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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 単元 ***
複素数平面二次曲線媒介変数表示と極座標
数列の極限関数導関数不定積分定積分
行列1次変換

※高校数学Ⅲの「微分・導関数」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．
↓微分係数,連続,微分可能
↓積の微分
↓商,分数関数の微分
↓合成関数の微分
↓無理関数の微分
↓媒介変数表示のときの微分法
↓同(2)
↓陰関数の微分法
↓重要な極限値(1)_三角関数
↓三角関数の微分
↓三角関数の微分(2)
↓指数関数,対数関数の微分
↓対数微分法
↓微分（総合演習）
↓漸近線の方程式
↓同(2)
↓凹凸と変曲点-現在地
↓総合--増減.極値.凹凸.変曲点.漸近線(1)
↓分数関数の増減.極値.漸近線
グラフの概形と漸近線（一覧）

【第2次導関数を用いた凹凸の判定】
(1) f ”(x)>0となる区間では，
y=f(x)のグラフは下に凸である．
(2) f ”(x)<0となる区間では，
y=f(x)のグラフは上に凸である．

##間違いやすい##
この公式は，ウッカリしていると，プラスが山だろうと早合点して逆に覚えてしまう可能性が大です．
どこかの参考書に書いてあった次の覚え方がよいと思いますので，図と結び付けて覚えるとよいでしょう．（両手を上げているか下げているかを見ます）

　上に凸という代わりに下に凹，下に凸という代わりに上に凹と言ってはいけないのか？
⇒ 理屈上は同じことを表していますが，ほとんどの教科書，授業では「どちら向きに凸か」で表現しているので，それに合わせる方がよい．

【例1.1】
　次の関数の凹凸を調べてください．
${\displaystyle y=e^x}$

【例1.2】
　次の関数の凹凸を調べてください．
${\displaystyle y=\log x(x>0)}$

f ”(x)=0，かつ，その点でf ”(x)の符号が変化する点は変曲点

【例2.1】
　次の関数の凹凸を調べてください．
${\displaystyle y=x^4-x^3}$

【要約】
1. 変曲点は${\displaystyle (x_0,y_0)}$の形の座標で答える．
2. 凹凸は次のいずれかの形で答える．

【例2.2】
　次の関数の凹凸，変曲点を調べてください．
${\displaystyle y=\sin x(0<x<2\pi )}$

(1)
${\displaystyle y=x{e}^{-x}}$

${\displaystyle y^{\prime }=e^{-x}+x\times (-1)e^{-x}=e^{-x}(1-x)}$
${\displaystyle y^{″}=-e^{-x}(1-x)+e^{-x}\times (-1)=e^{-x}(x-2)}$

x	…	1	…	2	…
y'	+	0	−	−	−
y''	−	−	−	0	+
y		極大 ${\displaystyle \frac{1}{e}}$		変曲点 ${\displaystyle \frac{2}{e^2}}$

x<2で上に凸，x>2で下に凸，
変曲点は${\displaystyle (2,\frac{2}{e^2})}$ …（答）…概形は右図（青丸は極大，赤丸は変曲点）

(2)
${\displaystyle y=e^{-\frac{x^2}{2}}}$

${\displaystyle y^{\prime }=e^{-\frac{x^2}{2}}\times (-x)=-x{e}^{-\frac{x^2}{2}}}$
${\displaystyle y^{\prime }=0⟺x=0}$
${\displaystyle y^{″}=-e^{-\frac{x^2}{2}}-x{e}^{-\frac{x^2}{2}}\times (-x)=e^{-\frac{x^2}{2}}(x^2-1)}$
${\displaystyle y^{″}=0⟺x=\pm 1}$

x		−1		0		1
y'	+	+	+	0	−	−	−
y''	+	0	−	−	−	0	+
y		変曲点 ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{e}}}$		極大 1		変曲点 ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{e}}}$

x<−1, x>1で下に凸，
−1<x<1で上に凸，
変曲点は${\displaystyle (\pm 1,\frac{1}{\sqrt{e}})}$ …（答）…概形は右図（青丸は極大，赤丸は変曲点）

