凹凸と変曲点

...�ｽ蝓溷｣ｰ陝ｶ�ｯ霑夊肩�ｼ蟲ｨﾎ鍋ｹ昜ｹ斟礼ｹ晢ｽｼ邵ｺ�ｫ隰鯉ｽｻ郢ｧ�ｽ

...(�ｽ�ｰ�ｽ�｣霑夲ｿｽ)郢晢ｽ｡郢昜ｹ斟礼ｹ晢ｽｼ邵ｺ�ｫ隰鯉ｽｻ郢ｧ�ｽ
*** 驕倬�蟯ｼ ***
隰ｨ�ｰ遶�ｿｽ郢晢ｽｻ�ｽ�｡隰ｨ�ｰ遶�ｽ｡郢晢ｽｻ�ｽ�｢隰ｨ�ｰ遶�ｽ｢鬯ｮ莨懃ｩ郢晢ｽｻ陞滂ｽｧ陝�ｽｦ陋ｻ譎擾ｽｹ�ｴ陟趣ｽｦ
*** 陷贋ｼ懶ｿｽ ***
髫搾ｿｽ�ｴ�ｽ隰ｨ�ｰ陝ｷ�ｳ鬮ｱ�｢闔�譴ｧ�ｬ�｡隴厄ｽｲ驍ｱ�ｽ陝仙宴�ｻ蜿･�､逕ｻ辟夐勗�ｨ驕会ｽｺ邵ｺ�ｨ隶鯉ｽｵ陟趣ｽｧ隶難ｿｽ
隰ｨ�ｰ陋ｻ蜉ｱ�ｽ隶鯉ｽｵ鬮ｯ�ｽ鬮｢�｢隰ｨ�ｰ陝�愕譛ｪ隰ｨ�ｰ闕ｳ讎奇ｽｮ螟ゑｽｩ讎奇ｿｽ陞ｳ螟ゑｽｩ讎奇ｿｽ
髯ｦ謔滂ｿｽ 1隹ｺ�｡陞溽判驪､

遯ｶ�ｻ鬯ｮ菫ｶ�ｽ�｡隰ｨ�ｰ陝�ｽｦ遶�ｽ｢邵ｺ�ｮ邵ｲ謔滂ｽｾ�ｮ陋ｻ�ｽ�ｽ陝�愕譛ｪ隰ｨ�ｰ邵ｲ髦ｪ竊鍋ｸｺ�､邵ｺ�ｽ窶ｻ�ｽ蠕鯉ｼ�ｸｺ�ｮ郢ｧ�ｵ郢ｧ�､郢晏現竊鍋ｸｺ�ｯ隹ｺ�｡邵ｺ�ｮ隰ｨ蜻取駁邵ｺ蠕娯旺郢ｧ鄙ｫ竏ｪ邵ｺ蜻ｻ�ｼ�ｽ
邵ｺ阮呻ｿｽ鬯��竏�Google郢ｧﾐｨAHOO ! 邵ｺ�ｪ邵ｺ�ｩ邵ｺ�ｮ隶諛�ｽｴ�｢邵ｺ荵晢ｽ蛾ｶ�ｴ隰暦ｽ･隴夲ｽ･邵ｺ�ｦ邵ｺ蜉ｱ竏ｪ邵ｺ�｣邵ｺ貅假ｿｽ邵ｺ�ｧ邵ｲ謔溽√隰�闊娯�邵ｺ�ｪ邵ｺ�｣邵ｺ�ｦ邵ｺ�ｽ�玖怙�ｽ�ｮ�ｹ邵ｺ謔滂ｿｽ邵ｺ荵晢ｽ臥ｸｺ�ｪ邵ｺ�ｽﾂ髦ｪ竊堤ｸｺ�ｽ竕ｧ陜｣�ｴ陷ｷ蛹ｻ��ｸｲ蠕鯉ｼ�ｸｺ�ｮ鬯��ｽ陋ｻ�ｽﾂｰ邵ｺ�｣邵ｺ貅倪ｲ郢ｧ繧�夢邵ｺ�ｨ陟｢諛�舞陜�蝓趣ｽ｡蠕鯉ｽ帝囎荵昶螺邵ｺ�ｽﾂ髦ｪ竊堤ｸｺ�ｽ竕ｧ陜｣�ｴ陷ｷ蛹ｻ�ｽ�ｽ蠕｡�ｻ謔ｶ�ｽ鬯��帝囎荵昶ｻ邵ｺ荳岩味邵ｺ霈費ｼ橸ｿｽ�ｽ邵ｲﾂ邵ｺ讙取ｨ溯舉�ｨ陜ｨ�ｰ邵ｺ�ｧ邵ｺ蜻ｻ�ｼ�ｽ

遶奇ｿｽ陟包ｽｮ陋ｻ�ｽ�ｿ繧育�,鬨ｾ�｣驍ｯ�ｽ,陟包ｽｮ陋ｻ�ｽ蠎�妙�ｽ

遶奇ｿｽ驕ｨ髦ｪ�ｽ陟包ｽｮ陋ｻ�ｽ
遶奇ｿｽ陜��ｽ,陋ｻ�ｽ辟夐ｫ｢�｢隰ｨ�ｰ邵ｺ�ｮ陟包ｽｮ陋ｻ�ｽ
遶奇ｿｽ陷ｷ蝓滂ｿｽ鬮｢�｢隰ｨ�ｰ邵ｺ�ｮ陟包ｽｮ陋ｻ�ｽ
遶奇ｿｽ霎滂ｽ｡騾�ｿｽ譛ｪ隰ｨ�ｰ邵ｺ�ｮ陟包ｽｮ陋ｻ�ｽ

遶奇ｿｽ陝仙宴�ｻ蜿･�､逕ｻ辟夐勗�ｨ驕会ｽｺ邵ｺ�ｮ邵ｺ�ｨ邵ｺ髦ｪ�ｽ陟包ｽｮ陋ｻ�ｽ�ｳ�ｽ
遶奇ｿｽ陷ｷ�ｽ(2)
遶奇ｿｽ鬮ｯ�ｰ鬮｢�｢隰ｨ�ｰ邵ｺ�ｮ陟包ｽｮ陋ｻ�ｽ�ｳ�ｽ

遶奇ｿｽ鬩･蟠趣ｽｦ竏壺�隶鯉ｽｵ鬮ｯ莉卍�､(1)_闕ｳ闃ｽ�ｧ蟶晄悴隰ｨ�ｰ
遶奇ｿｽ闕ｳ闃ｽ�ｧ蟶晄悴隰ｨ�ｰ邵ｺ�ｮ陟包ｽｮ陋ｻ�ｽ
遶奇ｿｽ闕ｳ闃ｽ�ｧ蟶晄悴隰ｨ�ｰ邵ｺ�ｮ陟包ｽｮ陋ｻ�ｽ(2)
遶奇ｿｽ隰厄ｿｽ辟夐ｫ｢�｢隰ｨ�ｰ,陝�ｽｾ隰ｨ�ｰ鬮｢�｢隰ｨ�ｰ邵ｺ�ｮ陟包ｽｮ陋ｻ�ｽ
遶奇ｿｽ陝�ｽｾ隰ｨ�ｰ陟包ｽｮ陋ｻ�ｽ�ｳ�ｽ

