センター試験.数Ⅱ微積

3点O(0, 0), P(−a, 3a3), Q(a, −a3)を通る放物線の方程式を
y=Ax2+Bx+C
とおく．
O(0, 0)を通るから
C=0･･･(#1)
P(−a, 3a3)を通るから
3a3=Aa2−Ba+C･･･(#2)
Q(a, −a3)を通るから
−a3=Aa2+Ba+C･･･(#3)
(#1)(#2)(#3)より
A=a, B=−2a2, C=0
y=ax2−2a2x→ク,ケ,コ ⇒(#4)放物線C

(#4)を微分すると
y'=2ax−2a2
x=0のとき，y'=−2a2だから，接線ℓの方程式は
y=−2a2x→サシ,ス
垂線mの方程式は

y = \frac{1}{2 a^{2}} x

→セ,ソ

♪∀～勝手に批評～個人の感想～∅♥
　ここまでは，誰でもできる．受験生間の差は出ない．

→解説を隠す←

　x軸に関して放物線Cと対称な放物線

y=−クx2+ケaコx

をDとする。Dとℓで囲まれた図形の面積Sは

タチ

ツ

aテ

である。

放物線Cと直線mの交点のx座標は，0と

4aト+1

2aナ

である。Cとmで囲まれた図形の面積をTとする。

S=Tとなるのはaテ=

ニ

ヌ

のときであり，このと

き，S=

ネ

ノ

である。

解説を読む

放物線C(#4)をx軸に関して対称に移動すると
y=−ax2+2a2x⇒放物線D
放物線Dと接線ℓ
y=−2a2x
の交点は
−ax2+2a2x=−2a2x
ax2−4a2x=0
ax(x−4a)=0
x=0, 4a

この計算は，いわゆる「6分の1公式」を使って短縮的に書いてもよい

\int_{α}^{β} a (x - α) (x - β) d x

= \frac{- a}{6} (β - α)^{3}

S = \int_{0}^{4 a} (- a x^{2} + 4 a^{2} x) d x

= {[- \frac{a x^{3}}{3} + 2 a^{2} x^{2}]}_{0}^{4 a}

= \frac{32}{3} a^{4}

→タチ,ツ,テ

放物線Cと直線mの交点は

y=ax2−2a2x･･･放物線C

y = \frac{1}{2 a^{2}} x

･･･直線m
代入してyを消去する

a x^{2} - 2 a^{2} x = \frac{1}{2 a^{2}} x

2 a^{3} x^{2} - 4 a^{4} x = x

2 a^{3} x^{2} - (4 a^{4} + 1) x = 0

x {2 a^{3} x - (4 a^{4} + 1)} = 0

x=0または

x = \frac{4 a^{4} + 1}{2 a^{3}}

→ト,ナ

←いわゆる「6分の1公式」

T = \frac{a}{6} \times {\frac{4 a^{4}}{2 a^{3}}}^{3}

= \frac{(4 a^{4} + 1)^{3}}{48 a^{8}}

S=Tとおくと

\frac{(4 a^{4} + 1)^{3}}{48 a^{8}} = \frac{32}{3} a^{4}

(4 a^{4} + 1)^{3} = 2^{9} a^{12} (> 0)

4 a^{4} + 1 = 8 a^{4}

4 a^{4} = 1

a^{4} = \frac{1}{4}

→ニ,ヌ

S = \frac{32}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{8}{3}

→ネ,ノ

♪∀～勝手に批評～個人の感想～∅♥
　内容的に高度なものではないが,方程式C, D,直線ℓ，mなどが，ずいぶん離れた場所に書かれていて，元の場所を探すだけで時間が取られる．
　anの変形が満載されているが，これがセンター試験としての指数計算の出題の仕方だと思えばよい．（公式暗記程度の問題から垢抜けした良問）

→解説を隠す←

【2014年度センター試験.数学Ⅱ･B】第2問（必答問題）

　pを実数とし，f(x)=x3−pxとする。

(1)　関数f(x)が極値をもつためのpの条件を求めよう。f(x)の導関数は，f'(x)=アxイ−pである。したがって，f(x)がx=aで極値をとるならば，
　アxイ−p=ウが成り立つ。さらに，x=aの前後でのf'(x)の符号の変化を考えることにより，pが条件エを満たす場合は，f(x)は必ず極値をもつことがわかる。エに当てはまるものを，次の⓪～④のうちから一つ選べ。
　⓪ p=0　① p>0　② p≧0　③ p<0　④ p≦0

解説を読む

(1)
f'(x)=3x2−p→ア,イ
x=aで極値をとるならば，3a2−p=0→ウ
pが条件p>0:①を満たす場合は，f(x)は極値をもつ→エ
→解説を隠す←

(2)　関数f(x)が

x = \frac{p}{3}

で極値をとるとする。また，曲線y=f(x)をCとし，C上の点

(\frac{p}{3}, f (\frac{p}{3}))

