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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 単元 ***
複素数平面二次曲線媒介変数表示と極座標
数列の極限関数導関数不定積分定積分
行列1次変換

※高校数学Ⅲの「数列の極限」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．
↓数列の極限（∞/∞型）
↓無理式の極限
↓rⁿの極限
↓同(2)
↓漸化式と極限-現在地
↓無限級数
循環小数

(I)一般項を求めることができ，求めた一般項から極限が求められる場合

【例】
${\displaystyle a_1=1,a_{n+1}=\frac{1}{2}{a}_n+1}$
から
${\displaystyle a_n=2-(\frac{1}{2}{)}^{n-1}}$
が求まり，これにより
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=2}$
が示される 　→（ジャンプ）

(II)一般項を求めることはできないが，極限値の必要条件を絞り込むことができ，その極限値に収束することが証明できる場合

【例】
${\displaystyle a_1=1,a_{n+1}=\sqrt{a_n+2}}$
が極限値${\displaystyle \alpha }$を持つとすれば
${\displaystyle \alpha =2}$
が必要条件になる．次に十分条件を検討すると，
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|a_n-2|=0}$
が満たされていることから
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=2}$
が示される 　→（ジャンプ）

(III)別の数列の極限との関係から問題の数列の極限が求まる場合

【例】
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n+5}{2a_n+1}=3}$
のとき
${\displaystyle \frac{a_n+5}{2a_n+1}=b_n}$
とおけば
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=3}$
${\displaystyle a_n=\frac{-b_n+5}{2b_n-1}}$
から
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\frac{2}{5}}$
が示される 　→（ジャンプ）

【例題 1.1】
　次の条件によって定められる数列 {an} の極限を求めてください．
${\displaystyle a_1=1,a_{n+1}=\frac{1}{2}{a}_n+1}$

２項間漸化式
${\displaystyle a_{n+1}=p{a}_n+q}$
２項間の分数形の漸化式
${\displaystyle a_{n+1}=\frac{p{a}_n+q}{r{a}_n+s}}$
３項間漸化式
${\displaystyle a_{n+2}+p{a}_{n+1}+q{a}_n=0}$
については，一般項が求まる場合があります．このような場合には，一般項から極限を求めることができます．

　「特性方程式」はうまく使えばきれいに決まりますが，教科書には登場しません．「使える場面と使えない場面の違い」「αの意味」など自信が持てないときは次のような答案も可能です．

もしそのような定数αが存在したら，${\displaystyle \{a_n-\alpha \}}$が等比数列になってうれしいから，あれば求めるという立場に立つ
（存在しなければ，別の方法を試みるという腹つもりで）

(1)
${\displaystyle a_1=0,a_{n+1}=\frac{2a_n-1}{3}}$

−∞ −1 0 1
2 3 ∞ なし

解説やり直す

${\displaystyle a_{n+1}+1=\frac{2}{3}(a_n+1)}$
と変形すると，数列${\displaystyle \{a_n+1\}}$は初項 ${\displaystyle a_1+1=1}$，公比${\displaystyle \frac{2}{3}}$の等比数列をなすから
${\displaystyle a_n+1=(\frac{2}{3}{)}^{n-1}}$
${\displaystyle a_n=(\frac{2}{3}{)}^{n-1}-1}$
ゆえに
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=-1}$…（答）

(2)
${\displaystyle a_1=3,a_{n+1}=\frac{3a_n+1}{2}}$

−∞ −1 0 1
2 3 ∞ なし

解説やり直す

${\displaystyle a_{n+1}+1=\frac{3}{2}(a_n+1)}$
と変形すると，数列${\displaystyle \{a_n+1\}}$は初項 ${\displaystyle a_1+1=4}$，公比${\displaystyle \frac{3}{2}}$の等比数列をなすから
${\displaystyle a_n+1=4\times (\frac{3}{2}{)}^{n-1}}$
${\displaystyle a_n=4\times (\frac{3}{2}{)}^{n-1}-1}$
ゆえに
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\mathrm{\infty }}$…（答）