遶奇ｿｽ陟包ｽｮ陋ｻ�ｽ�ｼ閧ｲ�ｷ荳樒ｲ玖ｲ咲坩�ｿ謚ｵ�ｼ�ｽ
遶奇ｿｽ雋搾ｽｸ髴鷹��ｷ螢ｹ�ｽ隴�ｽｹ驕槫唱�ｼ�ｽ
遶奇ｿｽ陷ｷ�ｽ(2)
遶奇ｿｽ陷�ｽｹ陷�ｽｸ邵ｺ�ｨ陞溽判蟲�ｽ､�ｹ-霑ｴ�ｾ陜ｨ�ｨ陜ｨ�ｰ
遶奇ｿｽ驍ｱ荳樒ｲ�--陟�軸�ｸ�ｽ.隶鯉ｽｵ陋滂ｽ､.陷�ｽｹ陷�ｽｸ.陞溽判蟲�ｽ､�ｹ.雋搾ｽｸ髴鷹��ｷ�ｽ(1)
遶奇ｿｽ陋ｻ�ｽ辟夐ｫ｢�｢隰ｨ�ｰ邵ｺ�ｮ陟�軸�ｸ�ｽ.隶鯉ｽｵ陋滂ｽ､.雋搾ｽｸ髴鷹��ｷ�ｽ
郢ｧ�ｰ郢晢ｽｩ郢晁ｼ費ｿｽ隶弱ｇ�ｽ�｢邵ｺ�ｨ雋搾ｽｸ髴鷹��ｷ螟ｲ�ｼ莠包ｽｸﾂ髫包ｽｧ�ｽ�ｽ

== 凹凸おうとつと変曲点 ==

【第2次導関数を用いた凹凸の判定】
(1) f ”(x)>0となる区間では，
y=f(x)のグラフは下に凸である．
(2) f ”(x)<0となる区間では，
y=f(x)のグラフは上に凸である．

（解説）
　導関数を用いて関数の増減を調べるときの議論を思い出すと，ある関数f(x)の導関数f ’(x)が，f ’(x)>0となる区間において，関数f(x)は増加します．

(1) 同様にして，ある導関数f ’(x)の導関数f ”(x)が，f ”(x)>0となる区間において，導関数f ’(x)は増加します．
　このとき，右図のように下に凸(とつ：ふくらんでいること)のグラフになります．

(2) 逆に，ある導関数f ’(x)の導関数f ”(x)が，f ”(x)<0となる区間において，導関数f ’(x)は減少します．
　このとき，右図のように上に凸のグラフになります．

##間違いやすい##
この公式は，ウッカリしていると，プラスが山だろうと早合点して逆に覚えてしまう可能性が大です．
どこかの参考書に書いてあった次の覚え方がよいと思いますので，図と結び付けて覚えるとよいでしょう．（両手を上げているか下げているかを見ます）

　上に凸という代わりに下に凹，下に凸という代わりに上に凹と言ってはいけないのか？
⇒ 理屈上は同じことを表していますが，ほとんどの教科書，授業では「どちら向きに凸か」で表現しているので，それに合わせる方がよい．

【例1.1】
　次の関数の凹凸を調べてください．

y = e^{x}

（解答）

y^{'} = e^{x}

y^{″} = e^{x} (> 0)

だから，全区間

- \infty < x < \infty

で下に凸…（答）

【例1.2】
　次の関数の凹凸を調べてください．

y = \log x (x > 0)

（解答）

y^{'} = \frac{1}{x}

y^{″} = - \frac{1}{x^{2}} (< 0)

だから，x>0において上に凸…（答）

【変曲点】
（解説）
　y=f(x)上の１点(a, f(a))を境として曲線の凹凸が変化するとき，この点を変曲点といいます．
　上に凸すなわち，f ”(x)>0の状態から，下に凸すなわち，f ”(x)<0の状態に変わるとき，その点でf ”(x)が定義されていれば，f ”(x)=0になります．
　また，下に凸すなわち，f ”(x)<0の状態から，上に凸すなわち，f ”(x)>0の状態に変わるときも，その点でf ”(x)が定義されていれば，f ”(x)=0になります．

f ”(x)=0，かつ，その点でf ”(x)の符号が変化する点は変曲点

（参考）

y = \frac{1}{x}

のグラフでは，x<0の区間とx>0の区間とで凹凸が異なるが，曲線が繋がっていない（x=0で定義されていない）．このような場合は，変曲点とは言いません．

【例2.1】
　次の関数の凹凸を調べてください．

y = x^{4} - x^{3}

（解答）

y^{'} = 4 x^{3} - 3 x^{2} = x^{2} (4 x - 3)

y^{'} = 0 ⟺ x = 0, \frac{3}{4}

y^{″} = 12 x^{2} - 6 x = 6 x (2 x - 1)

y^{″} = 0 ⟺ x = 0, \frac{1}{2}

x	…	…	$\frac{1}{2}$	…
y''	+	−	0	+
y	∪	∩	$- \frac{1}{16}$	∪

x<0のとき下に凸，(0, 0)は変曲点，

0 < x < \frac{1}{2}

のとき上に凸，

(\frac{1}{2}, - \frac{1}{16})

は変曲点，

x > \frac{1}{2}

のとき下に凸…（答）

次のように表で答える略式答案も多い

x	…	…	$\frac{1}{2}$	…
y''	+	−	0	+
y	∪	∩	$- \frac{1}{16}$	∪

…（答）

凹凸を言葉で表現する答案も多い．

x	…	…	$\frac{1}{2}$	…
y''	+	−	0	+
y	下に凸	上に凸	$- \frac{1}{16}$	下に凸

…（答）

実際には，増減と凹凸を問う問題がほとんどなので，次のような表う使うことが多い．この場合，yの欄には増減と凹凸を組み合わせた次のような記号を用いる．

x	…	…	$\frac{1}{2}$		$\frac{3}{4}$	…
y'	−	−	−	−	0	+
y''	+	−	0	+	+	+
y			$- \frac{1}{16}$		$- \frac{27}{256}$

…（答）
※変曲点が問われているときは，次のように座標で答えなければなりません．変曲点は

(0, 0)

，

(\frac{1}{2}, - \frac{1}{16})

