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鼠

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紺

茶

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桃

【2013年度センター試験.数学Ⅱ･B】第2問（必答問題）
　aを正の実数として，xの関数f(x)を とする。
　関数y=f(x)は，x=アイで極大値ウaエをとり，x=オで極小値カaキをとる。このとき，2点
$($アイ，ウaエ$)$，$($オ，カaキ$)$
と原点を通る放物線
をCとする。原点におけるCの接線ℓの方程式は
である。また，原点を通りℓに垂直な直線mの方程式は

y=

1

セaソ

x

である。

f’(x)=3x2−3a2=3(x+a)(x−a)
a>0だから，増減表は次のようになる．

x	···	−a	···	a	···
f'(x)	+	0	−	0	+
f(x)	$\nearrow$	3a3	$\searrow$	−a3	$\nearrow$

x=−aのとき，極大値3a3をとる→アイ,ウ,エ
x=aのとき，極小値−a3をとる→オ,カ,キ
3点O(0, 0), P(−a, 3a3), Q(a, −a3)を通る放物線の方程式を
y=Ax2+Bx+C
とおく．
O(0, 0)を通るから
C=0･･･(#1)
P(−a, 3a3)を通るから
3a3=Aa2−Ba+C･･･(#2)
Q(a, −a3)を通るから
−a3=Aa2+Ba+C･･･(#3)
(#1)(#2)(#3)より
A=a, B=−2a2, C=0
y=ax2−2a2x→ク,ケ,コ ⇒(#4)放物線C
(#4)を微分すると
y'=2ax−2a2
x=0のとき，y'=−2a2だから，接線ℓの方程式は
y=−2a2x→サシ,ス
垂線mの方程式は
$y={\displaystyle \frac{1}{2a^2}}x$→セ,ソ
→解説を隠す←

　x軸に関して放物線Cと対称な放物線
をDとする。Dとℓで囲まれた図形の面積Sは

S=

タチ

ツ

aテ

である。

放物線Cと直線mの交点のx座標は，0と

4aト+1

2aナ

である。Cとmで囲まれた図形の面積をTとする。

S=Tとなるのはaテ=

ニ

ヌ

のときであり，このと

き，S=

ネ

ノ

である。

放物線C(#4)をx軸に関して対称に移動すると
y=−ax2+2a2x⇒放物線D
放物線Dと接線ℓ
y=−2a2x
の交点は
−ax2+2a2x=−2a2x
ax2−4a2x=0
ax(x−4a)=0
x=0, 4a
${\displaystyle S={\int }_0^{4a}(-a{x}^2+4a^{2}x)dx}$
${\displaystyle ={[-\frac{a{x}^3}{3}+2a^2{x}^2]}_0^{4a}}$
${\displaystyle =\frac{32}{3}{a}^4}$→タチ,ツ,テ
放物線Cと直線mの交点は
y=ax2−2a2x･･･放物線C
${\displaystyle y=\frac{1}{2a^2}x}$･･･直線m
代入してyを消去する
${\displaystyle a{x}^2-2a^{2}x=\frac{1}{2a^2}x}$
$2a^3{x}^2-4a^{4}x=x$
$2a^3{x}^2-(4a^4+1)x=0$
$x\{2a^{3}x-(4a^4+1)\}=0$
x=0または$x={\displaystyle \frac{4a^4+1}{2a^3}}$→ト,ナ
$T={\displaystyle \frac{a}{6}}\times \{{\displaystyle \frac{4a^4}{2a^3}}{\}}^3$
$={\displaystyle \frac{(4a^4+1{)}^3}{48a^8}}$
S=Tとおくと
${\displaystyle \frac{(4a^4+1{)}^3}{48a^8}}={\displaystyle \frac{32}{3}}{a}^4$
$(4a^4+1{)}^3=2^9{a}^{12}(>0)$
$4a^4+1=8a^4$
$4a^4=1$
$a^4={\displaystyle \frac{1}{4}}$→ニ,ヌ
${\displaystyle S=\frac{32}{3}\times \frac{1}{4}=\frac{8}{3}}$→ネ,ノ
→解説を隠す←

【2014年度センター試験.数学Ⅱ･B】第2問（必答問題）
　pを実数とし，f(x)=x3−pxとする。
(1)　関数f(x)が極値をもつためのpの条件を求めよう。f(x)の導関数は，f'(x)=アxイ−pである。したがって，f(x)がx=aで極値をとるならば，
　アxイ−p=ウが成り立つ。さらに，x=aの前後でのf'(x)の符号の変化を考えることにより，pが条件エを満たす場合は，f(x)は必ず極値をもつことがわかる。エに当てはまるものを，次の⓪～④のうちから一つ選べ。
　⓪ p=0　① p>0　② p≧0　③ p<0　④ p≦0