をAとする。
　f(x)が

x = \frac{p}{3}

で極値をとることから，p=オであり，f(x)はx=カキで極大値をとり，x=クで極小値をとる。

解説を読む

(2)
3a2−p=0 (p>0)

a = \frac{p}{3}

のとき極値をとるから

3 (\frac{p}{3})^{2} - p = 0

p^{2} - 3 p = 0

p (p - 3) = 0

p>0により
p=3→オ
p=3のとき

a = \frac{p}{3} = 1

だから
増減表は次のようになる．

x	···	−1	···	1	···
f'(x)	+	0	−	0	+
f(x)	$↗$	2	$↘$	−2	$↗$

x=−1で極大値をとり，x=1で極小値をとる→カキ,ク
→解説を隠す←

　曲線Cの接線で，点Aを通り傾きが0でないものをℓとする。ℓの方程式を求めよう。ℓとCの接点のx座標をbとすると，ℓは点(b, f(b))におけるCの接線であるから，ℓの方程式はbを用いて
y=

(

ケb2−コ

)

(x−b)+f(b)
と表すことができる。また，ℓは点Aを通るから，方程式
サb3−シb2+1=0

を得る。この方程式を解くと，b=ス，

セソ

タ

であ

るが，ℓの傾きが0でないことから，ℓの方程式は

チツ

テ

ト

ナ

である。

解説を読む

y=(3b2−3)(x−b)+f(b)→ケ,コが点A(1, −2)を通るから
−2=(3b2−3)(1−b)+(b3−3b)
2b3−3b2+1=0→サ,シ
(b−1)(2b2−b−1)=0
(b−1)2(2b+1)=0

b = 0, - \frac{1}{2}

→ス,セソ
b≠0だから

b = - \frac{1}{2}

このとき，直線ℓの方程式は

y = (\frac{3}{4} - 3) (x + \frac{1}{2}) + \frac{11}{8}

y = - \frac{9}{4} x + \frac{1}{4}

→チツ,テ,ト,ナ
→解説を隠す←

　点Aを頂点とし，原点を通る放物線をDとする。ℓとDで囲まれた図形のうち，不等式x≧0の表す領域に含まれる部分の面積Sを求めよう。Dの方程式は
y=ニx2−ヌx

であるから，定積分を計算することにより，S=

ネノ

となる。

解説を読む

Dの方程式は
y=2(x−1)2−2=2x2−4x→ニ,ヌ

S = \int_{0}^{1} {- \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} - (2 x^{2} - 4 x)} d x

= \int_{0}^{1} (- 2 x^{2} + \frac{7}{4} x + \frac{1}{4}) d x

= [- \frac{2}{3} x^{3} + \frac{7}{8} x^{2} + \frac{1}{4} x]_{0}^{1}

= \frac{11}{24}

→ネノ
→解説を隠す←

【2015年度センター試験.数学Ⅱ･B】第2問（必答問題）

(1)　関数

f (x) = \frac{1}{2} x^{2}

のx=aにおける微分係数f'(a)を求めよう。hが0でないとき，xがaからa+hまで変化す

るときのf(x)の平均変化率はア+

イ

である。

したがって，求める微分係数は

f'(a)=

lim

h→ウ

(

ア+

イ

)

=エ

である。

解説を読む

(1)
xがaからa+hまで変化するときのf(x)の平均変化率は

\frac{f (a + h) - f (a)}{(a + h) - a} = \frac{\frac{1}{2} (a + h)^{2} - \frac{1}{2} a^{2}}{h}

= \frac{2 a h + h^{2}}{2 h} = a + \frac{h}{2}

→ア,イ
微分係数は

f^{'} (a) = lim_{h \to 0} (a + \frac{h}{2}) = a

→ウ,エ
→解説を隠す←

(2)　放物線

y = \frac{1}{2} x^{2}

をCとし，C上に点

P (a, \frac{1}{2} a^{2})

をとる。ただし，a>0とする。点PにおけるCの接線ℓの方程式は

y=オx−

カ

である。直線ℓとx軸との交点Qの座標は

(

キ

ク

, 0

)

である。点Qを通りℓに垂直な直線をmとすると,mの方程式は

ケコ

サ

シ

ス

である。

解説を読む

(2)
f'(a)=aだから，接線ℓの方程式は

y - \frac{1}{2} a^{2} = a (x - a)

y = a x - \frac{1}{2} a^{2}

→オ,カ
y=0とおくと

a x - \frac{1}{2} a^{2} = 0

Q (\frac{1}{2} a, 0)

x = \frac{1}{2} a

→キ,ク

ℓに垂直な直線mの傾きは

- \frac{1}{a}

Q (\frac{1}{2} a, 0)

