分数関数の極値,漸近線

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♪～分数関数の極値，漸近線～♠

　次の関数の増減・極値，凹凸・変曲点，漸近線を調べ，グラフを描いてください

【問題1】

y = \frac{1}{x^{2} + 1}

（解答）

y^{'} = \frac{- 2 x}{(x^{2} + 1)^{2}}

y^{'} = 0

⇔

x = 0

y^{″} = \frac{- 2 (x^{2} + 1)^{2} - (- 2 x) \cdot 2 (x^{2} + 1) \cdot 2 x}{(x^{2} + 1)^{4}}

= \frac{- 2 (x^{2} + 1) + 8 x^{2}}{(x^{2} + 1)^{3}} = \frac{6 x^{2} - 2}{(x^{2} + 1)^{3}} = \frac{2 (3 x^{2} - 1)}{(x^{2} + 1)^{3}}

y^{″} = 0

⇔

x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}

x	−∞←	…	$- \frac{1}{\sqrt{3}}$	…	0	…	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	…	→∞
y’		+	+	+	0	−	−	−
y”		+	0	−	−	−	0	+
y	0←		$\frac{3}{4}$		1		$\frac{3}{4}$		→0

［記号]

:増加で下に凸，

:増加で上に凸

:減少で下に凸，

:減少で上に凸

• x=0のとき，極大値1
• 変曲点の座標

(\pm \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{3}{4})

≒(±0.577, 0.75)
• 漸近線の方程式 y=0
　（

lim_{x \to \pm \infty} y = 0

)

※一般に，分数関数で（分母の次数）＞（分子の次数）のときは，x→±∞のときy→0，すなわち左右ともx軸が漸近線になる．

極大値	極小値	変曲点	横向き漸近線	縦向き漸近線	斜め漸近線
有り●	なし	有り●	有り---	なし	なし

グラフは，次の図のようになる
（y軸に関して対称）

\frac{1}{\sqrt{3}}

- \frac{1}{\sqrt{3}}

\frac{3}{4}

【問題2】

y = \frac{x}{x^{2} + 1}

（解答）

y^{'} = \frac{1 \cdot (x^{2} + 1) - x \cdot 2 x}{(x^{2} + 1)^{2}} = \frac{- (x^{2} - 1)}{(x^{2} + 1)^{2}} = \frac{- (x - 1) (x + 1)}{(x^{2} + 1)^{2}}

y^{'} = 0

⇔

x = \pm 1

y^{″} = \frac{- 2 x (x^{2} + 1)^{2} - (- x^{2} + 1) \cdot 2 (x^{2} + 1) \cdot 2 x}{(x^{2} + 1)^{4}}

= \frac{- 2 x (x^{2} + 1) - (- x^{2} + 1) \cdot 4 x}{(x^{2} + 1)^{3}}

= \frac{- 2 x^{3} - 2 x + 4 x^{3} - 4 x}{(x^{2} + 1)^{3}}

= \frac{2 x^{3} - 6 x}{(x^{2} + 1)^{3}}

= \frac{2 x (x^{2} - 3)}{(x^{2} + 1)^{3}}

y^{″} = 0

⇔

x = \pm \sqrt{3}

−∞←

…

- \sqrt{3}

…

−1

…

\sqrt{3}

…

→∞

y’

−

y”

−

0←

- \frac{\sqrt{3}}{4}

- \frac{1}{2}

\frac{1}{2}

\frac{\sqrt{3}}{4}

→0

［記号]

:増加で下に凸，

:増加で上に凸

:減少で下に凸，

:減少で上に凸

• x=1のとき，極大値

\frac{1}{2}

• x=−1のとき，極小値

- \frac{1}{2}

• 変曲点の座標

(- \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{4}), (0, 0), (\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{4})

• 漸近線の方程式 y=0
　（

lim_{x \to \pm \infty} y = 0

)

