三角関数の微分

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== 三角関数の微分 ==

【三角関数の微分公式】

y = \sin x \to y^{'} = \cos x

…(1)

y = \cos x \to y^{'} = - \sin x

…(2)

y = \tan x \to y^{'} = \frac{1}{\cos^{2} x}

…(3)

y = \cot x \to y^{'} = - \frac{1}{\sin^{2} x}

…(*4)
(*4)は教科書には出ていない

習う生徒と習わない生徒がいて，よく質問がある記号

c o s e c x = \frac{1}{\sin x}

…(5)

\sec x = \frac{1}{\cos x}

…(6)

\cot x = \frac{1}{\tan x}

…(7)

【微分法で使う公式】
積の微分法

y = f (x) g (x) \to y^{'} = f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x)

…(8)
商の微分法

y = \frac{f (x)}{g (x)} \to y^{'} = \frac{f^{'} (x) g (x) - f (x) g^{'} (x)}{{g (x)}^{2}}

…(9)
合成関数の微分法

\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d t} \cdot \frac{d t}{d x}

…(10)
逆関数の微分法

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{d x}{d y}}

…(11)

（補足）
(5)～(7)については，３文字目の逆数と覚えるとよい

(セカントx) sec x=1/cos x
(コタンジェントx) 　cot x=1/tan x
(コセカントx)　cosec x=1/sin x

アメリカでは，小文字３字で，csc x=1/sin x
の記号が使われる．⇒ Excel，TEXなどでは

\csc x

を用いる

【例題１】　次の関数を微分してください．

1.1)

y = \sin (2 x + 1)

（解答）

y = \sin t

\underset{―}{t = 2 x + 1}

とおく

\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d t} \cdot \frac{d t}{d x}

←(10)合成関数の微分法を使う

\frac{d y}{d t} = \cos t

←(1)

\underset{―}{\frac{d t}{d x} = 2}

←数学Ⅱの公式
により

\frac{d y}{d x} = \cos t \cdot 2

t

を元に戻すと

\frac{d y}{d x} = 2 \cos (2 x + 1)

…（答）

1.2)

y = \tan (4 x - 3)

（解答）

y = \tan t

\underset{―}{t = 4 x - 3}

とおく

\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d t} \cdot \frac{d t}{d x}

←(10)合成関数の微分法を使う

\frac{d y}{d t} = \frac{1}{\cos^{2} t}

←(3)

\underset{―}{\frac{d t}{d x} = 4}

←数学Ⅱの公式
により

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} t} \cdot 4

t

を元に戻すと

\frac{d y}{d x} = \frac{4}{\cos^{2} (4 x - 3)}

…（答）
※(6)を用いて

4 \sec^{2} (4 x - 3)

と書いてもよい．

【問題１】　次の関数を微分してください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）

(1)

y = - 3 \cos (4 x + 5)

解説やり直す

- 3 \sin (4 x + 5)

3 \sin (4 x + 5)

- 12 \cos (4 x + 5)

12 \sin (4 x + 5)

y = - 3 \cos t

\underset{―}{t = 4 x + 5}

とおく

\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d t} \cdot \frac{d t}{d x}

= 3 \sin t \cdot 4

= 12 \sin (4 x + 5)

…（答）

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(2)

y = 4 \tan (3 x - \frac{π}{2})

解説やり直す

\frac{4}{\cos^{2} (3 x)}

\frac{12}{\cos^{2} (3 x)}

4 c o s e c^{2} (3 x)

12 c o s e c^{2} (3 x)

y = 4 \tan t

\underset{―}{t = 3 x - \frac{π}{2}}

とおく

\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d t} \cdot \frac{d t}{d x}

= \frac{4}{\cos^{2} t} \cdot 3

= \frac{12}{\cos^{2} (3 x - \frac{π}{2})}

- \frac{π}{2} + θ

θ

細工し過ぎだろ！

これに合う選択肢がないので，変形する．右図を見て数学Ⅱで習う公式を思い出す

\cos (θ - \frac{π}{2}) = \sin θ

これを使うと

\cos (3 x - \frac{π}{2}) = \sin (3 x)

