 ...（携帯版）メニューに戻る...(ＰＣ版)メニューに戻る*** 科目 *** 数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度 *** 単元 *** 式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数 指数関数対数関数微分不定積分定積分 高次方程式数列漸化式と数学的帰納法 平面ベクトル空間ベクトル確率分布 ※高校数学Ⅱの「微分・導関数」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください． が現在地です． ↓平均変化率,極限値 ↓不定形の極限 ↓微分係数 ↓導関数の定義 ↓微分係数,導関数の定義(問題) ↓導関数の公式(問題) ↓導関数の符号,求め方 ↓増減表 ↓増減,極値,グラフ ↓絶対値付き関数の増減(問題) ↓最大値,最小値 ↓最大最小,文字係数とグラフ(問題)  ↓接線の方程式 センター試験の数Ⅱ微積 |
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• 最大値·最小値
• 関数のグラフと係数の符号 • 実数解の個数（文字係数）
【例題1】
（解答）次の関数について，（ ）内の範囲における最大値と最小値を求めてください． y=x3−3x+2 （0≦x≦2） y’=3x2−3=3(x+1)(x−1)=0 ⇔ x=−1, 1
増減表のうちで赤枠で示した範囲が定義域となる． x=2のとき最大値4，x=1のとき最小値0…（答）
• 「極大値」「極小値」の他に「区間の両端の値」を比べて，最大値，最小値とします．
（参考）グラフは下図のようになります• なお，x=0のときy=2となるが，この値は • 「最大値，最小値を求めよ」という問題では，最大値，最小値の（yの）値だけでなく，その値を与えるxの値も答えるのが普通です．だから，答案は上記のように書くか，次の形に書くかのいずれかが普通． 最大値4（x=2），最小値0（x=1）
【例題2】
（解答）次の関数について，（ ）内の範囲における最大値と最小値を求めてください． y=−x3−3x2+4 （−2≦x≦1） y’=−3x2−6x=−3x(x+2)=0 ⇔ x=−2, 0
増減表のうちで赤枠で示した範囲が定義域となる． x=0のとき最大値4，x=−2, 1のとき最小値0…（答）
• 同じ値が最小値となっているとき，「どちらも最小値」とします．「日本タイ記録」「世界タイ記録」のような考え方です
（参考）グラフは下図のようになります |
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《関数のグラフと係数の符号》
【例題3】
（解答）3次関数f(x)=ax3+bx2+cx+dのグラフが下図のような形になるとき，係数a, b, c, dの符号を定めてください． α β f(x)=ax3+bx2+cx+d…(1) f’(x)=3ax2+2bx+c…(2) • y軸との交点を見ると，f(0)=d>0 • x→−∞のときf(x)→−∞，x→∞のときf(x)→∞だからa>0 • グラフから，極大値と極小値があるから，f’(x)=3ax2+2bx+c=0の２つの実数解を0<α<βとおくと，(2)について解と係数の関係から a>0だから，b<0, c>0 |
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【問題3-1】
a>0b>0c>0d>03次関数f(x)=ax3+bx2+cx+dのグラフが下図のような形になるとき，係数a, b, c, dの符号を定めてください． （各々正しい方をクリックしてください） α β a<0b<0c<0d<0 解説を読む
（解答）
f(x)=ax3+bx2+cx+d…(1) f’(x)=3ax2+2bx+c…(2) • y軸との交点を見ると，f(0)=d<0 • x→−∞のときf(x)→∞，x→∞のときf(x)→−∞だからa<0 • グラフから，極大値と極小値があるから，f’(x)=3ax2+2bx+c=0の２つの実数解を0<α<βとおくと，(2)について解と係数の関係から a<0だから，b>0, c<0 |
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【問題3-2】
a>0b>0c>0d>03次関数f(x)=ax3+bx2+cx+dのグラフが下図のような形になるとき，係数a, b, c, dの符号を定めてください． （各々正しい方をクリックしてください） α β a<0b<0c<0d<0 解説を読む
（解答）
