![]() ![]() *** 科目 *** 数Ⅰ・A数Ⅱ・B数Ⅲ高卒・大学初年度 *** 単元 *** 式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数 指数関数対数関数微分不定積分定積分 高次方程式数列漸化式と数学的帰納法 平面ベクトル空間ベクトル確率分布 ※高校数学Ⅱの「微分・導関数」について,このサイトには次の教材があります.
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は,他の頁を見てください. が現在地です. ↓平均変化率,極限値 ↓不定形の極限 ↓微分係数 ↓導関数の定義 ↓微分係数,導関数の定義(問題) ↓導関数の公式(問題) ↓導関数の符号,求め方 ↓増減表 ↓増減,極値,グラフ ↓絶対値付き関数の増減(問題) ↓最大値,最小値 ↓最大最小,文字係数とグラフ(問題) ↓接線の方程式 センター試験の数Ⅱ微積 ![]() |
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== センター試験.数Ⅱ微積(2013~) ==
【2013年度センター試験.数学Ⅱ・B】第2問(必答問題)
aを正の実数として,xの関数f(x)を
f(x)=x3−3a2x+a3
とする。関数y=f(x)は,x=アイで極大値ウaエをとり,x=オで極小値カaキをとる。このとき,2点 と原点を通る放物線
y=クx2−ケaコx
をCとする。原点におけるCの接線ℓの方程式は
y=サシaスx
である。また,原点を通りℓに垂直な直線mの方程式は
である。 |
解説を読む
f’(x)=3x2−3a2=3(x+a)(x−a)
a>0だから,増減表は次のようになる.
x=aのとき,極小値−a3をとる→オ,カ,キ 3点O(0, 0), P(−a, 3a3), Q(a, −a3)を通る放物線の方程式を y=Ax2+Bx+C とおく. O(0, 0)を通るから C=0・・・(#1) P(−a, 3a3)を通るから 3a3=Aa2−Ba+C・・・(#2) Q(a, −a3)を通るから −a3=Aa2+Ba+C・・・(#3) (#1)(#2)(#3)より A=a, B=−2a2, C=0 y=ax2−2a2x→ク,ケ,コ ⇒(#4)放物線C (#4)を微分すると y'=2ax−2a2 x=0のとき,y'=−2a2だから,接線ℓの方程式は y=−2a2x→サシ,ス 垂線mの方程式は
♪∀~勝手に批評~個人の感想~∅♥
ここまでは,誰でもできる.受験生間の差は出ない. |
x軸に関して放物線Cと対称な放物線
y=−クx2+ケaコx
をDとする。Dとℓで囲まれた図形の面積Sは
である。
である。Cとmで囲まれた図形の面積をTとする。
|
解説を読む
放物線C(#4)をx軸に関して対称に移動すると
y=−ax2+2a2x⇒放物線D 放物線Dと接線ℓ y=−2a2x の交点は −ax2+2a2x=−2a2x ax2−4a2x=0 ax(x−4a)=0 x=0, 4a
この計算は,いわゆる「6分の1公式」を使って短縮的に書いてもよい
放物線Cと直線mの交点は ![]() 代入してyを消去する x=0または
←いわゆる「6分の1公式」
S=Tとおくと
♪∀~勝手に批評~個人の感想~∅♥
内容的に高度なものではないが,方程式C, D,直線ℓ,mなどが,ずいぶん離れた場所に書かれていて,元の場所を探すだけで時間が取られる. anの変形が満載されているが,これがセンター試験としての指数計算の出題の仕方だと思えばよい.(公式暗記程度の問題から垢抜けした良問) |
【2014年度センター試験.数学Ⅱ・B】第2問(必答問題)
pを実数とし,f(x)=x3−pxとする。 (1) 関数f(x)が極値をもつためのpの条件を求めよう。f(x)の導関数は,f'(x)=アxイ−pである。したがって,f(x)がx=aで極値をとるならば, アxイ−p=ウが成り立つ。さらに,x=aの前後でのf'(x)の符号の変化を考えることにより,pが条件エを満たす場合は,f(x)は必ず極値をもつことがわかる。エに当てはまるものを,次の⓪~④のうちから一つ選べ。 ⓪ p=0 ① p>0 ② p≧0 ③ p<0 ④ p≦0 |
解説を読む |
(2) 関数f(x)が
f(x)が |
解説を読む
(2)
3a2−p=0 (p>0) p>0により p=3→オ p=3のとき 増減表は次のようになる.