\frac{12}{\cos^{2} (3 x - \frac{π}{2})} = \frac{12}{\sin^{2} (3 x)}

(5)を使うと

12 c o s e c^{2} (3 x)

…（答）

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(3)

y = \cos^{3} 2 x

解説やり直す

- 3 \sin^{2} 2 x

3 \sin^{2} 2 x

- 6 \cos^{2} 2 x \cdot \sin 2 x

6 \cos^{2} 2 x \cdot \sin 2 x

y = u^{3}

u = \cos t

\underset{―}{t = 2 x}

とおく

\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d t} \cdot \frac{d t}{d x}

←3段階

= 3 u^{2} \cdot (- \sin t) \cdot 2

= - 6 \cos^{2} t \cdot \sin t

←

t

では終われない

= - 6 \cos^{2} 2 x \cdot \sin 2 x

…（答）

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(4)

y = \sin x \cos 2 x

解説やり直す

6 \cos^{3} x - 5 \cos x

6 \cos^{3} x + 4 \cos x

4 \cos^{3} x - 3 \cos x

4 \sin^{3} x + 3 \sin x

y^{'} = (\sin x)^{'} \cos 2 x + \sin x (\cos 2 x)^{'}

←(8)積の微分法

= \cos x \cos 2 x + \sin x (- 2 \sin 2 x)

= \cos x \cos 2 x - 2 \sin x \sin 2 x

選択肢に合うものがないので，変形する

= \cos x (2 \cos^{2} x - 1) - 2 \sin x \cdot 2 \sin x \cos x

= \cos x (2 \cos^{2} x - 1) - 4 \sin^{2} x \cdot \cos x

= \cos x (2 \cos^{2} x - 1) - 4 (1 - \cos^{2} x) \cdot \cos x

= 2 \cos^{3} x - \cos x - 4 \cos x + 4 \cos^{3} x

= 6 \cos^{3} x - 5 \cos x

…（答）

微分は簡単なのに，
後始末が大変！

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【問題２】　次の関数について

\frac{d y}{d x}

を求めてください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）

(1)

y = \frac{1 + \cos x}{1 - \cos x}

解説やり直す

- \frac{2 \sin x}{(1 - \cos x)^{2}}

\frac{\sin x}{(1 - \cos x)^{2}}

- \frac{2 \sin x}{1 - \cos x}

\frac{\sin x}{1 - \cos x}

商の微分法(9)を使う

y = \frac{f (x)}{g (x)} \to y^{'} = \frac{f^{'} (x) g (x) - f (x) g^{'} (x)}{{g (x)}^{2}}

分子は(やられてから)−(やり返す) (分母)²

\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + \cos x)^{'} (1 - \cos x) - (1 + \cos x) (1 - \cos x)^{'}}{(1 - \cos x)^{2}}

= \frac{- \sin x (1 - \cos x) - (1 + \cos x) \sin x}{(1 - \cos x)^{2}}

= \frac{- \sin x + \sin x \cos x - \sin x + \cos x \sin x}{(1 - \cos x)^{2}}

= \frac{- 2 \sin x}{(1 - \cos x)^{2}}

…（答）

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(2)

y = \frac{\cos x}{1 + \sin x}

解説やり直す

- \frac{1}{1 + \sin x}

\frac{\sin x}{1 + \sin x}

\frac{\cos x}{(1 + \sin x)^{2}}

\frac{1 + \cos x}{(1 + \sin x)^{2}}

商の微分法(9)を使う

y = \frac{f (x)}{g (x)} \to y^{'} = \frac{f^{'} (x) g (x) - f (x) g^{'} (x)}{{g (x)}^{2}}

分子は(やられてから)−(やり返す) (分母)²

\frac{d y}{d x} = \frac{(\cos x)^{'} (1 + \sin x) - (\cos x) (1 + \sin x)^{'}}{(1 + \sin x)^{2}}

= \frac{- \sin x (1 + \sin x) - (\cos x) \cos x}{(1 + \sin x)^{2}}

= \frac{- \sin x - \sin^{2} x - \cos^{2} x}{(1 + \sin x)^{2}}

= \frac{- \sin x - 1}{(1 + \sin x)^{2}} = - \frac{1}{1 + \sin x}

…（答）

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(3)

x = \cos y (0 < y < \frac{π}{2})