を通り，傾き

- \frac{1}{a}

の直線の方程式は

y = - \frac{1}{a} (x - \frac{1}{2} a)

y = - \frac{1}{a} x + \frac{1}{2}

→ケコ,サ,シ,ス
→解説を隠す←

　直線mとy軸との交点をAとする。三角形APQの面積をSとおくと

a(a2+セ)

ソ

となる。また，y軸と線分APおよび曲線Cによって囲まれた図形の面積をTとおくと

a(a2+タ)

チツ

となる。

解説を読む

A (0, \frac{1}{2}), P (a, \frac{1}{2} a^{2}), Q (\frac{1}{2} a, 0)

において， AQとQPは垂直だから

S = \frac{1}{2} A Q \times Q P

A Q = \sqrt{\frac{a^{2}}{4} + \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{a^{2} + 1}}{2}

Q P = \sqrt{\frac{a^{2}}{4} + \frac{a^{4}}{4}} = \frac{a \sqrt{a^{2} + 1}}{2}

S = \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{a^{2} + 1}}{2} \times \frac{a \sqrt{a^{2} + 1}}{2} = \frac{a (a^{2} + 1)}{8}

→セ,ソ

直線APの方程式は

y - \frac{1}{2} = \frac{\frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2}}{a} x

y = \frac{a^{2} - 1}{2 a} x + \frac{1}{2}

曲線Cの方程式は

y = \frac{1}{2} x^{2}

積分区間は0≦x≦aだから，求める面積は

T = \int_{0}^{a} (\frac{a^{2} - 1}{2 a} x + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} x^{2}) d x

= [\frac{a^{2} - 1}{4 a} x^{2} + \frac{1}{2} x - \frac{1}{6} x^{3}]_{0}^{a}

= \frac{a^{2} - 1}{4 a} a^{3} + \frac{1}{2} a - \frac{1}{6} a^{3}

= \frac{a (a^{2} + 3)}{12}

→タ,チツ

♪∀～勝手に批評～個人の感想～∅♥
　6分の1公式ではできない，基本に忠実な良問だと思う

→解説を隠す←

　a>0の範囲におけるS−Tの値について調べよう。

S−T=

a(a2−テ)

トナ

である。a>0であるから，S−T>0となるようなaのとり得る値の範囲はa>

\sqrt{}

ニ　である。また，a>0のときのS−Tの増減を調べると，S−Tはa=ヌで最小値

ネノ

ハヒ

をとることがわかる。

解説を読む

S - T = \frac{a (a^{2} + 1)}{8} - \frac{a (a^{2} + 3)}{12}

= \frac{a^{3} - 3 a}{24} = \frac{a (a^{2} - 3)}{24}

→テ,トナ

a>0のときS−T>0となるaの範囲を求めると

\frac{a (a^{2} - 3)}{24} > 0

a^{2} - 3 > 0

a > \sqrt{3}

→ニ

a>0のときのS−Tの増減は次の表のようになる

a	0	···	1	···
(S−T)'	×	−	0	+
S−T	×	$↘$	$- \frac{1}{12}$	$↗$

a=1のとき，最小値

- \frac{1}{12}

をとる→ヌ,ネノ,ハヒ
→解説を隠す←

【2016年度センター試験.数学Ⅱ･B】第2問（必答問題）

　座標平面上で，放物線

y = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2}

をC1とし，放物線

y = \frac{1}{4} x^{2}

をC2とする。

(1)　実数aに対して，2直線x=a, x=a+1とC1，C2で囲まれた図形Dの面積Sは

S = \int_{a}^{a + 1} (

ア

x2+

イ

) d x

ウ

エ

オ

カキ

である。Sはa=

クケ

コ

で最小値

サシ

スセ

をとる。

解説を読む

(1)
x≧0のとき，

\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} x^{2} = \frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{2} (> 0)

だから

S = \int_{a}^{a + 1} (\frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{2}) d x

→ア,イ

= [\frac{1}{12} x^{3} + \frac{1}{2} x]_{a}^{a + 1}

= \frac{1}{12} {(a + 1)^{3} - a^{3}} + \frac{1}{2} {(a + 1) - a}

= \frac{3 a^{2} + 3 a + 1}{12} + \frac{1}{2} = \frac{3 a^{2} + 3 a + 7}{12}

= \frac{a^{2}}{4} + \frac{a}{4} + \frac{7}{12}

→ウ,エ,オ,カキ

S^{'} (a) = \frac{a}{2} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} (a + \frac{1}{2})

a		$- \frac{1}{2}$
S'	−	0	+
S	$↘$	$\frac{25}{48}$	$↗$

a = - \frac{1}{2}

のとき，最小値

\frac{25}{48}

をとる→クケ,コ,サシ,スセ
→解説を隠す←

(2)　4点(a, 0), (a+1, 0), (a+1, 1), (a, 1)を頂点とする正方形をRで表す。aがa≧0の範囲を動くとき，正方形Rと(1)の図形Dの共通部分の面積をTとおく。Tが最大となるaの値を求めよう。
　直線y=1は，C1と(±ソ, 1)で,C2と(±タ, 1)で交わる。したがって，正方形Rと図形Dの共通部分が空集合にならないのは，0≦a≦チのときである。

