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平均変化率,極限値
不定形の極限
微分係数
導関数の定義
微分係数,導関数の定義(問題)
導関数の公式(問題)
導関数の符号,求め方
増減表
増減,極値,グラフ
絶対値付き関数の増減(問題)
最大値,最小値
最大最小,文字係数とグラフ(問題)
接線の方程式
センター試験の数Ⅱ微積

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== センター試験.数Ⅱ微積(2013~) ==
【2013年度センター試験.数学Ⅱ・B】第2問(必答問題)
 aを正の実数として,xの関数f(x)
f(x)=x3−3a2x+a3
とする。
 関数y=f(x)は,x=アイで極大値aをとり,x=で極小値aをとる。このとき,2点
(アイa)(a)
と原点を通る放物線
y=x2ax
Cとする。原点におけるCの接線の方程式は
y=サシax
である。また,原点を通りに垂直な直線mの方程式は
y=
1
a
x

である。

解説を読む

 x軸に関して放物線Cと対称な放物線
y=−x2+ax
Dとする。Dで囲まれた図形の面積S
S=
タチ
a

である。
放物線Cと直線mの交点のx座標は,0
4a+1
2a

である。Cmで囲まれた図形の面積をTとする。
S=Tとなるのはa=
のときであり,このと

き,S=
である。


解説を読む

【2014年度センター試験.数学Ⅱ・B】第2問(必答問題)
 pを実数とし,f(x)=x3−pxとする。
(1) 関数f(x)が極値をもつためのpの条件を求めよう。f(x)の導関数は,f'(x)=x−pである。したがって,f(x)x=aで極値をとるならば,
 x−p=が成り立つ。さらに,x=aの前後でのf'(x)の符号の変化を考えることにより,pが条件を満たす場合は,f(x)は必ず極値をもつことがわかる。に当てはまるものを,次の⓪~④のうちから一つ選べ。
 ⓪ p=0 ① p>0 ② p≧0 ③ p<0 ④ p≦0

解説を読む

(2) 関数f(x)x=p3で極値をとるとする。また,曲線y=f(x)Cとし,C上の点(p3,f(p3))Aとする。
 f(x)x=p3で極値をとることから,p=であり,f(x)x=カキで極大値をとり,x=で極小値をとる。

解説を読む

 曲線Cの接線で,点Aを通り傾きが0でないものをとする。の方程式を求めよう。Cの接点のx座標をbとすると,は点(b, f(b))におけるCの接線であるから,の方程式はbを用いて
y=(b2)(x−b)+f(b)
と表すことができる。また,は点Aを通るから,方程式
b3b2+1=0
を得る。この方程式を解くと,b=
セソ
であ

るが,の傾きが0でないことから,の方程式は
y=
チツ
x+

である。

解説を読む

 点Aを頂点とし,原点を通る放物線をDとする。Dで囲まれた図形のうち,不等式x≧0の表す領域に含まれる部分の面積Sを求めよう。Dの方程式は
y=x2x
であるから,定積分を計算することにより,S=
ネノ
24

となる。

解説を読む

【2015年度センター試験.数学Ⅱ・B】第2問(必答問題)
(1) 関数f(x)=12x2x=aにおける微分係数f'(a)を求めよう。h0でないとき,xaからa+hまで変化す
るときのf(x)の平均変化率は+
h
である。

したがって,求める微分係数は
f'(a)=
lim
h→
(+
h
)=

である。

解説を読む

(2) 放物線y=12x2Cとし,C上に点P(a,12a2)をとる。ただし,a>0とする。点PにおけるCの接線の方程式は
y=x−
1
a2

である。直線x軸との交点Qの座標は(
, 0)

である。点Qを通りに垂直な直線をmとすると,mの方程式は
y=
ケコ
x+

である。

解説を読む

 直線my軸との交点をAとする。三角形APQの面積をSとおくと
S=
a(a2+)

