【実習１】
○　右の≪図１≫に示した曲線は
.y=x3+ax2+x…(*)
のグラフです．

○　３次関数y=x3+ax2+xのグラフが0≦x≦1の区間で単調増加となるような定数aの値の範囲を求めたい．

○　右図の赤で示した縦のスケールを適当にクリックして，(*)の曲線のaの値を変えると，実験的にはa≧−1.7...らしいということが分かりますが，これを数学の答案としてどのようにまとめたらよいかを考えてみます．

(A) f '(x)=0が実数解をもたない場合
(B) f '(x)=0が実数の重解をもつ場合
(C) f '(x)=0が異なる２つの実数解をもつ場合

f '(x)=3x2+2ax+1=0とした２次方程式について
D'=a2−3≦0より
−.√3√ni≦a≦.√3√niは合格

f '(x)=3x2+2ax+1=0の小さい方の解から x=.−a−.√a2−3√nnnni3nnnnnnnnn→1≦.−a−.√a2−3√nnnni3nnnnnnnnn…(C-1) 大きい方の解から
x=.−a+.√a2−3√nnnni3nnnnnnnnn→0≦.−a+.√a2−3√nnnni3nnnnnnnnn…(C-2)

y'=f '(0)≧0 ⇔ f '(0)=1は成り立つ…(1)
判別式D'>0 ⇔ D'=a2−3>0
⇔ a<−.√3√niまたはa>.√3√ni…(2)
−.a3n≦0 ⇔ a≧0…(3)
(1)(2)(3)よりa>.√3√ni

y'=f '(1)≧0 ⇔ 4+2a≧0 ⇔ a≧−2…(4)
判別式D'>0 ⇔ D'=a2−3>0
⇔ a<−.√3√niまたはa>.√3√ni…(5)
−.a3n≧1 ⇔ a≦−3…(6)
(4)(5)(6)を満たすaは存在しない

−.√3√ni≦a≦.√3√ni

aの現在値

※２次方程式の解の配置問題（解と定数の大小比較の問題）についてはこの頁参照

（考え方のポイント）
◇元の関数が，y=x3+ax2+xであるかy=x3+ax2+x+Cであるかは，結果に影響しておらず，f '(x)だけで増減をしらべることができるので，２次方程式3x2+2ax+1=0 の２つの解と区間0≦x≦1の配置だけを考えれば十分です．

【要点】
　３次関数の増減問題を，２次方程式の解の配置問題にしてしまう．

【実習２】
○　３次関数y=x3+x2+axのグラフが0≦x≦1の区間で単調増加となるような定数aの値の範囲を求めてください．

1−3a≦0 ⇔ a≧.13nは条件を満たす

判別式D'=1−3a>0 ⇔ a<.13n
f '(0)=a≧0
軸−.13n≦0…これは成立する
以上から，0≦a<.13n

判別式D'=1−3a>0 ⇔ a<.13n
f '(1)=5+a≧0
軸−.13n>1…これは成立しない
以上から，この条件を満たすaはない

aの値

aの値

問１３次関数y=x3−3ax2+3x−5が0≦x≦1の区間で単調増加となるような定数aの値の範囲を求めてください．

aの値

y'=3x2−6ax+3=3(x2−2ax+1)
２次方程式g(x)=x2−2ax+1=0について
(1) 重解または虚数解をもつときは，全区間で単調増加となるから条件を満たす． (2) 異なる２つの実数解をもつときは，次の２つの場合が条件を満たす． (i) 0以下の異なる２つの実数解をもつときは，0≦x≦1の区間でy'≧0となる．
(ii) 1以上の異なる２つの実数解をもつときは，0≦x≦1の区間でy'≧0となる． 以上より，a≦1 → 3

問２３次関数y=x3+ax2−3ax+3が0≦x≦1の区間で単調減少となるような定数aの値の範囲を求めてください．

aの値

y'=g(x)=3x2+2ax−3aについて
0≦x≦1の区間でg(x)≦0となるには，g(0)≦0かつg(1)≦0が条件となる．(*)
したがってa≧3 → 3
- - -
(*)の説明
g(x)=3x2+2ax−3a=0の２次方程式が重解をもつ場合や虚数解をもつ場合には，そもそもg(x)<0となるxが存在しないから，0≦x≦1の区間でもg(x)<0となることはできない．

D>0のときは，g(x)=0の２つの解と定数0,1の大小関係は図の(1)～(6)の場合に分かれるが，このうちで0≦x≦1の区間（の全部）でg(x)≦0となるのは(3)の場合だけ．
(3)において，g(0)≦0, g(1)≦0であれば，D>0は成り立つ．また，(3)(3’)(3”)のいずれでもよいから軸がどこにあるかは条件に影響しない．
したがって，(3)(3’)(3”)となる条件はg(0)≦0, g(1)≦0だけでよい．

問３３次関数y=.x33n+(a−1)x2+4x+2が−1≦x≦1
の区間で単調増加となるような定数aの値の範囲を求めてください．

aの値

y'=g(x)=x2+2(a−1)x+4=0について
D'=(a−1)2−4=a2−2a−3=(a+1)(a−3)
(1) D'≦0のときは，全区間で単調増加となるから条件を満たす．
(2) 異なる２つの実数解をもつときは，次の２つの場合が条件を満たす．
(i) −1以下の異なる２つの実数解をもつときは，−1≦x≦1の区間でy'≧0となる．
(ii) 1以上の異なる２つの実数解をもつときは，0≦x≦1の区間でy'≧0となる． 以上より，−.32n≦a≦.72n → 4

問４３次関数y=x3+ax2+2ax+1が−1<x<0の区間に極大値を，0<x<1の区間に極小値を持つように定数aの値の範囲を求めてください．

aの値

y'=g(x)=3x2+2ax+2aの符号が−1<x<0の区間で正から負に，0<x<1の区間で負から正に変化すればよい．
このためには， が必要かつ十分な条件となる(*)
※(1)においてg(−1)≧0とはしない理由，すなわち等号を含めない理由は，x=−1のとき極値になると題意に合わないから．

(2)においてg(0)≦0とはしない理由，すなわち等号を含めない理由は，g(0)=0のときは，重解になって極値がなくなり，題意に合わないから．

(3)においてg(1)≧0とはしない理由，すなわち等号を含めない理由は，x=1のとき極値になると題意に合わないから．

※(1)(2)(3)を指定すれば，判別式D>0は自動的に満たされる．
　また，軸がx=0よりも大きくても小さくても，どちらでもよいから，軸の方程式は条件に影響しない．