f(x)=ax3+bx2+cx+d…(1) f’(x)=3ax2+2bx+c…(2) • y軸との交点を見ると，f(0)=d>0 • x→−∞のときf(x)→∞，x→∞のときf(x)→−∞だからa<0 • グラフから，極大値と極小値があるから，f’(x)=3ax2+2bx+c=0の２つの実数解をα<−1, β<1とおくと，α+β<0, αβ<0 (2)について解と係数の関係から a<0だから，b>0, c<0 グラフの形からa<0 グラフとx軸との交点がx=−2, −1, 2となっているから f(x)=a(x+2)(x+1)(x−2)=a(x3+x2−4x−4) =ax3+ax2−4ax−4aとおける したがって，b=a<0, c=−4a>0, d=−4a>0…（答） |
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【問題3-3】
a>0b>0c>0d>03次関数f(x)=ax3+bx2+cx+dのグラフが下図のような形になるとき，係数a, b, c, dの符号を定めてください． （各々正しい方をクリックしてください） α β a<0b<0c<0d<0 解説を読む
（解答）
f(x)=ax3+bx2+cx+d…(1) f’(x)=3ax2+2bx+c…(2) • y軸との交点を見ると，f(0)=d<0 • x→−∞のときf(x)→−∞，x→∞のときf(x)→∞だからa>0 • グラフから，極大値と極小値があるから，f’(x)=3ax2+2bx+c=0の２つの実数解を0<α<βとおくと，α+β>0, αβ>0 (2)について解と係数の関係から a>0だから，b<0, c>0 |
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《文字係数方程式の実数解の個数》
(1)の場合，黒線で示したg(x)=−x3+3xのグラフを描いてから，文字定数aの値の大小に応じて，赤線で示したf(x)=aのグラフを描くと，共有点の個数が調べられる．
(1) 文字定数aの値に応じて，方程式x3−3x+a=0の実数解の個数を調べるような問題では
a=−x3+3xと変形することにより，2つのグラフf(x)=aとg(x)=−x3+3xの共有点の個数を調べるとよい
(2) x3−3ax2+4a=0（a>0）のように，文字定数aについて解いてしまうとといった「分数関数」になってしまう場合は，数学Ⅱの範囲では導関数を求められないので，元の関数のまま y=x3−3ax2+4a の形を微分して，文字定数を含めた形でx軸との共有点の個数を調べるとよい． ※(2)の方が適用範囲が広いが，途中の処理がやや複雑になる． a<−2 −2<a<2 a>2 a=−2 a=2 |
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【例題4】
（解答）aを正の定数とするとき，3次方程式x3−3ax2+4a=0の実数解の個数を調べてください． y=x3−3ax2+4aとおく y’=3x2−6ax=3x(x−2a) y’=0 ⇔ x=0, 2a a>0だから，増減表は次の通り
ア) −4a3+4a=−4a(a+1)(a−1)>0⇔a>1(下図赤)
x軸との共有点の個数はイ) −4a3+4a=−4a(a+1)(a−1)=0⇔a=1(下図緑) ウ) −4a3+4a=−4a(a+1)(a−1)<0⇔0<a<1(下図青) ア) a>1のとき，1個 イ) a=1のとき，2個 ウ) 0<a<1のとき，3個…（答） |
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【問題4-2】
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3次方程式2x3−6x+a=0が負の解を２つと正の解を１つもつとき，定数aの値の範囲を求めてください． <a<
（解答）
y=2x3−6x+aとおく y’=6x2−6=6(x+1)(x−1) y’=0 ⇔ x=−1, 1
a+4 a 負の解を２つもつ条件はa+4>0となる． −4<a<0…（答） （別解） この形の方程式は，−2x3+6x=aと変形すると，左辺が固定した曲線，右辺が横線となって，共有を調べやすい． y1=−2x3+6xとおく y1’=−6x2+6=−6(x+1)(x−1) y1’=0 ⇔ x=−1, 1
a a a −4<a<0…（答） |
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【問題4-3】
採点する
やり直す
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3次方程式 <a<
（解答）
y1’=x2−2x−3=(x+1)(x−3) y1’=0 ⇔ x=−1, 3
次のようなグラフになる 1 a>1 −8<a<1 a≦−8 |
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