(3)
${\displaystyle y=\frac{x}{x^2+1}}$

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{1\times (x^2+1)-x\times 2x}{(x^2+1{)}^2}=\frac{-x^2+1}{(x^2+1{)}^2}}$
${\displaystyle y^{\prime }=0⟺x=\pm 1}$
${\displaystyle y^{″}=\frac{-2x(x^2+1{)}^2-(-x^2+1)\times 2(x^2+1)\times 2x}{(x^2+1{)}^4}}$
${\displaystyle =\frac{-2x(x^2+1)(x^2+1-2x^2+2)}{(x^2+1{)}^4}}$
${\displaystyle =\frac{-2x(x^2+1)(-x^2+3)}{(x^2+1{)}^4}}$
${\displaystyle =\frac{2x(x^2-3)}{(x^2+1{)}^3}}$
${\displaystyle y^{″}=0⟺x=0,\pm \sqrt{3}}$

x	…	${\displaystyle -\sqrt{3}}$	…	−1	…	0	…	1	…	${\displaystyle \sqrt{3}}$	…
y'	−	−	−	0	+	+	+	0	−	−	−
y''	−	0	+	+	+	0	−	−	−	0	+
y		変曲点 ${\displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{4}}$		極小 ${\displaystyle -\frac{1}{2}}$		変曲点 0		極大 ${\displaystyle \frac{1}{2}}$		変曲点 ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}$

${\displaystyle x<-\sqrt{3},0<x<\sqrt{3}}$で上に凸，
${\displaystyle -\sqrt{3}<x<0,x>\sqrt{3}}$で下に凸，
変曲点は
${\displaystyle (0,0),(-\sqrt{3},-\frac{\sqrt{3}}{4}),(\sqrt{3},\frac{\sqrt{3}}{4})}$ …（答）
…概形は右図（青丸は極値，赤丸は変曲点）

(4)
${\displaystyle y=\log (x^2+1)}$

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{2x}{x^2+1}}$
${\displaystyle y^{\prime }=0⟺x=0}$
${\displaystyle y^{″}=\frac{2(x^2+1)-2x\times 2x}{(x^2+1{)}^2}=-\frac{2(x^2-1}{(x^2+1{)}^2}}$ ${\displaystyle y^{″}=0⟺x=\pm 1}$

x	…	−1	…	0	…	1	…
y'	−	−	−	0	+	+	+
y''	−	0	+	+	+	0	−
y		変曲点 ${\displaystyle \log 2}$		極小 0		変曲点 ${\displaystyle \log 2}$

x<−1, x>1で上に凸，
−1<x<1で下に凸，
変曲点は
${\displaystyle (-1,\log 2),(1,\log 2)}$ …（答）
…概形は右図（青丸は極小，赤丸は変曲点）

【第2次導関数を用いた極値の判定】
(1) f ’(a)=0かつf ”(a)>0のとき，f(a)は極小値である．
(2) f ’(a)=0かつf ”(a)<0のとき，f(a)は極大値である．

増えてきて0になるなら，それまではマイナス
0から増えるのなら，それからはプラス

減ってきて0になるなら，それまではプラス
0から減るのなら，それからはマイナス

y"の図

【例3.1】
　次の関数の極値を調べてください．
${\displaystyle y=x^4-2x^2}$

(1)
${\displaystyle y=x-\sqrt{x}}$

${\displaystyle y^{\prime }=1-\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}=\frac{2\sqrt{x}-1}{2\sqrt{x}}}$
${\displaystyle y^{″}=\frac{1}{4}{x}^{-\frac{3}{2}}=\frac{1}{4x\sqrt{x}}>0}$
${\displaystyle x=\frac{1}{4}}$のとき，${\displaystyle y^{\prime }=0,y^{″}>0}$だから極小．
極小値は${\displaystyle \frac{1}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}}$…（答）
（別解）第１次導関数と増減表で求める方法

x	0		${\displaystyle \frac{1}{4}}$
y'	${\displaystyle \times }$	−	0	+
y	${\displaystyle \times }$	${\displaystyle \searrow }$	${\displaystyle -\frac{1}{4}}$	${\displaystyle \nearrow }$

青の二重線枠が定義域
${\displaystyle x=\frac{1}{4}}$のとき，極小．極小値は${\displaystyle \frac{1}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}}$…（答）
…概形は右図

