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○偏微分
多変数の関数w=f(x, y, z, ...)について，１つの変数だけを変化させ，他の変数は定数と見なして，微分したものを偏微分（偏導関数）といい，  ∂w∂x, ∂w∂y, ∂w∂z, ...
∂f∂x, ∂f∂y, ∂f∂z, ...
などで表します．
【例１】
○高階偏微分（高階偏導関数）w=x2yのとき ∂w∂x=2xy, ∂w∂y=x2
偏微分（偏導関数）をさらに偏微分したものを，次のように表します． ∂∂x(∂w∂x)=∂2w∂x2
∂∂x(∂w∂y)=∂2w∂x∂y
∂∂y(∂w∂x)=∂2w∂y∂x
【例２】
※w=x2yのとき ∂2w∂y∂x=2x
∂2w∂y∂xと∂2w∂x∂yとがつねに等しいとは限りません．
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○この頁に登場する【問題】は，公益社団法人日本技術士会のホームページに掲載されている「技術士第一次試験過去問題 共通科目A 数学」の引用です．（=公表された著作物の引用）
○【解説】は個人の試案ですが，Ｗｅｂ教材化にあたって「問題の転記ミス」「考え方の間違い」「プログラムの作動ミス」などが含まれる場合があり得ます． 問題や解説についての質問等は，原著作者を煩わせることなく，当Ｗｅｂ教材の作成者（<浅尾>mwm48961@uniteddigital.com）に対して行ってください． ○※正しい番号をクリックしてください． ○番号を選べば採点結果が表示され，解説を読むことができます．
平成16年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-11 ２変数関数z=exsin yに対して， ∂2z∂x2+∂2z∂x∂y+∂2z∂y2は次のどれか．ただし，eは自然対数の底とする． 10 21 3exsin y 4excos y 5ex(sin y+cos y) 解説 ∂z∂x=exsin y, ∂z∂y=excos y
だから
∂2z∂x2=∂∂x(∂z∂x)=exsin y
∂2z∂x∂y=∂∂x(∂z∂y)=excos y
∂2z∂y2=∂∂y(∂z∂y)=−exsin y
したがって
∂2z∂x2+∂2z∂x∂y+∂2z∂y2=excos y → 4 |
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平成17年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-9 ２変数関数z=3x2+2xy+y2−2x+2yに対して， ∂z∂x=0かつ∂z∂y=0を満たす(x, y)は，次のどれか．
1(−1, 1)
2(1, −1)
3(1, −2)4(2, −1) 5(2, 1) 解説 ∂z∂x=6x+2y−2=0 ⇔ 3x+y−1=0…(1)
∂z∂y=2x+2y+2=0 ⇔ x+y+1=0…(2)
(1)(2)よりx=1, y=−2
→ 3 |
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平成18年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-9 ２変数関数z=sin(x−2y)+cos(x−2y)に関して， ∂2z∂x2+∂2z∂y2は，次のどれか．1−5z 2−3z 3−z 43z 55z 解説 ∂z∂x=cos(x−2y)−sin(x−2y)
∂2z∂x2=−sin(x−2y)−cos(x−2y)
∂z∂y=−2cos(x−2y)+2sin(x−2y)
∂2z∂y2=−4sin(x−2y)−4cos(x−2y)
だから
∂2z∂x2+∂2z∂y2=−5sin(x−2y)−5cos(x−2y)=−5z
→ 1 |
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平成19年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-10 ２変数関数z= xyx2+y2に関して，∂2z∂x∂yは，次のどれか．1 −x4+6x2y2−y4(x2+y2)3
2x4−6x2y2+y4(x2+y2)3
3−x4−6x2y2−y4(x2+y2)3
4−x4−6x2y2−y4(x2+y2)4
5x4−6x2y2+y4(x2+y2)4解説 ∂z∂y=x(x2+y2)−xy·2y(x2+y2)2=x3−xy2(x2+y2)2
∂2z∂x∂y=(3x2−y2)(x2+y2)2−(x3−xy2)·2(x2+y2)·2x(x2+y2)4
（分子）=(x2+y2){(3x2−y2)(x2+y2)−4x(x3−xy2)}=(x2+y2)(3x4+2x2y2−y4−4x4+4x2y2) =(x2+y2)(−x4+6x2y2−y4) したがって ∂2z∂x∂y=−x4+6x2y2−y4(x2+y2)3 → 1 |
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平成20年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-10 ２変数関数z=e2x(sin y+cos y)に対して， ∂2z∂x2+∂2z∂y2は次のどれか．ただし，eは自然対数の底とする． 1z 22z 33z 44z 55z 解説 ∂z∂x=2e2x(sin y+cos y)
∂2z∂x2=4e2x(sin y+cos y)
∂z∂y=e2x(cos y−sin y)
∂2z∂y2=e2x(−sin y−cos y)
だから
∂2z∂x2+∂2z∂y2=3e2x(sin y+cos y)=3z
→ 3 |
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平成21年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-9 ２変数関数z=ax3+3xy+2xy2に対して， ∂2z∂x2+∂2z∂y2=0が成立するとき，定数aの値は次のどれか． 1− 23
2−13
30
413
523解説 ∂z∂x=3ax2+3y+2y2
∂2z∂x2=6ax
∂z∂y=3x+4xy
∂2z∂y2=4x
だから6ax+4x=(6a+4)x=0 a=− 46=−23 → 1 |
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平成22年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-9 ２変数関数z=log(x+y)に対して， ∂2z∂x2+∂2z∂y2−∂2z∂x∂yは次のどれか．ただし，eは自然対数の底とする． 10 2 1x+y
3−1x+y
41(x+y)25− 1(x+y)2解説 ∂z∂x=1x+y
∂2z∂x2=−1(x+y)2
∂z∂y=1x+y
∂2z∂x2=−1(x+y)2
∂2z∂x∂y=−1(x+y)2
だから
∂2z∂x2+∂2z∂y2−∂2z∂x∂y−1(x+y)2 → 5
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平成23年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-9 ２変数関数z=eax−yに対して， ∂2z∂x2+∂2z∂y2=5zが成り立つとき，aの値は次のどれか．ただし，eは自然対数の底とする． 1±1 2±2 3±3 4±4 5±5 解説 ∂z∂x=aeax−y
∂2z∂x2=a2eax−y
∂z∂y=−eax−y
∂2z∂y2=eax−y
だから
∂2z∂x2+∂2z∂y2=(a2+1)eax−y
これが5zに等しくなるのだからa2+1=5 a2=4 a=±2 → 2 |
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∂z∂x=−sin x sin y∂z∂y=cos x cos y だから ∂z∂x+∂z∂y=cos x cos y−sin x sin y=cos(x+y) → 1
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