【要約】
1. 変曲点は

(x_{0}, y_{0})

の形の座標で答える．
2. 凹凸は次のいずれかの形で答える．

(1) 「0<x<1のとき上に凸」のように，区間を示して文章で表す．
(2) 表の中で∪，∩を用いて表す．
(3) 表の中で増減と凹凸を組み合わせた記号

で表す．

【例2.2】
　次の関数の凹凸，変曲点を調べてください．

y = \sin x (0 < x < 2 π)

（解答）

y^{'} = \cos x

y^{″} = - \sin x

x	0		$\frac{π}{2}$		$π$		$\frac{3}{2} π$		$2 π$
y'	+	+	0	−	−	−	0	+	+
y''	0	−	−	−	0	+	+	+	0
y			1		0		−1		0

青の二重線枠が定義域
凹凸は上の表の通り．変曲点は

(π, 0)

…（答）

【問題１】　次の関数の凹凸，変曲点を調べてください．

(1)

y = x e^{- x}

解説を読む

y^{'} = e^{- x} + x \times (- 1) e^{- x} = e^{- x} (1 - x)

y^{″} = - e^{- x} (1 - x) + e^{- x} \times (- 1) = e^{- x} (x - 2)

x	…	1	…	2	…
y'	+	0	−	−	−
y''	−	−	−	0	+
y		極大 $\frac{1}{e}$		変曲点 $\frac{2}{e^{2}}$

x<2で上に凸，x>2で下に凸，
変曲点は

(2, \frac{2}{e^{2}})

…（答）…概形は右図（青丸は極大，赤丸は変曲点）

→閉じる←

(2)

y = e^{- \frac{x^{2}}{2}}

解説を読む

y^{'} = e^{- \frac{x^{2}}{2}} \times (- x) = - x e^{- \frac{x^{2}}{2}}

y^{'} = 0 ⟺ x = 0

y^{″} = - e^{- \frac{x^{2}}{2}} - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} \times (- x) = e^{- \frac{x^{2}}{2}} (x^{2} - 1)

y^{″} = 0 ⟺ x = \pm 1

x		−1		0		1
y'	+	+	+	0	−	−	−
y''	+	0	−	−	−	0	+
y		変曲点 $\frac{1}{\sqrt{e}}$		極大 1		変曲点 $\frac{1}{\sqrt{e}}$

x<−1, x>1で下に凸，
−1<x<1で上に凸，
変曲点は

(\pm 1, \frac{1}{\sqrt{e}})

…（答）…概形は右図（青丸は極大，赤丸は変曲点）

→閉じる←

(3)

y = \frac{x}{x^{2} + 1}

解説を読む

y^{'} = \frac{1 \times (x^{2} + 1) - x \times 2 x}{(x^{2} + 1)^{2}} = \frac{- x^{2} + 1}{(x^{2} + 1)^{2}}

y^{'} = 0 ⟺ x = \pm 1

y^{″} = \frac{- 2 x (x^{2} + 1)^{2} - (- x^{2} + 1) \times 2 (x^{2} + 1) \times 2 x}{(x^{2} + 1)^{4}}

= \frac{- 2 x (x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x^{2} + 2)}{(x^{2} + 1)^{4}}

= \frac{- 2 x (x^{2} + 1) (- x^{2} + 3)}{(x^{2} + 1)^{4}}

= \frac{2 x (x^{2} - 3)}{(x^{2} + 1)^{3}}

y^{″} = 0 ⟺ x = 0, \pm \sqrt{3}

x	…	$- \sqrt{3}$	…	−1	…	0	…	1	…	$\sqrt{3}$	…
y'	−	−	−	0	+	+	+	0	−	−	−
y''	−	0	+	+	+	0	−	−	−	0	+
y		変曲点 $- \frac{\sqrt{3}}{4}$		極小 $- \frac{1}{2}$		変曲点 0		極大 $\frac{1}{2}$		変曲点 $\frac{\sqrt{3}}{4}$

x < - \sqrt{3}, 0 < x < \sqrt{3}

で上に凸，

- \sqrt{3} < x < 0, x > \sqrt{3}

で下に凸，
変曲点は

(0, 0), (- \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{4}), (\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{4})

…（答）
…概形は右図（青丸は極値，赤丸は変曲点）

→閉じる←

(4)

y = \log (x^{2} + 1)

解説を読む

y^{'} = \frac{2 x}{x^{2} + 1}

y^{'} = 0 ⟺ x = 0

y^{″} = \frac{2 (x^{2} + 1) - 2 x \times 2 x}{(x^{2} + 1)^{2}} = - \frac{2 (x^{2} - 1}{(x^{2} + 1)^{2}}

y^{″} = 0 ⟺ x = \pm 1

x	…	−1	…	0	…	1	…
y'	−	−	−	0	+	+	+
y''	−	0	+	+	+	0	−
y		変曲点 $\log 2$		極小 0		変曲点 $\log 2$

x<−1, x>1で上に凸，
−1<x<1で下に凸，
変曲点は

(- 1, \log 2), (1, \log 2)

…（答）
…概形は右図（青丸は極小，赤丸は変曲点）

→閉じる←

【第2次導関数を用いた極値の判定】
(1) f ’(a)=0かつf ”(a)>0のとき，f(a)は極小値である．
(2) f ’(a)=0かつf ”(a)<0のとき，f(a)は極大値である．

（解説）

［イラストによる解説］
　このページの初めの方に登場した，右の図（第2次導関数がプラスだったら下に凸，第2次導関数がマイナスだったら上に凸）を思い出すと，谷底と山頂に対応しているから，極小値と極大値になる．

［言葉と論理による解説］
(1)のf ’(a)=0かつf ”(a)>0のとき，f(a)は極小値であることの証明：

x		a
y'	(A) −	(B) 0	(C) +
y''	(D) +	(E) +	(F) +
y	(G)	(H) f(a)	(I)

　(A)と(C)の符号を求めたいとする．
　与えられた条件から，x=aの前後でf ”(a)>0だから，右の表の(D)(E)(F)で示したy ”の符号+が埋まっている．
　次に，与えられた条件から(B)のy ’の符号0が埋まっている．
　さて，(D)によりy ”が+だから，y ’は増えてきて，(B)の0になる．したがって，それまでマイナスだったことになる→(A)がマイナスであることが示された．
　また，(B)の0から右に進むと，(F)によりy ”が+だから，y ’は増える．0から増えるのだから，それからはプラスになる．→(C)がプラスであることが示された．
　以上により，(A)(C)の符号が決まったので，増減をみるとf(a)が極小値であることが分かる．

増えてきて0になるなら，それまではマイナス
0から増えるのなら，それからはプラス

(2)のf ’(a)=0かつf ”(a)<0のとき，f(a)は極大値であることの証明：

x		a
y'	(A) +	(B) 0	(C) −
y''	(D) −	(E) −	(F) −
y	(G)	(H) f(a)	(I)

