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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 単元 ***
複素数平面二次曲線媒介変数表示と極座標
数列の極限関数導関数不定積分定積分
行列1次変換

※高校数学Ⅲの「微分・導関数」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．
↓微分係数,連続,微分可能
↓積の微分
↓商,分数関数の微分
↓合成関数の微分-現在地
↓無理関数の微分
↓媒介変数表示のときの微分法
↓同(2)
↓陰関数の微分法
↓重要な極限値(1)_三角関数
↓三角関数の微分
↓三角関数の微分(2)
↓指数関数,対数関数の微分
↓対数微分法
↓微分（総合演習）
↓漸近線の方程式
↓同(2)
↓凹凸と変曲点
↓総合--増減.極値.凹凸.変曲点.漸近線(1)
↓分数関数の増減.極値.漸近線
グラフの概形と漸近線（一覧）

*** 数学Ⅱ（多項式まで） ***
不定形の極限 微分係数 導関数の定義

接線の方程式 増減表 導関数の符号の求め方

*** 高卒から大学初年度程度 ***
逆三角関数の微分法 マクローリン展開 偏微分

【公式】
(1)　合成関数y=f(g(x))の微分（導関数）${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$は
y=f(u)
u=g(x)
とおくと
${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}}$
で求められる．

(2)　合成関数y=f(g(x))の微分（導関数）${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$は
${\displaystyle y^{\prime }=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)}$
で求められる．

※(1)(2)のどちらでもよい．各自の覚えやすい方，考えやすい方でやればよい．

＜まとめ1＞
合成関数は，「階段を作る」
・・・安全確実　Step by Step

例
y=(x2−3x+4)4の導関数を求めなさい。

＜まとめ２＞

○初めに関数を選び，続いて下の選択肢から導関数を選びなさい。正しく対応していれば消えます。
○間違った場合に選択肢を連打することはできません。
○間違った場合は，解説を読むことができますが，解説を読む場合でも読まない場合でも，新たに問題を選べば解答を再開できます。

${\displaystyle u=2x+3}$
${\displaystyle y=u^4}$
とおくと
${\displaystyle \frac{du}{dx}=2}$
${\displaystyle \frac{dy}{du}=4u^3}$
だから
${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}=4u^3\times 2}$
uを使わずにxだけで表すと
${\displaystyle \frac{dy}{dx}=4(2x+3{)}^3\times 2=8(2x+3{)}^3}$…（答） ${\displaystyle u=2x+3}$
${\displaystyle y=\frac{1}{u^4}=u^{-4}}$
とおくと
${\displaystyle \frac{du}{dx}=2}$
${\displaystyle \frac{dy}{du}=-4u^{-5}=-\frac{4}{u^5}}$
だから
${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}=-\frac{4}{u^5}\times 2}$
uを使わずにxだけで表すと
${\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{4}{u^5}\times 2=-\frac{8}{(2x+3{)}^5}}$…（答） ${\displaystyle u=\frac{x}{x-1}}$
${\displaystyle y=u^3}$
とおくと
${\displaystyle \frac{du}{dx}=\frac{1(x-1)-x\cdot 1}{(x-1{)}^2}=\frac{-1}{(x-1{)}^2}}$
${\displaystyle \frac{dy}{du}=3u^2}$
だから
${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}=3u^2\times \frac{-1}{(x-1{)}^2}}$
uを使わずにxだけで表すと
${\displaystyle \frac{dy}{dx}=3(\frac{x}{x-1}{)}^2\times \frac{-1}{(x-1{)}^2}=-3\frac{x^2}{(x-1{)}^4}}$…（答） ${\displaystyle u=x-\frac{1}{x}}$
${\displaystyle y=u^4}$
とおくと
${\displaystyle \frac{du}{dx}=1+\frac{1}{x^2}=\frac{x^2+1}{x^2}}$
${\displaystyle \frac{dy}{du}=4u^3}$
だから
${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}=4u^3\times \frac{x^2+1}{x^2}}$
uを使わずにxだけで表すと
${\displaystyle \frac{dy}{dx}=4(x-\frac{1}{x}{)}^3\times \frac{x^2+1}{x^2}=4(\frac{x^2-1}{x}{)}^3\times \frac{x^2+1}{x^2}}$
${\displaystyle =4\frac{(x^2-1{)}^3}{x^3}\times \frac{x^2+1}{x^2}=4\frac{(x^2-1{)}^3(x^2+1)}{x^5}}$
${\displaystyle u=x^2-2x+3}$
${\displaystyle y=u^4}$
とおくと
${\displaystyle \frac{du}{dx}=2x-2}$
${\displaystyle \frac{dy}{du}=4u^3}$
だから
${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}=4u^3\times (2x-2)}$
uを使わずにxだけで表すと
${\displaystyle \frac{dy}{dx}=4(x^2-2x+3{)}^3(2x-2)}$
${\displaystyle =8(x^2-2x+3{)}^3(x-1)}$…（答） ${\displaystyle u=x^2-2x+3}$
${\displaystyle y=\frac{1}{u^4}=u^{-4}}$
とおくと
${\displaystyle \frac{du}{dx}=2x-2}$
${\displaystyle \frac{dy}{du}=-4u^{-5}=\frac{-4}{u^5}}$
だから
${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}=\frac{-4}{u^5}\times (2x-2)}$
uを使わずにxだけで表すと
${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{-4}{(x^2-2x+3{)}^5}(2x-2)}$
${\displaystyle =\frac{-8(x-1)}{(x^2-2x+3{)}^5}}$…（答）