※一般に，分数関数で（分母の次数）＞（分子の次数）のときは，x→±∞のときy→0，すなわち左右ともx軸が漸近線になる．

極大値	極小値	変曲点	横向き漸近線	縦向き漸近線	斜め漸近線
有り●	有り●	有り●	有り---	なし	なし

グラフは，次の図のようになる
（原点に関して対称）

\sqrt{3}

- \sqrt{3}

【問題3】

y = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}

（解答）

y = 1 - \frac{1}{x^{2} + 1}

と書けるから，【問題1】の結果を利用できる

y^{'} = \frac{2 x}{(x^{2} + 1)^{2}}

y^{'} = 0

⇔

x = 0

y^{″} = \frac{- 2 (3 x^{2} - 1)}{(x^{2} + 1)^{3}}

y^{″} = 0

⇔

x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}

x	−∞←	…	$- \frac{1}{\sqrt{3}}$	…	0	…	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	…	→∞
y’		−	−	−	0	+	+	+
y”		−	0	+	+	+	0	−
y	1←		$\frac{1}{4}$		0		$\frac{1}{4}$		→1

［記号]

:増加で下に凸，

:増加で上に凸

:減少で下に凸，

:減少で上に凸

• x=0のとき，極小値0
• 変曲点の座標

(\pm \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{4})

• 漸近線の方程式 y=1
　（

lim_{x \to \pm \infty} y = 1

)

極大値	極小値	変曲点	横向き漸近線	縦向き漸近線	斜め漸近線
なし	有り●	有り●	有り---	なし	なし

グラフは，次の図のようになる
（原点に関して対称）

\frac{1}{\sqrt{3}}

- \frac{1}{\sqrt{3}}

\frac{1}{4}

♪～分数関数～♠

　次の関数のグラフを描いてください

変曲点を求めることにすると，第２次導関数が必要となり，計算が複雑すぎるので，以下の問題では，変曲点は求めなくてもよいことにする

【問題4】

y = \frac{x - 1}{x - 2}

（解答）

y = b + \frac{k}{x - a}

のグラフは，

y = \frac{k}{x}

のグラフをx軸方向にa，y軸方向にbだけ平行移動したもので，漸近線の方程式はx=a, y=bとなる．
※この形は超基本なので，微分するまでもなくグラフを描ける

y = \frac{x - 1}{x - 2} = 1 + \frac{1}{x - 2}

と変形できるから，漸近線の方程式は，x=2, y=1

※分母→0となるxの値が，y軸に平行（x軸に垂直）な漸近線を表す

　増減，極値，漸近線を調べて，次の関数のグラフを描いてください

【問題5】

y = \frac{x - 2}{(x - 1) (x - 3)}

（解答）
• この問題のように，多くの式の積や商からなる関数を微分するときは「対数微分法」（←解説はこのページ）を利用すると楽になる．次のように行う．

\log ∣ y ∣= \log ∣ x - 2 ∣ - \log ∣ x - 1 ∣ - \log ∣ x - 3 ∣

\frac{y^{'}}{y} = \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x - 3}

= \frac{(x - 1) (x - 3) - (x - 2) (x - 3) - (x - 1) (x - 2)}{(x - 2) (x - 1) (x - 3)}

= \frac{x^{2} - 4 x + 3 - (x^{2} - 5 x + 6) - (x^{2} - 3 x + 2)}{(x - 2) (x - 1) (x - 3)}

= \frac{- x^{2} + 4 x - 5}{(x - 2) (x - 1) (x - 3)}

y^{'} = \frac{- x^{2} + 4 x - 5}{(x - 2) (x - 1) (x - 3)} \times \frac{x - 2}{(x - 1) (x - 3)}

= \frac{- (x^{2} - 4 x + 5)}{(x - 1)^{2} (x - 3)^{2}} = \frac{- {(x - 2)^{2} + 1}}{(x - 1)^{2} (x - 3)^{2}} < 0

x	−∞←	…	1	…	2	…	3	…	→∞
y’		−	×	−	0	−	×	−
y	0←	$↘$	×	$↘$	0	$↘$	×	$↘$	→0

• 極値なし
• 漸近線の方程式 x=1, x=3, y=0
　（

lim_{x \to \pm \infty} y = 0

)

• 分母→0となるxの値が，y軸に平行（x軸に垂直）な漸近線を表す(---)
　　x=1, x=3
• x→±∞のときのyの極限値がx軸に平行な漸近線を表す(---)
　　y=0
• 分子=0となるxの値が，x軸との交点を表す
　　x=2

