無理関数の導関数

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*** 数学Ⅱ（多項式まで） ***

不定形の極限

導関数の定義

接線の方程式

導関数の符号の求め方

*** 高卒から大学初年度程度 ***

逆三角関数の微分法

マクローリン展開

== 無理関数の導関数 ==

※　前提となる事柄
・無理関数の導関数は，高校の数学IIIに登場します。
・「微分する」と「導関数を求める」とは同じ意味です。
・無理関数の導関数は，無理関数及び導関数が定義されるところでのみ考えます。通常√の中が０以上であること，(分母があるときは)分母が0でないことなどが前提ですが，特に断らずそれらの条件を満たしているところでのみ考えます。

［基本］

例題1

の導関数を求めなさい。

［答案例］

［問題1］･････(計算用紙が必要です。)･････の導関数を求めなさい。

解説 $y=x^{-\frac{4}{3}}\rightarrow y\apos =(-\frac{4}{3})x^{-\frac{4}{3}-1}=-\frac{4}{3}x^{-\frac{7}{3}}=-\frac{4}{3}\frac{1}{x^{\frac{7}{3}}}$ $=-\frac{4}{3}\frac{1}{\sqrt[3]{x^7}}=-\frac{4}{3x^2\sqrt[3]{x}}$

［累乗根形式］

に直して微分します。高校では，解答は累乗根形式に戻すことが多い･･･これは，分数（有理）指数の意味が分からないままに答案ができてしまうのを防ぐためでしょう。

例題2
ｙ＝

の導関数を求めなさい。

［答案例］

・・・答

［問題2］･････(計算用紙が必要です。)･････の導関数を求めなさい。

解説 $y=\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}=x^{-\frac{1}{2}}$ $\rightarrow y\apos=(-\frac{1}{2})x^{-\frac{1}{2}-1}=(-\frac{1}{2})x^{-\frac{3}{2}}=-\frac{1}{2}\times \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}=-\frac{1}{2x\sqrt{x}}$

［合成関数1］

例題3

の導関数を求めなさい。

［答案例1］　　　　合成関数は，「階段を作る」 ・・・安全確実　Step by Step

･･･答

［答案例2］・・・簡単なものは「玉ねぎ，皮むき」

･･･答

［問題3］･････(計算用紙が必要です。)･････の導関数を求めなさい。

解説 $y=\sqrt[3]{u}=u^{\frac{1}{3}}$ $u=2x$ とおくと $\frac{dy}{du}=\frac{1}{3}u^{-\frac{2}{3}}$ $\frac{du}{dx}=2$ $\rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}=\frac{1}{3}u^{-\frac{2}{3}}\times 2=\frac{2}{3}\frac{1}{u^{\frac{2}{3}}}=\frac{2}{3}\frac{1}{\sqrt[3]{u^2}}$ $=\frac{2}{3}\frac{1}{\sqrt[3]{(2x)^2}}=\frac{2}{3\sqrt[3]{4x^2}}$

.

［合成関数2］

例題4

の導関数を求めなさい。

［答案例］　　　　「階段を作る」でやれば・・

･･･答

例題5

の導関数を求めなさい。

［答案例］　　「玉ねぎ，皮むき」でやれば・・・

･･･答

［問題4］･････(計算用紙が必要です。)･････の導関数を求めなさい。

解説 $y=\sqrt{u}=u^{\frac{1}{2}}$ $u=2x-3$ とおくと $\frac{dy}{du}=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}$ $\frac{du}{dx}=2$ $\rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\times 2=\frac{1}{2}\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{u}}$ $=\frac{1}{\sqrt{2x-3}}$

［問題5］･････(計算用紙が必要です。)･････の導関数を求めなさい。

解説 $y=\sqrt{u}=u^{\frac{1}{2}}$ $u=x^2-2x+ 3$ とおくと $\frac{dy}{du}=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{u}}$ $\frac{du}{dx}=2x-2$ $\rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{u}}\times (2x-2)$ $=\frac{1}{2\sqrt{x^2-2x+ 3}}\times (2x-2)=\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+ 3}}$

［積の微分との組合せ］ 積の微分

例題6

の導関数を求めなさい。

［答案例］　　　　

･･･答

［商の微分との組合せ］
商の微分( ｆは負けて勝つ）　

例題7

の導関数を求めなさい。

［答案例］

･･･答　　

※　積や商の数が多いとき（例えば3個以上）は，対数微分法によります。（後出）例　

など

［問題6］･････(計算用紙が必要です。)･････の導関数を求めなさい。

解説 $y=(x+ 1)\sqrt{3x+ 1}=y_1y_2$ とおくと $y_1=x+ 1\rightarrow y_1\apos =1$ $y_2=\sqrt{3x+ 1}=(3x+ 1)^{\frac{1}{2}}$ $\rightarrow y_2\apos =\frac{1}{2}(3x+ 1)^{-\frac{1}{2}}\times 3=\frac{3}{2\sqrt{3x+ 3}}$ $y\apos=y_1\apos y_2+ y_1y_2\apos =1\times \sqrt{3x+ 1}+ (x+ 1)\frac{3}{2\sqrt{3x+ 1}}$ $=\frac{2(3x+ 1)+ 3(x+ 1)}{2\sqrt{3x+ 1}}=\frac{9x+ 5}{2\sqrt{3x+ 1}}$

［問題7］･････(計算用紙が必要です。)･････の導関数を求めなさい。

解説 $y=\sqrt{u}=u^{\frac{1}{2}}$ $u=\frac{1-x}{1+ x}$ とおくと $\frac{dy}{du}=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{u}}$ $\frac{du}{dx}=\frac{-(1+ x)-(1-x)}{(1+ x)^2}=\frac{-2}{(1+ x)^2}$ $\rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{u}}\times \frac{-2}{(1+ x)^2}$ $=\frac{-1}{(1+ x)^2\sqrt{\frac{1-x}{1+ x}}}=\frac{-1}{(1+ x)\sqrt{1+ x}\sqrt{1-x}}$

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