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*** 数学Ⅱ（多項式まで） ***
不定形の極限 微分係数 導関数の定義

接線の方程式 増減表 導関数の符号の求め方

*** 高卒から大学初年度程度 ***
逆三角関数の微分法 マクローリン展開 偏微分

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　自然対数の底（ネイピア数）に関係する極限値の取り扱いは，かなり骨折れる作業になる．
　このページでは，指数関数や対数関数の微分公式を先に練習して，（楽しく）基本問題が解けることを目指す．それらの根拠となっている自然対数の底（ネイピア数）に関係する極限値の取り扱いは，難行苦行になるので後回しにする．

【要約】
• 定数${\displaystyle e=2.718281828459041\cdots }$は「自然対数の底」または「ネイピア数」（ネイピア：対数を研究した学者の名．16～17世紀，イギリス）と呼ばれる．
（最初の3桁が言えれば十分であるが，「鮒2.7一鉢二鉢1828一鉢二鉢1828至極459惜しい045」という有名な覚え方があって，16桁まで簡単に言える）
• ${\displaystyle y=a^x(a>0,a\ne 1)}$の形の関数を「aを底ていとする指数関数」という．
• 定数e=2.18 ···を底とする指数関数を使うと，微分の計算が簡単になる．
${\displaystyle y=e^x\to y^{\prime }=e^x}$ …(1)
（この公式の証明は，このページの下の方にあります．先に公式の使い方の練習をします．）
　底がe以外の数の場合には，微分の計算は少しややこしくなる．
${\displaystyle y=a^x\to y^{\prime }=a^x{\log }_{e}a(a>0,a\ne 1)}$ …(2)
• 数学Ⅱでは，様々な底の値を使うが，微分積分では，ほとんどの場合「自然対数の底」eを使う．

【指数関数の微分 公式1】
${\displaystyle y=e^x\to y^{\prime }=e^x}$
${\displaystyle y=e^{kx}\to y^{\prime }=k{e}^{kx}}$

【例1.1】
${\displaystyle y=e^{2x}}$を微分してください．

【例1.2】
${\displaystyle y=e^{-3x}}$を微分してください．

【問1.1】
${\displaystyle y=x^2{e}^x}$を微分してください．

積の微分法${\displaystyle (f(x)g(x){)}^{\prime }=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)}$を利用する

【問1.2】
${\displaystyle y=\frac{e^x}{x}}$を微分してください．

商の微分法
${\displaystyle y=\frac{f(x)}{g(x)}\to y^{\prime }=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{\{g(x){\}}^2}}$
を利用する

【問1.3】
${\displaystyle y=e^{2x+3}}$を微分してください．

合成関数の微分法
${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}}$
を利用する

【問1.4】
${\displaystyle y=e^{-x^2}}$を微分してください．

合成関数の微分法
${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}}$
を利用する

【指数関数の微分 公式2】
${\displaystyle y=a^x\to y^{\prime }=a^x{\log }_{e}a(a>0,a\ne 1)}$

【例2.1】
${\displaystyle y=2^x}$を微分してください．

【例2.2】
${\displaystyle y=3^x}$を微分してください．

【問2.1】
${\displaystyle y=3^{2x}}$を微分してください．

合成関数の微分法
${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}}$
を利用する

【問2.2】
${\displaystyle y={\left(\frac{1}{10}\right)}^x}$を微分してください．

${\displaystyle y=a^x\to y^{\prime }=a^x{\log }_{e}a(a>0,a\ne 1)}$
において，${\displaystyle a=\frac{1}{10}}$とする

【問2.3】
${\displaystyle y=a^{-2x}(a>0,a\ne 1)}$を微分してください．

合成関数の微分法
${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}}$
を利用する

【問2.4】
${\displaystyle y=2^{3x+1}}$を微分してください．

合成関数の微分法
${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}}$
を利用する

【要約】
• ${\displaystyle y={\log }_{a}x(a>0,a\ne 1)}$の形の関数を「aを底ていとする対数関数」という．
• 定数e=2.71 ···を底とする対数関数を使うと，微分の計算が簡単になる．
${\displaystyle y={\log }_{e}x\to y^{\prime }=\frac{1}{x}(x>0)}$ …(1)
　底が省略されているときは，底はe=2.71 ···である．
${\displaystyle y={\log }_{a}x\to y^{\prime }=\frac{1}{x\log a}(x>0)}$ …(1')
　底がe以外の数の場合には，微分の計算は少しややこしくなる．
${\displaystyle y={\log }_{a}x\to y^{\prime }=\frac{1}{x\log a}(x>0)}$ …(2)
• 数学Ⅱでは，様々な底の値を使うが，微分積分では，ほとんどの場合「自然対数の底」eを使う．