(2)
${\displaystyle y=e^{-x}\sin x(0<x<\pi )}$

${\displaystyle y^{\prime }=-e^{-x}\sin x+e^{-x}\cos x}$
${\displaystyle =-e^{-x}(\cos x-\sin x)}$
${\displaystyle y^{\prime }=0⟺\cos x=\sin x⟺\tan x=1⟺x=\frac{\pi }{4}}$
${\displaystyle y^{″}=-e^{-x}(\cos x-\sin x)+e^{-x}(-\sin x-\cos x)}$
${\displaystyle =-2e^{-x}\cos x}$
${\displaystyle x=\frac{\pi }{4}}$のとき，${\displaystyle y^{\prime }=0,y^{″}<0}$だから極大．
極大値は${\displaystyle e^{-\frac{\pi }{4}}\sin \frac{\pi }{4}=\frac{1}{\sqrt{2}{e}^{\frac{\pi }{4}}}}$…（答）
（別解）第１次導関数と増減表で求める方法

x	0	…	${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$	…	${\displaystyle \pi }$
y'	${\displaystyle \times }$	+	0	−	${\displaystyle \times }$
y	${\displaystyle \times }$	${\displaystyle \nearrow }$	${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}{e}^{\frac{\pi }{4}}}}$	${\displaystyle \searrow }$	${\displaystyle \times }$

青の二重線枠が定義域
${\displaystyle x=\frac{\pi }{4}}$のとき，極大．
極大値は${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}{e}^{\frac{\pi }{4}}}}$…（答）
…概形は右図

　授業で凹凸と変曲点の解説をするときは別として，凹凸だけを問う問題はあまり出ません．多いのは，「増減，極値，凹凸，変曲点，漸近線を調べてグラフを描け」という形の問題です．（漸近線の方程式の求め方については，≪1.このページ≫，≪2.このページ≫を見てください．）

(1)　次の関数の増減，極値，凹凸，変曲点，漸近線を調べてグラフを描いてください．
${\displaystyle y=x-\log x(x>0)}$

${\displaystyle y^{\prime }=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}}$
${\displaystyle y^{″}=\frac{x-(x-1)}{x^2}=\frac{1}{x^2}}$

x	0		1
y'	${\displaystyle \times }$	−	0	+
y''	${\displaystyle \times }$	+	+	+
y	${\displaystyle \times }$		1

青の二重線枠が定義域
x=1のとき，極小値1
極大値なし
x>0において下に凸，変曲点なし
漸近線の方程式はx=0
グラフの概形は右図…（答）

(2)　次の関数の増減，極値，凹凸，変曲点，漸近線を調べてグラフを描いてください．
${\displaystyle y=x\log x(x>0)}$

${\displaystyle y^{\prime }=\log x+1}$
${\displaystyle y^{\prime }=0⟺\log x=-1⟺x=e^{-1}}$
${\displaystyle y^{″}=\frac{1}{x}(>0)}$

x	0		${\displaystyle \frac{1}{e}}$
y'	${\displaystyle \times }$	−	0	+
y''	${\displaystyle \times }$	+	+	+
y	${\displaystyle \times }$		${\displaystyle -\frac{1}{e}}$

青の二重線枠が定義域
${\displaystyle x=\frac{1}{e}}$のとき，極小値${\displaystyle -\frac{1}{e}}$
極大値なし
x>0において下に凸，変曲点なし
漸近線なし
グラフの概形は右図…（答）
※このグラフで${\displaystyle \underset{x\to +0}{lim}x\log x=0}$となること（x=0のときyは定義されないが，x→+0のときy→0となること：原点に〇が付いている）を示すのは，少し難しいが，ロピタルの定理を使って示せる．
${\displaystyle \underset{x\to +0}{lim}x\log x=\underset{x\to +0}{lim}\frac{\log x}{\frac{1}{x}}=\underset{x\to +0}{lim}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}}$
${\displaystyle =\underset{x\to +0}{lim}(-x)=0}$

