微分係数の定義

...(�ｰ�｣迚�)繝｡繝九Η繝ｼ縺ｫ謌ｻ繧�
*** 遘醍岼 ***
謨ｰ竇�繝ｻ�｡謨ｰ竇｡繝ｻ�｢謨ｰ竇｢鬮伜穀繝ｻ螟ｧ蟄ｦ蛻晏ｹｴ蠎ｦ
*** 蜊伜� ***
蠑上→險ｼ譏�轤ｹ縺ｨ逶ｴ邱�蜀�霆瑚ｷ｡縺ｨ鬆伜沺荳芽ｧ帝未謨ｰ
謖�焚髢｢謨ｰ蟇ｾ謨ｰ髢｢謨ｰ蠕ｮ蛻�荳榊ｮ夂ｩ榊�螳夂ｩ榊�
鬮俶ｬ｡譁ｹ遞句ｼ�謨ｰ蛻�貍ｸ蛹門ｼ上→謨ｰ蟄ｦ逧�ｸｰ邏肴ｳ�
蟷ｳ髱｢繝吶け繝医Ν 遨ｺ髢薙�繧ｯ繝医Ν 遒ｺ邇��蟶�

窶ｻ鬮俶�｡謨ｰ蟄ｦ竇｡縺ｮ縲悟ｾｮ蛻��蟆朱未謨ｰ縲阪↓縺､縺�※�後％縺ｮ繧ｵ繧､繝医↓縺ｯ谺｡縺ｮ謨呎攝縺後≠繧翫∪縺呻ｼ�
縺薙�鬆√∈Google繧ШAHOO ! 縺ｪ縺ｩ縺ｮ讀懃ｴ｢縺九ｉ逶ｴ謗･譚･縺ｦ縺励∪縺｣縺溘�縺ｧ縲悟燕謠舌→縺ｪ縺｣縺ｦ縺�ｋ蜀�ｮｹ縺悟�縺九ｉ縺ｪ縺�阪→縺�≧蝣ｴ蜷医ｄ縲後％縺ｮ鬆√�蛻�°縺｣縺溘′繧ゅ▲縺ｨ蠢懃畑蝠城｡後ｒ隕九◆縺�阪→縺�≧蝣ｴ蜷医��御ｻ悶�鬆√ｒ隕九※縺上□縺輔＞��縲縺檎樟蝨ｨ蝨ｰ縺ｧ縺呻ｼ�

竊�蟷ｳ蝮�､牙喧邇�,讌ｵ髯仙､
竊�荳榊ｮ壼ｽ｢縺ｮ讌ｵ髯�
竊�蠕ｮ蛻�ｿよ焚

竊�蟆朱未謨ｰ縺ｮ螳夂ｾｩ
竊�蠕ｮ蛻�ｿよ焚,蟆朱未謨ｰ縺ｮ螳夂ｾｩ(蝠城｡�)

竊�蟆朱未謨ｰ縺ｮ蜈ｬ蠑�(蝠城｡�)
竊�蟆朱未謨ｰ縺ｮ隨ｦ蜿ｷ,豎ゅａ譁ｹ
竊�蠅玲ｸ幄｡ｨ
竊�蠅玲ｸ�,讌ｵ蛟､,繧ｰ繝ｩ繝�
竊�邨ｶ蟇ｾ蛟､莉倥″髢｢謨ｰ縺ｮ蠅玲ｸ�(蝠城｡�)
竊�譛螟ｧ蛟､,譛蟆丞､
竊�譛螟ｧ譛蟆�,譁�ｭ嶺ｿよ焚縺ｨ繧ｰ繝ｩ繝�(蝠城｡�)

竊�謗･邱壹�譁ｹ遞句ｼ�

繧ｻ繝ｳ繧ｿ繝ｼ隧ｦ鬨薙�謨ｰ竇｡蠕ｮ遨�

*** 数学Ⅲ（三角,指数,対数,無理関数を含む） ***

積の微分

同(2)

陰関数の微分法

三角関数の微分

同(2)

関数のグラフ総合･･･増減.極値.凹凸.変曲点.漸近線

*** 高卒から大学初年度程度 ***

逆三角関数の微分法

マクローリン展開

偏微分

== 微分係数 == ◇解説◇

【平均変化率とは】
　中学校の数学で，「変化の割合」と呼ばれるものを高校では「平均変化率」といいます。
　関数 y = f(x) において， x の値が a から b まで変化するとき，
　　　　x の増分 Δx = b−a
と
　　　　y の増分 Δy = f(b)−f(a)
の比　 .

