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■３次方程式の実数解の個数（文字係数）
【実習１】
○ 右の≪図１≫に示した曲線は y=x3−3x−a…(*) のグラフです． ○ 右図の赤で示した縦のスケールを適当にクリックして，(*)の曲線のaの値を変えてください． 
３次関数y=x3−3x−aがx軸と異なる３点で交わるような定数aの値の範囲は−2<a<2
したがって ３次方程式x3−3x−a=0が異なる３つの実数解をもつような定数aの値の範囲は−2<a<2 上のように，３次方程式の実数解は３次関数のグラフを描けば分かりますが，一般には上の例のように「文字係数aを引きずったままグラフを動かして考える」のは取り扱いが難しいので，次のように「定数係数で固定されたグラフ」と「y=a」の直線の共有点（交点と接点）で調べる方が簡単になります．
【実習２】
○ 右の≪図２≫において，青色で示した曲線は y=x3−3x 赤色で示した直線は y=a…(**) のグラフです． ○ 右図の赤で示した縦のスケールを適当にクリックして，(**)の曲線のaの値を変えてください．
３次関数y=x3−3x−aとy=0との共有点の座標は
３次関数y=x3−3xと直線y=aとの共有点の座標に等しい． ３次方程式x3−3x=aが異なる３つの実数解をもつような定数aの値の範囲は−2<a<2 |
aの値
aの値
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【要点】
○文字係数を含んだ３次方程式や４次方程式の実数解の個数を調べるときは，なるべく文字係数を分離して f(x)=a の形にして， y=f(x) y=a の２つのグラフの共有点を調べる方が取り扱いが楽になる． ○ただし，x, x2, x3などの係数が文字の場合，やむを得ずそのまま（文字係数を引きずったまま）導関数を求めて増減を調べざるを得ないこともある． |
※ただし，y=x3−ax+1のような関数の場合， x3−ax+1=0 a=  x3+1xのように分けると，一方が分数関数となり数学IIIを習わなければできなくなります．このような問題では，無理やりaについて解くのは避けて， x3+1=ax として，原点を通る直線y=axとの共有点を調べる話にしてしまうなどの工夫をします． x3+ax2+x+2a=0 a(x2+2)=−x3−x のように，文字係数aを引きずっている方が結構難しくなる場合には，やむを得ず元の３次関数をそのまま微分して増減を調べなければならないこともあります． |
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【例題１】
３次方程式 2x3−3x2+2−a=0 の異なる実数解の個数を調べてください． （解答） 2x3−3x2+2=aと変形し， y1=2x3−3x2+2 y2=a の共有点の個数を調べる． y1'=6x2−6x=6x(x−1) だから，y1の増減表は次のようになる．
（ア） a<1のとき１個
（イ） a=1のとき２個 （ウ） 1<a<2のとき３個 （エ） a=2のとき２個 （オ） a>2のとき１個 |
aの値
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【例題２】
３次方程式 x3−3x2+a=0 が異なる３個の実数解をもつようなaの値の範囲を求めてください． （解答） −x3+3x2=aと変形し， y1=−x3+3x2 y2=a の共有点の個数を調べる． y1'=−3x2+6x=−3x(x−2) だから，y1の増減表は次のようになる．
0<a<4
※x3−3x2=−aと変形して調べてもよいが，この場合はaが増加すると横線は下がって来るので注意
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aの値
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【例題３】
３次方程式 2x3−3x2−12x+a=0 が異なる２つの正の実数解をもつようなaの値の範囲を求めてください． （解答） −2x3+3x2+12x=aと変形し， y1=−2x3+3x2+12x y2=a の共有点の個数を調べる． y1'=−6x2+6x+12=−6(x2−x−2) =−6(x+1)(x−2) だから，y1の増減表は次のようになる．
0<a<20 |
aの値
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【例題４】
３次関数y= x33−x2+3と直線y=3x+aとがx>0において異なる２点で交わるようなaの値の範囲を求めてください． （解答） x33−x2+3=3x+ax33−x2−3x+3=aと変形しy1= x33−x2−3x+3とy2=a の共有点の個数を調べる． y1'=x2−2x−3=(x+1)(x−3) だから，y1の増減表は次のようになる．
−6<a<3 
3なんて，どこから出てくるんだよ～
y軸との交点は， x=0を代入して求めます． |
aの値
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【例題５】
３次方程式2x3−3ax2+a=0が異なる3つの実数解をもつような正の定数aの値の範囲を求めてください．
この問題ではx2の係数が文字aになっており，無理やりaを分離しようとaについて解いてしまうと「分数関数」が登場してしまい，数IIの範囲をはみ出してしまいます．
（解答）このような問題では，やむを得ず文字係数を引きずったまま導関数を求めて，増減を調べます． y=2x3−3ax2+aとおく y'=6x2−6ax=6x(x−a) ここでa>0だから増減表は次のようになる．
a>0…(1) −a3+a<0…(2) 問題の仮定により(1)は成り立つ． 
(2)よりa3−a>0 a(a2−1)>0 a(a+1)(a−1)>0 右図よりa>0の範囲では a>1 |
aの値
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問１３次方程式x3+3x2+a−3=0が異なる3つの実数解をもつような定数aの値の範囲を求めてください．
1−2<a<0
2−2≦a≦03−1<a<3 4−1≦a≦3 HELP |
−x3−3x2+3=aと変形する．
y1=−x3−3x2+3とy2=aとの共有点の個数を調べる． y1'=−3x2−6x=−3x(x+2)だから y1の増減表は次のようになる．
−1<a<3 → 3 |
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問２３次方程式2x3+3x2−12x−a+4=0が２つの正の実数解と１つの負の実数解をもつような定数aの値の範囲を求めてください．
1−2<a<1
2−2≦a≦13−3<a<4 4−3<a<24 HELP |
2x3+3x2−12x+4=aと変形する．
y1=2x3+3x2−12x+4とy2=aとの共有点の個数を調べる． y1'=6x2+6x−12=6(x+2)(x−1)だから y1の増減表は次のようになる．
x=0のときy=4だから，２つの正の実数解と１つの負の実数解をもつのは， −3<a<4 → 3 |
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問３３次方程式x3−3ax2+4=0が異なる3つの実数解をもつような正の定数aの値の範囲を求めてください．
10<a<1
2a>130<a<2 4a>2 HELP |
この問題ではx2の係数が文字aになっており，やむを得ず文字係数を引きずったまま導関数を求めて，増減を調べます．
y'=3x2−6ax=3x(x−2a)a>0だからyの増減表は次のようになる．
負の解が１つあるから，x=2aのときの極小値が負の値になれば，その前後で残り２つの正の実数解をもつ． −4a3+4<0 4(a3−1)>0 a>1 → 2 |
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