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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 単元 ***
式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数
指数関数対数関数微分不定積分定積分
高次方程式数列漸化式と数学的帰納法
平面ベクトル空間ベクトル確率分布

※高校数学Ⅱの「微分・導関数」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．
↓平均変化率,極限値
↓不定形の極限
↓微分係数
↓導関数の定義
↓微分係数,導関数の定義(問題)
↓導関数の公式(問題)
↓導関数の符号,求め方
↓増減表
↓増減,極値,グラフ
↓絶対値付き関数の増減(問題)
↓最大値,最小値
↓最大最小,文字係数とグラフ(問題)
↓接線の方程式
センター試験の数Ⅱ微積

• 最大値·最小値
• 関数のグラフと係数の符号　
• 実数解の個数（文字係数）

【例題1】
　次の関数について，（　）内の範囲における最大値と最小値を求めてください．
　y=x3−3x+2 （0≦x≦2）

• 「極大値」「極小値」の他に「区間の両端の値」を比べて，最大値，最小値とします．
• なお，x=0のときy=2となるが，この値は$x=\sqrt{3}$≒1.732...のときにもとり得る中間の値で，最大値でも最小値でもない．
• 「最大値，最小値を求めよ」という問題では，最大値，最小値の（yの）値だけでなく，その値を与えるxの値も答えるのが普通です．だから，答案は上記のように書くか，次の形に書くかのいずれかが普通．
　最大値4（x=2），最小値0（x=1）

【例題2】
　次の関数について，（　）内の範囲における最大値と最小値を求めてください．
　y=−x3−3x2+4 （−2≦x≦1）

• 同じ値が最小値となっているとき，「どちらも最小値」とします．「日本タイ記録」「世界タイ記録」のような考え方です

【例題3】
　3次関数f(x)=ax3+bx2+cx+dのグラフが下図のような形になるとき，係数a, b, c, dの符号を定めてください．

$\alpha +\beta =-{\displaystyle \frac{2b}{3a}}>0$
$\alpha \beta ={\displaystyle \frac{c}{3a}}>0$
a>0だから，b<0, c>0

【問題3-1】
　3次関数f(x)=ax3+bx2+cx+dのグラフが下図のような形になるとき，係数a, b, c, dの符号を定めてください．
（各々正しい方をクリックしてください）

（解答）
f(x)=ax3+bx2+cx+d…(1)
f’(x)=3ax2+2bx+c…(2)
• y軸との交点を見ると，f(0)=d<0
• x→−∞のときf(x)→∞，x→∞のときf(x)→−∞だからa<0
• グラフから，極大値と極小値があるから，f’(x)=3ax2+2bx+c=0の２つの実数解を0<α<βとおくと，(2)について解と係数の関係から
以上から，a<0, b>0, c<0, d<0…（答） →解説を隠す←

【問題3-2】
　3次関数f(x)=ax3+bx2+cx+dのグラフが下図のような形になるとき，係数a, b, c, dの符号を定めてください．
（各々正しい方をクリックしてください）

α

β

（解答）
f(x)=ax3+bx2+cx+d…(1)
f’(x)=3ax2+2bx+c…(2)
• y軸との交点を見ると，f(0)=d>0
• x→−∞のときf(x)→∞，x→∞のときf(x)→−∞だからa<0
• グラフから，極大値と極小値があるから，f’(x)=3ax2+2bx+c=0の２つの実数解をα<−1, β<1とおくと，α+β<0, αβ<0
(2)について解と係数の関係から
以上から，a<0, b<0, c>0, d>0…（答） （別解）
グラフの形からa<0
グラフとx軸との交点がx=−2, −1, 2となっているから
f(x)=a(x+2)(x+1)(x−2)=a(x3+x2−4x−4)
=ax3+ax2−4ax−4aとおける
したがって，b=a<0, c=−4a>0, d=−4a>0…（答）
→解説を隠す←