となる。また,y軸と線分APおよび曲線Cによって囲まれた図形の面積をTとおくと
T=
a(a2+)
チツ

となる。

解説を読む

 a>0の範囲におけるS−Tの値について調べよう。
S−T=
a(a2)
トナ

である。a>0であるから,S−T>0となるようなaのとり得る値の範囲はa> である。また,a>0のときのS−Tの増減を調べると,S−Ta=で最小値
ネノ
ハヒ
をとることがわかる。


解説を読む

【2016年度センター試験.数学Ⅱ・B】第2問(必答問題)
 座標平面上で,放物線y=12x2+12C1とし,放物線y=14x2C2とする。
(1) 実数aに対して,2直線x=a, x=a+1C1C2で囲まれた図形Dの面積S
S=aa+1(
1
x2+
1
)dx

=
a2
+
a
+
カキ

である。Sa=
クケ
で最小値
サシ
スセ
をとる。


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(2) 4点(a, 0), (a+1, 0), (a+1, 1), (a, 1)を頂点とする正方形をRで表す。aa≧0の範囲を動くとき,正方形Rと(1)の図形Dの共通部分の面積をTとおく。Tが最大となるaの値を求めよう。
 直線y=1は,C1, 1)で,C2, 1)で交わる。したがって,正方形Rと図形Dの共通部分が空集合にならないのは,0≦a≦のときである。

解説を読む

 ≦a≦のとき,正方形Rは放物線C1x軸の間にあり,この範囲でaが増加するとき,Tに当てはまるものを,次の⓪~②のうちから一つ選べ。
⓪ 増加する  ① 減少する  ② 変化しない
 したがって,Tが最大になるaの値は,0≦a≦の範囲にある。
 0≦a≦のとき,(1)の図形Dのうち,正方形Rの外側にある部分の面積U
U=
a3
+
a2

である。よって,0≦a≦において
T=−
a3
a2
+
a
+
カキ
・・・①

である。①の右辺の増減を調べることにより,T
a=
ネノ+ 

で最大値をとることがわかる。

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【2017年度センター試験.数学Ⅱ・B】第2問(必答問題)
 Oを原点とする座標平面上の放物線y=x2+1Cとし,点(a, 2a)Pとする。
(1) 点Pを通り,放物線Cに接する直線の方程式を求めよう。
 C上の点(t, t2+1)における接線の方程式は
y=tx−t2+
である。この直線がPを通るとすると,tは方程式
t2at+a−=0
を満たすから,t=a−である。よって,a≠のとき,Pを通るCの接線は2本あり,それらの方程式は
y=(a−)x−a2+a・・・①

y=x
である。

解説を読む

(2) (1)の方程式①で表される直線をとする。y軸との交点をR(0, r)とすると,r=−a2+aである。r>0となるのは,<a<のときであり,このとき,三角形OPRの面積S
S=(a−a)
となる。

解説を読む

 <a<のとき,Sの増減を調べると,S
a=
で最大値
ヌネ
をとることがわかる。

(3) <a<のとき,放物線Cと(2)の直線および2直線x=0, x=aで囲まれた図形の面積をTとすると
T=
a3a2+

である。
≦a<の範囲において,T

 に当てはまるものを,次の⓪~⑤のうちから一つ選べ。
⓪ 減少する  ① 極小値をとるが,極大値はとらない
② 増加する  ③ 極大値をとるが,極小値はとらない
④ 一定である ⑤ 極小値と極大値の両方をとる

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【2018年度センター試験.数学Ⅱ・B】第2問(必答問題)
〔1〕 p>0とする。座標平面上の放物線y=px2+qx+rCとし,直線y=2x−1とする。Cは点A(1, 1)においてと接しているとする。
(1) qrを,pを用いて表そう。放物線C上の点Aにおける接線の傾きはであることから,
q=イウp+がわかる。さらに,Cは点Aを通ることから,r=p−となる。

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(2)  v>1とする。放物線Cと直線および直線 x=vで囲まれた図形の面積S
S=
p
(v3v2+v)

である。また,x軸とおよび2直線x=1, x=vで囲まれた図形の面積Tは,T=vvである。
 U=S−Tv=2で極値をとるとする。このとき,p=であり,v>1の範囲でU=0となる v の値を v0
すると, v0=
+ 
である。1<v<v0の範囲