(1)
f'(x)=3x2−p→ア,イ
x=aで極値をとるならば，3a2−p=0→ウ
pが条件p>0:①を満たす場合は，f(x)は極値をもつ→エ
→解説を隠す←

(2)　関数f(x)が${\displaystyle x=\frac{p}{3}}$で極値をとるとする。また，曲線y=f(x)をCとし，C上の点${\displaystyle (\frac{p}{3},f(\frac{p}{3}))}$をAとする。
　f(x)が${\displaystyle x=\frac{p}{3}}$で極値をとることから，p=オであり，f(x)はx=カキで極大値をとり，x=クで極小値をとる。

(2)
3a2−p=0 (p>0)
${\displaystyle a=\frac{p}{3}}$のとき極値をとるから
${\displaystyle 3(\frac{p}{3}{)}^2-p=0}$
$p^2-3p=0$
$p(p-3)=0$
p>0により
p=3→オ
p=3のとき$a={\displaystyle \frac{p}{3}}=1$だから
増減表は次のようになる．

x	···	−1	···	1	···
f'(x)	+	0	−	0	+
f(x)	$\nearrow$	2	$\searrow$	−2	$\nearrow$

x=−1で極大値をとり，x=1で極小値をとる→カキ,ク
→解説を隠す←

　曲線Cの接線で，点Aを通り傾きが0でないものをℓとする。ℓの方程式を求めよう。ℓとCの接点のx座標をbとすると，ℓは点(b, f(b))におけるCの接線であるから，ℓの方程式はbを用いて
y=$($ケb2−コ$)$(x−b)+f(b)
と表すことができる。また，ℓは点Aを通るから，方程式
サb3−シb2+1=0

を得る。この方程式を解くと，b=ス，

セソ

タ

であ

るが，ℓの傾きが0でないことから，ℓの方程式は

y=

チツ

テ

x+

ト

ナ

である。

y=(3b2−3)(x−b)+f(b)→ケ,コ が点A(1, −2)を通るから
−2=(3b2−3)(1−b)+(b3−3b)
2b3−3b2+1=0→サ,シ
(b−1)(2b2−b−1)=0
(b−1)2(2b+1)=0
$b=0,-{\displaystyle \frac{1}{2}}$→ス,セソ
b≠0だから
$b=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$
このとき，直線ℓの方程式は
$y=({\displaystyle \frac{3}{4}}-3)(x+{\displaystyle \frac{1}{2}})+{\displaystyle \frac{11}{8}}$
$y=-{\displaystyle \frac{9}{4}}x+{\displaystyle \frac{1}{4}}$→チツ,テ,ト,ナ
→解説を隠す←

　点Aを頂点とし，原点を通る放物線をDとする。ℓとDで囲まれた図形のうち，不等式x≧0の表す領域に含まれる部分の面積Sを求めよう。Dの方程式は
y=ニx2−ヌx

であるから，定積分を計算することにより，S=

ネノ

24

となる。

Dの方程式は
y=2(x−1)2−2=2x2−4x→ニ,ヌ
${\displaystyle S={\int }_0^1\{-\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}-(2x^2-4x)\}dx}$
${\displaystyle ={\int }_0^1(-2x^2+\frac{7}{4}x+\frac{1}{4})dx}$
${\displaystyle =[-\frac{2}{3}{x}^3+\frac{7}{8}{x}^2+\frac{1}{4}x{]}_0^1}$
${\displaystyle =\frac{11}{24}}$→ネノ
→解説を隠す←

【2015年度センター試験.数学Ⅱ･B】第2問（必答問題）
(1)　関数${\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}{x}^2}$のx=aにおける微分係数f'(a)を求めよう。hが0でないとき，xがaからa+hまで変化す

るときのf(x)の平均変化率はア+

h

イ

である。

したがって，求める微分係数は

f'(a)=

lim

h→ウ

$($ア+

h

イ

$)$=エ

である。

(1)
xがaからa+hまで変化するときのf(x)の平均変化率は
${\displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}=\frac{\frac{1}{2}(a+h{)}^2-\frac{1}{2}{a}^2}{h}}$
${\displaystyle =\frac{2ah+h^2}{2h}=a+\frac{h}{2}}$→ア,イ
微分係数は
${\displaystyle f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{lim}(a+\frac{h}{2})=a}$→ウ,エ
→解説を隠す←

