![]() ![]() *** 科目 *** 数Ⅰ・A数Ⅱ・B数Ⅲ高卒・大学初年度 *** 単元 *** 式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数 指数関数対数関数微分不定積分定積分 高次方程式数列漸化式と数学的帰納法 平面ベクトル空間ベクトル確率分布 ※高校数学Ⅱの「微分・導関数」について,このサイトには次の教材があります.
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==微分,増減,極値,グラフ== ♣♥~教科書入門レベル/楽しいワーク~♠♪
問題1 y=x3−3xの増減,極値を調べて,グラフを描いてください
導関数,増減表増減を調べる
x<−1, x>1で増加
−1<x<1で減少
「増減を調べよ」という問題に対して,左のように箇条書きで答えるのが正式であるが,増減表が書かれていればよいとすることも多い.(以下の問題も同様)
• 極値を求める
グラフを描く
x=−1のとき,極大値2
x=1のとき,極小値−2
• x軸,y軸との交点
y軸との交点は,x=0を代入すれば求められるから,正確なグラフを描くために,求めた方がよい
• これらの点を滑らかに結んで,グラフを描く
x=0のとき,y=0 x軸との交点は,3次方程式になるから,簡単に求まるときは,求めた方がよい(求まらないこともある) y=0のとき,x(x2−3)=0 →解説を隠す← |
問題2 y=2x3−3x2+1の増減,極値を調べて,グラフを描いてください
導関数,増減表増減を調べる 極値を求める
• 極値を求める
グラフを描く
x=0のとき,極大値1
x=1のとき,極小値0
• x軸,y軸との交点
y軸との交点は,x=0を代入すれば求められるから,正確なグラフを描くために,求めた方がよい
• これらの点を滑らかに結んで,グラフを描くx=0のとき,y=0 x軸との交点は,3次方程式になるから,簡単に求まるときは,求めた方がよい(求まらないこともある) y=0のとき,2x3−3x2+1=0 因数定理を用いて因数分解する f(x)=2x3−3x2+1とおくと,f(1)=0 f(x)はx−1で割り切れる(実は上の増減表を見れば,(x−1)2で割り切れることも分かる) 割り算すると,f(x)=(x−1)2(2x+1) (必ずとは言えないが,x=−1 → y=−4, x=2 → y=5も求めておくと,グラフが書きやすい) →解説を隠す← |
問題3 y=x3−x2−x+2の増減,極値を調べて,グラフを描いてください
導関数,増減表増減を調べる 極値を求める
• 極値を求める
グラフを描くx=1のとき,極小値1
• x軸,y軸との交点
y軸との交点は,x=0を代入すれば求められるから,正確なグラフを描くために,求めた方がよい
• これらの点を滑らかに結んで,グラフを描くx=0のとき,y=2 x軸との交点は,3次方程式になるから,簡単に求まるときは,求めた方がよい(求まらないこともある) この3次方程式は,簡単には因数分解できないから,x軸との交点は,求めないことにする (必ずとは言えないが,x=−1 → y=1, x=2 → y=4も求めておくと,グラフが書きやすい) →解説を隠す← |
問題4 y=−x3+3x2−2の増減,極値を調べて,グラフを描いてください
導関数,増減表増減を調べる 極値を求める
• 極値を求める
グラフを描く
x=2のとき,極大値2
x=0のとき,極小値−2
• x軸,y軸との交点
y軸との交点は,x=0を代入すれば求められるから,正確なグラフを描くために,求めた方がよい
増減表にある(x=0のとき,y=−2) x軸との交点は,3次方程式になるから,簡単に求まるときは,求めた方がよい(求まらないこともある) y=0のとき,x3−3x2+2=0 因数定理を用いて因数分解する f(x)=x3−3x2+2とおくと,f(1)=0 f(x)はx−1で割り切れる 割り算を行うと,f(x)=(x−1)(x2−2x−2) →解説を隠す← |
問題5 y=x3の増減,極値を調べて,グラフを描いてください
導関数,増減表増減を調べる
全区間で増加・・・(※下の参考1,2を読んでください)
極値を求める
• 極値を求める
グラフを描く
極値なし
増加から減少に「変化する」所を極大といい,減少から増加に「変化する」所を極小というので,増加から,中休み(y'=0)を経て再び増加になる場合は,増減の「変化はない」から極値ではない.
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[参考1]
• a<x<bのように端を含まない区間を開区間といい,「増減を調べよ」という問題に対して,次のどちらの形で答えてもよい.(どちらかが正しくて,どちらかが間違っているのではない)
a≦x≦bのように端を含む区間を閉区間という. • 数学Ⅱの段階で,踏み込んだ解説が書かれている教科書はないが,結論から言えば「開区間で増加であるならば,端の点を含めた閉区間で増加」「開区間で減少であるならば,端の点を含めた閉区間で減少」であるということがいえる. その証明は,数学Ⅲで習う「平均値の定理」でできる.(数学Ⅱではそこまで踏み込まない) • 教科書各社の「増加区間,減少区間」の書き方を数学ⅡⅢを通して見ると,「閉区間で書く答案が多数派」になっている. • 上記の問題1~4の解答も,閉区間で書くことができる(その方が多数派).
[参考2]
「閉区間で書く答案」にすると,y=x3のグラフは,「x≦0, 0≦xで増加」すなわち「xの全区間で増加」と言えます. また,いつも弁当で見ている(?), ![]() また,y=x3のグラフでは,「x≦0で増加」「0≦xで増加」,結局「全区間で増加」となります. |
問題6
導関数,増減表増減を調べる
全区間で減少
極値を求める
• 極値を求める
グラフを描く
極値なし
前問と同様,減少から中休み(y'=0)を経て再び減少になる場合は,増減の「変化はない」から極値ではない.
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問題7
導関数,増減表増減を調べる 極値を求める
• 極値を求める
グラフを描く
• x軸,y軸との交点
y軸との交点は,x=0を代入すれば求められるから,正確なグラフを描くために,求めた方がよい
x=0のとき,y=0 x軸との交点は, x2(3x2−x−3)=0より |
問題8
導関数,増減表増減を調べる 極値を求める
• 極値を求める
グラフを描く
• x軸,y軸との交点
y軸との交点は,x=0を代入すれば求められるから,正確なグラフを描くために,求めた方がよい
x=0のとき,y=0 x軸との交点は,原点以外は簡単に求められない(≒−1.5682) |
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