U。 に当てはまるものを,次の⓪~④のうちから一つ選べ。
⓪つねに増加する ①つねに減少する ②正の値のみをとる
③負の値のみをとる ④正と負のどちらの値もとる
 p=のとき,v>1におけるUの最小値はタチである。

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〔2〕 関数f(x)x≧1の範囲でつねにf(x)≦0を満たすとする。t>1のとき,曲線y=f(x)x軸および2直線x=1, x=tで囲まれた図形の面積をWとする。tt>1の範囲を動くとき,Wは,底辺の長さが2t2−2,他の2辺の長さがそれぞれt2+1の二等辺三角形の面積とつねに等しいとする。このとき,x>1におけるf(x)を求めよう。
 F(x)f(x)の不定積分とする。一般に,F'(x)=W=が成り立つ。に当てはまるものを,次の⓪~⑧のうちから一つずつ選べ。ただし,同じものを選んでもよい。
−F(t)
F(t)
F(t)−F(1)

F(t)+F(1)
−F(t)+F(1)
−F(t)−F(1)

−f(x)
f(x)
f(x)−f(1)

 したがって,t>1において
f(t)=トナt+
である。よって,x>1におけるf(x)が分かる。

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【2019年度センター試験.数学Ⅱ・B】第2問(必答問題)
 p, qを実数とし,関数f(x)=x3+px2+qxx=−1で極値2をとるとする。また,座標平面上の曲線y=f(x)C,放物線y=−kx2D,放物線D上の点(a, −ka2)Aとする。ただし,k>0, a>0である。
(1) 関数f(x)x=−1で極値をとるので,f'(−1)=である。これとf(−1)=2より,p=q=ウエである。よって,f(x)x=で極小値カキをとる。

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(2) 点Aにおける放物線Dの接線をとする。Dおよびx軸で囲まれた図形の面積Sakを用いて表そう。
 の方程式は
y=クケkax+ka ・・・①
と表せる。x軸の交点のx座標は
であり,D

x軸および直線x=aで囲まれた図形の面積は
k
a

である。よって,S=
k
ソタ
aである。


解説を読む

(3) さらに,点Aが曲線C上にあり,かつ(2)の接線Cにも接するとする。このときの(2)のSの値を求めよう。
AC上にあるので,k=
である。

 Cの接点のx座標をbとすると,の方程式はbを用いて
y=(b2)x−b3 ・・・②
と表される。

解説を読む

②の右辺をg(x)とおくと
f(x)−g(x)=(x−)2(x+b)
と因数分解されるので,a=−bとなる。①と②の
表す直線の傾きを比較することにより,a2=
ノハ
である。

したがって,求めるSの値は
ヘホ
である。


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【2020年度センター試験.数学Ⅱ・B】第2問(必答問題)
 a>0とし,f(x)=x2−(4a−2)x+4a2+1とおく。座標平面上で,放物線y=x2+2x+1C,放物線y=f(x)Dとする。また,CDの両方に接する直線とする。
(1) の方程式を求めよう。
 Cは点(t, t2+2t+1)において接するとすると,の方程式は
y=(t+)x−t2+ ・・・①
である。また,Dは点(s, f(s))において接するとすると,の方程式は
y=(s−a+)x
−s2+a2+ ・・・②
である。ここで,①と②は同じ直線を表しているので,t=s=aが成り立つ。
 したがって,の方程式はy=x+である。

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(2) 二つの放物線C, Dの交点のx座標はである。
 Cと直線,および直線x=で囲まれた図形の面積をSとすると,
S=
a
である。

(3) a12とする。二つの放物線C, Dと直線で囲まれた図形の中で0≦x≦1を満たす部分の面積Tは,a>のとき,aの値によらず
T=

であり,12aのとき
T=−a3+a2a+

である。
(4) 次に,(2)(3)で定めたS, Tに対して,U=2T−3Sとおく。a12aの範囲を動くとき,U
a=
で最大値
ヒフ
をとる。


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