(2)　放物線${\displaystyle y=\frac{1}{2}{x}^2}$をCとし，C上に点${\displaystyle P(a,\frac{1}{2}{a}^2)}$をとる。ただし，a>0とする。点PにおけるCの接線ℓの方程式は

y=オx−

1

カ

a2

である。直線ℓとx軸との交点Qの座標は$($

キ

ク

, 0$)$

である。点Qを通りℓに垂直な直線をmとすると,mの方程式は

y=

ケコ

サ

x+

シ

ス

である。

(2)
f'(a)=aだから，接線ℓの方程式は
$y-{\displaystyle \frac{1}{2}}{a}^2=a(x-a)$
$y=ax-{\displaystyle \frac{1}{2}}{a}^2$→オ,カ
y=0とおくと
$ax-{\displaystyle \frac{1}{2}}{a}^2=0$
$Q({\displaystyle \frac{1}{2}}a,0)$
$x={\displaystyle \frac{1}{2}}a$→キ,ク
ℓに垂直な直線mの傾きは
$-{\displaystyle \frac{1}{a}}$
$Q({\displaystyle \frac{1}{2}}a,0)$を通り，傾き$-{\displaystyle \frac{1}{a}}$の直線の方程式は
${\displaystyle y=-\frac{1}{a}(x-\frac{1}{2}a)}$
${\displaystyle y=-\frac{1}{a}x+\frac{1}{2}}$→ケコ,サ,シ,ス
→解説を隠す←

　直線mとy軸との交点をAとする。三角形APQの面積をSとおくと

S=

a(a2+セ)

ソ

となる。また，y軸と線分APおよび曲線Cによって囲まれた図形の面積をTとおくと

T=

a(a2+タ)

チツ

となる。

${\displaystyle A(0,\frac{1}{2}),P(a,\frac{1}{2}{a}^2),Q(\frac{1}{2}a,0)}$において， AQとQPは垂直だから
${\displaystyle S=\frac{1}{2}AQ\times QP}$
${\displaystyle AQ=\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{a^2+1}}{2}}$
${\displaystyle QP=\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{a^4}{4}}=\frac{a\sqrt{a^2+1}}{2}}$
${\displaystyle S=\frac{1}{2}\times \frac{\sqrt{a^2+1}}{2}\times \frac{a\sqrt{a^2+1}}{2}=\frac{a(a^2+1)}{8}}$→セ,ソ
直線APの方程式は
${\displaystyle y-\frac{1}{2}=\frac{\frac{1}{2}{a}^2-\frac{1}{2}}{a}x}$
${\displaystyle y=\frac{a^2-1}{2a}x+\frac{1}{2}}$
曲線Cの方程式は
${\displaystyle y=\frac{1}{2}{x}^2}$
積分区間は0≦x≦aだから，求める面積は
${\displaystyle T={\int }_0^a(\frac{a^2-1}{2a}x+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}{x}^2)dx}$
${\displaystyle =[\frac{a^2-1}{4a}{x}^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{6}{x}^3{]}_0^a}$
${\displaystyle =\frac{a^2-1}{4a}{a}^3+\frac{1}{2}a-\frac{1}{6}{a}^3}$
${\displaystyle =\frac{a(a^2+3)}{12}}$→タ,チツ
→解説を隠す←

　a>0の範囲におけるS−Tの値について調べよう。

S−T=

a(a2−テ)

トナ

である。a>0であるから，S−T>0となるようなaのとり得る値の範囲はa>$\sqrt{}$ニ　である。また，a>0のときのS−Tの増減を調べると，S−Tはa=ヌで最小値

ネノ

ハヒ

をとることがわかる。

${\displaystyle S-T=\frac{a(a^2+1)}{8}-\frac{a(a^2+3)}{12}}$
${\displaystyle =\frac{a^3-3a}{24}=\frac{a(a^2-3)}{24}}$→テ,トナ
a>0のときS−T>0となるaの範囲を求めると
${\displaystyle \frac{a(a^2-3)}{24}>0}$
$a^2-3>0$
$a>\sqrt{3}$→ニ
a>0のときのS−Tの増減は次の表のようになる

a	0	···	1	···
(S−T)'	×	−	0	+
S−T	×	$\searrow$	$-\frac{1}{12}$	$\nearrow$

a=1のとき，最小値$-{\displaystyle \frac{1}{12}}$をとる→ヌ,ネノ,ハヒ
→解説を隠す←

【2016年度センター試験.数学Ⅱ･B】第2問（必答問題）
　座標平面上で，放物線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}$をC1とし，放物線$y={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2$をC2とする。
(1)　実数aに対して，2直線x=a, x=a+1とC1，C2で囲まれた図形Dの面積Sは

