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絶対値付きグラフの概形(問題)
次数の方程式

■　次数の方程式

○　次の答案で(　？　)の箇所に入る式を右の欄から選びなさい．
はじめに，(　？　)を選び，次に式を選びなさい．合っていれば確定し，間違っていれば元に戻る．
（習っていないと難しいので，歯が立たないときは下端の【考え方】を先に読むとよい）
【問題】　　　[ 1/ 4 ]
　次の関係を満たす多項式 f(x) を求めよ．
f(x)f ’(x)=2x { f(x)+f ’(x) } +8x
【答案】
f(x) を定数とすると左辺が 0，右辺が0となるのはf(x)=−4の場合．
f(x) を n 次式( n≧1 )とすると，左辺は n+(n−1)=2n−1 次，
右辺では 2xf(x) が一番次数が高く，その次数は n+1 だから
　　2n−1=n+1 より n=( 　? 　)
f(x)=ax2+bx+c　(a≠0) とおくと
f ’(x)=2ax+b
　　（左辺）=( 　? 　)x3+( 　? 　)x2+(b2+2ac)x+bc
　　（右辺）=( 　? 　)x3+( 　? 　)x2+(2b+2c+8)x
両辺の係数を比較して
　　2a(a−1)=0 , 3ab=2b+4a , b2+2ac=2b+2c+8 , bc=0
これを解くと，a=1 , b=4, c=0
よって，f(x)=x2+4x, −4
【考え方】

　関数 f(x) , f ’(x) の方程式から f(x) を求める問題は，数学IIIの微分方程式で扱われるが，f(x) が多項式であることが分かっているときは，単に次数 n の方程式を解けば求められることがある．

【解き方１】
　f(x) は n 次式として，両辺の次数からn を求める．
 例１
　次の関係を満たす多項式 f(x) を求めよ．
f(x)+f ’(x)=2x2+x−2
（答案）
　f(x) が定数のときは成り立たない．
　f(x) を n （≧1）次式とすると，左辺の項は各々n 次，n−1次だから，最高次は n 次．
　右辺の次数は 2 次．
ゆえに，n=2
　f(x)=ax2+bx+c （a≠0）とおいて，原式に代入すると，
（左辺）=ax2+(2a+b)x+(b+c)
（右辺）=2x2+x−2
係数を比較すると，a=2 , b =−3 , c=1
ゆえに，f(x)=2x2−3x+1···（答）
　問題の形によっては，次数 n だけではうまくいかないことがある．このときは，
【解き方２】
　f(x) の最高次の項を，axn として，a , n を求める．




なお，次の関係に注意
【指数法則】
　xmxn=xm+n　，(xm)n=xmn
例えば，xnxn−1=x2n−1　，(xn−1)2=x2n−2		 例２
　次の関係を満たす多項式 f(x) を求めよ．
2f(x)=xf ’(x)+2x+6···(1)
f(1)=6···(2)
（答案）
1) f(x) が2次以上のとき，
　f(x) の最高次の項を axn （a≠0）とすると，
　(1)より，
　左辺の最高次の項は，2axn
　右辺の最高次の項は，naxn
　これらが等しいから，na=2a → (n−2)a=0 （a≠0）
　ゆえに，n=2
f(x)=ax2+bx+c （a≠0）とおくと，
2ax2+2bx+2c=2ax2+(b+2)x+6
b=2 , c=3
このとき，f(x)=ax2+2x+3 が(2)を満たすためには，a=1
ゆえに，f(x)=x2+2x+3

2) f(x) が1次以下のとき，f(x)=ax+b とおくと，
　(1)より
　左辺=2ax+2b
　右辺=(a+2)x+6
　a=2 , b=3
　f(x)=2x+3 は(2)を満たさない．

　1)　2)より，f(x)=x2+2x+3···（答）
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■埼玉県[kunkunさん／17.4.19］
次数の方程式の例２について いつも利用させて頂いております。 他の方も質問されておりましたが、f(x)が２次以上と１次以下で場合分けする根拠がどうしても理解できていません。 例１と状況は変わらないように思うのですが。 宜しくお願い致します。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．
(1) まず初めに，n=0すなわち定数項の場合，f(x)=a, f '(x)=0になります．したがって，左辺2f(x)は実際には2aになり，その最高次の項が2ax0=2aというのは成り立ちます．しかし，右辺xf '(x)+2x+6は実際には2x+6になり，最高次の項が0ax0=0というのは成り立ちません．
(2) n=1すなわち１次式の場合，f(x)=ax+b, f '(x)=aになります．したがって，左辺2f(x)は実際には2ax+2bになり，その最高次の項が2ax1=2aというのは成り立ちます．しかし，右辺xf '(x)+2x+6は実際にはax+2x+6になり，最高次の項が1ax1=axというのは成り立ちません．
このように，xf '(x)が１次式以下になる場合には，右辺xf '(x)+2x+6の最高次の項がnaxnとは言えないことになります．（2xだけが最高次の項になる場合と，2xも最高次の項に合流する場合があるので，分けずに議論できないということです．）
■［個別の頁からの質問に対する回答］[次数の方程式について／17.1.11］
f(x)が定数の場合（例２ではn<=1のとき）を場合分けする説明があればありがたいです。 問題と例１ではn>=1，例２ではn>=2でやっていますが，これらをn>=0としてまとめて扱うことはなぜできないのでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．次の点に注意してください．
ｎ次式を微分したらｎ-1次式になるとは限らない･･･１つだけ例外があるのです．つまり無警戒に

としたら間違いとなる数ｎが１つあるのです．左の式はｎ＝０ならかろうじて成り立つように見えますがにはなりません．右の式でいえばとはなりません．
簡単なことですが，定数を微分すると０になります．（）したがって，上記の式でｎが０になる可能性があれば微分の形が変わるので，場合分けが必要となるのです．

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