　増減，極値，漸近線を調べて，次の関数のグラフを描いてください

【問題6】

y = \frac{x - 1}{(x + 1)^{2} (x - 2)}

\log ∣ y ∣= \log ∣ x - 1 ∣ - 2 \log ∣ x + 1 ∣ - \log ∣ x - 2 ∣

\frac{y^{'}}{y} = \frac{1}{x - 1} - \frac{2}{x + 1} - \frac{1}{x - 2}

= \frac{(x + 1) (x - 2) - 2 (x - 1) (x - 2) - (x + 1) (x - 1)}{(x - 1) (x + 1) (x - 2)}

= \frac{(x^{2} - x - 2) - 2 (x^{2} - 3 x + 2) - (x^{2} - 1)}{(x - 1) (x + 1) (x - 2)}

= \frac{- 2 x^{2} + 5 x - 5}{(x - 1) (x + 1) (x - 2)}

y^{'} = \frac{- (2 x^{2} - 5 x + 5)}{(x - 1) (x + 1) (x - 2)} \times \frac{x - 1}{(x + 1)^{2} (x - 2)}

y^{'} = \frac{- (2 x^{2} - 5 x + 5)}{(x + 1)^{3} (x - 2)^{2}}

ここで，分子のカッコ内は，D=25−40=−15<0だから，(分子)はつねに負

x	−∞←	…	−1	…	2	…	→∞
y’		+	×	−	×	−
y	0←	$↗$	×	$↘$	×	$↘$	→0

• 極値なし
• 漸近線の方程式 x=−1, x=2, y=0
　（

lim_{x \to \pm \infty} y = 0

)

• 分母→0となるxの値が，y軸に平行（x軸に垂直）な漸近線を表す(---)
　　x=−1, x=2
• x→±∞のときのyの極限値がx軸に平行な漸近線を表す(---)
　　y=0
• 分子=0となるxの値が，x軸との交点を表す
　　x=1

　増減，極値，漸近線を調べて，次の関数のグラフを描いてください

【問題7】

y = \frac{x^{2}}{x - 1}

（解答）

y = x + 1 + \frac{1}{x - 1}

と変形できるから
• 斜め方向の漸近線はy=x+1
• 縦方向の漸近線はx=1

y^{'} = 1 - \frac{1}{(x - 1)^{2}}

= \frac{(x - 1)^{2} - 1}{(x - 1)^{2}} = \frac{x (x - 2)}{(x - 1)^{2}}

x	−∞←	…	…	1	…	2	…	→∞
y’		+	−	×	−	0	+
y	x+1←	$↗$	$↘$	×	$↘$	4	$↗$	→x+1

• x=0のとき，極大値0
• x=2のとき，極小値4
• 漸近線の方程式 y=x+1, x=1

　増減，極値，漸近線を調べて，次の関数のグラフを描いてください

【問題8】

y = \frac{x^{3} + 2}{x}

（解答）

y = x^{2} + \frac{2}{x}

と変形できるから，

y = x^{2}

とx=0が漸近線であるが，高校数学では漸近線として直線だけを考えるので，x=0を答えるとよい．

y^{'} = 2 x - \frac{1}{x^{2}} = \frac{2 x^{3} - 2}{x^{2}}

= \frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2}}

y'=0 ⇔

x = 1

x	−∞←	…	0	…	1	…	→∞
y’		−	×	−	0	+
y	∞←	$↘$	×	$↘$	3	$↗$	→∞

• 極大値なし
• x=1のとき，極小値3
• 漸近線の方程式 x=1

【漸近線の求め方(まとめ)】
　一般に，関数y=f(x)の漸近線は，次のように求めることができる．

① ［y軸に平行な漸近線］

lim_{x \to a + 0} f (x) = \pm \infty

または

lim_{x \to a - 0} f (x) = \pm \infty

のとき，x=aが漸近線

(注1)

② ［x軸に平行な漸近線］

lim_{x \to \infty} f (x) = a

または

lim_{x \to - \infty} f (x) = a

のとき，y=aが漸近線

(注2)