${\displaystyle S={\int }_a^{a+1}(}$

1

ア

x2+

1

イ

$)dx$

=

a2

ウ

+

a

エ

+

オ

カキ

である。Sはa=

クケ

コ

で最小値

サシ

スセ

をとる。

(1)
x≧0のとき，${\displaystyle \frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}{x}^2=\frac{1}{4}{x}^2+\frac{1}{2}(>0)}$だから
${\displaystyle S={\int }_a^{a+1}(\frac{1}{4}{x}^2+\frac{1}{2})dx}$→ア,イ
${\displaystyle =[\frac{1}{12}{x}^3+\frac{1}{2}x{]}_a^{a+1}}$
${\displaystyle =\frac{1}{12}\{(a+1{)}^3-a^3\}+\frac{1}{2}\{(a+1)-a\}}$
${\displaystyle =\frac{3a^2+3a+1}{12}+\frac{1}{2}=\frac{3a^2+3a+7}{12}}$
${\displaystyle =\frac{a^2}{4}+\frac{a}{4}+\frac{7}{12}}$→ウ,エ,オ,カキ
${\displaystyle S^{\prime }(a)=\frac{a}{2}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}(a+\frac{1}{2})}$

a		$-\frac{1}{2}$
S'	−	0	+
S	$\searrow$	$\frac{25}{48}$	$\nearrow$

$a=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，最小値${\displaystyle \frac{25}{48}}$をとる→クケ,コ,サシ,スセ
→解説を隠す←

(2)　4点(a, 0), (a+1, 0), (a+1, 1), (a, 1)を頂点とする正方形をRで表す。aがa≧0の範囲を動くとき，正方形Rと(1)の図形Dの共通部分の面積をTとおく。Tが最大となるaの値を求めよう。
　直線y=1は，C1と(±ソ, 1)で,C2と(±タ, 1)で交わる。したがって，正方形Rと図形Dの共通部分が空集合にならないのは，0≦a≦チのときである。

　${\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}=1$を解くと，x=±1
C1との交点は(±1, 1)→ソ
　${\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2=1$を解くと，x=±2
C2との交点は(±2, 1)→タ
　右図の赤枠で示した正方形Rが図形Dとの共通部分がある限界だから，0≦a≦2→チ
→解説を隠す←

　ソ≦a≦チのとき，正方形Rは放物線C1とx軸の間にあり，この範囲でaが増加するとき,Tはツ。ツに当てはまるものを，次の⓪～②のうちから一つ選べ。
　したがって，Tが最大になるaの値は，0≦a≦ソの範囲にある。
　0≦a≦ソのとき，(1)の図形Dのうち，正方形Rの外側にある部分の面積Uは

U=

a3

テ

+

a2

ト

である。よって，0≦a≦ソにおいて

T=−

a3

ナ

−

a2

ニ

+

a

ヌ

+

オ

カキ

･･･①

である。①の右辺の増減を調べることにより，Tは

a=

ネノ+$\sqrt{}$ハ

ヒ

で最大値をとることがわかる。

　図1から分かるように，1≦a≦2のとき，aが増加すれば，R, Dの共通部分Tの面積は減少する①→ツ
　図1において，DのうちでRの外側にある部分Uの面積は
${\displaystyle U={\int }_1^{a+1}(\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}-1)dx}$
${\displaystyle ={\int }_1^{a+1}(\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{2})dx}$
${\displaystyle =[\frac{1}{6}{x}^3-\frac{1}{2}x{]}_1^{a+1}}$
${\displaystyle =\frac{1}{6}(a+1{)}^3-\frac{1}{2}(a+1)-(\frac{1}{6}-\frac{1}{2})}$
${\displaystyle =\frac{1}{6}{a}^3+\frac{1}{2}{a}^2}$→テ,ト
${\displaystyle T=S-U=\frac{a^2}{4}+\frac{a}{4}+\frac{7}{12}-(\frac{1}{6}{a}^3+\frac{1}{2}{a}^2)}$ ${\displaystyle =-\frac{a^3}{6}-\frac{a^2}{4}+\frac{a}{4}+\frac{7}{12}}$→ナ,ニ,ヌ
${\displaystyle T^{\prime }(a)=-\frac{a^2}{2}-\frac{a}{2}+\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}(2a^2+2a-1)}$
${\displaystyle T^{\prime }(a)=0\Rightarrow a=\frac{-1+\sqrt{3}}{2}(>0)}$→ネノ,ハ,ヒ

a	0		$\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$		1
T'	×	+	0	−	×
T	×	$\nearrow$	最大	$\searrow$	×

→解説を隠す←

【2017年度センター試験.数学Ⅱ･B】第2問（必答問題）
　Oを原点とする座標平面上の放物線y=x2+1をCとし，点(a, 2a)をPとする。
(1)　点Pを通り，放物線Cに接する直線の方程式を求めよう。
　C上の点(t, t2+1)における接線の方程式は
y=アtx−t2+イ
である。この直線がPを通るとすると，tは方程式
t2−ウat+エa−オ=0
を満たすから，t=カa−キ，クである。よって，a≠ケのとき，Pを通るCの接線は2本あり，それらの方程式は
y=$($コa−サ$)$x−シa2+スa･･･①
と
y=セx
である。