|
曲線Cの接線で,点Aを通り傾きが0でないものをℓとする。ℓの方程式を求めよう。ℓとCの接点のx座標をbとすると,ℓは点(b, f(b))におけるCの接線であるから,ℓの方程式はbを用いて
y= と表すことができる。また,ℓは点Aを通るから,方程式 サb3−シb2+1=0
るが,ℓの傾きが0でないことから,ℓの方程式は
である。 |
解説を読む
y=(3b2−3)(x−b)+f(b)→ケ,コ が点A(1, −2)を通るから
−2=(3b2−3)(1−b)+(b3−3b) 2b3−3b2+1=0→サ,シ (b−1)(2b2−b−1)=0 (b−1)2(2b+1)=0 b≠0だから このとき,直線ℓの方程式は |
点Aを頂点とし,原点を通る放物線をDとする。ℓとDで囲まれた図形のうち,不等式x≧0の表す領域に含まれる部分の面積Sを求めよう。Dの方程式は
y=ニx2−ヌx
となる。 |
解説を読む |
【2015年度センター試験.数学Ⅱ・B】第2問(必答問題)
(1) 関数
したがって,求める微分係数は
である。 |
解説を読む |
(2) 放物線
である。点Qを通りℓに垂直な直線をmとすると,mの方程式は
である。 |
解説を読む |
直線mとy軸との交点をAとする。三角形APQの面積をSとおくと
となる。また,y軸と線分APおよび曲線Cによって囲まれた図形の面積をTとおくと
となる。 |
解説を読む![]() 直線APの方程式は 曲線Cの方程式は 積分区間は0≦x≦aだから,求める面積は
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6分の1公式ではできない,基本に忠実な良問だと思う |
a>0の範囲におけるS−Tの値について調べよう。
である。a>0であるから,S−T>0となるようなaのとり得る値の範囲はa>
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解説を読む a>0のときS−T>0となるaの範囲を求めると a>0のときのS−Tの増減は次の表のようになる
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【2016年度センター試験.数学Ⅱ・B】第2問(必答問題)
座標平面上で,放物線 (1) 実数aに対して,2直線x=a, x=a+1とC1,C2で囲まれた図形Dの面積Sは
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解説を読む |
(2) 4点(a, 0), (a+1, 0), (a+1, 1), (a, 1)を頂点とする正方形をRで表す。aがa≧0の範囲を動くとき,正方形Rと(1)の図形Dの共通部分の面積をTとおく。Tが最大となるaの値を求めよう。
直線y=1は,C1と(±ソ, 1)で,C2と(±タ, 1)で交わる。したがって,正方形Rと図形Dの共通部分が空集合にならないのは,0≦a≦チのときである。 |
解説を読む![]() --図1-- C1との交点は(±1, 1)→ソ C2との交点は(±2, 1)→タ 右図の赤枠で示した正方形Rが図形Dとの共通部分がある限界だから,0≦a≦2→チ |
ソ≦a≦チのとき,正方形Rは放物線C1とx軸の間にあり,この範囲でaが増加するとき,Tはツ。ツに当てはまるものを,次の⓪~②のうちから一つ選べ。
⓪ 増加する ① 減少する ② 変化しない
したがって,Tが最大になるaの値は,0≦a≦ソの範囲にある。0≦a≦ソのとき,(1)の図形Dのうち,正方形Rの外側にある部分の面積Uは
である。よって,0≦a≦ソにおいて
である。①の右辺の増減を調べることにより,Tは
で最大値をとることがわかる。 |
解説を読む
図1から分かるように,1≦a≦2のとき,aが増加すれば,R, Dの共通部分Tの面積は減少する①→ツ
図1において,DのうちでRの外側にある部分Uの面積は
|
【2017年度センター試験.数学Ⅱ・B】第2問(必答問題)
Oを原点とする座標平面上の放物線y=x2+1をCとし,点(a, 2a)をPとする。 (1) 点Pを通り,放物線Cに接する直線の方程式を求めよう。 C上の点(t, t2+1)における接線の方程式は y=アtx−t2+イ である。この直線がPを通るとすると,tは方程式 t2−ウat+エa−オ=0 を満たすから,t=カa−キ,クである。よって,a≠ケのとき,Pを通るCの接線は2本あり,それらの方程式は y= と y=セx である。 |
解説を読む
(1)