　(A)と(C)の符号を求めたいとする．
　与えられた条件から，x=aの前後でf ”(a)<0だから，右の表の(D)(E)(F)で示したy ”の符号−が埋まっている．
　次に，与えられた条件から(B)のy ’の符号0が埋まっている．
　さて，(D)によりy ”が−だから，y ’は減ってきて，(B)の0になる．したがって，それまでプラスだったことになる→(A)がプラスであることが示された．
　また，(B)の0から右に進むと，(F)によりy ”が−だから，y ’は減る．0から減るのだから，それからはマイナスになる．→(C)がマイナスであることが示された．
　以上により，(A)(C)の符号が決まったので，増減をみるとf(a)が極大値であることが分かる．

減ってきて0になるなら，それまではプラス
0から減るのなら，それからはマイナス

（参考1）
　第2次導関数を用いた極値の判定の公式は「この公式を使って極値を判定することができる」ということを述べているだけで「この公式を使わなければ極値かどうかを判定することはできない」と述べているわけではない．実施のところ，x=aの前後でy’の符号の変化が分かれば，極値かどうかは分かる．
　一般に，y’を求める計算の方がy”を求める計算よりも簡単で間違いが少ないから，y’だけで増減が分かれば，y”を使わなくてもよい．高校生が出会う問題でy”を使わなければ極値の判定ができないような問題は，めったにない．（下に登場する問題で確かめておくとよい）

（参考2）

y"の図

　上記の証明（言葉と論理のよる解説）において，与えられた条件がf ’(a)とf ”(a)すなわち(B)と(E)の符号だけであるのに，(D)と(F)の符号を勝手に使うのはズルいと考える人へ
　「微分可能な関数は連続である」のでf”(x)が定義されている場合は，f”(x)は連続です．平たく言えば，つながっています．（右図の×印のようなことは起こりません）
　したがって，f”(a)>0のとき，x=aの近傍でもf”(x)>0になります．…遠くの方で符号が変わることがありますが，上記の証明にはx=aの近傍だけでよく，f”(x)>0である範囲の値を考えればよい．

【例3.1】
　次の関数の極値を調べてください．

y = x^{4} - 2 x^{2}

（解答）

y^{'} = 4 x^{3} - 4 x = 4 x (x^{2} - 1)

y^{'} = 0 ⟺ x = 0, \pm 1

y^{″} = 12 x^{2} - 4

x = \pm 1

のとき，

y^{'} = 0, y^{″} = 8 > 0

だから極小．
極小値は−1
x=0のとき，y'=0, y''=−4<0だから極大．
極大値は0
（参考）
　数学Ⅱで習ったように，第1次導関数までだけを使って求めることもできます．

x		−1		0		1
y'	−	0	+	0	−	0	+
y	$↘$	−1	$↗$	1	$↘$	−1	$↗$

x=±1のとき，極小．極小値は−1
x=0のとき，極大．極大値は0

【問題２】　次の関数の極値を調べてください．

(1)

y = x - \sqrt{x}

解説を読む

y^{'} = 1 - \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} = \frac{2 \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}}

y^{″} = \frac{1}{4} x^{- \frac{3}{2}} = \frac{1}{4 x \sqrt{x}} > 0

x = \frac{1}{4}

のとき，

y^{'} = 0, y^{″} > 0

だから極小．
極小値は

\frac{1}{4} - \frac{1}{2} = - \frac{1}{4}

…（答）

（別解）第１次導関数と増減表で求める方法

x	0		$\frac{1}{4}$
y'	$\times$	−	0	+
y	$\times$	$↘$	$- \frac{1}{4}$	$↗$

青の二重線枠が定義域

x = \frac{1}{4}

のとき，極小．極小値は

\frac{1}{4} - \frac{1}{2} = - \frac{1}{4}

…（答）
…概形は右図

→閉じる←

(2)

y = e^{- x} \sin x (0 < x < π)

解説を読む

y^{'} = - e^{- x} \sin x + e^{- x} \cos x

= - e^{- x} (\cos x - \sin x)

y^{'} = 0 ⟺ \cos x = \sin x ⟺ \tan x = 1 ⟺ x = \frac{π}{4}

y^{″} = - e^{- x} (\cos x - \sin x) + e^{- x} (- \sin x - \cos x)

= - 2 e^{- x} \cos x

x = \frac{π}{4}

のとき，

y^{'} = 0, y^{″} < 0

だから極大．
極大値は

e^{- \frac{π}{4}} \sin \frac{π}{4} = \frac{1}{\sqrt{2} e^{\frac{π}{4}}}

…（答）

（別解）第１次導関数と増減表で求める方法

x	0	…	$\frac{π}{4}$	…	$π$
y'	$\times$	+	0	−	$\times$
y	$\times$	$↗$	$\frac{1}{\sqrt{2} e^{\frac{π}{4}}}$	$↘$	$\times$

青の二重線枠が定義域

x = \frac{π}{4}

のとき，極大．
極大値は

\frac{1}{\sqrt{2} e^{\frac{π}{4}}}

…（答）
…概形は右図

→閉じる←

　授業で凹凸と変曲点の解説をするときは別として，凹凸だけを問う問題はあまり出ません．多いのは，「増減，極値，凹凸，変曲点，漸近線を調べてグラフを描け」という形の問題です．（漸近線の方程式の求め方については，≪1.このページ≫，≪2.このページ≫を見てください．）

【問題３】

(1)　次の関数の増減，極値，凹凸，変曲点，漸近線を調べてグラフを描いてください．

y = x - \log x (x > 0)

解説を読む

y^{'} = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}

y^{″} = \frac{x - (x - 1)}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}

x	0		1
y'	$\times$	−	0	+
y''	$\times$	+	+	+
y	$\times$		1

青の二重線枠が定義域
x=1のとき，極小値1
極大値なし
x>0において下に凸，変曲点なし
漸近線の方程式はx=0
グラフの概形は右図…（答）

→閉じる←

(2)　次の関数の増減，極値，凹凸，変曲点，漸近線を調べてグラフを描いてください．

y = x \log x (x > 0)

解説を読む

y^{'} = \log x + 1

y^{'} = 0 ⟺ \log x = - 1 ⟺ x = e^{- 1}

y^{″} = \frac{1}{x} (> 0)

x	0		$\frac{1}{e}$
y'	$\times$	−	0	+
y''	$\times$	+	+	+
y	$\times$		$- \frac{1}{e}$