【例題 1.2】
　次の条件によって定められる数列 {an} の極限を求めてください．
${\displaystyle a_1=1,,a_2=2,a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n=0}$

(1)
${\displaystyle a_1=1,a_2=2,a_{n+2}=\frac{a_{n+1}+a_n}{2}}$

${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ ${\displaystyle \frac{3}{2}}$
${\displaystyle \frac{4}{3}}$ ${\displaystyle \frac{5}{3}}$ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ なし

解説やり直す

${\displaystyle a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta (a_{n+1}-\alpha a_n)}$
となる定数${\displaystyle \alpha ,\beta }$を求める．
${\displaystyle a_{n+2}-(\alpha +\beta )a_{n+1}+\alpha \beta a_n=0}$　と
${\displaystyle a_{n+2}-\frac{1}{2}{a}_{n+1}-\frac{1}{2}{a}_n=0}$　の
係数を比較すると
${\displaystyle \alpha ,\beta }$は和が${\displaystyle \frac{1}{2}}$，積が${\displaystyle -\frac{1}{2}}$となる２数で，２次方程式
${\displaystyle x^2-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}=0}$
の解になる．
${\displaystyle \alpha =1}$ …(A)
${\displaystyle \beta =-\frac{1}{2}}$
または
${\displaystyle \alpha =-\frac{1}{2}}$ …(B)
${\displaystyle \beta =1}$
(A)より，${\displaystyle a_{n+2}-a_{n+1}=-\frac{1}{2}(a_{n+1}-a_n)}$
数列${\displaystyle \{a_{n+1}-a_n\}}$は初項 ${\displaystyle a_2-a_1=1}$，公比${\displaystyle -\frac{1}{2}}$の等比数列をなすから
${\displaystyle a_{n+1}-a_n=1\times (-\frac{1}{2}{)}^{n-1}}$…(C)
(B)より，${\displaystyle a_{n+2}+\frac{1}{2}{a}_{n+1}=1\times (a_{n+1}+\frac{1}{2}{a}_n)}$
数列${\displaystyle \{a_{n+1}+\frac{1}{2}{a}_n\}}$は初項 ${\displaystyle a_2+\frac{1}{2}{a}_1=\frac{5}{2}}$，公比${\displaystyle 1}$の等比数列をなすから
${\displaystyle a_{n+1}+\frac{1}{2}{a}_n=\frac{5}{2}}$…(D)
(C)−(D)より
${\displaystyle -\frac{3}{2}{a}_n=(-\frac{1}{2}{)}^{n-1}-\frac{5}{2}}$
${\displaystyle a_n=\frac{2}{3}(\frac{5}{2}-(-\frac{1}{2}{)}^{n-1})}$
ゆえに
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\frac{5}{3}}$…（答）

(2)
${\displaystyle a_1=0,a_2=1,a_{n+2}=5a_{n+1}-6a_n}$

${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 3}$
${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ なし

解説やり直す

${\displaystyle a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta (a_{n+1}-\alpha a_n)}$
となる定数${\displaystyle \alpha ,\beta }$を求める．
${\displaystyle a_{n+2}-(\alpha +\beta )a_{n+1}+\alpha \beta a_n=0}$　と
${\displaystyle a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n=0}$　の
係数を比較すると
${\displaystyle \alpha ,\beta }$は和が${\displaystyle 5}$，積が${\displaystyle 6}$となる２数で，２次方程式
${\displaystyle x^2-5x+6=0}$
の解になる．
α=2 …(A)
β=3
または
α=3 …(B)
β=2
(A)より，${\displaystyle a_{n+2}-2a_{n+1}=3(a_{n+1}-2a_n)}$
数列${\displaystyle \{a_{n+1}-2a_n\}}$は初項 ${\displaystyle a_2-2a_1=1}$，公比${\displaystyle 3}$の等比数列をなすから
${\displaystyle a_{n+1}-2a_n=3^{n-1}}$…(C)
(B)より，${\displaystyle a_{n+2}-3a_{n+1}=2(a_{n+1}-3a_n)}$
数列${\displaystyle \{a_{n+1}-3a_n\}}$は初項 ${\displaystyle a_2-3a_1=1}$，公比${\displaystyle 2}$の等比数列をなすから
${\displaystyle a_{n+1}-3a_n=2^{2-1}}$…(D)
(D)−(C)より
${\displaystyle a_n=3^{n-1}-2^{n-1}}$
ゆえに
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(3^{n-1}-2^{n-1})}$
${\displaystyle =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{3}^{n-1}\{1-(\frac{2}{3}{)}^{n-1}\}=\mathrm{\infty }}$…（答）