解説を読む

--図1--

\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} = 1

を解くと，x=±1
C1との交点は(±1, 1)→ソ

\frac{1}{4} x^{2} = 1

を解くと，x=±2
C2との交点は(±2, 1)→タ
　右図の赤枠で示した正方形Rが図形Dとの共通部分がある限界だから，0≦a≦2→チ
→解説を隠す←

　ソ≦a≦チのとき，正方形Rは放物線C1とx軸の間にあり，この範囲でaが増加するとき,Tはツ。ツに当てはまるものを，次の⓪～②のうちから一つ選べ。

⓪　増加する　　①　減少する　　②　変化しない

　したがって，Tが最大になるaの値は，0≦a≦ソの範囲にある。
　0≦a≦ソのとき，(1)の図形Dのうち，正方形Rの外側にある部分の面積Uは

テ

ト

である。よって，0≦a≦ソにおいて

T=−

ナ

−

ニ

ヌ

オ

カキ

･･･①

である。①の右辺の増減を調べることにより，Tは

ネノ+

\sqrt{}

ハ　

ヒ

で最大値をとることがわかる。

解説を読む

　図1から分かるように，1≦a≦2のとき，aが増加すれば，R, Dの共通部分Tの面積は減少する①→ツ
　図1において，DのうちでRの外側にある部分Uの面積は

U = \int_{1}^{a + 1} (\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} - 1) d x

= \int_{1}^{a + 1} (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2}) d x

= [\frac{1}{6} x^{3} - \frac{1}{2} x]_{1}^{a + 1}

= \frac{1}{6} (a + 1)^{3} - \frac{1}{2} (a + 1) - (\frac{1}{6} - \frac{1}{2})

= \frac{1}{6} a^{3} + \frac{1}{2} a^{2}

→テ,ト

T = S - U = \frac{a^{2}}{4} + \frac{a}{4} + \frac{7}{12} - (\frac{1}{6} a^{3} + \frac{1}{2} a^{2})

= - \frac{a^{3}}{6} - \frac{a^{2}}{4} + \frac{a}{4} + \frac{7}{12}

→ナ,ニ,ヌ

T^{'} (a) = - \frac{a^{2}}{2} - \frac{a}{2} + \frac{1}{4} = - \frac{1}{4} (2 a^{2} + 2 a - 1)

T^{'} (a) = 0 \Rightarrow a = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{2} (> 0)

→ネノ,ハ,ヒ

a	0		$\frac{- 1 + \sqrt{3}}{2}$		1
T'	×	+	0	−	×
T	×	$↗$	最大	$↘$	×

→解説を隠す←

【2017年度センター試験.数学Ⅱ･B】第2問（必答問題）

　Oを原点とする座標平面上の放物線y=x2+1をCとし，点(a, 2a)をPとする。
(1)　点Pを通り，放物線Cに接する直線の方程式を求めよう。
　C上の点(t, t2+1)における接線の方程式は
y=アtx−t2+イ
である。この直線がPを通るとすると，tは方程式
t2−ウat+エa−オ=0
を満たすから，t=カa−キ，クである。よって，a≠ケのとき，Pを通るCの接線は2本あり，それらの方程式は
y=

(

コa−サ

)

x−シa2+スa･･･①
と
y=セx
である。

解説を読む

(1)
y'=2xだから，接線の方程式は
y−(t2+1)=2t(x−t)
y=2tx−t2+1→ア,イ

この直線がP(a, 2a)を通るとき
2a=2ta−t2+1
t2−2ta+(2a−1)=0
{t−(2a−1)}(t−1)=0
t=2a−1, 1→カ,キ,ク

2a−1≠1のとき，すなわちa≠1のとき，接線は2本になる
y=2(2a−1)x−(2a−1)2+1
=(4a−2)x−4a2+4a→コ,サ,シ,ス①
および
y=2x→セ
→解説を隠す←

(2)　(1)の方程式①で表される直線をℓとする。ℓとy軸との交点をR(0, r)とすると，r=−シa2+スaである。r>0となるのは，ソ<a<タのときであり，このとき，三角形OPRの面積Sは

S=チ

(

aツ−aテ

)