(3)　次の関数の増減，極値，凹凸，変曲点，漸近線を調べてグラフを描いてください．
${\displaystyle y=\frac{x}{x^2-1}}$

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{x^2-1-x\times 2x}{(x^2-1{)}^2}=\frac{-x^2-1}{(x^2-1{)}^2}=-\frac{x^2+1}{(x^2-1{)}^2}(<0)}$
${\displaystyle y^{″}=\frac{-2x(x^2-1{)}^2-(-x^2-1)\times 2(x^2-1)2x}{(x^2-1{)}^4}}$
${\displaystyle =\frac{(x^2-1)(-2x+4x(x^2+1))}{(x^2-1{)}^4}}$
${\displaystyle =\frac{4x^3-2x+4x}{(x^2-1{)}^3}=\frac{4x^3+2x}{(x^2-1{)}^3}=\frac{2x(2x^2+1)}{(x^2-1{)}^3}}$

x		−1		0		1
y'	−	${\displaystyle \times }$	−	−	−	${\displaystyle \times }$	−
y''	−	${\displaystyle \times }$	+	0	−	${\displaystyle \times }$	+
y		${\displaystyle \times }$		0		${\displaystyle \times }$

赤の破線部分は関数が定義されない
x<−1, −1<x<1, 1<xにおいて単調増加
極値なし
x<−1, 0<x<1において上に凸，−1<x<0, 1<xにおいて下に凸
(0, 0)は変曲点
漸近線の方程式は
x=−1, x=1, y=0
グラフの概形は右図 …（答）

(4)
${\displaystyle y=2\cos x-\sin 2x(0\leqq x\leqq \pi )}$

${\displaystyle y^{\prime }=-2\sin x-2\cos 2x}$
${\displaystyle =-2\sin x-2(1-2{\sin }^{2}x)}$
${\displaystyle =4{\sin }^2-2\sin x-2=2(2{\sin }^{2}x-\sin x-1)}$
${\displaystyle =2(2\sin x+1)(\sin x-1)}$
${\displaystyle y^{\prime }=0⟺x=\frac{\pi }{2}}$
${\displaystyle y^{″}=-2\cos x+4\sin 2x}$
${\displaystyle =-2\cos x+8\sin x\cos x}$
${\displaystyle =2\cos x(4\sin x-1)}$
${\displaystyle y^{″}=0⟺x=\frac{\pi }{2}}$および${\displaystyle \sin \alpha =\frac{1}{4}}$となる角${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle x}$	${\displaystyle 0}$		${\displaystyle \alpha }$		${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$		${\displaystyle \pi -\alpha }$		${\displaystyle \pi }$
y'	−	−	−	−	0	−	−	−	−
y''	−	−	0	+	0	−	0	+	+
y	2		変曲点 ${\displaystyle \frac{3\sqrt{15}}{8}}$		変曲点 0		変曲点 ${\displaystyle -\frac{3\sqrt{15}}{8}}$		−2

0≦x≦πにおいて単調減少
極値なし
${\displaystyle 0<\alpha ,\frac{\pi }{2}<x<\pi -\alpha }$において上に凸，${\displaystyle \alpha <x<\frac{\pi }{2},\pi -\alpha <x<\pi }$
において下に凸
変曲点は${\displaystyle (\alpha ,\frac{3\sqrt{15}}{8}),(0,0),}$
${\displaystyle (\pi -\alpha ,-\frac{3\sqrt{15}}{8})}$
漸近線なし
グラフの概形は右図
※この問題は，高校生にとっては難しい．その１つの理由は，角${\displaystyle \alpha }$が既知の数値で表せなくて，${\displaystyle \sin \alpha =\frac{1}{4}}$となる角という具合に間接的に表現せざるを得ない点にある．このような問題でも，何問か練習するとできるようになる．
${\displaystyle \sin \alpha =\frac{1}{4}(0<x<\frac{\pi }{2})}$のとき，${\displaystyle \cos \alpha =\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}}$
${\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =2\times \frac{1}{4}\times \frac{\sqrt{15}}{4}=\frac{\sqrt{15}}{8}}$
などとして，${\displaystyle y}$の値を求める．
　もう1つ，${\displaystyle y^{″}}$の符号を決める計算も難しいが，次のように地道に積み上げていくとできる．
${\displaystyle \cos x}$⇒${\displaystyle 0\leqq x<\frac{\pi }{2}}$で正，${\displaystyle x=\frac{\pi }{2}}$で0，${\displaystyle \frac{\pi }{2}<x\leqq \pi }$で負
${\displaystyle 4\sin x-1}$⇒${\displaystyle 0\leqq x<\alpha }$で負，${\displaystyle x=\alpha }$で0，${\displaystyle \alpha <x<\pi -\alpha }$で正，${\displaystyle \pi -\alpha <x\leqq \pi }$で負