【例題２】
　次の条件によって定められる数列 {an} の極限を求めてください．
${\displaystyle a_1=1,a_{n+1}=\sqrt{a_n+2}}$

この問題では一般項は求められませんが，極限値は求まります

${\displaystyle |a_n-\alpha |\to 0}$が示せれば極限値が${\displaystyle \alpha }$であるといえますが，そのためには前もって${\displaystyle \alpha }$の値の見当をつけておく必要があります

極限値があるとすれば，これを満たすはずである，他にはない，という絞り込みを行っている
すなわち，極限値の必要条件を求めている

(1)
${\displaystyle a_1=1,a_{n+1}=\sqrt{a_n+6}}$

${\displaystyle -\mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle -2}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ なし

解説やり直す

　極限値を${\displaystyle \alpha }$とすると
${\displaystyle \alpha =\sqrt{\alpha +6}}$…(A)
両辺を２乗すると
${\displaystyle {\alpha }^2-\alpha -6=0}$
${\displaystyle (\alpha +2)(\alpha -3)=0}$
${\displaystyle \alpha =-2,3}$
(A)により${\displaystyle \alpha >0}$だから
${\displaystyle \alpha =3}$（必要条件）

　次に，${\displaystyle \alpha =3}$が十分条件を満たすことを示す．
問題の式の両辺から３を引くと
${\displaystyle a_{n+1}-3=\sqrt{a_n+6}-3}$
${\displaystyle =\frac{(a_n+6)-9}{\sqrt{a_n+6}+3}=\frac{1}{\sqrt{a_n+6}+3}(a_n-3)}$
ここで
${\displaystyle \sqrt{a_n+6}+3>3}$
だから
${\displaystyle 0<\frac{1}{\sqrt{a_n+6}+3}<\frac{1}{3}}$
${\displaystyle |a_{n+1}-3|=\frac{1}{\sqrt{a_n+6}+3}|a_n-3|}$
${\displaystyle <\frac{1}{3}\times |a_n-3|}$
したがって
${\displaystyle |a_n-3|<|a_1-3|\times (\frac{1}{3}{)}^{n-1}\to 0}$
以上により
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=3}$…（答）

(2)
${\displaystyle a_1=2,a_{n+1}=\frac{3}{a_n+2}}$

${\displaystyle -\mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle -2}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ なし

解説やり直す

　極限値を${\displaystyle \alpha }$とすると
${\displaystyle \alpha =\frac{3}{\alpha +2}}$…(A)
${\displaystyle {\alpha }^2+2\alpha -3=0}$
${\displaystyle (\alpha +3)(\alpha -1)=0}$
${\displaystyle \alpha =-3,1}$
問題の式により${\displaystyle a_n>0}$ならば${\displaystyle a_{n+1}>0}$となり，
${\displaystyle a_1=2>0}$によりすべてのnについて${\displaystyle a_n>0}$が成り立つ
したがって，${\displaystyle \alpha \geqq 0}$
${\displaystyle \alpha =1}$（必要条件：極限値があれば，この値しかない）