解説やり直す

\sin y

- \sin y

\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

逆関数の微分法(11)を使う

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{d x}{d y}}

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{d x}{d y}} = \frac{1}{- \sin y}

問題によっては，このまま答にしてよいこともある．この問題では，一致する選択肢がないから，変形する．

0 < y < \frac{π}{2}

のとき

\sin y > 0

だから

\sin y = \sqrt{1 - \cos^{2} y} = \sqrt{1 - x^{2}}

\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

…（答）

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(4)

x = \cot y

解説やり直す

\frac{1}{x^{2} + 1}

- \frac{1}{x^{2} + 1}

x^{2} + 1

- x^{2} - 1

逆関数の微分法(11)を使う

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{d x}{d y}}

公式(*4)により

\frac{d}{d x} (\cot x) = - \frac{1}{\sin^{2} x}

\frac{d}{d y} (\cot y) = - \frac{1}{\sin^{2} y}

だから

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{d x}{d y}} = \frac{1}{- \frac{1}{\sin^{2} y}} = - \sin^{2} y

問題によっては，このまま答にしてよいこともある．この問題では，一致する選択肢がないから，変形する．
数学Ⅰ，Ⅱの三角関数の相互関係から

\sin^{2} θ + \cos^{2} θ = 1

の両辺を

\sin^{2} θ

で割ると

1 + \cot^{2} θ = \frac{1}{\sin^{2} θ}

したがって

\frac{d y}{d x} = - \sin^{2} y = - \frac{1}{\cot^{2} y + 1} = - \frac{1}{x^{2} + 1}

…（答）

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大学入試問題（やさしい方）

【問題３】　次の関数を微分せよ．

(3.1)

y = \frac{\cos x}{1 - \sin x}

（2014年宮崎大）

解説を読む

商の微分法(9)を使う

y = \frac{f (x)}{g (x)} \to y^{'} = \frac{f^{'} (x) g (x) - f (x) g^{'} (x)}{{g (x)}^{2}}

分子は(やられてから)−(やり返す) (分母)²

\frac{d y}{d x} = \frac{(\cos x)^{'} (1 - \sin x) - (\cos x) (1 - \sin x)^{'}}{(1 - \sin x)^{2}}

= \frac{- \sin x (1 - \sin x) - (\cos x) (- \cos x)}{(1 - \sin x)^{2}}

= \frac{- \sin x + \sin^{2} x + \cos^{2} x}{(1 - \sin x)^{2}}

= \frac{1 - \sin x}{(1 - \sin x)^{2}} = \frac{1}{1 - \sin x}

…（答）

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(3.2)

y = \sin^{3} 2 x

（2011年茨城大）

解説を読む

y = u^{3}

u = \sin t

\underset{―}{t = 2 x}

とおく

\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d t} \cdot \frac{d t}{d x}

←3段階

= 3 u^{2} \cdot \cos t \cdot 2

= 6 \sin^{2} t \cdot \cos t

←

t

では終われない

= 6 \sin^{2} 2 x \cdot \cos 2 x

…（答）

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(3.3)

y = \sin x^{2}

（2005年佐賀大）

解説を読む

y = \sin t

\underset{―}{t = x^{2}}

とおく

\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d t} \cdot \frac{d t}{d x}

←合成関数の微分法

= \cos t \cdot 2 x

= 2 x \cos x^{2}

…（答）

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※次の問題は対数微分法を学んでから行うとよい

(3.4)

y = x^{\cos x} (x > 0)

（2016年岡山県立大）

解説を読む

x > 0

だから，両辺とも正
両辺の対数をとると

\log y = \log (x^{\cos x}) = \cos x \log x

\frac{d}{d x} (\log y) = \frac{d}{d x} (\cos x \log x)

\frac{d}{d y} (\log y) \frac{d y}{d x} = - \sin x \log x + \cos x \times \frac{1}{x}

\frac{y^{'}}{y} = - \sin x \log x + \cos x \times \frac{1}{x}

y = x^{\cos x} (\frac{\cos x}{x} - \sin x \log x)

…（答）

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