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（グーグルブロガー版）は，こちら⇒ ◇解説◇ 【平均変化率とは】
中学校の数学で，「変化の割合」と呼ばれるものを高校では「平均変化率」といいます。
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| 【例】 (1) 関数 y = x2 において， x の値が 1 から 2 まで変化するときの平均変化率は  22−122−1 = 3(2) 関数 f(x) = x2 において， x の値が 1.0 から 1.1 まで変化するときの平均変化率は 1.12−1.021.1−1.0 = 0.210.1 = 2.1
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(3) 関数 y = 2x2 において， x の値が 1 から a まで変化するときの平均変化率は2a2−2a−1 = 2(a−1)(a+1)a−1 = 2(a+1)
(4) 関数 f(x) = 2x2 において， x の値が 1 から 1+h まで変化するときの平均変化率は 2(1+h)2−2h = 4h+2h2h = 4+2h
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| ■問題1 次の平均変化率を求めなさい。 |
| ◇微分係数◇ 平均変化率の計算において， x の増分Δx を限りなく 0 に近づけるとき，Δx も Δy も 0 に近づきますが，その比はなくなりません。 右の図において， ΔyΔx は分母も分子も 0 に近づき，いわゆる不定形の極限になりますが，極限値はあります。 この極限値が，微分係数です。（右の図で点Aにおける接線の傾きに対応しています。） ◇微分係数の定義◇ 関数 y = f(x) の x = a における微分係数を f’(a) で表わし，次の式で定義します。 ◎ f’(a) = limh→0 f(a+h)−f(a)h ··· これが使いやすい。○ f’(a) = limΔx→0 f(a+Δx)−f(a)Δx ··· この書き方もある。○ f’(a) = limx→a f(x)−f(a)x−a ··· この書き方もある。微分係数の定義には，上の３つの式が使われますが，数IIでは◎が使いやすいでしょう。２つ目の式は，Δx2 などの記号を間違って使うおそれがあります。３つ目の式は，計算が複雑になります。 |
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| (例1) f(x) = x2 のとき，f’(3) を求めなさい。 (答案A) f’(3) = limh→0 f(3+h)−f(3)h = limh→0(3+h)2−32h= limh→0 6h+h2h = limh→0(6+h) = 6(答案B) f’(3) = limΔx→0 f(3+Δx)−f(3)Δx = limΔx→0(3+Δx)2−32Δx= limΔx→0 6Δx+(Δx)2Δx = limΔx→0(6+Δx) = 6注 上の(Δx)2 の代わりに Δx2 と書くとダメです。数学では，Δx2 は別の意味になります。 (答案C) f’(3) = limx→3 f(x)−f(3)x−3 = limx→3x2−32x−3= limx→3 (x−3)(x+3)x−3 = limx→3(x+3) = 6 |
(例2) f(x) = x2−x のとき，f’(a) を求めなさい。 (答案A) f’(a) = limh→0 f(a+h)−f(a)h= limh→0 {(a+h)2−(a+h)}−{a2−a}h= limh→0 {(a2+2ah+h2)−(a+h)}−{a2−a}h= limh→0 2ah−h+h2h= limh→0(2a−1+h) = 2a−1 (答案B) (答案C) ··· 略 (話題) １ 数学の教材では，「それ以前に習った内容」は全部前提になります。(例１)の(答案A)の説明で ··· f(x) の f はどこへ行った？ ··· という質問が意外に多い。（昔習ったことなので覚えていないらしい。） 次の式を見て，思い出してください。 f(x) = x2 のとき， f(3) = 32 f(3+h) = (3+h)2 ２ 数IIで登場する微分係数は，導関数の導入的な働きをしていて，後で習う導関数(微分)に x の値を代入すれば簡単に得られます。 |
| ◇解説◇（発展問題） | |
| 例１ 次の式を f’(a) で表わしなさい。 limh→0 f(a+2h)−f(a)h
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(考え方) 微分係数の定義 f’(a) = limh→0 f(a+h)−f(a)h が利用できるように変形します。特に，lim□→0 f(a+□)−f(a)□ = f’(a) が成り立つことに注意して，lim2h→0 f(a+2h)−f(a)2h = f’(a) を作ります。−−−−−−−−− limh→0 f(a+2h)−f(a)h
=
lim2h→0f(a+2h)−f(a)2h · 2hh= lim2h→0 f(a+2h)−f(a)2h
×2 = 2f’(a)
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例２ 次の式を f(a),f’(a),g(a),g’(a) を用いて表わしなさい。 limx→a f(x)g(a)−f(a)g(x)x−a
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limx→af(x)g(a)−f(a)g(x)x−a = limx→a f(x)g(a)−f(a)g(a)+f(a)g(a)−f(a)g(x)x−a= limx→a {f(x)−f(a)}g(a)+f(a){g(a)−g(x)}x−a= limx→a{ ( f(x)−f(a)x−a)g(a)−f(a) ( g(x)−g(a)x−a ) }= f’(a)g(a)−f(a)g’(a) |
■問題3 次の式をf(a), f'(a) を用いて表わしなさい。
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■［個別の頁からの質問に対する回答］[微分係数について／17.6.2］
問題2 (4)式の最後の方で、2bh+h^2+h / h となりますがその次で、分子全体をhで括ったらだめなんでしょうか？
■［個別の頁からの質問に対する回答］[微分係数 について／17.1.24］
＝＞［作者］：連絡ありがとう．それでよいです． わかりやすいです！
■［個別の頁からの質問に対する回答］[微分係数について／16.12.4］
＝＞［作者］：連絡ありがとう． 例２ 答案A f&rsquoになっています
＝＞［作者］：連絡ありがとう．セミコロンが１つ抜けていましたので追加しました． |
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