無理式の極限

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無理式の極限
【例１】
$\lim_{n\rightarrow \infty}(\sqrt{n + 1}-\sqrt{n})$
のような数列の極限では $\sqrt{n + 1}$ がどんどん大きくなろうとしているのに対して， $-\sqrt{n}$ が足を引っ張って小さくしようとしているので，「見かけ上」は
$\infty-\infty$
の形になっています．大きくする方と小さくする方のどちらが強いのか，そのままの形では判断できません．
　このような形の無理式の極限を求めるには

まず，次の展開公式を思い出します
$(a-b)(a+ b)=a^2-b^2$
その応用として，次のように使えます
$(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+ \sqrt{b})=a-b$
初めの例では
$(\sqrt{n + 1}-\sqrt{n})(\sqrt{n + 1}+\sqrt{n})=(n+ 1)-(n)$
だから
$\sqrt{n + 1}-\sqrt{n}=\frac{(n+ 1)-(n)}{\sqrt{n + 1}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n + 1}+\sqrt{n}}$
　このように，根号を含んだ式の「分子を有理化」すると「根号を２乗してから引く式が出てくる」ので「根号の中身の引き算ができ」ます．

　この後，初めの式は $\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt{n + 1}=\infty,\hspace{10}\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt{n}=\infty$
により，分母が無限大になるので
$\lim_{n\rightarrow \infty}(\sqrt{n + 1}-\sqrt{n})=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{\sqrt{n + 1}+\sqrt{n}}=0$
となって，極限が求まります．

【例２】
$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\sqrt{2n} + 1}{\sqrt{n}+ 1}$
のような数列の極限では分子の $\sqrt{2n} + 1$ がどんどん大きくなろうとしているのに対して，分母の $\sqrt{n} + 1$ が足を引っ張って小さくしようとしているので，「見かけ上」は
$\frac{\infty}{\infty}$
の形になっています．大きくする方と小さくする方のどちらが強いのか，そのままの形では判断できません．
　このような形の無理式の極限を求めるには
　分子の最大項 $\sqrt{2n}$ と分母の最大項 $\sqrt{n}$ を直接比較できるように，分子，分子をそれぞれの最大項でくくります． $\frac{\sqrt{2n}(1 + \frac{1}{\sqrt{2n}})}{\sqrt{n}(1+ \frac{1}{\sqrt{n}})}$ $=\frac{\sqrt{2n}}{\sqrt{n}}}\cdot \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{2n}}}{1+ \frac{1}{\sqrt{n}}}$

右上に続く↑

ここで，根号の割り算についての次の公式を思い出します（ただし， $a\gt 0,\hspace{5}b\gt 0$ ）
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$
これにより，根号の中身同士が直接約分できるところがミソです
$\frac{\sqrt{2n}}{\sqrt{n}}=\sqrt{\frac{2n}{n}}=\sqrt{2}$

　この後，初めの式は
$\frac{\sqrt{2n}}{\sqrt{n}}=\sqrt{2},\hspace{10}1 + \frac{1}{\sqrt{2n}}\rightarrow 1,\hspace{10}1+ \frac{1}{\sqrt{n}}\rightarrow 1$
により
$\frac{\sqrt{2n}}{\sqrt{n}}\cdot \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{2n}}}{1+ \frac{1}{\sqrt{n}}}\rightarrow \sqrt{2}$
になります．
　 $\lim_{n\rightarrow \infty}$ のままで変形していくと，答案は次のようになります
$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\sqrt{2n} + 1}{\sqrt{n}+ 1}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\sqrt{2n}(1 + \frac{1}{\sqrt{2n}})}{\sqrt{n}(1+ \frac{1}{\sqrt{n}})}$
$=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\sqrt{2n}}{\sqrt{n}}}\cdot \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{2n}}}{1+ \frac{1}{\sqrt{n}}}$ $=\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt{2} \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{2n}}}{1+ \frac{1}{\sqrt{n}}}=\sqrt{2}$

【ここまでの要約】
(1)　 $\sqrt{n+ a}-\sqrt{n + b}$
のような ∞−∞ の形の数列の極限を求めるには，分子の有理化を行って，根号の中身の引き算ができるようにする．
(2)　 $\frac{\sqrt{n+ ...}+ \sqrt{n+ ...}}{\sqrt{n+ ...}+ \sqrt{n+ ...}}$
のような $\frac{\infty}{\infty}$
の形の数列の極限を求めるには，分子，分母をそれぞれの最大項でくくって最大項同士の約分に持ち込む．

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