青の二重線枠が定義域

x = \frac{1}{e}

のとき，極小値

- \frac{1}{e}

極大値なし
x>0において下に凸，変曲点なし
漸近線なし
グラフの概形は右図…（答）
※このグラフで

lim_{x \to + 0} x \log x = 0

となること（x=0のときyは定義されないが，x→+0のときy→0となること：原点に〇が付いている）を示すのは，少し難しいが，ロピタルの定理を使って示せる．

f (x), g (x)

が微分可能であるとき

lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)} = lim_{x \to a} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)}

lim_{x \to + 0} x \log x = lim_{x \to + 0} \frac{\log x}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to + 0} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}}

= lim_{x \to + 0} (- x) = 0

→閉じる←

(3)　次の関数の増減，極値，凹凸，変曲点，漸近線を調べてグラフを描いてください．

y = \frac{x}{x^{2} - 1}

解説を読む

y^{'} = \frac{x^{2} - 1 - x \times 2 x}{(x^{2} - 1)^{2}} = \frac{- x^{2} - 1}{(x^{2} - 1)^{2}} = - \frac{x^{2} + 1}{(x^{2} - 1)^{2}} (< 0)

y^{″} = \frac{- 2 x (x^{2} - 1)^{2} - (- x^{2} - 1) \times 2 (x^{2} - 1) 2 x}{(x^{2} - 1)^{4}}

= \frac{(x^{2} - 1) (- 2 x + 4 x (x^{2} + 1))}{(x^{2} - 1)^{4}}

= \frac{4 x^{3} - 2 x + 4 x}{(x^{2} - 1)^{3}} = \frac{4 x^{3} + 2 x}{(x^{2} - 1)^{3}} = \frac{2 x (2 x^{2} + 1)}{(x^{2} - 1)^{3}}

x		−1		0		1
y'	−	$\times$	−	−	−	$\times$	−
y''	−	$\times$	+	0	−	$\times$	+
y		$\times$		0		$\times$

赤の破線部分は関数が定義されない
x<−1, −1<x<1, 1<xにおいて単調増加
極値なし
x<−1, 0<x<1において上に凸，−1<x<0, 1<xにおいて下に凸
(0, 0)は変曲点
漸近線の方程式は
x=−1, x=1, y=0
グラフの概形は右図 …（答）

→閉じる←

(4)

y = 2 \cos x - \sin 2 x (0 ≦ x ≦ π)

解説を読む

y^{'} = - 2 \sin x - 2 \cos 2 x

= - 2 \sin x - 2 (1 - 2 \sin^{2} x)

= 4 \sin^{2} - 2 \sin x - 2 = 2 (2 \sin^{2} x - \sin x - 1)

= 2 (2 \sin x + 1) (\sin x - 1)

y^{'} = 0 ⟺ x = \frac{π}{2}

y^{″} = - 2 \cos x + 4 \sin 2 x

= - 2 \cos x + 8 \sin x \cos x

= 2 \cos x (4 \sin x - 1)

y^{″} = 0 ⟺ x = \frac{π}{2}

および

\sin α = \frac{1}{4}

となる角

α

$x$	$0$		$α$		$\frac{π}{2}$		$π - α$		$π$
y'	−	−	−	−	0	−	−	−	−
y''	−	−	0	+	0	−	0	+	+
y	2		変曲点 $\frac{3 \sqrt{15}}{8}$		変曲点 0		変曲点 $- \frac{3 \sqrt{15}}{8}$		−2

0≦x≦πにおいて単調減少
極値なし

0 < α, \frac{π}{2} < x < π - α

において上に凸，

α < x < \frac{π}{2}, π - α < x < π

において下に凸
変曲点は

(α, \frac{3 \sqrt{15}}{8}), (0, 0),

(π - α, - \frac{3 \sqrt{15}}{8})

漸近線なし
グラフの概形は右図

※この問題は，高校生にとっては難しい．その１つの理由は，角

α

が既知の数値で表せなくて，

\sin α = \frac{1}{4}

となる角という具合に間接的に表現せざるを得ない点にある．このような問題でも，何問か練習するとできるようになる．

\sin α = \frac{1}{4} (0 < x < \frac{π}{2})

のとき，

\cos α = \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}

\sin 2 α = 2 \sin α \cos α = 2 \times \frac{1}{4} \times \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{\sqrt{15}}{8}

などとして，

y

の値を求める．
　もう1つ，

y^{″}

の符号を決める計算も難しいが，次のように地道に積み上げていくとできる．

\cos x

⇒

0 ≦ x < \frac{π}{2}

で正，

x = \frac{π}{2}

で0，

\frac{π}{2} < x ≦ π

で負

4 \sin x - 1

⇒

0 ≦ x < α

で負，

x = α

で0，

α < x < π - α

で正，

π - α < x ≦ π

で負

$x$		$α$		$\frac{π}{2}$		$π - α$
$\cos x$	+	+	+	0	−	−	−
$4 \sin x - 1$	−	0	+	+	+	0	−
２つの符号の積	−	0	+	0	−	0	+

→閉じる←

凹凸，変曲点の大学入試問題

【問題4.1】

　関数

y = \frac{x^{2} - x + 1}{x^{2}}

の値の増減，グラフの凹凸，漸近線の有無について調べ，そのグラフの概形を描け．

（2005年愛知教育大）

解説を読む

y^{'} = \frac{(2 x - 1) x^{2} - (x^{2} - x + 1) 2 x}{x^{4}}

= \frac{2 x^{3} - x^{2} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x}{x^{4}}

= \frac{x^{2} - 2 x}{x^{4}} = \frac{x - 2}{x^{3}}

y^{″} = \frac{x^{3} - (x - 2) 3 x^{2}}{x^{6}} = \frac{x^{3} - 3 x^{3} + 6 x^{2}}{x^{6}}

= \frac{- 2 x^{3} + 6 x^{2}}{x^{6}} = - \frac{2 (x - 3)}{x^{4}}

x	−∞		0		2		3		∞
y'		+	$\times$	−	0	+	+	+
y''		+	$\times$	+	+	+	0	−
y	(1←)		$\times$		極小 $\frac{3}{4}$		変曲点 $\frac{7}{9}$		(→1)

x<0, 2<xにおいて単調増加，0<x<2において単調減少
x=2において極小．極小値は

\frac{3}{4}

，極大値はなし
x<0, 0<x<3において下に凸，3<xにおいて上に凸

(3, \frac{3}{4})

は変曲点

lim_{x \to 0} y = \infty

だから，直線x=0は漸近線

lim_{x \to - \infty} y = 1, lim_{x \to \infty} y = 1

だから，直線y=1は漸近線
グラフの概形は次の図

…（答）

→閉じる←

【問題4.2】

　関数

f (x) = x + \cos (2 x)