となる。

解説を読む

(2)
方程式①:y=(4a−2)x−4a2+4aがR(0, r)を通るから
r=−4a2+4a
r>0となるのは
−4a2+4a>0
4a2−4a<0
4a(a−1)<0
0<a<1→ソ,タ

OR=r(>0)，Pのx座標は(0<)a(<1)だから，△OPRの面積は

S = \frac{1}{2} \times r a = \frac{1}{2} {(- 4 a^{2} + 4 a) a}

= - 2 (a^{3} - a^{2})

= 2 (a^{2} - a^{3})

→チ,ツ,テ ※注

♪∀～勝手に批評～個人の感想～∅♥
※注：

- 2 (a^{3} - a^{2})

とすると，チが2文字になるから，

2 (a^{2} - a^{3})

を解答とするようであるが，トンチ遊びのようで，筆者には良い感じがしない

→解説を隠す←

　ソ<a<タのとき，Sの増減を調べると，Sは

ト

ナ

で最大値

ニ

ヌネ

をとることがわかる。

(3)　ソ<a<タのとき，放物線Cと(2)の直線ℓおよび2直線x=0, x=aで囲まれた図形の面積をTとすると

ノ

ハ

a3−ヒa2+フ

である。

ト

ナ

≦a<タの範囲において,Tはヘ。

　ヘに当てはまるものを，次の⓪～⑤のうちから一つ選べ。

⓪ 減少する　　① 極小値をとるが，極大値はとらない
② 増加する　　③ 極大値をとるが，極小値はとらない
④ 一定である　⑤ 極小値と極大値の両方をとる

解説を読む

S (a) = - 2 (a^{3} - a^{2})

S (a) = - 2 (3 a^{2} - 2 a) = - 2 a (3 a - 2)

a	0		$\frac{2}{3}$		1
S'	×	+	0	−	×
S	×	$↗$	$\frac{8}{27}$	$↘$	×

a = \frac{2}{3}

で最大値

\frac{8}{27}

をとる→ト,ナ,ニ,ヌネ

放物線Cの方程式は
y=x2+1
(2)の直線ℓの方程式は
y=(4a−2)x−4a2+4a
これらの差を区間0≦x≦aで積分する

T = \int_{0}^{a} {x^{2} + 1 - (4 a - 2) x + 4 a^{2} - 4 a} d x

= [\frac{x^{3}}{3} - (2 a - 1) x^{2} + (4 a^{2} - 4 a + 1) x]_{0}^{a}

= \frac{a^{3}}{3} - (2 a - 1) a^{2} + (4 a^{2} - 4 a + 1) a

= \frac{7}{3} a^{3} - 3 a^{2} + a

→ノ,ハ,ヒ,フ

T^{'} (a) = 7 a^{2} - 6 a + 1 = 7 (a - \frac{3}{7})^{2} - \frac{2}{7}

\frac{3}{7} < a

において増加，

\frac{3}{7} < \frac{2}{3}

だから

\frac{2}{3} ≦ a

のとき

T^{'} (a) = 7 a^{2} - 6 a + 1 ≧ T^{'} (\frac{2}{3}) = \frac{1}{9} > 0

a	$\frac{2}{3}$		1
T'	0	+
T		$↗$

したがって，②増加する→ヘ →解説を隠す←

【2018年度センター試験.数学Ⅱ･B】第2問（必答問題）

〔1〕　p>0とする。座標平面上の放物線y=px2+qx+rをCとし，直線y=2x−1をℓとする。Cは点A(1, 1)においてℓと接しているとする。

(1)　qとrを，pを用いて表そう。放物線C上の点Aにおける接線ℓの傾きはアであることから，
q=イウp+エがわかる。さらに，Cは点Aを通ることから，r=p−オとなる。

解説を読む

[1](1)
y=2x−1のとき，y'=2だから
　接線ℓの傾きは2→ア

y=px2+qx+rについて，y'=2px+q
　点A(1, 1)における接線の傾きは，2p+q=2
　したがって，q=−2p+2→イウ,エ (#1)

放物線y=px2+qx+rが点A(1, 1)を通るから
　1=p+q+r (#2)
(#2)に(#1)を代入
　1=p+(−2p+2)+r
　r=p−1→オ (#3)
→解説を隠す←

(2)　

v > 1

とする。放物線Cと直線ℓおよび直線

x = v

で囲まれた図形の面積Sは

カ

(v^{3} -

キ

v^{2} +

ク

v -

ケ

)