③ ［斜め方向の漸近線y=mx+k］
この形の漸近線の方程式は，次の2段階で求めることができる（順序が重要）(注3)

lim_{x \to \infty} \frac{f (x)}{x} = m

または

lim_{x \to - \infty} \frac{f (x)}{x} = m

のとき，傾きをmとする．
2)　1)で求めたmの値を使って，

lim_{x \to \infty} {f (x) - m x} = k

または

lim_{x \to - \infty} {f (x) - m x} = k

のとき，y切片をkとする．
1)2)から，y=mx+kを漸近線とする

　上記で述べたのは，一般の場合で，分母と分子がどちらも多項式の場合は，漸近線の方程式はもっと簡単に分かる．

① ［y軸に平行な漸近線］
• 関数

y = \frac{x - 2}{x - 1}

のように，分母が0となるxの実数値1があれば，x=1が漸近線となる．（分子のx=2はx軸との交点を表し，漸近線とは関係ない）
• 関数

y = \frac{x - 3}{(x - 1)^{2} (x - 2)}

のように，分母が0となるxの実数値が複数個1, 2とあれば，複数個のx=1, x=2が漸近線となる．

• 関数

y = \frac{x - 2}{x^{2} + 1}

のように，分母が0となるxの実数値がないとき，y軸に平行な漸近線はない
② ［x軸に平行な漸近線］
• 関数

y = \frac{x - 2}{x^{2} - 1}

のように，(分子の次数)<(分母の次数)のときは，

lim_{x \to \pm \infty} y = 0

となるから，y=0が漸近線となる
• 関数

y = \frac{3 x^{2} - 2}{2 x^{2} - 1}

のように，(分子の次数)=(分母の次数)のときは，

lim_{x \to \pm \infty} y = \frac{3}{2}

となるから，最高次の係数の比

y = \frac{3}{2}

が漸近線となる
③ ［斜め方向の漸近線y=mx+k］
•

y = \frac{x^{2} + 2 x - 2}{x - 1}

のように，(分子の次数)>(分母の次数)となっているときは，「割り算を行って，商と余りに分ける変形」=「数研の参考書で『分数式は富士の山』と呼ばれる変形方法」により

(x^{2} + 2 x - 2) \div (x - 1) = x + 3 \cdot \cdot \cdot 1

x^{2} + 2 x - 2 = x + 3 + \frac{1}{x - 1}

y = x + 3 + \frac{1}{x - 1}

と変形すると，

lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x - 1} = 0

となるから，y=x+3が漸近線となる
• 【問題8】のように，商と余りに分けたときに，商が2次以上の多項式となる場合

y = x^{2} + \frac{2}{x}

y = x^{2}

が漸近線になるが，「高校数学では，漸近線として直線までを扱う」ので，曲線となる漸近線は答えなくてもよい．

(注1)

右側極限

lim_{x \to a + 0} f (x)

と，左側極限

lim_{x \to a - 0} f (x)

は，様々な組み合わせがある
「符号が逆の場合」

→ 【問題4】のx=2では

lim_{x \to 2 + 0} \frac{x - 1}{x - 2} = \infty

lim_{x \to 2 - 0} \frac{x - 1}{x - 2} = - \infty

であって，x=2が漸近線になっている

「符号が同じ場合」

→ 【問題6】のx=−1では

lim_{x \to - 1 + 0} \frac{x - 1}{(x + 1)^{2} (x - 2)} = \infty

lim_{x \to - 1 - 0} \frac{x - 1}{(x + 1)^{2} (x - 2)} = \infty

であって，x=−1が漸近線になっている

「左右で異なる極限値になる場合」がある

→ 右図は

y = e^{\frac{1}{x}}

のグラフで

lim_{x \to 1 + 0} (e^{\frac{1}{x}}) = \infty

lim_{x \to 1 - 0} (e^{\frac{1}{x}}) = 0

左右で異なる極限値になるが，右側極限だけを見て，漸近線はx=0とする．

「一方だけ極限があるが他方はない場合」

→ 右図は

y = \log x

のグラフで

lim_{x \to + 0} (\log x) = - \infty

x≦0のときは関数は定義されないが，右側極限だけを見て，漸近線はx=0とする．

(注2)