(1)
y'=2xだから，接線の方程式は
y−(t2+1)=2t(x−t)
y=2tx−t2+1→ア,イ
この直線がP(a, 2a)を通るとき
2a=2ta−t2+1
t2−2ta+(2a−1)=0
{t−(2a−1)}(t−1)=0
t=2a−1, 1→カ,キ,ク
2a−1≠1のとき，すなわちa≠1のとき，接線は2本になる
y=2(2a−1)x−(2a−1)2+1
=(4a−2)x−4a2+4a→コ,サ,シ,ス①
および
y=2x→セ
→解説を隠す←

(2)　(1)の方程式①で表される直線をℓとする。ℓとy軸との交点をR(0, r)とすると，r=−シa2+スaである。r>0となるのは，ソ<a<タのときであり，このとき，三角形OPRの面積Sは
S=チ$($aツ−aテ$)$
となる。

(2)
方程式①:y=(4a−2)x−4a2+4aがR(0, r)を通るから
r=−4a2+4a
r>0となるのは
−4a2+4a>0
4a2−4a<0
4a(a−1)<0
0<a<1→ソ,タ
OR=r(>0)，Pのx座標は(0<)a(<1)だから，△OPRの面積は
${\displaystyle S=\frac{1}{2}\times ra=\frac{1}{2}\{(-4a^2+4a)a\}}$
$=-2(a^3-a^2)$
$=2(a^2-a^3)$→チ,ツ,テ ※注
→解説を隠す←

　ソ<a<タのとき，Sの増減を調べると，Sは

a=

ト

ナ

で最大値

ニ

ヌネ

をとることがわかる。

(3)　ソ<a<タのとき，放物線Cと(2)の直線ℓおよび2直線x=0, x=aで囲まれた図形の面積をTとすると

T=

ノ

ハ

a3−ヒa2+フ

である。

ト

ナ

≦a<タの範囲において,Tはヘ。

　ヘに当てはまるものを，次の⓪～⑤のうちから一つ選べ。

$S(a)=-2(a^3-a^2)$
$S(a)=-2(3a^2-2a)=-2a(3a-2)$

a	0		$\frac{2}{3}$		1
S'	×	+	0	−	×
S	×	$\nearrow$	$\frac{8}{27}$	$\searrow$	×

${\displaystyle a=\frac{2}{3}}$で最大値${\displaystyle \frac{8}{27}}$をとる→ト,ナ,ニ,ヌネ
放物線Cの方程式は
y=x2+1
(2)の直線ℓの方程式は
y=(4a−2)x−4a2+4a
これらの差を区間0≦x≦aで積分する
${\displaystyle T={\int }_0^a\{x^2+1-(4a-2)x+4a^2-4a\}dx}$
${\displaystyle =[\frac{x^3}{3}-(2a-1)x^2+(4a^2-4a+1)x{]}_0^a}$
${\displaystyle =\frac{a^3}{3}-(2a-1)a^2+(4a^2-4a+1)a}$
${\displaystyle =\frac{7}{3}{a}^3-3a^2+a}$→ノ,ハ,ヒ,フ
${\displaystyle T^{\prime }(a)=7a^2-6a+1=7(a-\frac{3}{7}{)}^2-\frac{2}{7}}$
${\displaystyle \frac{3}{7}<a}$において増加， ${\displaystyle \frac{3}{7}<\frac{2}{3}}$だから${\displaystyle \frac{2}{3}\leqq a}$のとき
${\displaystyle T^{\prime }(a)=7a^2-6a+1\geqq T^{\prime }(\frac{2}{3})=\frac{1}{9}>0}$

a	$\frac{2}{3}$		1
T'	0	+
T		$\nearrow$

したがって，②増加する→ヘ →解説を隠す←

【2018年度センター試験.数学Ⅱ･B】第2問（必答問題）
〔1〕　p>0とする。座標平面上の放物線y=px2+qx+rをCとし，直線y=2x−1をℓとする。Cは点A(1, 1)においてℓと接しているとする。

[1](1)
y=2x−1のとき，y'=2だから
　接線ℓの傾きは2→ア
y=px2+qx+rについて，y'=2px+q
　点A(1, 1)における接線の傾きは，2p+q=2
　したがって，q=−2p+2→イウ,エ (#1)
放物線y=px2+qx+rが点A(1, 1)を通るから
　1=p+q+r (#2)
(#2)に(#1)を代入
　1=p+(−2p+2)+r
　r=p−1→オ (#3)
→解説を隠す←