(3)無理関数，(4)三角関数，(5)指数関数，(6)対数関数を含む場合の合成関数微分法

　教科書などの教材の並びとしては，(1)多項式，(2)分数関数の微分→合成関数，陰関数の微分→(3)無理関数，(4)三角関数，(5)指数関数，(6)対数関数の微分の順に並ぶことが多い．
　この教材も，ほぼこの順序を前提としたので，ここまでの演習では，合成関数の微分法として多項式と分数関数が合成されている場合だけを取り上げた．
　しかし，何らかの都合で合成関数の微分法を調べている場合や，復習している場合には，その前提はないから，無理関数，三角関数，指数関数，対数関数を含む場合の合成関数微分法が必要になることが多い．以下においては，この場合を取り上げる．したがって，以下においては，無理関数，三角関数，指数関数，対数関数の微分法を既知として扱う．（各々の途中経過を示すが，まだ習っていない場合…教科書順に学んでいる場合…は読みとばしてもよい）

(3)無理関数と(1)多項式が合成されているもの

【例題3.1】
　xの関数${\displaystyle y=\sqrt[3]{x^2+x+1}}$を微分してください．

${\displaystyle y=\sqrt[3]{t}=t^{\frac{1}{3}}}$
${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}}$
${\displaystyle =\frac{1}{3}{t}^{-\frac{2}{3}}\cdot (2x+1)}$
${\displaystyle =\frac{2x+1}{3\sqrt[3]{(x^2+x+1{)}^2}}}$ …（答）

(3)無理関数と(2)分数関数が合成されているもの

【例題3.2】
　xの関数${\displaystyle y=\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}$を微分してください．

${\displaystyle y=\sqrt{t}=t^{\frac{1}{2}}}$
${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}}$
${\displaystyle =\frac{1}{2}{t}^{-\frac{1}{2}}\cdot \frac{(x+1)-(x-1)}{(x+1{)}^2}}$
${\displaystyle =\frac{1}{2}{t}^{-\frac{1}{2}}\cdot \frac{2}{(x+1{)}^2}}$
${\displaystyle =\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}\cdot \frac{1}{(x+1{)}^2}}$
${\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{(x+1{)}^3(x-1)}}}$ …（答）

(3)無理関数と(4)三角関数が合成されているもの

【例題3.4】
　xの関数${\displaystyle y=\sqrt{1-\sin 2x}}$を微分してください．

${\displaystyle y=\sqrt{t}=t^{\frac{1}{2}}}$
${\displaystyle t=1-\sin u}$
${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot \frac{dt}{du}\cdot \frac{du}{dx}}$
${\displaystyle =\frac{1}{2}{t}^{-\frac{1}{2}}\cdot (-\cos u)\cdot 2}$
${\displaystyle =-\frac{\cos 2x}{\sqrt{1-\sin 2x}}}$ …（答）

(3)無理関数と(5)指数関数が合成されているもの

【例題3.5】
　xの関数${\displaystyle y=\sqrt{e^{2x}+1}}$を微分してください．

${\displaystyle y=\sqrt{t}=t^{\frac{1}{2}}}$
${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}}$
${\displaystyle =\frac{1}{2}{t}^{-\frac{1}{2}}\cdot 2e^{2x}}$
${\displaystyle =\frac{e^{2x}}{\sqrt{e^{2x}+1}}}$ …（答）