ΔyΔxnn

を，x が a から b まで変化するときの平均変化率といいます。

（平均変化率は次図で直線 AB の傾きに対応しています。）

【例】
(1)　関数 y = x2 において， x の値が 1 から 2 まで変化するときの平均変化率は
　　.

22−122−1nnnnn = 3

(2)　関数 f(x) = x2 において， x の値が 1.0 から 1.1 まで変化するときの平均変化率は

　　.

1.12−1.021.1−1.0nnnnnnnnn = .

0.210.1nnnn = 2.1

(3)　関数 y = 2x2 において， x の値が 1 から a まで変化するときの平均変化率は
　　.

2a2−2a−1nnnnn = .

2(a−1)(a+1)a−1nnnnnnnnnnn = 2(a+1)

(4)　関数 f(x) = 2x2 において， x の値が 1 から 1+h まで変化するときの平均変化率は
　　.

2(1+h)2−2hnnnnnnnnn = .

4h+2h2hnnnnnn = 4+2h

◇問題1◇　次の平均変化率を求めなさい。
○採点は，後でまとめて行います．
○分からないときは

を押すと途中計算が出ます．

(1)　関数 y = 3x2 において， x の値が 1 から 3 まで変化するときの平均変化率

3·32−3·123−1nnnnnnnnn = .

27−32nnnn = .

242nn =

(2)　関数 f(x) = x2 において， x の値が 1.00 から 1.01 まで変化するときの平均変化率

1.012−1.0021.01−1.00nnnnnnnnnn = .

0.02010.01nnnnnn =

(3)　関数 y = 3x2 において， x の値が 1 から b まで変化するときの平均変化率

3·b2−3·12b−1nnnnnnnnn = .

3(b2−1)b−1nnnnnnn = .

3(b−1)(b+1)b−1nnnnnnnnnnn

= (b+1)

(4)　関数 f(x) =−2x2 において， x の値が 2 から 2+h まで変化するときの平均変化率

−2(2+h)2+2·22hnnnnnnnnnnnnn = .

−8−8h−2h2+8hnnnnnnnnnnnn = .

−8h−2h2hnnnnnnn

=−−2h

◇微分係数◇
　平均変化率の計算において， x の増分Δx を限りなく 0 に近づけるとき，Δx も Δy も 0 に近づきますが，その比はなくなりません。
　右の図において， .

ΔyΔxnn は分母も分子も 0 に近づき，

いわゆる不定形の極限になりますが，極限値はあります。
　この極限値が，微分係数です。（右の図で点Aにおける接線の傾きに対応しています。）

◇微分係数の定義◇

　関数 y = f(x) の x = a における微分係数を f’(a) で表わし，次の式で定義します。

◎　f’(a) = limh→0limii.

f(a+h)−f(a)hnnnnnnnnnn　···　これが使いやすい。

○　f’(a) = limΔx→0limii.

f(a+Δx)−f(a)Δxnnnnnnnnnnn　···　この書き方もある。

○　f’(a) = limx→alimii.

f(x)−f(a)x−annnnnnnn　···　この書き方もある。

微分係数の定義には，上の３つの式が使われますが，数IIでは◎が使いやすいでしょう。２つ目の式は，Δx2 などの記号を間違って使うおそれがあります。３つ目の式は，計算が複雑になります。　

(例1)　f(x) = x2 のとき，f’(3) を求めなさい。

(答案A)
f’(3) = limh→0limii.

f(3+h)−f(3)hnnnnnnnnnn = limh→0limii.

(3+h)2−32hnnnnnnnn

= limh→0limii.

6h+h2hnnnnn = limh→0limii(6+h) = 6

(答案B)
f’(3) = limΔx→0limii.

f(3+Δx)−f(3)Δxnnnnnnnnnnn = limΔx→0limii.

(3+Δx)2−32Δxnnnnnnnnn

= limΔx→0limii.