lim_{x \to \infty} f (x) = a

または

lim_{x \to - \infty} f (x) = a

のとき
xが正の無限大に発散するときの漸近線と，xが負の無限大に発散するときの漸近線の組合せは，様々で，
「それらの漸近線が一致する場合」
　　⇒ 【問題1】～【問題7】
「異なる漸近線になる場合」
　　⇒ 【追加問題2.1】～【追加問題2.2】
「一方だけ漸近線がある場合」
　　⇒ 【追加問題2.1】～【追加問題2.4】
「どちらも漸近線がない場合」
　　⇒ 【追加問題2.3】
があるが，関数が普通の単価関数（１つのxに対して１つのyが対応する関数）である限り「xが正の無限大に発散するときの漸近線が２つ以上になったり」「xが負の無限大に発散するときの漸近線が２つ以上になる」ことはない．

　これに対して，多価関数（１つのxに対して２つ以上のyが対応する関数）では，「xが正の無限大に発散するときの漸近線が２つ以上になったり」「xが負の無限大に発散するときの漸近線が２つ以上になる」ことがある．
　【多価関数の例】

x^{2} + y^{2} = 9

↓↑

y = \sqrt{9 - x^{2}}

y = - \sqrt{9 - x^{2}}

y^{2} = 4 x

↓↑

y = \sqrt{4 x}

y = - \sqrt{4 x}

x^{2} - y^{2} = 1

↓↑

y = \sqrt{x^{2} - 1}

y = - \sqrt{x^{2} - 1}

　上の例から分かるように，

y^{2} = f (x)

の形で書かれる関数は，f(x)≧0である限り，

y = \pm \sqrt{f (x)}

の形に変形できるので，２価関数になります．
　このような２価関数は，１つのxに対して２つのyが対応するので，「xが正の無限大に発散するときの漸近線が２つ以上になったり」「xが負の無限大に発散するときの漸近線が２つ以上になる」ことがある．（上記の双曲線は漸近線が２つある）

(注3)

m, kを求める手順によって，漸近線の方程式が求められることの証明
x→∞のとき，漸近線がy=mx+kになるということから，必要条件で絞り込むと

lim_{x \to \infty} ∣ f (x) - m x - k ∣= 0

ならば，両辺をx(≠0)で割っても成り立つはず

lim_{x \to \infty} ∣ \frac{f (x)}{x} - m - \frac{k}{x} ∣= 0

さらに

lim_{x \to \infty} ∣ \frac{f (x)}{x} - m ∣= 0

そこで

lim_{x \to \infty} \frac{f (x)}{x} = m

とおく．次に

lim_{x \to \infty} {f (x) - m x} = k

とおくと

lim_{x \to \infty} {f (x) - m x - k} = 0

となり

lim_{x \to \infty} ∣ f (x) - m x - k ∣= 0

が成り立つから，十分条件も満たされる．
よって，このようにして定めたy=mx+kが漸近線になる．

　次の関数の漸近線を調べてください

【追加問題1】
(1.1)

y = \frac{2 x}{x^{2} + 2}

(1.2)

y = \frac{x - 3}{(x - 1) (x - 2)}

(1.3)

y = \frac{x^{2} + x - 3}{x - 1}

（解答）

(1.1)
• 分母が0となる実数値xがないから，y軸に平行な漸近線はない
• (分母の次数)＞(分子の次数)で，x→∞のとき，y→0だから，x軸に平行な漸近線はy=0（右図青の破線）
• x軸に平行な漸近線があるから，斜め方向の漸近線はない

(1.2)
• 分母が0となる実数値はx=1, x=2だから，y軸に平行な漸近線は，x=1, x=2（右図赤の破線）
• (分母の次数)＞(分子の次数)で，x→∞のとき，y→0だから，x軸に平行な漸近線はy=0（右図青の破線）
• x軸に平行な漸近線があるから，斜め方向の漸近線はない