(2)　 $v>1$とする。放物線Cと直線ℓおよび直線 $x=v$で囲まれた図形の面積Sは

S=

p

カ

$(v^3-$キ$v^2+$ク$v-$ケ$)$

である。また，x軸とℓおよび2直線x=1, $x=v$で囲まれた図形の面積Tは，T=$v$コ−$v$である。
　U=S−Tは$v=2$で極値をとるとする。このとき，p=サであり，$v>1$の範囲でU=0となる $v$ の値を $v_0$ と

すると， $v_0$=

シ+$\sqrt{}$ス

セ

である。$1<v<v_0$の範囲

でUはソ。　ソに当てはまるものを，次の⓪～④のうちから一つ選べ。
　p=サのとき，$v>1$におけるUの最小値はタチである。

(2)
${\displaystyle S={\int }_1^v\{p{x}^2+qx+r-(2x-1)\}dx}$
${\displaystyle ={\int }_1^v\{p{x}^2+(-2p+2)x+(p-1)-(2x-1)\}dx}$
${\displaystyle ={\int }_1^v(p{x}^2-2px+p)dx}$
${\displaystyle =p{\int }_1^v(x-1{)}^{2}dx}$
${\displaystyle =p[\frac{(x-1{)}^3}{3}{]}_1^v}$
${\displaystyle =\frac{p(v-1{)}^3}{3}=\frac{p}{3}(v^3-3v^2+3v-1)}$→カ,キ,ク,ケ
${\displaystyle T={\int }_1^v(2x-1)dx}$$=[x^2-x{]}_1^v$
$=v^2-v-(1-1)=v^2-v$→コ
$U=S-T=\frac{p}{3}(v-1{)}^3-(v^2-v)$
$U^{\prime }=p(v-1{)}^2-2v+1$
$v=2$のとき$U^{\prime }=0$となる場合
p=3→サ
このとき
$U=(v-1{)}^3-(v^2-v)=(v-1)(v^2-3v+1)$
$U^{\prime }=3(v-1{)}^2-2v+1=3v^2-8v+4$
$=(v-2)(3v-2)$
${\displaystyle U=0\Rightarrow v=1,\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}}$
$v>1$だから${\displaystyle U=0\Rightarrow v=\frac{3+\sqrt{5}}{2}}$≒2.6→シ,ス,セ

$v$	1		2		$v_{{}_0}$
U'	×	−	0	+	×
U	0	$\searrow$	−1	$\nearrow$	0

$1<v<v_0$の範囲でUは負の値のみとる→③ソ
$v>1$におけるUの最小値は−1→タチ →解説を隠す←

〔2〕　関数f(x)はx≧1の範囲でつねにf(x)≦0を満たすとする。t>1のとき，曲線y=f(x)とx軸および2直線x=1, x=tで囲まれた図形の面積をWとする。tがt>1の範囲を動くとき，Wは，底辺の長さが2t2−2，他の2辺の長さがそれぞれt2+1の二等辺三角形の面積とつねに等しいとする。このとき，x>1におけるf(x)を求めよう。
　F(x)をf(x)の不定積分とする。一般に，F'(x)=ツ，W=テが成り立つ。ツ，テに当てはまるものを，次の⓪～⑧のうちから一つずつ選べ。ただし，同じものを選んでもよい。



　したがって，t>1において
f(t)=トナtニ+ヌ
である。よって，x>1におけるf(x)が分かる。

〔2〕
F'(x)=f(x)→⑦ ツ
${\displaystyle W={\int }_1^t\{-f(x)\}dx}$
${\displaystyle =[-F(x){]}_1^t=-F(t)+F(1)}$→④ テ
右図の直角三角形DEFにおいて，DF=t2+1，EF=t2−1だから，三平方の定理により
DE2+EF2=DF2
DE2+(t2−1)2=(t2+1)2
DE2=4t2
DE=2t (t>1)
W=2t(2t2−2)/2=2(t3−t)となるから
f(t)=−W'(t)=−2(3t2−1)=−6t2+2→トナ,ニ,ヌ
→解説を隠す←

【2019年度センター試験.数学Ⅱ･B】第2問（必答問題）
　p, qを実数とし，関数f(x)=x3+px2+qxはx=−1で極値2をとるとする。また，座標平面上の曲線y=f(x)をC，放物線y=−kx2をD，放物線D上の点(a, −ka2)をAとする。ただし，k>0, a>0である。
(1)　関数f(x)がx=−1で極値をとるので，f'(−1)=アである。これとf(−1)=2より，p=イ，q=ウエである。よって，f(x)はx=オで極小値カキをとる。