y'=2xだから,接線の方程式は y−(t2+1)=2t(x−t) y=2tx−t2+1→ア,イ この直線がP(a, 2a)を通るとき 2a=2ta−t2+1 t2−2ta+(2a−1)=0 {t−(2a−1)}(t−1)=0 t=2a−1, 1→カ,キ,ク 2a−1≠1のとき,すなわちa≠1のとき,接線は2本になる y=2(2a−1)x−(2a−1)2+1 =(4a−2)x−4a2+4a→コ,サ,シ,ス① および y=2x→セ |
(2) (1)の方程式①で表される直線をℓとする。ℓとy軸との交点をR(0, r)とすると,r=−シa2+スaである。r>0となるのは,ソ<a<タのときであり,このとき,三角形OPRの面積Sは
S=チ となる。 |
解説を読む
(2)
方程式①:y=(4a−2)x−4a2+4aがR(0, r)を通るから r=−4a2+4a r>0となるのは −4a2+4a>0 4a2−4a<0 4a(a−1)<0 0<a<1→ソ,タ ![]()
♪∀~勝手に批評~個人の感想~∅♥
※注: |
ソ<a<タのとき,Sの増減を調べると,Sは
(3) ソ<a<タのとき,放物線Cと(2)の直線ℓおよび2直線x=0, x=aで囲まれた図形の面積をTとすると
ヘに当てはまるものを,次の⓪~⑤のうちから一つ選べ。
⓪ 減少する ① 極小値をとるが,極大値はとらない
② 増加する ③ 極大値をとるが,極小値はとらない ④ 一定である ⑤ 極小値と極大値の両方をとる |
解説を読む
放物線Cの方程式は y=x2+1 (2)の直線ℓの方程式は y=(4a−2)x−4a2+4a これらの差を区間0≦x≦aで積分する
|
【2018年度センター試験.数学Ⅱ・B】第2問(必答問題)
〔1〕 p>0とする。座標平面上の放物線y=px2+qx+rをCとし,直線y=2x−1をℓとする。Cは点A(1, 1)においてℓと接しているとする。
(1) qとrを,pを用いて表そう。放物線C上の点Aにおける接線ℓの傾きはアであることから,
q=イウp+エがわかる。さらに,Cは点Aを通ることから,r=p−オとなる。 |
解説を読む
[1](1)
y=2x−1のとき,y'=2だから 接線ℓの傾きは2→ア y=px2+qx+rについて,y'=2px+q 点A(1, 1)における接線の傾きは,2p+q=2 したがって,q=−2p+2→イウ,エ (#1) 放物線y=px2+qx+rが点A(1, 1)を通るから 1=p+q+r (#2) (#2)に(#1)を代入 1=p+(−2p+2)+r r=p−1→オ (#3) |
(2)
である。また,x軸とℓおよび2直線x=1, U=S−Tは
でUはソ。 ソに当てはまるものを,次の⓪~④のうちから一つ選べ。
⓪つねに増加する ①つねに減少する ②正の値のみをとる
p=サのとき,③負の値のみをとる ④正と負のどちらの値もとる |
解説を読む![]() p=3→サ このとき
|
〔2〕 関数f(x)はx≧1の範囲でつねにf(x)≦0を満たすとする。t>1のとき,曲線y=f(x)とx軸および2直線x=1, x=tで囲まれた図形の面積をWとする。tがt>1の範囲を動くとき,Wは,底辺の長さが2t2−2,他の2辺の長さがそれぞれt2+1の二等辺三角形の面積とつねに等しいとする。このとき,x>1におけるf(x)を求めよう。
F(x)をf(x)の不定積分とする。一般に,F'(x)=ツ,W=テが成り立つ。ツ,テに当てはまるものを,次の⓪~⑧のうちから一つずつ選べ。ただし,同じものを選んでもよい。 ⓪ −F(t)
① F(t)
② F(t)−F(1) ③ F(t)+F(1) ④ −F(t)+F(1) ⑤ −F(t)−F(1) ⑥ −f(x) ⑦ f(x) ⑧ f(x)−f(1) したがって,t>1において f(t)=トナtニ+ヌ である。よって,x>1におけるf(x)が分かる。 |
解説を読む |
【2019年度センター試験.数学Ⅱ・B】第2問(必答問題)
p, qを実数とし,関数f(x)=x3+px2+qxはx=−1で極値2をとるとする。また,座標平面上の曲線y=f(x)をC,放物線y=−kx2をD,放物線D上の点(a, −ka2)をAとする。ただし,k>0, a>0である。 (1) 関数f(x)がx=−1で極値をとるので,f'(−1)=アである。これとf(−1)=2より,p=イ,q=ウエである。よって,f(x)はx=オで極小値カキをとる。 |
解説を読む
(1)
f(x)=x3+px2+qxを微分すると f'(x)=3x2+2px+q したがって f'(−1)=3−2+q=0→ア ・・・(#1) また,題意により f(−1)=−1+p−q=2 ・・・(#2) (#1)(#2)をp, qの連立方程式として解くと p=0, q=−3→イ,ウエ f(x)=x3−3x f'(x)=3x2−3=3(x+1)(x−1) として増減表を作る