${\displaystyle x}$		${\displaystyle \alpha }$		${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$		${\displaystyle \pi -\alpha }$
${\displaystyle \cos x}$	+	+	+	0	−	−	−
${\displaystyle 4\sin x-1}$	−	0	+	+	+	0	−
２つの符号の積	−	0	+	0	−	0	+

凹凸，変曲点の大学入試問題

　関数${\displaystyle y=\frac{x^2-x+1}{x^2}}$の値の増減，グラフの凹凸，漸近線の有無について調べ，そのグラフの概形を描け．

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{(2x-1)x^2-(x^2-x+1)2x}{x^4}}$
${\displaystyle =\frac{2x^3-x^2-2x^3+2x^2-2x}{x^4}}$
${\displaystyle =\frac{x^2-2x}{x^4}=\frac{x-2}{x^3}}$
${\displaystyle y^{″}=\frac{x^3-(x-2)3x^2}{x^6}=\frac{x^3-3x^3+6x^2}{x^6}}$
${\displaystyle =\frac{-2x^3+6x^2}{x^6}=-\frac{2(x-3)}{x^4}}$

x	−∞		0		2		3		∞
y'		+	${\displaystyle \times }$	−	0	+	+	+
y''		+	${\displaystyle \times }$	+	+	+	0	−
y	(1←)		${\displaystyle \times }$		極小 ${\displaystyle \frac{3}{4}}$		変曲点 ${\displaystyle \frac{7}{9}}$		(→1)

x<0, 2<xにおいて単調増加，0<x<2において単調減少
x=2において極小．極小値は${\displaystyle \frac{3}{4}}$，極大値はなし
x<0, 0<x<3において下に凸，3<xにおいて上に凸
${\displaystyle (3,\frac{3}{4})}$は変曲点
${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}y=\mathrm{\infty }}$だから，直線x=0は漸近線
${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=1,\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}y=1}$だから，直線y=1は漸近線
グラフの概形は次の図 …（答）

　関数${\displaystyle f(x)=x+\cos (2x)}$がある．
(1) f(x)の導関数f’(x)を求めよ．
(2) f(x)の第2次導関数f”(x)を求めよ．
(3) 曲線y=f(x)（ただし，${\displaystyle 0\leqq x\leqq \frac{\pi }{2}}$）の増減表を書け．増減表には，増減のほか，凹凸についても明示すること．
(4) 曲線y=f(x)（ただし，${\displaystyle 0\leqq x\leqq \frac{\pi }{2}}$）のグラフを描け．

(1) ${\displaystyle f^{\prime }(x)=1-2\sin 2x}$
(2) ${\displaystyle f^{″}(x)=-4\cos 2x}$
(3) ${\displaystyle 0\leqq x\leqq \frac{\pi }{2}}$のとき${\displaystyle 0\leqq 2x\leqq \pi }$
${\displaystyle 1-2\sin 2x=0⟺\sin 2x=\frac{1}{2}⟺2x=\frac{\pi }{6},\frac{5}{6}\pi }$
${\displaystyle ⟺x=\frac{\pi }{12},\frac{5}{12}\pi }$
${\displaystyle -4\sin 2x=0⟺\sin 2x=0⟺2x=\frac{\pi }{2}⟺x=\frac{\pi }{4}}$

x	0		${\displaystyle \frac{\pi }{12}}$		${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$		${\displaystyle \frac{5\pi }{12}}$		${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$
y'	+	+	0	−	−	−	0	+	+
y''	−	−	−	−	0	+	+	+	+
y	1		極大 ${\displaystyle \frac{\pi }{12}+\frac{\sqrt{3}}{2}}$		変曲点 ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$		極小 ${\displaystyle \frac{5\pi }{12}-\frac{\sqrt{3}}{2}}$		${\displaystyle \frac{\pi }{2}-1}$

グラフは次の図

f (n)(x)は第ｎ次導関数を表す記号です

例えばf(x)=x3のとき，f’(x)=3x2, f”(x)=6x,
f (3)(x)=6だから，f’(0)=0, f”(0)=0, f (3)(0)>0となりますが，f(0)=0は極値ではありません．

例えばf(x)=x4のとき，f’(x)=4x3, f”(x)=12x2,
f (3)(x)=24x, f (4)(x)=24だから，f’(0)=0, f”(0)=0, f (3)(0)=0, f (4)(0)>0となり，f(0)=0は極小値になります．