(1)
f(x)=x3+px2+qxを微分すると
f'(x)=3x2+2px+q
したがって
f'(−1)=3−2+q=0→ア　･･･(#1)
また，題意により
f(−1)=−1+p−q=2　･･･(#2)
(#1)(#2)をp, qの連立方程式として解くと
p=0, q=−3→イ,ウエ
f(x)=x3−3x
f'(x)=3x2−3=3(x+1)(x−1)
として増減表を作る

x	···	−1	···	1	···
f'(x)	+	0	−	0	+
f(x)	$\nearrow$	2	$\searrow$	−2	$\nearrow$

よって，f(x)はx=1で極小値−2をとる。
→解説を隠す←

(2)　点Aにおける放物線Dの接線をℓとする。Dとℓおよびx軸で囲まれた図形の面積Sをaとkを用いて表そう。
　ℓの方程式は
y=クケkax+kaコ　･･･①

と表せる。ℓとx軸の交点のx座標は

サ

シ

であり，D

とx軸および直線x=aで囲まれた図形の面積は

k

ス

aセ

である。よって，S=

k

ソタ

aセである。

D:y=−kx2について，y'=−2kx
x=aのとき，y=−ka2, y'=−2kaだから，接線ℓの方程式は
y+ka2=−2ka(x−a)
y=−2kax+ka2→クケ,コ　(#3)
(#3)においてy=0とおくと，ℓとx軸の交点の座標が求まる．
$-2kax+k{a}^2=0$
${\displaystyle x=\frac{k{a}^2}{2ka}=\frac{a}{2}}$→サ,シ
Dとx軸および直線x=aで囲まれた図形の面積（右図の桃色で示した部分と水色で示した部分の和）は
${\displaystyle {\int }_0^{a}k{x}^{2}dx=[\frac{k{x}^3}{3}{]}_0^a=\frac{k}{3}{a}^3}$→ス,セ
右図の水色で示した部分の面積は
${\displaystyle \frac{a}{2}\times k{a}^2÷2=\frac{k}{4}{a}^3}$
だから
${\displaystyle S=\frac{k}{3}{a}^3-\frac{k}{4}{a}^3=\frac{k}{12}{a}^3}$→ソタ
→解説を隠す←

(3)　さらに，点Aが曲線C上にあり，かつ(2)の接線ℓがCにも接するとする。このときの(2)のSの値を求めよう。

AがC上にあるので，k=

チ

ツ

−テである。

　ℓとCの接点のx座標をbとすると，ℓの方程式はbを用いて
y=ト(b2−ナ)x−ニb3　･･･②
と表される。

点A(a, −ka2)が曲線Cy=x3−3x上にあるから
−ka2=a3−3a
a>0だからa2で割れる
${\displaystyle k=\frac{3}{a}-a}$→チ,ツ,テ
点(b, b3−3b)における曲線Cの接線の方程式は
y−(b3−3b)=(3b2−3)(x−b)
y=3(b2−1)x−2b2→ト,ナ,ニ
→解説を隠す←

②の右辺をg(x)とおくと
f(x)−g(x)=(x−ヌ)2(x+ネb)
と因数分解されるので，a=−ネbとなる。①と②の

表す直線の傾きを比較することにより,a2=

ノハ

ヒ

である。

したがって，求めるSの値は

フ

ヘホ

である。

f(x)−g(x)=x3−3x−3(b2−1)x+2b3
=x3−3b2x+2b3
ここでx=bを代入すると0になるから，因数定理を用いて因数分解する
f(x)−g(x)=(x−b)(x2+bx−2b2)
=(x−b)2(x+2b)→ヌ,ネ
①は，y=−2kax+ka2
②は，y=3(b2−1)x−2b2
これらの傾きを比較すると
−2ka=3(b2−1)
さらに${\displaystyle k=\frac{3}{a}-a,a=-2b}$
も使うと
${\displaystyle -2(\frac{3}{a}-a)a=3(\frac{a^2}{4}-1)}$
${\displaystyle -6+2a^2=\frac{3}{4}{a}^2-3}$
${\displaystyle a^2=\frac{12}{5}}$→ノハ,ヒ
${\displaystyle S=\frac{k}{12}{a}^3=\frac{1}{12}(\frac{3}{a}-a)\times a^3=\frac{a^2}{4}-\frac{a^4}{12}}$
${\displaystyle =\frac{12}{5}-\frac{12}{25}=\frac{3}{25}}$→フ,ヘホ
→解説を隠す←

【2020年度センター試験.数学Ⅱ･B】第2問（必答問題）
　a>0とし，f(x)=x2−(4a−2)x+4a2+1とおく。座標平面上で，放物線y=x2+2x+1をC，放物線y=f(x)をDとする。また，ℓをCとDの両方に接する直線とする。
(1)　ℓの方程式を求めよう。
　ℓとCは点(t, t2+2t+1)において接するとすると，ℓの方程式は
y=(アt+イ)x−t2+ウ　･･･①
である。また，ℓとDは点(s, f(s))において接するとすると，ℓの方程式は
y=(エs−オa+カ)x
−s2+キa2+ク　･･･②
である。ここで，①と②は同じ直線を表しているので，t=ケ，s=コaが成り立つ。
　したがって，ℓの方程式はy=サx+シである。