である。また，x軸とℓおよび2直線x=1,

x = v

で囲まれた図形の面積Tは，T=

v

コ−

v

である。
　U=S−Tは

v = 2

で極値をとるとする。このとき，p=サであり，

v > 1

の範囲でU=0となる

v

の値を

v_{0}

と

すると，

v_{0}

シ+

\sqrt{}

ス　

セ

である。

1 < v < v_{0}

の範囲

でUはソ。　ソに当てはまるものを，次の⓪～④のうちから一つ選べ。

⓪つねに増加する ①つねに減少する ②正の値のみをとる
③負の値のみをとる ④正と負のどちらの値もとる

　p=サのとき，

v > 1

におけるUの最小値はタチである。

解説を読む

(2)

S = \int_{1}^{v} {p x^{2} + q x + r - (2 x - 1)} d x

= \int_{1}^{v} {p x^{2} + (- 2 p + 2) x + (p - 1) - (2 x - 1)} d x

= \int_{1}^{v} (p x^{2} - 2 p x + p) d x

= p \int_{1}^{v} (x - 1)^{2} d x

= p [\frac{(x - 1)^{3}}{3}]_{1}^{v}

= \frac{p (v - 1)^{3}}{3} = \frac{p}{3} (v^{3} - 3 v^{2} + 3 v - 1)

→カ,キ,ク,ケ

T = \int_{1}^{v} (2 x - 1) d x

= [x^{2} - x]_{1}^{v}

= v^{2} - v - (1 - 1) = v^{2} - v

→コ

U = S - T = \frac{p}{3} (v - 1)^{3} - (v^{2} - v)

U^{'} = p (v - 1)^{2} - 2 v + 1

v = 2

のとき

U^{'} = 0

となる場合
p=3→サ
このとき

U = (v - 1)^{3} - (v^{2} - v) = (v - 1) (v^{2} - 3 v + 1)

U^{'} = 3 (v - 1)^{2} - 2 v + 1 = 3 v^{2} - 8 v + 4

= (v - 2) (3 v - 2)

U = 0 \Rightarrow v = 1, \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}

v > 1

だから

U = 0 \Rightarrow v = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}

≒2.6→シ,ス,セ

$v$	1		2		$v_{_{0}}$
U'	×	−	0	+	×
U	0	$↘$	−1	$↗$	0

1 < v < v_{0}

の範囲でUは負の値のみとる→③ソ

v > 1

におけるUの最小値は−1→タチ →解説を隠す←

〔2〕　関数f(x)はx≧1の範囲でつねにf(x)≦0を満たすとする。t>1のとき，曲線y=f(x)とx軸および2直線x=1, x=tで囲まれた図形の面積をWとする。tがt>1の範囲を動くとき，Wは，底辺の長さが2t2−2，他の2辺の長さがそれぞれt2+1の二等辺三角形の面積とつねに等しいとする。このとき，x>1におけるf(x)を求めよう。
　F(x)をf(x)の不定積分とする。一般に，F'(x)=ツ，W=テが成り立つ。ツ，テに当てはまるものを，次の⓪～⑧のうちから一つずつ選べ。ただし，同じものを選んでもよい。

⓪ −F(t)

① F(t)

② F(t)−F(1)

③ F(t)+F(1)

④ −F(t)+F(1)

⑤ −F(t)−F(1)

⑥ −f(x)

⑦ f(x)

⑧ f(x)−f(1)

　したがって，t>1において

f(t)=トナtニ+ヌ
である。よって，x>1におけるf(x)が分かる。

解説を読む

〔2〕
F'(x)=f(x)→⑦ ツ

W = \int_{1}^{t} {- f (x)} d x

= [- F (x)]_{1}^{t} = - F (t) + F (1)

→④ テ

右図の直角三角形DEFにおいて，DF=t2+1，EF=t2−1だから，三平方の定理により
DE2+EF2=DF2
DE2+(t2−1)2=(t2+1)2
DE2=4t2
DE=2t (t>1)
W=2t(2t2−2)/2=2(t3−t)となるから
f(t)=−W'(t)=−2(3t2−1)=−6t2+2→トナ,ニ,ヌ

♪∀～勝手に批評～個人の感想～∅♥
　この問題の不定積分という用語と記号について，筆者の感想は別紙にあります

→解説を隠す←

【2019年度センター試験.数学Ⅱ･B】第2問（必答問題）

　p, qを実数とし，関数f(x)=x3+px2+qxはx=−1で極値2をとるとする。また，座標平面上の曲線y=f(x)をC，放物線y=−kx2をD，放物線D上の点(a, −ka2)をAとする。ただし，k>0, a>0である。

(1)　関数f(x)がx=−1で極値をとるので，f'(−1)=アである。これとf(−1)=2より，p=イ，q=ウエである。よって，f(x)はx=オで極小値カキをとる。

