} - (n^{2} + 2)} = \frac{n + \sqrt{n^{2} + 2}}{- 2}

ここで（分子）→∞，（分母）→−2だから（元の分数）→−∞
分母と分子を各々の最大項でくくる

\frac{\sqrt{2 n^{2} + 1}}{\sqrt{n^{2} + 1} + \sqrt{2 n}} = \frac{\sqrt{2 n^{2}} \sqrt{1 + \frac{1}{2 n^{2}}}}{\sqrt{n^{2}} (\sqrt{1 + \frac{1}{n^{2}}} + \sqrt{\frac{2}{n}})}

= \sqrt{2} \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{2 n^{2}}}}{\sqrt{1 + \frac{1}{n^{2}}} + \sqrt{\frac{2}{n}}} \to \sqrt{2} \times \frac{1}{1 + 0} = \sqrt{2}

分子を有理化します

\sqrt{n^{2} - 2 n} - n = \frac{(n^{2} - 2 n) - (n^{2})}{\sqrt{n^{2} - 2 n} + n} = \frac{- 2 n}{\sqrt{n^{2} - 2 n} + n}

分子と分子を各々の最大項でくくります

\frac{n (- 2)}{n (\sqrt{1 - \frac{2}{n}} + 1)} = \frac{(- 2)}{(\sqrt{1 - \frac{2}{n}} + 1)} \to \frac{- 2}{2} = - 1

分子と分子を各々の最大項でくくります

\frac{n (2)}{n (\sqrt{1 + \frac{3}{n}} + 2)} = \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{3}{n}} + 2} \to \frac{2}{1 + 2} = \frac{2}{3}

（　）内が根号の付いていない引き算になるように分母と分子に

\sqrt{n + 2} + \sqrt{n - 2}

を掛ける

\sqrt{n + 1} \times \frac{(n + 2) - (n - 2)}{\sqrt{n + 2} + \sqrt{n - 2}} = \frac{4 \sqrt{n + 1}}{\sqrt{n + 2} + \sqrt{n - 2}}

分子と分子を各々の最大項でくくります

\frac{4 \sqrt{n} \sqrt{1 + \frac{1}{n}}}{\sqrt{n} (\sqrt{1 + \frac{2}{n}} + \sqrt{1 - \frac{2}{n}})}

= \frac{4 \sqrt{1 + \frac{1}{n}}}{\sqrt{1 + \frac{2}{n}} + \sqrt{1 - \frac{2}{n}}}

\to \frac{4}{1 + 1} = 2

分子を有理化します

\sqrt{n^{2} + 3 n + 1} - \sqrt{n^{2} - 3 n + 1}

= \frac{(n^{2} + 3 n + 1) - (n^{2} - 3 n + 1)}{\sqrt{n^{2} + 3 n + 1} + \sqrt{n^{2} - 3 n + 1}}

= \frac{6 n}{\sqrt{n^{2} + 3 n + 1} + \sqrt{n^{2} - 3 n + 1}}

分子と分子を各々の最大項でくくります

= \frac{n (6)}{n (\sqrt{1 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^{2}}} + \sqrt{1 - \frac{3}{n} + \frac{1}{n^{2}}})}

= \frac{6}{\sqrt{1 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^{2}}} + \sqrt{1 - \frac{3}{n} + \frac{1}{n^{2}}}} \to \frac{6}{2} = 3

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