【問題3-3】
　3次関数f(x)=ax3+bx2+cx+dのグラフが下図のような形になるとき，係数a, b, c, dの符号を定めてください．
（各々正しい方をクリックしてください）

α

β

（解答）
f(x)=ax3+bx2+cx+d…(1)
f’(x)=3ax2+2bx+c…(2)
• y軸との交点を見ると，f(0)=d<0
• x→−∞のときf(x)→−∞，x→∞のときf(x)→∞だからa>0
• グラフから，極大値と極小値があるから，f’(x)=3ax2+2bx+c=0の２つの実数解を0<α<βとおくと，α+β>0, αβ>0
(2)について解と係数の関係から
以上から，a>0, b>0, c>0, d<0…（答） →解説を隠す←

《文字係数方程式の実数解の個数》
(1) 文字定数aの値に応じて，方程式x3−3x+a=0の実数解の個数を調べるような問題では (2) x3−3ax2+4a=0（a>0）のように，文字定数aについて解いてしまうと
$a={\displaystyle \frac{x^3}{3x^2-4}}$
といった「分数関数」になってしまう場合は，数学Ⅱの範囲では導関数を求められないので，元の関数のまま
　　　y=x3−3ax2+4a
の形を微分して，文字定数を含めた形でx軸との共有点の個数を調べるとよい．
※(2)の方が適用範囲が広いが，途中の処理がやや複雑になる．

【例題4】
　aを正の定数とするとき，3次方程式x3−3ax2+4a=0の実数解の個数を調べてください．

ア) −4a3+4a=−4a(a+1)(a−1)>0⇔a>1(下図赤)
イ) −4a3+4a=−4a(a+1)(a−1)=0⇔a=1(下図緑)
ウ) −4a3+4a=−4a(a+1)(a−1)<0⇔0<a<1(下図青)

【問題4-2】
　3次方程式2x3−6x+a=0が負の解を２つと正の解を１つもつとき，定数aの値の範囲を求めてください．
　<a<

（解答）
y=2x3−6x+aとおく
y’=6x2−6=6(x+1)(x−1)
y’=0 ⇔ x=−1, 1

x	···	−1	···	0	···	1	···
y’	+	0	−	−	−	0	+
y	$\nearrow$	a+4	$\searrow$	a	$\searrow$	a−4	$\nearrow$

a+4

a

グラフから，正の解を１つをもつ条件はa<0，
負の解を２つもつ条件はa+4>0となる．
−4<a<0…（答）
（別解）
この形の方程式は，−2x3+6x=aと変形すると，左辺が固定した曲線，右辺が横線となって，共有を調べやすい．
y1=−2x3+6xとおく
y1’=−6x2+6=−6(x+1)(x−1)
y1’=0 ⇔ x=−1, 1

x	···	−1	···	0	···	1	···
y’	−	0	+	+	+	0	−
y	$\searrow$	4	$\nearrow$	0	$\nearrow$	−4	$\searrow$

aの値を変化させて，横線を上下に動かすとき，負の解を２つと正の解を１つもつとき，共有点のx座標が，負の値2個と正の値１個となるのは
−4<a<0…（答）
→解説を隠す←

【問題4-3】
　3次方程式${\displaystyle \frac{x^3}{3}}-x^2-x+1=2x+a$が負の解を1つと正の解を2つもつとき，定数aの値の範囲を求めてください．
　<a<

（解答）
$a={\displaystyle \frac{x^3}{3}}-x^2-3x+1$
$y_1={\displaystyle \frac{x^3}{3}}-x^2-3x+1$とおくと
y1’=x2−2x−3=(x+1)(x−3)
y1’=0 ⇔ x=−1, 3

x	···	−1	···	0	···	3	···
y’	+	0	−	−	−	0	+
y	$\nearrow$	$\frac{4}{3}$	$\searrow$	1	$\searrow$	−8	$\nearrow$

y2=aのグラフは横線
次のようなグラフになる

1

a>1

−8<a<1

a≦−8

グラフから，負の解を1つと正の解を2つもつ−8<a<1…（答）
→解説を隠す←