【解き方１】
　f(x) は n 次式として，両辺の次数からn を求める．

【解き方２】
　f(x) の最高次の項を，axⁿ として，a , n を求める．

【指数法則】
　x^mxⁿ=x^m+n　，(x^m)ⁿ=x^mn

次数の方程式の例２について いつも利用させて頂いております。 他の方も質問されておりましたが、f(x)が２次以上と１次以下で場合分けする根拠がどうしても理解できていません。 例１と状況は変わらないように思うのですが。 宜しくお願い致します。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．
(1) まず初めに，n=0すなわち定数項の場合，f(x)=a, f '(x)=0になります．したがって，左辺2f(x)は実際には2aになり，その最高次の項が2ax0=2aというのは成り立ちます．しかし，右辺xf '(x)+2x+6は実際には2x+6になり，最高次の項が0ax0=0というのは成り立ちません．
(2) n=1すなわち１次式の場合，f(x)=ax+b, f '(x)=aになります．したがって，左辺2f(x)は実際には2ax+2bになり，その最高次の項が2ax1=2aというのは成り立ちます．しかし，右辺xf '(x)+2x+6は実際にはax+2x+6になり，最高次の項が1ax1=axというのは成り立ちません．
このように，xf '(x)が１次式以下になる場合には，右辺xf '(x)+2x+6の最高次の項がnaxnとは言えないことになります．（2xだけが最高次の項になる場合と，2xも最高次の項に合流する場合があるので，分けずに議論できないということです．）

f(x)が定数の場合（例２ではn<=1のとき）を場合分けする説明があればありがたいです。 問題と例１ではn>=1，例２ではn>=2でやっていますが，これらをn>=0としてまとめて扱うことはなぜできないのでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．次の点に注意してください．
ｎ次式を微分したらｎ-1次式になるとは限らない･･･１つだけ例外があるのです．つまり無警戒に

としたら間違いとなる数ｎが１つあるのです．左の式はｎ＝０ならかろうじて成り立つように見えますがにはなりません．右の式でいえばとはなりません．
簡単なことですが，定数を微分すると０になります．（）したがって，上記の式でｎが０になる可能性があれば微分の形が変わるので，場合分けが必要となるのです．