この頁では,漸化式で与えられた数列の極限について,次の3つの場合を学習します.
(I)一般項を求めることができ,求めた一般項から極限が求められる場合
(II)一般項を求めることはできないが,極限値の必要条件を絞り込むことができ,その極限値に収束することが証明できる場合
(III)別の数列の極限との関係から問題の数列の極限が求まる場合
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(I)の解説 *** 一般項を求めることができ,求めた一般項から極限が求められる場合
【例題 1.1】
次の条件によって定められる数列 {an} の極限を求めてください.
2項間漸化式
(解答)2項間の分数形の漸化式 3項間漸化式 については,一般項が求まる場合があります.このような場合には,一般項から極限を求めることができます. と変形すると,数列 ゆえに ※ 漸化式 に対して 特性方程式と言います.特性方程式の解(不動点) と変形できます.(特性方程式については,この頁の下端に解説があります.) なお,答案作成上は特性方程式にも不動点にも触れずに,上記の答案のように(なぜその変形を思いつくのかという理由を示さなくても,偶然思いついたかのようなふりをしながら)
「特性方程式」はうまく使えばきれいに決まりますが,教科書には登場しません.「使える場面と使えない場面の違い」「αの意味」など自信が持てないときは次のような答案も可能です.
(別解)
もしそのような定数αが存在したら,
(存在しなければ,別の方法を試みるという腹つもりで) となる定数 の係数を比較すると そこで, 数列 ゆえに |
■■問題 1.1■■ 次の漸化式で定まる数列の極限を求めてください. (暗算では無理です.各自で計算用紙で求めてから,下の選択肢のうちで正しいものをクリック)
(1)
と変形すると,数列 ゆえに
(2)
と変形すると,数列 ゆえに |
(I)の解説(続き)*** 一般項を求めることができ,求めた一般項から極限が求められる場合…3項間漸化式
【例題 1.2】
(解答)次の条件によって定められる数列 {an} の極限を求めてください. となる定数 だから, の解になる. ![]() β=1 または ![]() β=2 (A)より, 数列 (B)より, 数列 (D)−(C)より ゆえに |
■■問題 1.2■■ 次の漸化式で定まる数列の極限を求めてください. (暗算では無理です.各自で計算用紙で求めてから,下の選択肢のうちで正しいものをクリック)
(1)
となる定数 係数を比較すると の解になる. ![]() または ![]() (A)より, 数列 (B)より, 数列 (C)−(D)より ゆえに
(2)
となる定数 係数を比較すると の解になる. ![]() β=3 または ![]() β=2 (A)より, 数列 (B)より, 数列 (D)−(C)より ゆえに →(この頁の先頭へ戻る) |
■■問題 2■■ 次の漸化式で定まる数列の極限を求めてください. (暗算では無理です.各自で計算用紙で求めてから,下の選択肢のうちで正しいものをクリック)
(1)
極限値を
両辺を2乗すると (A)により 次に, 問題の式の両辺から3を引くと ここで だから したがって 以上により
(2)
極限値を
問題の式により したがって,
※ここで,詳しく述べる余裕はないが,次の例のように数列
[例] 次に, 問題の式の両辺から1を引くと ここで したがって 以上により ※この問題では数列の一般項を求めることもできるが,極限値だけが必要な場合は,上記のように一般項を求めずに極限値を求めることができる. →(この頁の先頭へ戻る) |
■■問題 3■■ 各々指定された極限を求めてください (暗算では無理です.各自で計算用紙で求めてから,下の選択肢のうちで正しいものをクリック)
(1)
とおくと, 仮定により だから
(2)
とおくと, 仮定により だから このとき
(3)
i)
i)
とおくと, だから
ii)
ii)
だから |
![]() ![]() |
■[個別の頁からの質問に対する回答][数列の漸化式と極限について/17.4.23]
問題1.2(1)解説下から5行目(D)-(C)は(C)-(D)と思われる
■[個別の頁からの質問に対する回答][数列の漸化式と極限について/16.11.27]
=>[作者]:連絡ありがとう.訂正しました. 問題1.1(2)解説の特性方程式で求めた値が違うと思われる
=>[作者]:連絡ありがとう.解説の途中経過で符号が逆になっていましたので訂正しました.結果は変更なしです. |
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