|
(2) 点Aにおける放物線Dの接線をℓとする。Dとℓおよびx軸で囲まれた図形の面積Sをaとkを用いて表そう。
ℓの方程式は y=クケkax+kaコ ・・・①
|
解説を読む![]() x=aのとき,y=−ka2, y'=−2kaだから,接線ℓの方程式は y+ka2=−2ka(x−a) y=−2kax+ka2→クケ,コ (#3) (#3)においてy=0とおくと,ℓとx軸の交点の座標が求まる. Dとx軸および直線x=aで囲まれた図形の面積(右図の桃色で示した部分と水色で示した部分の和)は 右図の水色で示した部分の面積は だから |
(3) さらに,点Aが曲線C上にあり,かつ(2)の接線ℓがCにも接するとする。このときの(2)のSの値を求めよう。
ℓとCの接点のx座標をbとすると,ℓの方程式はbを用いて y=ト(b2−ナ)x−ニb3 ・・・② と表される。 |
解説を読む![]() −ka2=a3−3a a>0だからa2で割れる 点(b, b3−3b)における曲線Cの接線の方程式は y−(b3−3b)=(3b2−3)(x−b) y=3(b2−1)x−2b2→ト,ナ,ニ |
②の右辺をg(x)とおくと
f(x)−g(x)=(x−ヌ)2(x+ネb) と因数分解されるので,a=−ネbとなる。①と②の
|
解説を読む
f(x)−g(x)=x3−3x−3(b2−1)x+2b3
=x3−3b2x+2b3 ここでx=bを代入すると0になるから,因数定理を用いて因数分解する f(x)−g(x)=(x−b)(x2+bx−2b2) =(x−b)2(x+2b)→ヌ,ネ ①は,y=−2kax+ka2 ②は,y=3(b2−1)x−2b2 これらの傾きを比較すると −2ka=3(b2−1) さらに も使うと |
【2020年度センター試験.数学Ⅱ・B】第2問(必答問題)
a>0とし,f(x)=x2−(4a−2)x+4a2+1とおく。座標平面上で,放物線y=x2+2x+1をC,放物線y=f(x)をDとする。また,ℓをCとDの両方に接する直線とする。 (1) ℓの方程式を求めよう。 ℓとCは点(t, t2+2t+1)において接するとすると,ℓの方程式は y=(アt+イ)x−t2+ウ ・・・① である。また,ℓとDは点(s, f(s))において接するとすると,ℓの方程式は y=(エs−オa+カ)x −s2+キa2+ク ・・・② である。ここで,①と②は同じ直線を表しているので,t=ケ,s=コaが成り立つ。 したがって,ℓの方程式はy=サx+シである。 |
解説を読む
(1)
Cについて,y=x2+2x+1を微分すると,y'=2x+2 したがって,(t, t2+2t+1)における接線の方程式は y−(t2+2t+1)=(2t+2)(x−t) y=(2t+2)x−t2+1→ア,イ,ウ ① また,Dについて,y=x2−(4a−2)x+4a2+1を微分すると,y'=2x−(4a−2) したがって,(s, f(s))=(s, s2−(4a−2)s+4a2+1)における接線の方程式は y−(s2−(4a−2)s+4a2+1)=(2s−(4a−2))(x−s) y=(2s−4a+2)x−s2+4a2+1→エ,オ,カ,キ,ク ② ①②の係数を比較すると ![]() −t2+1=−s2+4a2+1 簡単にすると ![]() (s−t)(s+t)=4a2 すなわち ![]() s+t=2a t=0, s=2a→ケ,コ したがって,ℓの方程式は y=2x+1→サ,シ |
(2) 二つの放物線C, Dの交点のx座標はスである。
Cと直線ℓ,および直線x=スで囲まれた図形の面積をSとすると,
(3)
であり,
である。 (4) 次に,(2)(3)で定めたS, Tに対して,U=2T−3Sとおく。aが
|
解説を読む![]() ![]() y=x2−(4a−2)x+4a2+1・・・(D) C−D辺々引く 4ax−4a2=0(仮定により,a>0) 4a(x−a)=0 x=a→ス a>1のとき→タ Dとℓのy座標の差は x2−(4a−2)x+4a2+1−(2x+1)=(x−2a)2
数学Ⅱまでの範囲で
を ア) 公式として覚えてもよい. イ) 覚えていなくても,この問題のようにn=2のレベルなら,展開してから積分しても,十分間に合う. ウ) また,数学Ⅲまで習えば,簡単な置換積分によりこの公式を作ることができる.
をとる→ネ,ノ,ハ,ヒフ |
![]() ![]() |
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