6Δx+(Δx)2Δxnnnnnnnnn = limΔx→0limii(6+Δx) = 6

注　上の(Δx)2 の代わりに Δx2 と書くとダメです。数学では，Δx2 は別の意味になります。

(答案C)
f’(3) = limx→3limii.

f(x)−f(3)x−3nnnnnnn = limx→3limii.

x2−32x−3nnnn

= limx→3limii.

(x−3)(x+3)x−3nnnnnnnnnn = limx→3limii(x+3) = 6

(例2)　f(x) = x2−x のとき，f’(a) を求めなさい。

(答案A)
f’(a) = limh→0limii.

f(a+h)−f(a)hnnnnnnnnn

= limh→0limii.

{(a+h)2−(a+h)}−{a2−a}hnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

= limh→0limii.

{(a2+2ah+h2)−(a+h)}−{a2−a}hnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

= limh→0limii.

2ah−h+h2hnnnnnnnn

= limh→0limii(2a−1+h) = 2a−1

(答案B) (答案C)　···　略

(話題)
１　数学の教材では，「それ以前に習った内容」は全部前提になります。(例１)の(答案A)の説明で　··· 　f(x) の　f はどこへ行った？　··· という質問が意外に多い。（昔習ったことなので覚えていないらしい。）
次の式を見て，思い出してください。

f(x) = x2 のとき，
　　f(3) = 32
　　f(3+h) = (3+h)2

２　数IIで登場する微分係数は，導関数の導入的な働きをしていて，後で習う導関数(微分)に x の値を代入すれば簡単に得られます。

◇問題2◇　次の微分係数を求めなさい。
○採点は，後でまとめて行います．
○分からないときは

を押すと途中計算が出ます．

(1)　f(x) = 2x2 のとき，f’(3) を求めなさい。

f’(3) = limh→0limii.

2(3+h)2−18hnnnnnnnnnn = limh→0limii.

12h+2h2hnnnnnnn

= limh→0limii(12+2h) =

(2)　f(x) = 3x+1 のとき，x = 1　における微分係数を求めなさい。

f’(1) = limh→0limii.

{3(1+h)+1}−{3+1}hnnnnnnnnnnnnnnnn

= limh→0limii.

3hhnn =

(3)　f(x) =−x2 のとき，f’(a)　を求めなさい。

f’(a) = limh→0limii.

−(a+h)2+a2hnnnnnnnnnn = limh→0limii.

−2ah−h2hnnnnnnn

= limh→0limii(−2a−h) =

(4)　f(x) = x2+x+1 のとき，f’(b)　を求めなさい。

f’(b) = limh→0limii.

{(b+h)2+(b+h)+1}−{b2+b+1}hnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

= limh→0limii.

{(2b+1)h+h2}hnnnnnnnnnnn = limh→0limii{(2b+1)+h}

= +1

◇解説◇（発展問題）

(例１)
次の式を f’(a) で表わしなさい。

limh→0limii.

f(a+2h)−f(a)hnnnnnnnnnn

(考え方)
微分係数の定義　f’(a) = limh→0limii.

f(a+h)−f(a)hnnnnnnnnnn　が利用できるように変形します。特に，

lim□→0limii.

f(a+□)−f(a)□nnnnnnnnnnn = f’(a)　が成り立つことに注意して，

lim2h→0limii.

f(a+2h)−f(a)2hnnnnnnnnnnn = f’(a)　を作ります。

−−−−−−−−−

limh→0limii.

f(a+2h)−f(a)hnnnnnnnnnnn = lim2h→0limii.

f(a+2h)−f(a)2hnnnnnnnnnn · .

2hhnn

= lim2h→0limii.

f(a+2h)−f(a)2hnnnnnnnnnnn ×2 = 2f’(a)

(例２)
次の式を f(a),f’(a),g(a),g’(a) を用いて表わしなさい。

limx→alimii.

f(x)g(a)−f(a)g(x)x−annnnnnnnnnnnnn

limx→alimii.

f(x)g(a)−f(a)g(x)x−annnnnnnnnnnnnn

= limx→alimii.

f(x)g(a)−f(a)g(a)+f(a)g(a)−f(a)g(x)x−annnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

= limx→alimii.