解説を読む

(1)
f(x)=x3+px2+qxを微分すると
f'(x)=3x2+2px+q
したがって
f'(−1)=3−2+q=0→ア　･･･(#1)
また，題意により
f(−1)=−1+p−q=2　･･･(#2)
(#1)(#2)をp, qの連立方程式として解くと
p=0, q=−3→イ,ウエ

f(x)=x3−3x
f'(x)=3x2−3=3(x+1)(x−1)
として増減表を作る

x	···	−1	···	1	···
f'(x)	+	0	−	0	+
f(x)	$↗$	2	$↘$	−2	$↗$

よって，f(x)はx=1で極小値−2をとる。
→解説を隠す←

(2)　点Aにおける放物線Dの接線をℓとする。Dとℓおよびx軸で囲まれた図形の面積Sをaとkを用いて表そう。
　ℓの方程式は
y=クケkax+kaコ　･･･①

と表せる。ℓとx軸の交点のx座標は

サ

シ

であり，D

とx軸および直線x=aで囲まれた図形の面積は

ス

aセ

である。よって，S=

ソタ

aセである。

解説を読む

D:y=−kx2について，y'=−2kx
x=aのとき，y=−ka2, y'=−2kaだから，接線ℓの方程式は
y+ka2=−2ka(x−a)
y=−2kax+ka2→クケ,コ　(#3)
(#3)においてy=0とおくと，ℓとx軸の交点の座標が求まる．

- 2 k a x + k a^{2} = 0

x = \frac{k a^{2}}{2 k a} = \frac{a}{2}

→サ,シ

Dとx軸および直線x=aで囲まれた図形の面積（右図の桃色で示した部分と水色で示した部分の和）は

\int_{0}^{a} k x^{2} d x = [\frac{k x^{3}}{3}]_{0}^{a} = \frac{k}{3} a^{3}

→ス,セ

右図の水色で示した部分の面積は

\frac{a}{2} \times k a^{2} \div 2 = \frac{k}{4} a^{3}

だから

S = \frac{k}{3} a^{3} - \frac{k}{4} a^{3} = \frac{k}{12} a^{3}

→ソタ
→解説を隠す←

(3)　さらに，点Aが曲線C上にあり，かつ(2)の接線ℓがCにも接するとする。このときの(2)のSの値を求めよう。

AがC上にあるので，k=

チ

ツ

−テである。

　ℓとCの接点のx座標をbとすると，ℓの方程式はbを用いて
y=ト(b2−ナ)x−ニb3　･･･②
と表される。

解説を読む

点A(a, −ka2)が曲線Cy=x3−3x上にあるから
−ka2=a3−3a
a>0だからa2で割れる

k = \frac{3}{a} - a

→チ,ツ,テ

点(b, b3−3b)における曲線Cの接線の方程式は
y−(b3−3b)=(3b2−3)(x−b)
y=3(b2−1)x−2b2→ト,ナ,ニ
→解説を隠す←

②の右辺をg(x)とおくと
f(x)−g(x)=(x−ヌ)2(x+ネb)
と因数分解されるので，a=−ネbとなる。①と②の

表す直線の傾きを比較することにより,a2=

ノハ

ヒ

である。

したがって，求めるSの値は

フ

ヘホ

である。

解説を読む

f(x)−g(x)=x3−3x−3(b2−1)x+2b3
=x3−3b2x+2b3
ここでx=bを代入すると0になるから，因数定理を用いて因数分解する
f(x)−g(x)=(x−b)(x2+bx−2b2)
=(x−b)2(x+2b)→ヌ,ネ

①は，y=−2kax+ka2
②は，y=3(b2−1)x−2b2
これらの傾きを比較すると
−2ka=3(b2−1)

さらに

k = \frac{3}{a} - a, a = - 2 b

も使うと

- 2 (\frac{3}{a} - a) a = 3 (\frac{a^{2}}{4} - 1)

- 6 + 2 a^{2} = \frac{3}{4} a^{2} - 3

a^{2} = \frac{12}{5}

→ノハ,ヒ

S = \frac{k}{12} a^{3} = \frac{1}{12} (\frac{3}{a} - a) \times a^{3} = \frac{a^{2}}{4} - \frac{a^{4}}{12}

= \frac{12}{5} - \frac{12}{25} = \frac{3}{25}

→フ,ヘホ
→解説を隠す←

【2020年度センター試験.数学Ⅱ･B】第2問（必答問題）

　a>0とし，f(x)=x2−(4a−2)x+4a2+1とおく。座標平面上で，放物線y=x2+2x+1をC，放物線y=f(x)をDとする。また，ℓをCとDの両方に接する直線とする。

(1)　ℓの方程式を求めよう。
　ℓとCは点(t, t2+2t+1)において接するとすると，ℓの方程式は
y=(アt+イ)x−t2+ウ　･･･①
である。また，ℓとDは点(s, f(s))において接するとすると，ℓの方程式は
y=(エs−オa+カ)x
−s2+キa2+ク　･･･②
である。ここで，①と②は同じ直線を表しているので，t=ケ，s=コaが成り立つ。
　したがって，ℓの方程式はy=サx+シである。