がある．
(1) f(x)の導関数f’(x)を求めよ．
(2) f(x)の第2次導関数f”(x)を求めよ．
(3) 曲線y=f(x)（ただし，

0 ≦ x ≦ \frac{π}{2}

）の増減表を書け．増減表には，増減のほか，凹凸についても明示すること．
(4) 曲線y=f(x)（ただし，

0 ≦ x ≦ \frac{π}{2}

）のグラフを描け．

（2011年山形大）

解説を読む

(1)

f^{'} (x) = 1 - 2 \sin 2 x

(2)

f^{″} (x) = - 4 \cos 2 x

(3)

0 ≦ x ≦ \frac{π}{2}

のとき

0 ≦ 2 x ≦ π

1 - 2 \sin 2 x = 0 ⟺ \sin 2 x = \frac{1}{2} ⟺ 2 x = \frac{π}{6}, \frac{5}{6} π

⟺ x = \frac{π}{12}, \frac{5}{12} π

- 4 \sin 2 x = 0 ⟺ \sin 2 x = 0 ⟺ 2 x = \frac{π}{2} ⟺ x = \frac{π}{4}

x	0		$\frac{π}{12}$		$\frac{π}{4}$		$\frac{5 π}{12}$		$\frac{π}{2}$
y'	+	+	0	−	−	−	0	+	+
y''	−	−	−	−	0	+	+	+	+
y	1		極大 $\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}$		変曲点 $\frac{π}{4}$		極小 $\frac{5 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}$		$\frac{π}{2} - 1$

グラフは次の図

\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}

\frac{π}{4}

\frac{5 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}

\frac{π}{12}

\frac{π}{4}

\frac{5}{2} π

→閉じる←

（参考）
　f ’(a)=0かつf ”(a)が正（負）のとき，f(a)は極小値（極大値）と言えますが，f ”(a)も０なら極値かどうか判定できません．
　その場合は，さらに第3次導関数を使って求めることができます．
　一般に，第１次導関数から第ｎ次導関数まですべて０で，第n+1次導関数が正負のいずれかであるとき，極値か否かを判定することができます．
(1) f ’(a)=0, f ”(a)=0かつf (3)(a)>0のとき

f (n)(x)は第ｎ次導関数を表す記号です

x		a
y'	(A) +	(B) 0	(C) +
y''	(D) −	(E) 0	(F) +
$y^{(3)}$	(G) +	(H) +	(I) +
y	(J) $↗$	(K) f(a)	(L) $↗$

　前にやった議論を思い出すと，次のように符号が埋まっていきます．
　(H)が＋で微分可能だから，(G)が＋になり，(E)が０だから，(D)のところは「増えて０になるのだから」それまでは−であったことになります．
　次に，(D)が−で(B)が０だから，(A)のところは「減って０になるのだから」それまでは＋であったことになります．
　右半分は，(I)が＋で(E)が０だから，(F)のところは「０から増えるのだから」そこからは＋になります．
　さらに，(F)が＋で(B)が０だから，(C)のところは「０から増えるのだから」そこからは＋になります．
　結局，(A)が＋,(C)も＋となって，f(a)は極値ではないことが分かります．

例えばf(x)=x3のとき，f’(x)=3x2, f”(x)=6x,
f (3)(x)=6だから，f’(0)=0, f”(0)=0, f (3)(0)>0となりますが，f(0)=0は極値ではありません．

(2) f ’(a)=0, f ”(a)=0, f (3)(a)=0かつf (4)(a)>0のとき

x		a
y'	(A) −	(B) 0	(C) +
y''	(D) +	(E) 0	(F) +
$y^{(3)}$	(G) −	(H) 0	(I) +
$y^{(4)}$	(J) +	(K) +	(L) +
y	(M) $↘$	(N) f(a)	(O) $↗$

　(K)が＋で微分可能だから，(J)が＋になり，(H)が０だから，(G)のところは「増えて０になるのだから」それまでは−であったことになります．
　次に，(G)が−で(E)が０だから，(D)のところは「減って０になるのだから」それまでは＋であったことになります．
　さらに，(D)が＋で(B)が０だから，(A)のところは「増えて０になるのだから」それまでは−であったことになります．
　右半分は，(L)が＋で(H)が０だから，(I)のところは「０から増えるのだから」そこからは＋になります．
　さらに，(I)が＋で(E)が０だから，(F)のところは「０から増えるのだから」そこからは＋になります．
　さらに，(F)が＋で(B)が０だから，(C)のところは「０から増えるのだから」そこからは＋になります．
　結局，(A)が−,(C)は＋となって，f(a)は極小値であることが分かります．

例えばf(x)=x4のとき，f’(x)=4x3, f”(x)=12x2,
f (3)(x)=24x, f (4)(x)=24だから，f’(0)=0, f”(0)=0, f (3)(0)=0, f (4)(0)>0となり，f(0)=0は極小値になります．

(*) 以上の議論を振り返ってみると，右半分の符号は
f (n)(0)の符号に一致していることが分かります．０から増える（逆の場合は減る）だけだから．
　左半分は，「増えて０になる」「減って０になる」が交代するので，＋と−が交互に登場することが分かります．
　以上の結果をまとめると，f’(a)=0, f”(a)=0, f (3)(a)=0, … , f (2n−1)(a)=0, f (2n)(a)>0のとき，f(a)は極小値
　f’(a)=0, f”(a)=0, f (3)(a)=0, … , f (2n)(a)=0,
f (2n+1)(a)>0のとき，f(a)は極値ではないと言えます．

(**) f’(a)=0, f”(a)=0, f (3)(a)=0, … , f (2n−1)(a)=0,
f (2n)(a)<0のとき等の場合については，以上の議論と符号が逆になります．

○===メニューに戻る

鬮ｫ�ｨ�ｽ�ｽ�ｽ�ｿ�ｽ�ｽ鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ鬮ｦ�ｮ陷ｻ�ｻ�ｽ�ｿ�ｽ�ｽ鬩幢ｽ｢�ｽ�ｧ�ｽ�ｽ�ｽ�ｵ鬩幢ｽ｢�ｽ�ｧ�ｽ�ｽ�ｽ�､鬩幢ｽ｢隴乗��ｽ�ｺ�ｽ�･�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�ｮGoogle鬮ｫ�ｶ�つ髫ｲ蟷｢�ｿ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｴ�ｽ�ｽ�ｽ�｢鬮ｫ�ｨ�ｽ�ｽ�ｽ�ｿ�ｽ�ｽ