【例3.1】
${\displaystyle y=\log 3x}$を微分してください．

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{3}{x}}$ではないことに注意

【例3.2】
${\displaystyle y=\log (4x+3)}$を微分してください．

【例4.1】
${\displaystyle y={\log }_{10}x}$を微分してください．

【例4.2】
${\displaystyle y={\log }_{3}2x}$を微分してください．

【備考】
${\displaystyle y=\log x\to y^{\prime }=\frac{1}{x}}$ …(1)
${\displaystyle y=\log \mid x\mid \to y^{\prime }=\frac{1}{x}}$ …(2)

※対数微分法においては，真数が負になる場合にも対応できるように，絶対値付きの対数にして微分することが多いが，${\displaystyle y=\log \mid x\mid }$の微分は${\displaystyle y=\log x}$の微分と全く同じ形で，${\displaystyle y^{\prime }=\frac{1}{x}}$になることを覚えておこう

【例5.1】
${\displaystyle y=\log \mid x^2-1\mid }$を微分してください．

【例5.2】
${\displaystyle y=\log \mid \frac{x-1}{x+1}\mid }$を微分してください．

(1)　y=e5x → y’=e

(2)　y=xe−x → y’=e−x (−)

(3)　y=log(x2+1) → y’= .x2+1nnnn

(4)　y=log103x → y’= .x_lognnnnnn

(5)　y=xlog x (x>0) → y’= x+log x log x

(6)　y=.3√x(x+1)√nnnnnni → y’= .x+1.3√x2(x+1)2√nnnnnnninnnnnnnnnnnn

(1) （nは整数）
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{n}{)}^n=e}$

(2) （nは整数）
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1-\frac{1}{n}{)}^{-n}=e}$

(3) （xは実数）
${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{x}{)}^x=e}$

(4) （xは実数）
${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{x}{)}^x=e}$

(5) （hは実数）
${\displaystyle \underset{h\to 0}{lim}(1+h{)}^{\frac{1}{h}}=e}$

(6) （hは実数）
${\displaystyle \underset{h\to 0}{lim}\frac{e^h-1}{h}=1}$

(7) （hは実数）
${\displaystyle \underset{h\to 0}{lim}\frac{\log (1+h)}{h}=1}$

(8) （hは実数）
${\displaystyle \underset{h\to 0}{lim}\frac{a^h-1}{h}=\log a}$

(9) （hは実数）
${\displaystyle \underset{h\to 0}{lim}\frac{{\log }_a(1+h)}{h}=\frac{1}{\log a}}$

(10)
${\displaystyle (e^x{)}^{\prime }=e^x}$
${\displaystyle (a^x{)}^{\prime }=a^x\log a}$

(11)
${\displaystyle (\log x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}}$
${\displaystyle ({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\log a}}$

　他の例として，例えば${\displaystyle a_n=\frac{1}{n}}$という数列は単調減少で${\displaystyle a_n>0}$だから，下に有界です．この数列は0に収束します．

高校生には
難し過ぎだろ！

(1)
_limn→∞limii(.n−1nnnn)n

limn→∞limii( .n−1nnnn) n =limn→∞limii(1−.1nn) n =limn→∞limii.1(1−.1nn)_−nnnnnnnnn=.1en ←(*1)

（別解）
limn→∞limii( .n−1nnnn) n =limn→∞limii .1(.nn−1nnn)nnnnnn =limn→∞limii .1(1+.1n−1nnn)nnnnnnnn


=limn→∞limii .1(1+.1n−1nnn)n−1nnnnnnnnnn .1(1+.1n−1nnn)nnnnnnnnn=.1en ←(*1)

(2)
_limn→∞limii(1+.2nn) n

(3)
_limx→0limii(1+x3) .1xn

(4)
_ limh→0limii.e2h−1hnnnnn

(5)
_ limh→0limii.log(1+h)2hnnnnnnn

コメント失礼しますm(__)m lim x→0 (e^x + x )^1/x という問題をネットで見つけたのですが解けなくて困っています；＿； よければ解いていただけないでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．よそ様の問題には干渉しないようにしています（wxMaximaに問題を書き込めば答えが出ます：e²）

コメント失礼しますm(__)m この分野で3日くらいつまづいていて困っています。この指数対数関数の微分の分野って、ここまで登場した極限値のまとめのところの極限値の導出をできるようにして、問題を解くときはこのような極限値の形に帰着できるようにしていくものなんでしょうか？ なかなか問題が解けるようにならないので、どう勉強していけばいいか教えて欲しいですm(__)m
＝＞［作者］：連絡ありがとう．極限値にまで遡っている問題（3.のような問題）が出たら，定義に戻って極限値を求めます．普通の場合（4.のような問題）は，により機械的に処理します

分かり易いI解説で助かっています。ありがとうございます。「πと並んで有名な無理数」の「π」ですが、GoogleChromeで見ると「n」に見えてしまいます。よく見ると「π」なのですが、一見すると[n」に見えます。ご報告まで。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．確かにGoogle Chromeで見るとゴシック体で表示されるようですので変更しました．

正解をしているのに×がつきます
＝＞［作者］：連絡ありがとう．何番の問題に何と答えたのか述べないと，話が通じません．

独学で学ぶのに役立つので、嬉しい。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．