(3)無理関数と(6)対数関数が合成されているもの

【例題3.6】
　xの関数${\displaystyle y=\log (x+\sqrt{x^2+1})}$を微分してください．

${\displaystyle y=\log t}$
${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}}$
${\displaystyle =\frac{1}{t}\cdot \{1+\frac{1}{2}(x^2+1{)}^{-\frac{1}{2}}\times 2x\}}$
${\displaystyle =\frac{1}{t}\cdot (1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}})}$
${\displaystyle =\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\cdot \frac{x+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}}$
${\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}}$ …（答）

(4)三角関数と(1)多項式が合成されているもの

【例題4.1】
　xの関数${\displaystyle y=\cos (x^2+1)}$を微分してください．

${\displaystyle y=\cos t}$
${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}}$
${\displaystyle =-\sin t\times 2x}$
${\displaystyle =-2x\sin (x^2+1)}$ …（答）

(4)三角関数と(2)分数関数が合成されているもの

【例題4.2】
　xの関数${\displaystyle y=\sin (x-\frac{1}{x})}$を微分してください．

${\displaystyle y=\sin t}$
${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}}$
${\displaystyle =\cos t\times (1+\frac{1}{x^2})}$
${\displaystyle =\frac{x^2+1}{x^2}\cos (x-\frac{1}{x})}$ …（答）

(4)三角関数と(5)指数関数が合成されているもの

【例題4.5】
　xの関数${\displaystyle y=e^{\sin x}}$を微分してください．

${\displaystyle y=e^t}$
${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}}$
${\displaystyle =e^t\cos x}$
${\displaystyle =e^{\sin x}\cos x}$ …（答）

(4)三角関数と(6)対数関数が合成されているもの

【例題4.6】
　xの関数${\displaystyle y=\log (\sin x)}$を微分してください．
（ただし，$\sin x>0$となる範囲で考えるものとする）

${\displaystyle y=\log t}$
${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}}$
${\displaystyle =\frac{1}{t}\cos x}$
${\displaystyle =\frac{\cos x}{\sin x}}$ …（答）
この関数は${\displaystyle \cot x}$と書かれることが多い

(5)指数関数と(1)多項式が合成されているもの

【例題5.1】
　xの関数${\displaystyle y=e^{x^2+1}}$を微分してください．

${\displaystyle y=e^t}$
${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}}$
${\displaystyle =e^t(2x)=2x{e}^{x^2+1}}$ …（答）

(5)指数関数と(2)分数関数が合成されているもの

【例題5.2】
　xの関数${\displaystyle y=\frac{e^x-1}{e^x+1}}$を微分してください．

${\displaystyle y=\frac{t-1}{t+1}}$
${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}}$
${\displaystyle =\frac{(t+1)-(t-1)}{(t+1{)}^2}\cdot e^x}$
${\displaystyle =\frac{2}{(t+1{)}^2}\cdot e^x=\frac{2e^x}{(e^x+1{)}^2}}$…（答）

(5)指数関数と(6)対数関数が合成されているもの

【例題5.6】
　xの関数${\displaystyle y=\log (e^{2x}+1)}$を微分してください．

${\displaystyle y=\log t}$
${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}}$
${\displaystyle =\frac{1}{t}\cdot 2e^{2x}}$
${\displaystyle =\frac{2e^{2x}}{e^{2x}+1}}$…（答）

(6)対数関数と(1)多項式が合成されているもの

【例題6.1】
　xの関数${\displaystyle y=\log (x^2-x+1)}$を微分してください．

${\displaystyle y=\log t}$
${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}}$
${\displaystyle =\frac{1}{t}\cdot (2x-1)}$
${\displaystyle =\frac{2x-1}{x^2-x+1}}$…（答）

(6)対数関数と(2)分数関数が合成されているもの

【例題6.2】
　xの関数${\displaystyle y=\frac{\log x-1}{\log x+1}}$を微分してください．

${\displaystyle y=\frac{t-1}{t+1}}$
${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}}$
${\displaystyle =\frac{(t+1)-(t-1)}{(t+1{)}^2}\cdot \frac{1}{x}}$
${\displaystyle =\frac{2}{(t+1{)}^2}\cdot \frac{1}{x}}$
${\displaystyle =\frac{2}{x(\log x+1{)}^2}}$…（答）