　次に，${\displaystyle \alpha =1}$が十分条件（この値ならば，数列の極限値になる）を満たすことを示す．
問題の式の両辺から１を引くと
${\displaystyle a_{n+1}-1=\frac{3}{a_n+2}-1}$
${\displaystyle =\frac{3-a_n-2}{a_n+2}=\frac{-1}{a_n+2}(a_n-1)}$
ここで
${\displaystyle a_n>0}$だから${\displaystyle a_n+2>2}$
${\displaystyle 0<|\frac{-1}{a_n+2}|<\frac{1}{2}}$
${\displaystyle |a_{n+1}-1|<\frac{1}{2}|a_n-1|}$
したがって
${\displaystyle |a_n-1|<|a_1-1|\times (\frac{1}{2}{)}^{n-1}\to 0}$
以上により
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=1}$…（答）

※この問題では数列の一般項を求めることもできるが，極限値だけが必要な場合は，上記のように一般項を求めずに極限値を求めることができる．

【例題３】
　次の条件を満たす数列 {an} の極限を求めてください．
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n+5}{2a_n+1}=3}$

この問題では未知の数列 {an} で表される別の数列の極限が与えられていることになります．

このような場合，いきなり数列 {an} の極限を考えるのではなく，${\displaystyle \frac{a_n+5}{2a_n+1}=b_n}$とおいて，有限の値nの段階でanをbnで表すように「逆に解くと」見通しがよくなります

この答案は，{an} の極限値αがあると仮定して必要条件を求めていることになる

実際にその値に収束すること（十分条件）が示されていないことが問題

(1)
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2a_n+3}{4a_n+5}=1}$のとき${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n}$を求めてください．

${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ ${\displaystyle \frac{3}{5}}$
${\displaystyle \frac{5}{9}}$ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ なし

解説やり直す

${\displaystyle \frac{2a_n+3}{4a_n+5}=b_n}$
とおくと，
${\displaystyle 2a_n+3=4b_n{a}_n+5b_n}$
${\displaystyle (4b_n-2)a_n=(-5b_n+3)}$
${\displaystyle a_n=\frac{-5b_n+3}{4b_n-2}}$
仮定により
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=1}$
だから
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{-5b_n+3}{4b_n-2}=\frac{-5+3}{4-2}=-1}$…（答）

(2)
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3a_n+4}{a_n+2}=1}$のとき${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3a_n-4}{a_n-2}}$を求めてください．

${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ ${\displaystyle 2}$
${\displaystyle \frac{7}{3}}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ なし

解説やり直す

${\displaystyle \frac{3a_n+4}{a_n+2}=b_n}$
とおくと，
${\displaystyle 3a_n+4=b_n{a}_n+2b_n}$
${\displaystyle (b_n-3)a_n=(-2b_n+4)}$
${\displaystyle a_n=\frac{-2b_n+4}{b_n-3}}$
仮定により
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=1}$
だから
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{-2b_n+4}{b_n-3}=-1}$
このとき
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3a_n-4}{a_n-2}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{-7}{-3}=\frac{7}{3}}$…（答）

(3)
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(3n-5)a_n=1}$のとき

i)　${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n}$を求めてください．

${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}$
${\displaystyle \frac{3}{5}}$ ${\displaystyle \frac{5}{9}}$ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ なし

解説やり直す

i) ${\displaystyle (3n-5)a_n=b_n}$
とおくと，
${\displaystyle a_n=\frac{b_n}{3n-5}}$
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=1}$
だから
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}1\times 0=0}$…（答）

ii)　${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n{a}_n}$を求めてください．

${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}$
${\displaystyle \frac{3}{5}}$ ${\displaystyle \frac{5}{9}}$ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ なし

解説やり直す

ii)
${\displaystyle a_n=\frac{b_n}{3n-5}}$
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=1}$
だから
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n\times \frac{b_n}{3n-5}}$
${\displaystyle =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n}{3n-5}\times b_n=\frac{1}{3}\times 1=\frac{1}{3}}$…（答）

問題1.2(1)解説下から5行目(D)-(C)は(C)-(D)と思われる
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

問題1.1(2)解説の特性方程式で求めた値が違うと思われる
＝＞［作者］：連絡ありがとう．解説の途中経過で符号が逆になっていましたので訂正しました．結果は変更なしです．