(1.3)
• 分母が0となる実数値はx=1だから，y軸に平行な漸近線は，x=1（右図赤の破線）
•

y = x + 2 - \frac{1}{x - 1}

と変形できるから，x→∞のとき，斜め方向の漸近線はy=x+2（右図青の破線）

　次の関数の漸近線を調べてください

【追加問題2】
(2.1)

y = x + \sqrt{x^{2} + 1}

(2.2)

y = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}

(2.3)

y = x + \sqrt{x}

(2.4)

y = x + \frac{1}{\log x}

（解答）

(2.1)
• 分母が0となる実数値xがないから，y軸に平行な漸近線はない
• x→∞のとき，漸近線の方程式をy=mx+kとおくと

m = lim_{x \to \infty} \frac{y}{x}

= lim_{x \to \infty} {1 + \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}

k = lim_{x \to \infty} (y - 2 x)

= lim_{x \to \infty} {\sqrt{x^{2} + 1} - x}

= lim_{x \to \infty} {\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}} = 0

漸近線の方程式はy=2x（右図青の破線）
x→∞のとき，斜め方向の漸近線があるから，x軸に平行な漸近線はない
• x→−∞のとき，漸近線の方程式をy=mx+kとおくと

m = lim_{x \to - \infty} \frac{y}{x}

= lim_{x \to - \infty} {\frac{x + \sqrt{x^{2} + 1}}{x}}

= lim_{t \to \infty} {\frac{- t + \sqrt{t^{2} + 1}}{- t}}

= lim_{t \to \infty} {\frac{t - \sqrt{t^{2} + 1}}{t}}

= lim_{t \to \infty} {1 - \sqrt{1 + \frac{1}{t^{2}}}} = 0

k = lim_{x \to - \infty} y = lim_{x \to - \infty} (x + \sqrt{x^{2} + 1})

= lim_{t \to \infty} (- t + \sqrt{t^{2} + 1})

= lim_{t \to \infty} \frac{1}{\sqrt{t^{2} + 1} + t} = 0

漸近線の方程式はy=0（右図青の破線）
x→−∞のとき，x軸に平行な漸近線があるから，斜め方向の漸近線はない

(2.2)
• 分母が0となる実数値xがないから，y軸に平行な漸近線はない
• x→∞のとき，漸近線の方程式をy=mx+kとおくと

m = lim_{x \to \infty} \frac{y}{x}

= lim_{x \to \infty} {\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}} = 0

k = lim_{x \to \infty} y = lim_{x \to \infty} {\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}}

= lim_{x \to \infty} {\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}} = 1

漸近線の方程式はy=1（右図青の破線）
x→∞のとき，x軸に平行な漸近線があるから，斜め方向の漸近線はない
• x→−∞のとき，漸近線の方程式をy=mx+kとおくと

m = lim_{x \to \infty} \frac{y}{x}

= lim_{x \to \infty} {\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}} = 0

k = lim_{x \to \infty} y = lim_{x \to - \infty} {\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}}

= lim_{t \to \infty} {\frac{- 1}{\sqrt{1 + \frac{1}{t^{2}}}}} = - 1

漸近線の方程式はy=−1（右図青の破線）
x→−∞のとき，x軸に平行な漸近線があるから，斜め方向の漸近線はない

(2.3)
• 分母が0となる実数値xがないから，y軸に平行な漸近線はない
• x→∞のとき，漸近線の方程式をy=mx+kとおくと

m = lim_{x \to \infty} \frac{y}{x}

= lim_{x \to \infty} {1 + \frac{1}{\sqrt{x}}} = 1

k = lim_{x \to \infty} (y - x) = lim_{x \to - \infty} \sqrt{x} = \infty

（傾きはm=1に収束するが，切片が発散するので，漸近線はない）

(2.4)
• 定義域はx>0
•

\log 1 = 0

であるから，x=1のとき，分母が0になる．
したがって，y軸に平行な漸近線はx=1（右図赤の破線）
• x→∞のとき，

lim_{x \to \infty} \frac{1}{\log x} = 0

だから，漸近線の方程式はy=x（右図青の破線）
x→∞のとき，斜め方向の漸近線があるから，x軸に平行な漸近線はない

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