(1)
Cについて，y=x2+2x+1を微分すると，y'=2x+2
したがって，(t, t2+2t+1)における接線の方程式は
y−(t2+2t+1)=(2t+2)(x−t)
y=(2t+2)x−t2+1→ア,イ,ウ　①
また，Dについて，y=x2−(4a−2)x+4a2+1を微分すると，y'=2x−(4a−2)
したがって，(s, f(s))=(s, s2−(4a−2)s+4a2+1)における接線の方程式は
y−(s2−(4a−2)s+4a2+1)=(2s−(4a−2))(x−s)
y=(2s−4a+2)x−s2+4a2+1→エ,オ,カ,キ,ク　②
①②の係数を比較すると
2t+2=2s−4a+2
−t2+1=−s2+4a2+1
簡単にすると
s−t=2
(s−t)(s+t)=4a2
すなわち
s−t=2
s+t=2a
t=0, s=2a→ケ,コ
したがって，ℓの方程式は
y=2x+1→サ,シ
→解説を隠す←

(2)　二つの放物線C, Dの交点のx座標はスである。
　Cと直線ℓ，および直線x=スで囲まれた図形の面積をSとすると，

S=

aセ

ソ

である。

(3)　${\displaystyle a\geqq \frac{1}{2}}$とする。二つの放物線C, Dと直線ℓで囲まれた図形の中で0≦x≦1を満たす部分の面積Tは,a>タのとき，aの値によらず

T=

チ

ツ

であり，${\displaystyle \frac{1}{2}\leqq a\leqq }$タのとき

T=−テa3+トa2−ナa+

ニ

ヌ

である。 (4)　次に，(2)(3)で定めたS, Tに対して，U=2T−3Sとおく。aが${\displaystyle \frac{1}{2}\leqq a\leqq }$タの範囲を動くとき，Uは

a=

ネ

ノ

で最大値

ハ

ヒフ

をとる。

二つの放物線C, Dの交点のx座標は，次の連立方程式から
y=x2+2x+1･･･(C)
y=x2−(4a−2)x+4a2+1･･･(D)
C−D辺々引く
4ax−4a2=0（仮定により，a>0）
4a(x−a)=0
x=a→ス
${\displaystyle S={\int }_0^a\{(x+1{)}^2-(2x+1)\}dx={\int }_0^a{x}^{2}dx}$
${\displaystyle =[\frac{x^3}{3}{]}_0^a=\frac{a^3}{3}}$→セ,ソ
a>1のとき→タ
${\displaystyle T={\int }_0^1\{(x+1{)}^2-(2x+1)\}dx={\int }_0^1{x}^{2}dx}$
${\displaystyle =[\frac{x^3}{3}{]}_0^1=\frac{1}{3}}$→チ,ツ
${\displaystyle \frac{1}{2}\leqq a\leqq 1}$のとき
Dとℓのy座標の差は
x2−(4a−2)x+4a2+1−(2x+1)=(x−2a)2
${\displaystyle T=S+{\int }_a^1(x-2a{)}^{2}dx=\frac{a^3}{3}+[\frac{(x-2a{)}^3}{3}{]}_a^1}$
${\displaystyle =\frac{a^3}{3}+\frac{(1-2a{)}^3}{3}-\frac{(a-2a{)}^3}{3}=\frac{2a^3}{3}+\frac{(1-2a{)}^3}{3}}$
${\displaystyle =\frac{1}{3}\{2a^3+1-6a+12a^2-8a^3\}}$
${\displaystyle =-2a^3+4a^2-2a+\frac{1}{3}}$→テ,ト,ナ,ニ,ヌ
${\displaystyle U=2T-2S=-4a^3+8a^2-4a+\frac{2}{3}-a^3}$
${\displaystyle =-5a^3+8a^2-4a+\frac{2}{3}}$
$U^{\prime }=-15a^2+16a-4a=-(5a-2)(3a-2)$

a	$\frac{1}{2}$		$\frac{2}{3}$		1
U’	×	+	0	−	×
U	×	$\nearrow$	M	$\searrow$	×

$M={\displaystyle \frac{2}{3}}$のとき最大値${\displaystyle -5\times \frac{8}{27}+8\times \frac{4}{9}-4\times \frac{2}{3}+\frac{2}{3}=\frac{2}{27}}$
をとる→ネ,ノ,ハ,ヒフ
→解説を隠す←