積の微分

■ここで，f(x) , g(x)の導関数の定義
$f^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$
$g^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{g (x + h) - g (x)}{h}$
に当てはめて，この式をf’(x), g’(x)を用いて表したいとき，

f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x) の形では２つの関数が同時に変化しているので，f’(x), g’(x)に結びつけられません。
次のイメージ図のように，一度に１つの関数だけが変化するように，「つなぎ」の材料を引いて足す(引いて足せば元の式に等しい)という操作をします。

■図（緑）の経路を考えると， f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)
={ f(x+h)-f(x)} g(x+h)+f(x) { g(x+h)-g(x)} となり，h→0の極限移行により，
　y=f(x)g(x)について

y^{'} = lim_{h \to 0} {\frac{f (x + h) - f (x)}{h} g (x + h) + f (x) \frac{g (x + h) - g (x)}{h}}

= lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h} g (x + h)

+ f (x) lim_{h \to 0} \frac{g (x + h) - g (x)}{h}

ここで

lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h} = f^{'} (x)

lim_{h \to 0} g (x + h) = g (x)

lim_{h \to 0} \frac{g (x + h) - g (x)}{h} = g^{'} (x)

だから，次の公式が得られます．

y^{'} = f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x)

■青の経路から行けば，分子は

f(x+h)g(x+h)-f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)-f(x)g(x)
=f(x+h){ g(x+h)-g(x) } + { f(x+h)-f(x) } g(x) となり，ｈ→0の極限移行により，同様にして次の公式が得られます．

y^{'} = f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x)

■３つ以上の関数の積になっているときは，２つのときの公式を繰り返し適用すればできます。
y = f(x)g(x)h(x)のとき→見やすくするためにy=fghと書くと

y'=(fg)'h+(fg)h'
上の公式により(fg)'=f 'g+fg 'だから
y'=(f 'g+fg ')h+(fg)h'

したがって
y'=f 'gh+fg 'h+fgh'

「こぶ」を１つずつ付けたものになります
なお，このh(x)は $\lim_{h\rightarrow 0}$ のｈとは関係ありません

【積の導関数の公式】（まとめ）

(1)　y=fgのとき

y'=f 'g+fg'

(2)　y=fghのとき

y'=f 'gh+fg'h+fgh'

［問題］次の関数の微分を求めなさい。（暗算では無理でしょう．計算用紙が必要です．） ○初めに関数を選び，続いて導関数を選びなさい。正しく対応していれば消えます。 ○間違った場合，HELPが選べますが，HELPを使う場合でも使わない場合でも新たに問題を選べば再開できます．
［関数］	［導関数］
解説

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