商，分数関数の微分

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*** 高卒から大学初年度程度 ***

逆三角関数の微分法

マクローリン展開

偏微分

【要約】･･･商の導関数の公式

・・・　ｆ　から言えば，「負けて勝つ」

【例１】

y = \frac{1}{x + 2}

の導関数（微分）を求めてください．

【例２】

y = \frac{3 x - 1}{2 x + 1}

の導関数（微分）を求めてください．

【例３】

y = \frac{x}{x^{2} - 1}

の導関数（微分）を求めてください．

【例題1】
　xの関数

y = \frac{2}{x}

を微分してください．

ア）商の微分法でやる場合

分子は(やられてから)−(やり返す) (分母)²

を使うと

y^{'} = \frac{0 \times x - 2 \times 1}{x^{2}} = - \frac{2}{x^{2}}

…（答）
イ）積の微分法でやる場合

y = \frac{2}{x} = 2 x^{- 1}

だから

公式　

y = x^{n} \to y^{'} = n x^{n - 1}

y^{'} = 2 \times (- 1) x^{- 2} = - \frac{2}{x^{2}}

…（答）

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【例題2】
　xの関数

y = - \frac{1}{x^{2}}

を微分してください．

ア）商の微分法でやる場合

分子は(やられてから)−(やり返す) (分母)²

を使うと

y^{'} = - \frac{0 \times x^{2} - 1 \times 2 x}{x^{4}} = \frac{2}{x^{3}}

…（答）
イ）積の微分法でやる場合

y = - \frac{1}{x^{2}} = - x^{- 2}

だから

公式　

y = x^{n} \to y^{'} = n x^{n - 1}

y^{'} = - (- 2) x^{- 3} = \frac{2}{x^{3}}

…（答）

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【例題3】
　xの関数

y = \frac{x}{x - 1}

を微分してください．

ア）商の微分法でやる場合

分子は(やられてから)−(やり返す) (分母)²

を使うと

y^{'} = - \frac{1 \times (x - 1) - x \times 1}{(x - 1)^{2}} = \frac{- 1}{(x - 1)^{2}}

= - \frac{1}{(x - 1)^{2}}

…（答）
イ）積の微分法でやる場合

y = x \times (x - 1)^{- 1}

だから

公式

y = f (x) g (x) \to y^{'} = f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x)

により

y^{'} = 1 \times (x - 1)^{- 1} + x \times (- 1) (x - 1)^{- 2}

= \frac{1}{x - 1} - \frac{x}{(x - 2)^{2}} = \frac{x - 1 - x}{(x - 1)^{2}}

= \frac{- 1}{(x - 1)^{2}} = - \frac{1}{(x - 1)^{2}}

…（答）

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【例題4】
　xの関数

y = \frac{x - 3}{2 x + 1}

を微分してください．

ア）商の微分法でやる場合

分子は(やられてから)−(やり返す) (分母)²

を使うと

y^{'} = \frac{1 \times (2 x + 1) - (x - 3) \times 2}{(2 x + 1)^{2}} = \frac{2 x + 1 - 2 x + 6}{(2 x + 1)^{2}}

= \frac{7}{(2 x + 1)^{2}}

…（答）
イ）積の微分法でやる場合

y = (x - 3) (2 x + 1)^{- 1}

だから

この微分を行うには，合成関数の微分法が必要になる

y = {f (x)}^{n} \to y^{'} = n f (x)^{n - 1} f^{'} (x)

y^{'} = 1 \times (2 x + 1)^{- 1} + (x - 3) \times (- 1) (2 x + 1)^{- 2} \times 2

= \frac{2 x + 1 - 2 x + 6}{(2 x + 1)^{2}} = \frac{7}{(2 x + 1)^{2}}

…（答）

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【例題5】
　xの関数

y = \frac{1}{x^{2} + 1}

を微分してください．

ア）商の微分法でやる場合

分子は(やられてから)−(やり返す) (分母)²

を使うと

y^{'} = \frac{0 \times (x^{2} + 1) - 1 \times 2 x}{(x^{2} + 1)^{2}} = - \frac{2 x}{(x^{2} + 1)^{2}}

…（答）
イ）積の微分法でやる場合

y = (x^{2} + 1)^{- 1}

だから

この微分を行うには，合成関数の微分法が必要になる

y = {f (x)}^{n} \to y^{'} = n f (x)^{n - 1} f^{'} (x)

y^{'} = - (x^{2} + 1)^{- 2} (2 x) = - \frac{2 x}{(x^{2} + 1)^{2}}

…（答）

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計算用紙を使って，ゆっくりやればできます．別の解き方で検算もすれば確実です

下の方でいいので、答えを載せて欲しいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．一題でも間違ったら解説と答が出るようになっているのですが，この要望が来たということは全問正解で終わってしまった人だと考えられます．とはいえ，正解であっても答案を確かめたい人はあり得ますので，正解の場合でも解説が出る設定にしました．

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