{f(x)−f(a)}g(a)+f(a){g(a)−g(x)}x−annnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

= limx→alimii{ ( .

f(x)−f(a)x−annnnnnnn)g(a)−f(a) ( .

g(x)−g(a)x−annnnnnnn ) }

= f’(a)g(a)−f(a)g’(a)

■問題3　次の式をf(a), f'(a) を用いて表わしなさい。

(1)　limh→0limii.

f(a+3h)−f(a−h)hnnnnnnnnnnnnn

(原式) = limh→0limii.

f(a+3h)−f(a)+f(a)−f(a−h)hnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

= limh→0limii.

f(a+3h)−f(a)hnnnnnnnnnnn+lim−h→0limii.

f(a−h)−f(a)−hnnnnnnnnnn

= lim3h→0limii.

f(a+3h)−f(a)3hnnnnnnnnnn.

3hhnn+lims→0limii.

f(a+s)−f(a)snnnnnnnnn

= 3f’(a)+f’(a) = f’(a)

(2)　limh→0limii.

(a+h)f(a)−af(a+h)hnnnnnnnnnnnnnnnn

(原式) = limh→0limii.

af(a)+hf(a)−af(a+h)hnnnnnnnnnnnnnnnn

= limh→0limii.

hf(a)−a{f(a+h)−f(a)}hnnnnnnnnnnnnnnnnn

= limh→0limii{f(a)−a .

f(a+h)−f(a)hnnnnnnnnnn }

= f(a)−f'(a)

(3)　limx→alimii.

x2f(a)−a2f(x)x2−a2nnnnnnnnnnn

(原式) = limx→alimii.

x2f(a)−a2f(a)+a2f(a)−a2f(x)x2−a2nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

= limx→alimii.

(x2−a2)f(a)−a2{f(x)−f(a)}x2−a2nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

= limx→alimii{ f(a)−a2 .

f(x)−f(a)x2−a2nnnnnnnn }

= limx→alimii{ f(a)−a2 .

f(x)−f(a)x−annnnnnn.

1x+annn}

= { f(a)−a2 f’(a).

12ann}

= f(a)−.

ann f’(a)

...（携帯版）メニューに戻る

...メニューに戻る

■［個別の頁からの質問に対する回答］[微分係数について／17.6.2］

問題2　(4)式の最後の方で、2bh+h^2+h　/　h　となりますがその次で、分子全体をhで括ったらだめなんでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．それでよいです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[微分係数について／17.1.24］

わかりやすいです！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[微分係数について／16.12.4］

例２　答案A f&rsquoになっています
＝＞［作者］：連絡ありがとう．セミコロンが１つ抜けていましたので追加しました．

隨�ｿｽ邵ｺ阮呻ｿｽ郢ｧ�ｵ郢ｧ�､郢昜ｺ･�ｽ邵ｺ�ｮGoogle隶諛�ｽｴ�｢隨�ｿｽ

隨�ｽｳ邵ｺ阮呻ｿｽ郢晏｣ｹ�ｽ郢ｧ�ｸ邵ｺ�ｮ陷育｣ｯ�ｽ�ｭ邵ｺ�ｫ隰鯉ｽｻ郢ｧ驫辟｡邵ｲ�ｽ郢ｧ�｢郢晢ｽｳ郢ｧ�ｱ郢晢ｽｼ郢晉｣ｯﾂ竏ｽ�ｿ�｡邵ｲ�ｽ
… 邵ｺ阮呻ｿｽ郢ｧ�｢郢晢ｽｳ郢ｧ�ｱ郢晢ｽｼ郢晏現�ｽ隰ｨ蜻取駁隰ｾ�ｹ陜滂ｿｽ�ｽ陷ｿ繧環�ｽ竊鍋ｸｺ霈披雷邵ｺ�ｦ邵ｺ�ｽ笳�ｸｺ�ｽ邵ｺ髦ｪ竏ｪ邵ｺ�ｽ