鬮ｫ�ｨ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｳ鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ鬮ｦ�ｮ陷ｻ�ｻ�ｽ�ｿ�ｽ�ｽ鬩幢ｽ｢隴取得�ｽ�｣�ｽ�ｹ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ鬩幢ｽ｢�ｽ�ｧ�ｽ�ｽ�ｽ�ｸ鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�ｮ鬮ｯ�ｷ髢ｧ�ｲ�ｽ�｣�ｽ�ｯ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｭ鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�ｫ鬮ｫ�ｰ鬲�ｼ夲ｽｽ�ｽ�ｽ�ｻ鬩幢ｽ｢�ｽ�ｧ鬯ｩ�ｫ�つ髴取ｻゑｽｽ�｡鬩搾ｽｵ�ｽ�ｲ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ鬩幢ｽ｢�ｽ�ｧ�ｽ�ｽ�ｽ�｢鬩幢ｽ｢隴趣ｽ｢�ｽ�ｽ�ｽ�ｳ鬩幢ｽ｢�ｽ�ｧ�ｽ�ｽ�ｽ�ｱ鬩幢ｽ｢隴趣ｽ｢�ｽ�ｽ�ｽ�ｼ鬩幢ｽ｢隴惹ｼ夲ｽｽ�｣�ｽ�ｯ�ｽ縺､ﾂ驕ｶ謫ｾ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｿ�ｽ�ｽ�ｽ�｡鬩搾ｽｵ�ｽ�ｲ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ
… 鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ鬮ｦ�ｮ陷ｻ�ｻ�ｽ�ｿ�ｽ�ｽ鬩幢ｽ｢�ｽ�ｧ�ｽ�ｽ�ｽ�｢鬩幢ｽ｢隴趣ｽ｢�ｽ�ｽ�ｽ�ｳ鬩幢ｽ｢�ｽ�ｧ�ｽ�ｽ�ｽ�ｱ鬩幢ｽ｢隴趣ｽ｢�ｽ�ｽ�ｽ�ｼ鬩幢ｽ｢隴主�讓滂ｿｽ�ｽ�ｽ�ｽ鬮ｫ�ｰ�ｽ�ｨ髯ｷ�ｻ陷ｿ螟懶ｽｧ�ｽ蝙茨ｿｽ�ｾ�ｽ�ｽ�ｽ�ｹ鬮ｯ諛茨ｽｻ繧托ｽｽ�ｿ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ鬮ｯ�ｷ�ｽ�ｿ驛｢�ｧ霑ｺ�ｰ�つ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ驕ｶ莨∬ｱｪ�ｽ�ｸ�ｽ�ｺ鬮ｴ蝓溷繭鬮ｮ�ｷ鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�ｦ鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ髫ｨ�ｳ�ｽ�ｽ�ｽ�ｸ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ鬯ｮ�ｦ�ｽ�ｪ驕ｶ謫ｾ�ｽ�ｪ鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ

鬮ｫ�ｨ�ｽ�ｽ�ｽ�ｿ�ｽ�ｽ鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ鬮ｦ�ｮ陷ｻ�ｻ�ｽ�ｿ�ｽ�ｽ鬯ｯ�ｯ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ驕ｶ莨∬ｱｪ�ｽ�ｸ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�､鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ驕ｯ�ｶ�ｽ�ｻ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ髴托ｽｹ陞｢�ｽ�ｽ�ｽ鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ髯懶ｽｨ隰夲ｽｵ�ｽ�ｿ�ｽ�ｽ髫ｴ�ｴ�ｽ�ｧ驍ｵ�ｺ隶呵ｶ｣�ｽ�ｸ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ髯懶ｽｨ隰夲ｽｵ�ｽ�ｿ�ｽ�ｽ鬩募●謌厄ｿｽ�ｿ�ｽ�｣鬯ｯ�ｩ隰悟･�ｽｽ�ｼ髮具ｽｻ�ｽ�ｼ隶捺慣�ｽ�ｸ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�ｮ鬮ｫ�ｰ陷ｴ�ｽ�ｽ�ｿ�ｽ�ｽ鬯ｩ蛹�ｽｽ�ｭ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ髯溷供�ｨ�ｯ髣懶ｽｽ鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�ｮ鬮｣逧ｮ蛻､邵ｺ蛛�ｽｿ�ｽ�ｽ�ｽ鬮ｫ�ｲ�ｽ�｢髮倶ｼ�ｽｳ�ｶ�ｽ�ｦ鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ髯溷供�ｨ�ｯ隴鯉ｽｺ鬩幢ｽ｢�ｽ�ｧ髯滓坩�ｯ莨夲ｽｽ�ｿ�ｽ�ｽ鬯ｯ�ｨ�ｽ�ｾ驕ｶ謫ｾ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｿ�ｽ�ｽ�ｽ�｡鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ髯ｷ莨夲ｽｽ�ｱ驕ｯ�ｶ�ｽ�ｻ鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ髣包ｽｳ陝ｯ�ｩ陷ｻ�ｳ鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ鬮ｴ驛�ｽｲ�ｻ�ｽ�ｼ隶厄ｽｸ�ｽ�ｿ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ

鬮ｫ�ｨ�ｽ�ｳ髯具ｽｹ�ｽ�ｺ髫ｴ�ｫ陞滓腸�ｿ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�ｮ鬮ｯ貅ｷ遘�ｿｽ�ｽ�ｽ�｢鬩幢ｽ｢�ｽ�ｧ髯句ｹ｢�ｽ�ｵ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�ｦ鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ驍�私�ｽ�ｫ�ｽ�｢髮倶ｼ�ｽｳ�ｶ�ｽ�ｦ鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�ｯ鬮ｯ�ｷ髣鯉ｽｨ�ｽ�ｽ�ｽ�ｨ鬯ｯ�ｩ陝ｷ�｢�ｽ�ｽ�ｽ�ｨ鬯ｮ�ｫ�ｽ�ｱ�ｽ�ｽ�ｽ�ｭ鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�ｾ鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ髯晢ｽｶ陷ｷ�ｮ�つ�ｽ�ｻ鬩幢ｽ｢�ｽ�ｧ驛｢�ｧ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ髢ｾ�･�ｽ�ｸ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�｣鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�ｦ鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ驕ｶ謫ｾ�ｽ�ｪ鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ髯ｷ�ｻ�ｽ�ｻ�ｽ�ｽ�ｽ�ｼ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ
鬮ｫ�ｨ�ｽ�ｳ髯具ｽｹ�ｽ�ｺ髫ｨ貂可鬮ｫ�ｲ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｳ鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�ｮ鬮ｯ�ｷ�つ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ驍ｵ�ｲ隰夲ｽｵ�ｽ�ｿ�ｽ�ｽ髯溷供�ｨ�ｯ�ｽ�ｽ鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�ｮ鬮ｯ諛ｶ�ｿ�ｽ髯懈･｢�ｶ�｣�ｽ�ｽ�ｽ�｡髯溷供�ｨ�ｯ�つ�ｽ�ｲ鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�ｩ鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ驍ｵ�ｲ陜｣�､�ｽ�ｸ�ｽ�ｺ驛｢�ｧ�ｽ�ｽ陞滂ｽ｢鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ髮具ｿｽ�ｼ莨夲ｽｽ�ｰ鬩幢ｽ｢�ｽ�ｧ髯ｷ�ｻ髣鯉ｽｨ�ｽ�ｽ�ｽ�ｭ�ｽ�ｽ�ｽ�｣鬯ｩ蠅捺��ｽ�ｽ�ｽ�ｺ鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�ｪ鬮ｫ�ｴ�ｽ�ｽ�ｽ�ｿ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｫ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�ｧ鬮｣雋ｻ�ｽ�ｨ髫ｴ謫ｾ�ｽ�ｴ驕ｶ謫ｾ�ｽ�ｴ鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�ｦ鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ髫ｨ�ｳ�ｽ�ｽ�ｽ�ｸ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ髫ｨ�ｳ�ｽ�ｽ�ｽ�ｬ�ｽ�ｾ�ｽ�ｽ�ｽ�ｹ鬮ｯ諛茨ｽｻ繧托ｽｽ�ｿ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｦ驕ｶ謫ｾ�ｽ�ｵ髫ｰ豕瑚ｪｿ�ｽ�ｸ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�ｫ鬮ｯ譎｢�ｿ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｾ鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ髯ｷ莨夲ｽｽ�ｱ驕ｯ�ｶ�ｽ�ｻ鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�ｯ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ髫ｰ逍ｲ�ｺ�ｷ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ陞ｯ蜻ｻ�ｿ�ｽ�ｽ�ｽ鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�ｪ鬯ｯ�ｮ�ｽ�ｯ鬮｣莨�ｽｯ莨夲ｽｽ�ｽ鬯倅ｿｶ�ｱ讖ｸ�ｿ�ｽ�ｽ�ｾ鬮ｯ貊ゑｽｽ�｢髫ｲ蟶幢ｽｲ�ｩ�ｽ�ｽ鬩幢ｽ｢�ｽ�ｧ髣包ｽｵ隴趣ｽ｢�ｽ�ｽ髢ｧ�ｲ�ｽ�ｸ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ驕ｶ莨∬ｱｪ�ｽ�ｸ�ｽ�ｺ髯ｷ莨夲ｽｽ�ｱ驕ｯ�ｶ�ｽ�ｻ鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ驕ｶ謫ｾ�ｽ�ｪ鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ髯ｷ�ｻ�ｽ�ｻ�ｽ�ｽ�ｽ�ｼ鬮ｮ諛ｶ�ｽ�｣�ｽ�ｽ�ｽ�ｼ鬯ｩ蛹�ｽｽ�ｺ�ｽ縺､ﾂ�ｽ�ｽ�ｽ�ｻ鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�ｪ鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ髯槭ｑ�ｿ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｼ髫ｴ�ｴ�ｽ�ｧ髯具ｽｻ�ｽ�､鬮ｫ�ｰ�ｽ�ｦ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ髯懆ｶ｣�ｽ�ｪ鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�ｪ鬮ｫ�ｴ�ｽ�ｽ�ｽ�ｿ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｫ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�ｫ鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�ｪ鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�｣鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�ｦ鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ驍�戟謐暦ｿｽ�ｽ�ｽ�ｴ鬮ｯ�ｷ�ｽ�ｷ髯具ｽｹ�ｽ�ｻ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ髯溷供�ｨ�ｯ髣懶ｽｽ鬩幢ｽ｢�ｽ�ｧ髯滓坩�ｯ莨夲ｽｽ�ｽ陞ｳ螢ｽﾂ�ｦ�ｽ�ｽ�ｽ�ｬ鬯ｯ�ｮ�ｽ�｢髣包ｽｵ隴擾ｽｶ�ｽ�ｽ鬩幢ｽ｢�ｽ�ｧ髣包ｽｵ隴擾ｽｶ�ｽ�ｽ鬯ｩ蛹�ｽｽ�ｲ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ縺､ﾂ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ髫ｨ�ｽ�ｽ�｡鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ髣比ｼ夲ｽｽ�｣驍ｵ�ｲ陜｣�､�ｽ�ｸ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�ｪ鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ髯ｷ謇假ｽｽ�ｰ�ｽ�ｽ�ｽ�ｪ�ｽ�ｽ�ｽ�ｭ鬯ｮ�｢�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ郢ｧ蜿･謫�ｿｽ�ｽ�ｽ�ｭ鬩幢ｽ｢�ｽ�ｧ�ｽ縺､ﾂ鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ鬮ｦ�ｮ陷ｷ�ｮ�ｽ�ｽ鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�ｫ鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�ｪ鬩幢ｽ｢�ｽ�ｧ鬩怜遜�ｽ�ｫ驕ｶ謫ｾ�ｽ�ｪ鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ髯ｷ�ｷ�ｽ�ｶ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�ｧ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ髫ｴ�ｴ�ｽ�ｧ髮取腸�ｽ�ｻ鬯ｨ�ｾ陋ｹ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｨ鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ髯ｷ莨夲ｽｽ�ｱ驕ｶ謫ｾ�ｽ�ｪ鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ髯晢ｽｶ陷ｻ�ｻ�ｽ�ｽ鬮ｮ�｣�ｽ�ｿ�ｽ�ｽ鬮ｮ諛ｶ�ｽ�｣�ｽ�ｽ�ｽ�ｼ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ

鬯ｮ�ｮ闔ｨ螟ｲ�ｽ�ｽ�ｽ�ｪ鬮ｯ諛ｶ�ｿ�ｽ髣包ｽｳ陝ｯ�ｩ�ｽ�ｽ鬮ｯ譎｢�ｿ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｾ鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ髯ｷ�ｷ�ｽ�ｶ�ｽ�ｽ驍�戟邯憺垳謐ｺ諷｣�ｽ�ｽ�ｽ�ｭ髫ｴ竏ｵ閻ｸ�ｽ�ｿ�ｽ�ｽ鬮｣蛹�ｽｽ�ｳ�ｽ�ｽ�ｽ�ｭ鬮ｯ譎｢�ｿ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｦ鬮ｴ螟ｧ�｣�ｼ霑ｴ�ｾ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ鬮ｦ�ｮ陷ｻ�ｻ�ｽ�ｿ�ｽ�ｽ鬯ｯ�ｯ�ｽ�ｽ�ｽ�ｿ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ鬩墓慣�ｿ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｫ髣厄ｽｫ�ｽ�ｶ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ�｡鬮ｴ螟ｧ�｣�ｼ霑ｴ�ｾ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ鬮ｦ�ｮ陷ｻ�ｻ�ｽ�ｿ�ｽ�ｽ鬯ｯ�ｯ�ｽ�ｽ�ｽ�ｿ�ｽ�ｽ鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�ｫ鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ驛｢�ｧ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ鬯倩ｲｻ�ｽ�ｸ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�ｾ鬩搾ｽｵ�ｽ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