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※高校数学Ⅲの「不定積分」について,このサイトには次の教材があります.
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多項式・有理関数・無理関数の不定積分-現在地
分数関数(有理関数)の不定積分
同(2)
同(3)
同(4)
同(まとめ)
不定積分の置換積分
同(2)
不定積分の部分積分
同(2)
指数関数・対数関数の不定積分
同(2)
三角関数の不定積分
同(2)
不定積分(まとめ1)
同(2)
不定積分の漸化式

== 多項式・有理関数・無理関数の不定積分 ==
■《基本公式》
(ア)α≠−1のとき
xαdx=1α+1xα+1+C
この頁の下の問題に多く登場するようにαが分数(有理数)のときは,無理関数(累乗根)の積分になります.
【例】
xdx=x12dx=132x32+C

(イ)α=−1のとき
x1dx=1xdx=log|x|+C
α=−1のときだけは例外です・・・これが重要
なお,(logx)=1x…(*1)ですが
(log(x))=1x…(*2)も成り立ちますので,2つまとめて
(log|x|)=1x
すなわち
x1dx=1xdx=log|x|+C
と書くことができます.
(解説)
(ア)←
αを微分すると次数が1次下がります.


(イ)←
1次(x1)の微分は0次(定数項)です.

 しかし,0次(定数項)の微分だけは0次なので,
微分して-1次となるものが多項式や有理関数の中にはありません.

 ここで,微分してx-1となる場所を埋めているのが,対数関数 log|x|です.

(*2)の詳細
y=log(x)を合成関数の微分法で微分すると
y=logu
u=x
dydx=dydu×dudx
=1u×(1)
=1x×(1)=1x

■《基本性質》


○この性質を用いると,積分計算を分けて行うことができ,それぞれの計算を上記の≪基本公式≫に帰着させることができます.

基本公式と基本性質を使って解ける問題
【例1】
x4dx
(解答)
基本公式においてα=4と考えるとよいから
x4dx=x55+C
【例2】
dxx2
(解答)
1x2=x2
だから,基本公式においてα=−2と考えるとよいから
dxx2=x2dx=12+1x2+1+C
=x1+C
高校の基本練習の段階では,形式的に答案だけは書けていても意味が分かっていないかもしれないと疑われないように,結果は分数関数に直しておく方が好まれるでしょう.
=1x+C
【例3】
xdx
(解答)
x=x12
だから,基本公式においてα=12と考えるとよいから
xdx=x12dx=132x32+C=23x32+C
高校の基本練習の段階では,形式的に答案だけは書けていても意味が分かっていないかもしれないと疑われないように,結果は累乗根に直しておく方が好まれるでしょう.
=23xx+C
【例4】
2x2+3x+4x2dx
(解答)
分母が1つの項であるときは,簡単に分数を分けることができます.
2x2+3x+4x2dx=(2+3x+4x2)dx
=(2+3x1+4x2)dx
=2x+3log|x|4x1+C
=2x+3log|x|4x+C
【例5】
(x+1x)3dx
(解答)
かっこを外して展開すると,分けて計算できます.
(x+1x)3dx=(x3+3x+3x+1x3)dx
=x44+3x22+3log|x|12x2+C

《問題》 次の不定積分に等しいものを下の選択肢から選びなさい.

[第1問 / 全10問]




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