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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 単元 ***
式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数
指数関数対数関数微分不定積分定積分
高次方程式数列漸化式と数学的帰納法
平面ベクトル空間ベクトル確率分布

※高校数学Ⅱの「微分・導関数」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．
↓平均変化率,極限値
↓不定形の極限
↓微分係数
↓導関数の定義
↓微分係数,導関数の定義(問題)
↓導関数の公式(問題)
↓導関数の符号,求め方
↓増減表
↓増減,極値,グラフ
↓絶対値付き関数の増減(問題)
↓最大値,最小値
↓最大最小,文字係数とグラフ(問題)
↓接線の方程式
センター試験の数Ⅱ微積

*** 数学Ⅲ（三角,指数,対数,無理関数を含む） ***
積の微分 商,分数関数の微分

合成関数の微分 無理関数の微分

媒介変数表示のときの微分法 同(2)

陰関数の微分法

重要な極限値(1)_三角関数 三角関数の微分

指数関数,対数関数の微分 微分（総合演習）

漸近線の方程式 同(2)

関数のグラフ総合･･･増減.極値.凹凸.変曲点.漸近線

*** 高卒から大学初年度程度 ***
逆三角関数の微分法 マクローリン展開 偏微分

← PC用は別頁

　関数 y = f(x) の x = a における微分係数は次の式で定義されます。

f’(a) = limh→0limii.f(a+h)−f(a)hnnnnnnnnnn

または　f’(a) = limΔx→0limii.f(a+Δx)−f(a)Δxnnnnnnnnnnn

　導関数（微分）はニュートンとライプニッツが別々に考え出したと言われている．導関数を表わす記号は
　　　y’, f’(x)
と，
　　　.dydxnn，.ddxnnf(x)
の両方とも用いられます。
.dydxnn は， limΔx→0limii.ΔyΔxnn の略です。

（dy, dx, Δy, Δxは単なる「分数」ではなく１つの記号なので，当面はdとd，ΔとΔの約分などはできないものと考えます。
　数学Ⅲになると，分母をはらってdy=f(x)dxと書く場合があります．）

※　よく見ると　･･･

微分係数 の定義

f’(a) = limh→0limii.f(a+h)−f(a)hnnnnnnnnnn　と

導関数 の定義

f’(x) = limh→0limii.f(x+h)−f(x)hnnnnnnnnnn とは

同じ形をしています。むしろ「同じです」といってしまった方がすっきりしますが，使い方が次のように違います。

※　微分係数の計算では，個々の x の値 a について，各々極限値を計算するのに対して，導関数ではあらかじめ極限計算しておいた導関数に値を代入するだけで微分係数が求まります。このように，以後の微分係数の計算は，導関数に x の値を代入するという操作で行われます。次の２つの操作の違いに注意しましょう。
１．f(x) = x2 のとき
f’(1) = limh→0limii.(1+h)2−12hnnnnnnnn = limh→0limii.2h+h2hnnnn = 2

f’(2) = limh→0limii.(2+h)2−22hnnnnnnnn = limh→0limii.4h+h2hnnnn = 4

f’(a) = limh→0limii.(a+h)2−a2hnnnnnnnn = limh→0limii.2ah+h2hnnnnn = 2a

−−−−−−−−−
２．f(x) = x2 のとき
f’(x) = limh→0limii.(x+h)2−x2hnnnnnnnn = limh→0limii.2xh+h2hnnnnn

= limh→0limii(2x+h)=2x

f’(1) = 2, f’(2) = 4, f’(a) = 2a

(1)　f(x) = 3x2

(2)　y = x3

(3)　発展問題　f(x) = .3xn

※(1)　$y=x^3$や$y=x^n$を「導関数の定義に従って微分する」ことは，S社, T社, K社, D社などほとんどの教科書に載っていますので，次のような変形は「文句を言わずにできるようにしておきなさい」ということになります．
${\displaystyle \underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{(x+h{)}^3-x^3}{h}}=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{3x^{2}h+3x{h}^2+h^3}{h}}}$
${\displaystyle =\underset{h\to 0}{lim}(3x^2+3xh+h^2)=3x^2}$
${\displaystyle \underset{h\to 0}{lim}\frac{(x+h{)}^n-x^n}{h}}$ ←(二項定理を用いて展開)
${\displaystyle =\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{n{x}^{n-1}h{+}_n{C}_2{x}^{n-2}{h}^2+\cdots +nx{h}^{n-1}+h^n}{h}}}$
$=n{x}^{n-1}$
↑(ただし，n乗の方は「自分でやれとは書いてない」)

※(2)　分数関数$y={\displaystyle \frac{1}{x}}$や無理関数$y=\sqrt{x}$を「導関数の定義に従って微分する」ことは，一応，数学Ⅱの範囲を超えていますので，何の予告もなくいきなり数学Ⅱの問題として出題されることはないでしょう．ただし，授業の中で，それらを扱っていれば定期試験に出されることはあります（大学入試には出ません）
※(3)　１次式の累乗となっている関数
$y=(ax+b{)}^n$
の微分が
$y^{\prime }=na(ax+b{)}^{n-1}$
となることは，発展学習として出されることはあります．ただし，この公式は数学Ⅲで「合成関数の微分法」を習えば一瞬で証明できるので，数学Ⅱの段階で「覚えなさいという程のものでもない」ようです．（ほとんどの参考書に，掲載されています．）
【例】 $y=(2x+3{)}^4⟹y^{\prime }=8(2x+3{)}^3$

◇1　y = xn の微分◇
nが正の整数のとき
y = xn　→　 y' = nxn-1
特に定数については，
y = k　→　y' = 0

(証明)
y = xn　ならば　 y' = limh→0limii.(x+h)n−xnhnnnnnnnn

= limh→0limii.xn+nxn-1h+···+hn−xnhnnnnnnnnnnnnnnnnnn

= limh→0limii.nxn−1h+···+hnhnnnnnnnnnnnn

=limh→0limii(nxn−1+ (h の１次以上の式) )

= nxn−1

◇2　和･差･定数倍の微分◇
　　 y = f(x)+g(x)　→　 y' = f’(x)+g'(x) 　　 y = f(x)−g(x)　→　 y' = f’(x)−g'(x) 　　 y = kf(x)　→　 y' = kf’(x)

(1)　y = x2+x+1

(2)　y = 5x6−3x2

(3)　y = (x+1)(x+2)

(4)　y = (2x+1)2

計算過程全部見せてください
＝＞［作者］：連絡ありがとう．要望の意味が通じません．計算というボタンをクリックすれば途中経過が表示されることに気づいていないのか，Androidでは計算が表示されないと言っているのか？また，その頁はPC用です･･･携帯用は別の頁です．

問題2の(1)の解答欄のx2乗が次の行に行ってしまっていて分かりにくかったです。 それ以外はとてもわかりやすかったです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．たしかにiPhoneで見ると次の行にわたってしまうようですので訂正しました．