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【基本公式】
（解説）y=sin−1x →  dydx= 1 √1−x2 …(1)(−1<x<1) y=cos−1x → dydx= − 1√1−x2 …(2)(−1<x<1) y=tan−1x → dydx= 1x2+1 …(3)(−∞<x<∞) (1)← y=sin−1x とは x=siny (− π2≦y≦π2 , −1≦x≦1)となるyの値のことです．yの関数x=sinyをyで微分すると dxdy=cosyところで，三角関数の相互関係によりsin2θ+cos2θ=1だから cosy=± √1−sin2y=±√1−x2ただし，− π2≦y≦π2の場合は，cosy≧0したがって dxdy=√1−x2逆関数の微分法により dydx=1dxdy= 1√1−x2ここで，分母が0となる値を除いて，定義域を−1<x<1とする．
合成関数の微分法を使ってx=sinyをxで微分すると考えてもよい．
両辺をxで微分すると 1=  ddx(siny)合成関数の微分法 dzdx=dzdydydxにより ddx(siny)=ddy(siny) dydx=cosy dydxだから 1=cosy dydxゆえに dydx=1cosy= 1√1−x2 |
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(2)← y=cos−1x とは x=cosy (0≦y≦π , −1≦x≦1)となるyの値のことです． yの関数x=cosyをyで微分すると dxdy= − sinyところで，三角関数の相互関係によりsin2θ+cos2θ=1だから siny=± √1−cos2y=±√1−x2ただし，0≦y≦πの場合は，siny≧0 したがって dxdy= − √1−x2逆関数の微分法により dydx=1dxdy= − 1√1−x2ここで，分母が0となる値を除いて，定義域を−1<x<1とする．
y=sin−1xの場合と同様に，合成関数の微分法を使って示してもよい．
(3)← y=tan−1x とは x=tany (− π2<y<π2 , −∞<x<∞)となるyの値のことです．yの関数x=tanyをyで微分すると dxdy=1cos2yところで，三角関数の相互関係によりsin2θ+cos2θ=1だから tan2y+1= 1cos2yしたがって dxdy=tan2y+1=x2+1逆関数の微分法により dydx=1dxdy= 1x2+1
y=sin−1xの場合と同様に，合成関数の微分法を使って示してもよい．
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【例題１】
（解答）y=sin−1 x4 (−4<x<4)の導関数を求めてください．y=sin−1t , t= x4とおくと合成関数の微分法により dydx=dydtdtdx=1√1−t214=1√16−16t2=1√16−x2 |
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【例題２】
（解答）y=x sin−1x (−1<x<1)の導関数を求めてください． 積の微分法により dydx=(x)’sin−1x+x(sin−1x)’=sin−1x+x√1−x2 |
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【例題３】
（解答）y=cos−12x (− 12<x<12)の導関数を求めてください．y=cos−1t , t=2xとおくと 合成関数の微分法により dydx=dydtdtdx= − 1√1−t2·2= − 2√1−4x2 |
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【例題４】
（解答）y=tan−1(2−x)の導関数を求めてください． y=tan−1t , t=2−xとおくと 合成関数の微分法により dydx=dydtdtdx=1t2+1·(−1)= − 1(x−2)2+1 |
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○正しい番号を選択してください．
○番号をクリックすれば採点結果が表示され，解説を読むことができます．
［問題１］
次の関数の導関数を求めてください． y=sin−1 x3 (−3<x<3)1 dydx= 1√9−x2
2dydx= 3√9−x23 dydx= 1√1−9x2
4dydx= 3√1−9x2
解説
y=sin−1t , t=
x3とおくと合成関数の微分法により dydx=dydtdtdx=1√1−t213=1√9−x2→1
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［問題２］
次の関数の導関数を求めてください． y=sin−1 3x (− 13<x<13)1 dydx= 1√9−x2
2dydx= 3√9−x23 dydx= 1√1−9x2
4dydx= 3√1−9x2
解説
y=sin−1t , t=3xとおくと
合成関数の微分法により dydx=dydtdtdx= 1√1−t2·3= 3√1−9x2→4
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［問題３］
次の関数の導関数を求めてください． y=sin−1 1x (x>1)1 dydx= − x2√x−1
2dydx= − 1x2√x−13 dydx= − x√x2−1
4dydx= − 1x√x2−1
解説
y=sin−1t , t=
1xとおくと合成関数の微分法により dydx=dydtdtdx= 1√1−t2×(− 1x2 )= − 1x√x2−1→4
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［問題４］
次の関数の導関数を求めてください． y=cos−1 x2 (−2<x<2)1 dydx= − 1√4−x2
2dydx= − 2√4−x23 dydx= − 1√1−4x2
4dydx= − 2√1−4x2
解説
y=cos−1t , t=
x2とおくと合成関数の微分法により dydx=dydtdtdx= − 1√1−t2×12= − 1√4−x2→1
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y=tan−1t , t=
x4とおくと合成関数の微分法により dydx=dydtdtdx= 1t2+1×14= 1x216+1×14= 4x2+16→4
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［問題６］
次の関数の導関数を求めてください． y=tan−1 1x (x≠0)1 dydx= 1x2+1
2dydx= − 1x2+13 dydx= xx2+1
4dydx= − x2x2+1
解説
y=tan−1t , t=
1xとおくと合成関数の微分法により dydx=dydtdtdx= 1t2+1×(− 1x2)= − 11x2+1×1x2= − 1x2+1→2
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（参考） 次のような公式もある． ここで だから ここで だから  （英語の書物では， ここで だから この関数は，x≦−1, 1≦xで定義され，傾きはつねに負になる．  |
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■［個別の頁からの質問に対する回答］[逆三角関数の微分法について／17.5.17］
大学生ですが、高校の内容で分からないところがあったときに見ています。ネットの情報なのでスマホさえあればいつでも解説と例題を見ることができ重宝しています。更に大学範囲や例題が増えるととても嬉しいです。これからもよろしくお願いします。
■［個別の頁からの質問に対する回答］[逆三角関数の微分法について／17.5.8］
＝＞［作者］：連絡ありがとう． 解けなどという文面ではなく、求めてくださいと書いてあるので嬉しい。本当に嬉しい。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．自分の担当している生徒や受験生に対しては，教えるものと学ぶものという上限関係がはっきりしているので，伝統的な数学本のスタイルで「解け」といってもおかしくないのですが，Ｗｅｂ上の一時的な関わりではそれほど明確な上下関係はないので，敬語もありかなという感じです．ただし，教材作成に18年近くかかっていますので昔風に「解け」という文章も残っています． |
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