隨�ｿｽ邵ｺ阮呻ｿｽ鬯��竊鍋ｸｺ�､邵ｺ�ｽ窶ｻ�ｽ迹壽�邵ｺ�ｽ蝨抵ｿｽ譴ｧ縺檎ｸｺ�ｽ蝨抵ｿｽ遒∽ｿ｣鬩戊ｼ費ｼ樒ｸｺ�ｮ隰厄ｿｽ驕ｭ�ｽ蠕娯落邵ｺ�ｮ闔画じ�ｽ隲｢貊鳶ｦ邵ｺ蠕娯旺郢ｧ蠕鯉ｿｽ鬨ｾ竏ｽ�ｿ�｡邵ｺ蜉ｱ窶ｻ邵ｺ荳岩味邵ｺ霈費ｼ橸ｿｽ�ｽ

隨ｳ蛹ｺ譫夐��ｽ邵ｺ�ｮ陟厄ｽ｢郢ｧ蛛ｵ��邵ｺ�ｦ邵ｺ�ｽ�玖ｫ｢貊鳶ｦ邵ｺ�ｯ陷茨ｽｨ鬩幢ｽｨ髫ｱ�ｭ邵ｺ�ｾ邵ｺ蟶吮ｻ郢ｧ繧�ｽ臥ｸｺ�｣邵ｺ�ｦ邵ｺ�ｽ竏ｪ邵ｺ蜻ｻ�ｼ�ｽ
隨ｳ蛹ｺ笏隲��ｳ邵ｺ�ｮ陷�ｽ縲抵ｿｽ蠕娯�邵ｺ�ｮ陜�蝓趣ｽ｡蠕娯ｲ邵ｺ�ｩ邵ｺ�ｽ縲堤ｸｺ繧�夢邵ｺ貅伉ｰ郢ｧ蜻茨ｽｭ�｣驕抵ｽｺ邵ｺ�ｪ隴�ｿｽ�ｫ�ｽ邵ｺ�ｧ闔ｨ譏ｴ竏ｴ邵ｺ�ｦ邵ｺ�ｽ笳�ｸｺ�ｽ邵ｺ�ｽ笳�ｬｾ�ｹ陜滂ｿｽ�ｦ竏ｵ謔咲ｸｺ�ｫ陝�ｽｾ邵ｺ蜉ｱ窶ｻ邵ｺ�ｯ�ｽ謔溷ｺ�妙�ｽ邵ｺ�ｪ鬮ｯ闊鯉ｽ願汞�ｾ陟｢諛岩�郢ｧ荵晢ｽ育ｸｺ�ｽ竊鍋ｸｺ蜉ｱ窶ｻ邵ｺ�ｽ竏ｪ邵ｺ蜻ｻ�ｼ雜｣�ｼ驕ｺﾂ�ｻ邵ｺ�ｪ邵ｺ螂�ｽｼ譴ｧ蛻､隰ｦ�ｽ蝎ｪ邵ｺ�ｪ隴�ｿｽ�ｫ�ｽ邵ｺ�ｫ邵ｺ�ｪ邵ｺ�｣邵ｺ�ｦ邵ｺ�ｽ�玖撻�ｴ陷ｷ蛹ｻ�ｽ�ｽ蠕娯落郢ｧ蠕鯉ｽ定怦�ｬ鬮｢荵昶�郢ｧ荵昶�驕ｲ�ｽﾂ�ｽ笆｡邵ｺ莉｣縲堤ｸｺ�ｪ邵ｺ蜑ｰ�ｪ�ｭ髢��ｽ�る坡�ｭ郢ｧﾂ邵ｺ阮吮�邵ｺ�ｫ邵ｺ�ｪ郢ｧ鄙ｫ竏ｪ邵ｺ蜷ｶ�ｽ邵ｺ�ｧ�ｽ譴ｧ豐ｻ騾包ｽｨ邵ｺ蜉ｱ竏ｪ邵ｺ蟶呻ｽ難ｿｽ雜｣�ｼ�ｽ

髮会ｽｪ陜�荳岩�陝�ｽｾ邵ｺ蜷ｶ�玖摎讓抵ｽｭ譁撰ｿｽ闕ｳ�ｭ陝�ｽｦ霑壼現�ｽ邵ｺ阮呻ｿｽ鬯�ｿｽ�ｽ遒�ｽｫ菫ｶ�ｽ�｡霑壼現�ｽ邵ｺ阮呻ｿｽ鬯�ｿｽ邵ｺ�ｫ邵ｺ繧�ｽ顔ｸｺ�ｾ邵ｺ�ｽ