微分係数の定義

【平均変化率とは】
　中学校の数学で，「変化の割合」と呼ばれるものを高校では「平均変化率」といいます。
　関数 y = f(x) において， x の値が a から b まで変化するとき，
　　　　x の増分 Δx = b−a
と
　　　　y の増分 Δy = f(b)−f(a)
の比　

を，x が a から b まで変化するときの平均変化率といいます。

（平均変化率は次図で直線 AB の傾きに対応しています。）

【例】
(1)　関数 y = x2 において， x の値が 1 から 2 まで変化するときの平均変化率は
　　 = 3

(2)　関数 f(x) = x2 において， x の値が 1.0 から 1.1 まで変化するときの平均変化率は

　　 = = 2.1

(3)　関数 y = 2x2 において， x の値が 1 から a まで変化するときの平均変化率は
　　 = = 2(a+1)

(4)　関数 f(x) = 2x2 において， x の値が 1 から 1+h まで変化するときの平均変化率は
　　 = = 4+2h

◇微分係数◇
　平均変化率の計算において， x の増分Δx を限りなく 0 に近づけるとき，Δx も Δy も 0 に近づきますが，その比はなくなりません。
　右の図において，は分母も分子も 0 に近づき，

いわゆる不定形の極限になりますが，極限値はあります。
　この極限値が，微分係数です。（右の図で点Aにおける接線の傾きに対応しています。）

◇微分係数の定義◇

　関数 y = f(x) の x = a における微分係数を f’(a) で表わし，次の式で定義します。

◎　f’(a) = 　···　これが使いやすい。

○　f’(a) = 　···　この書き方もある。

○　f’(a) = 　···　この書き方もある。

微分係数の定義には，上の３つの式が使われますが，数IIでは◎が使いやすいでしょう。２つ目の式は，Δx2 などの記号を間違って使うおそれがあります。３つ目の式は，計算が複雑になります。　

(例1)　f(x) = x2 のとき，f’(3) を求めなさい。

(答案A)
f’(3) = =

= = (6+h) = 6

(答案B)
f’(3) = =

= = (6+Δx) = 6

注　上の(Δx)2 の代わりに Δx2 と書くとダメです。数学では，Δx2 は別の意味になります。

(答案C)
f’(3) = =

= = (x+3) = 6

(例2)　f(x) = x2−x のとき，f’(a) を求めなさい。

(答案A)
f’(a) =

=

=

=

= (2a−1+h) = 2a−1

(答案B) (答案C)　···　略

(話題)
１　数学の教材では，「それ以前に習った内容」は全部前提になります。(例１)の(答案A)の説明で　··· 　f(x) の　f はどこへ行った？　··· という質問が意外に多い。（昔習ったことなので覚えていないらしい。）
次の式を見て，思い出してください。

f(x) = x2 のとき，
　　f(3) = 32
　　f(3+h) = (3+h)2

２　数IIで登場する微分係数は，導関数の導入的な働きをしていて，後で習う導関数(微分)に x の値を代入すれば簡単に得られます。

◇解説◇（発展問題）

(例１)
次の式を f’(a) で表わしなさい。

(考え方)
微分係数の定義　f’(a) = 　が利用できるように変形します。特に，

= f’(a)　が成り立つことに注意して，

= f’(a)　を作ります。

−−−−−−−−−

= ·

= ×2 = 2f’(a)

(例２)
次の式を f(a),f’(a),g(a),g’(a) を用いて表わしなさい。

=

=

= { ( )g(a)−f(a) ( ) }

= f’(a)g(a)−f(a)g’(a)

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[微分係数について／17.6.2］

問題2　(4)式の最後の方で、2bh+h^2+h　/　h　となりますがその次で、分子全体をhで括ったらだめなんでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．それでよいです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[微分係数について／17.1.24］

わかりやすいです！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[微分係数について／16.12.4］

例２　答案A f&rsquoになっています
＝＞［作者］：連絡ありがとう．セミコロンが１つ抜けていましたので追加しました．