解説を読む

(1)
Cについて，y=x2+2x+1を微分すると，y'=2x+2
したがって，(t, t2+2t+1)における接線の方程式は
y−(t2+2t+1)=(2t+2)(x−t)
y=(2t+2)x−t2+1→ア,イ,ウ　①
また，Dについて，y=x2−(4a−2)x+4a2+1を微分すると，y'=2x−(4a−2)
したがって，(s, f(s))=(s, s2−(4a−2)s+4a2+1)における接線の方程式は
y−(s2−(4a−2)s+4a2+1)=(2s−(4a−2))(x−s)
y=(2s−4a+2)x−s2+4a2+1→エ,オ,カ,キ,ク　②

①②の係数を比較すると

2t+2=2s−4a+2
−t2+1=−s2+4a2+1
簡単にすると

s−t=2
(s−t)(s+t)=4a2
すなわち

s−t=2
s+t=2a
t=0, s=2a→ケ,コ
したがって，ℓの方程式は
y=2x+1→サ,シ
→解説を隠す←

(2)　二つの放物線C, Dの交点のx座標はスである。
　Cと直線ℓ，および直線x=スで囲まれた図形の面積をSとすると，

aセ

ソ

である。

(3)　

a ≧ \frac{1}{2}

とする。二つの放物線C, Dと直線ℓで囲まれた図形の中で0≦x≦1を満たす部分の面積Tは,a>タのとき，aの値によらず

チ

ツ

であり，

\frac{1}{2} ≦ a ≦

タのとき

T=−テa3+トa2−ナa+

ニ

ヌ

である。

(4)　次に，(2)(3)で定めたS, Tに対して，U=2T−3Sとおく。aが

\frac{1}{2} ≦ a ≦

タの範囲を動くとき，Uは

ネ

ノ

で最大値

ハ

ヒフ

をとる。

解説を読む

二つの放物線C, Dの交点のx座標は，次の連立方程式から

y=x2+2x+1･･･(C)
y=x2−(4a−2)x+4a2+1･･･(D)
C−D辺々引く
4ax−4a2=0（仮定により，a>0）
4a(x−a)=0
x=a→ス

S = \int_{0}^{a} {(x + 1)^{2} - (2 x + 1)} d x = \int_{0}^{a} x^{2} d x

= [\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{a} = \frac{a^{3}}{3}

→セ,ソ

a>1のとき→タ

T = \int_{0}^{1} {(x + 1)^{2} - (2 x + 1)} d x = \int_{0}^{1} x^{2} d x

= [\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} = \frac{1}{3}

→チ,ツ

\frac{1}{2} ≦ a ≦ 1

のとき
Dとℓのy座標の差は
x2−(4a−2)x+4a2+1−(2x+1)=(x−2a)2

T = S + \int_{a}^{1} (x - 2 a)^{2} d x = \frac{a^{3}}{3} + [\frac{(x - 2 a)^{3}}{3}]_{a}^{1}

= \frac{a^{3}}{3} + \frac{(1 - 2 a)^{3}}{3} - \frac{(a - 2 a)^{3}}{3} = \frac{2 a^{3}}{3} + \frac{(1 - 2 a)^{3}}{3}

= \frac{1}{3} {2 a^{3} + 1 - 6 a + 12 a^{2} - 8 a^{3}}

= - 2 a^{3} + 4 a^{2} - 2 a + \frac{1}{3}

→テ,ト,ナ,ニ,ヌ

数学Ⅱまでの範囲で

\int (x - α)^{n} d x = \frac{(x - α)^{n + 1}}{n + 1} + C

を
ア）　公式として覚えてもよい．
イ）　覚えていなくても，この問題のようにn=2のレベルなら，展開してから積分しても，十分間に合う．
ウ）　また，数学Ⅲまで習えば，簡単な置換積分によりこの公式を作ることができる．

U = 2 T - 2 S = - 4 a^{3} + 8 a^{2} - 4 a + \frac{2}{3} - a^{3}

= - 5 a^{3} + 8 a^{2} - 4 a + \frac{2}{3}

U^{'} = - 15 a^{2} + 16 a - 4 a = - (5 a - 2) (3 a - 2)

a	$\frac{1}{2}$		$\frac{2}{3}$		1
U’	×	+	0	−	×
U	×	$↗$	M	$↘$	×

M = \frac{2}{3}

のとき最大値

- 5 \times \frac{8}{27} + 8 \times \frac{4}{9} - 4 \times \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{2}{27}

をとる→ネ,ノ,ハ,ヒフ
→解説を隠す←

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