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※高校数学Ⅲの「媒介変数表示・極座標」について,このサイトには次の教材があります.
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は,他の頁を見てください.  が現在地です.
媒介変数表示1-現在地
同(2)
放物線の頂点・円の中心の軌跡
サイクロイド,アステロイド等
極座標
極方程式
同(2)
2次曲線の極方程式,媒介変数表示

== 媒介変数表示とは ==
中学校以来,グラフ,直線・曲線の方程式は,
xとyの式で表わされました。
例 y = 2x + 3
例 x2 + y2= 9 など


 このページで説明する媒介変数表示とは,x座標とy座標を他の変数の関数として表わしたものをい います。
x = t2 - 3
y = 3t + 1 など
♪~x家とy家のご縁を取り持つ媒酌人はt氏です。~♪
 

t が変化すれば,xが変化し,yも変化するので,
x と y が連動しているように見えます。

実際,xが決まればyが決まります。


■ 媒介変数表示のイメージ
 例1
  物理の公式を用いると,高さ10(m)の屋上から水平方向に4(m/秒)の速さで投げ出された物体のt秒後のx座標とy座標は次の式で表わされます。
x = 4t
y = -4.9t2 + 10
※ t の値の上にマウスを置くと,対応するx,yの値とグラフ上の点の位置が 示されます。

 この例では,時刻 t を媒介変数としてx座標とy座標が決まり,
それぞれの t の値について点が定まります。


 

t(秒)
x(m)
y(m)
0.00
0.00
10.00
0.10
0.40
9.95
0.20
0.80
9.80
0.30
1.20
9.56
0.40
1.60
9.22
0.50
2.00
8.78
0.60
2.40
8.24
0.70
2.80
7.60
0.80
3.20
6.86
0.90
3.60
6.03
1.00
4.00
5.10
1.10
4.40
4.07
1.20
4.80
2.94
1.30
5.20
1.72
1.40
5.60
0.40
1.50
6.00
-1.03

 例2
 右の表は,動径がx軸の正の向きとなす角をθ(度)としたとき,
x = cosθ
y = sinθ
で与えられる点x,yの座標で,グラフはこれを点で示したものです。

 この場合,x,yは角度θによる媒介変数表示で表わされ,グラフは原点を中心とする半径1の円になります。 

※ θ の値の上にマウスを置くと,対応するx,yの値とグラフ上の点の位置が示されます。  

θ (度)
x
y
0
1.0000 
0.0000 
15
0.9659 
0.2588 
30
0.8660 
0.5000 
45
0.7071 
0.7071 
60
0.5000 
0.8660 
75
0.2588 
0.9659 
90
0.0000 
1.0000 
105
-0.2588 
0.9659 
120
-0.5000 
0.8660 
135
-0.7071 
0.7071 
150
-0.8660 
0.5000 
165
-0.9659 
0.2588 
180
-1.0000 
0.0000 
195
-0.9659 
-0.2588 
210
-0.8660 
-0.5000 
225
-0.7071 
-0.7071 
240
-0.5000 
-0.8660
255
-0.2588 
-0.9659 
270
0.0000 
-1.0000 
285
0.2588 
-0.9659 
300
0.5000 
-0.8660 
315
0.7071 
-0.7071 
330
0.8660 
-0.5000 
345
0.9659 
-0.2588 
360
1.0000 
0.0000 

 


■ 媒介変数の消去とは -- 媒介変数表示をx,yの関係式に直すには,媒介変数を消去します。それはなぜ?
例 次の媒介変数表示において,tがすべての実数を変化するとき,点x,yの通るグラフの方程式をx,yの関係式で表わすことを考えると:
x = 2t + 1・・・(1)
y = 3t - 1・・・(2)
(1)(2)は,次の式と同じ

※ 上の□枠内において,共通の t が2つの表現で結ばれているのが第1のポイントです。

※ 次にt が舞台から消えるのが第2のポイントです。
ここで,t が表舞台にいなくてもxとyはつながっていることに気をつけると

すなわち,x,yの関係式は
3(x - 1) = 2(y + 1)
あるいは
3x - 2y - 5 = 0 ・・・答
t:必要ならばいつでも登場できるが,当面舞台から隠れる
xとy:つながっている

■ 要点 --媒介変数の消去 (x,y関係式; 軌跡の方程式の求め方)
手順1
 媒介変数について解いて,代入消去する必要はなく,ただ単に媒介変数を消去すればよい。

手順2
 元の関係式・・(1) → x.yの関係式・・(2)
において(2)は(1)の必要条件に過ぎないので,十分性の検討が重要
すなわち,(2)の全部が(1)を満たしているかどうかの検討が重要。(2)のうち一部の点が解でない場合(除外点)や一部の区間が解でないことがあるので要注意。

 媒介変数に付着していた条件は,媒介変数を消去したときは,生き残ったx,yで引き継ぐことが重要。

そこで一句:[死者の遺言は,戦友が引き継ぐ]

○1
 上の例のように,2つの式をt について明示的に解いて,これらが等しいことから,x,yの関係式を求められる場合があります。

□2
 2つの式から t を明示的に解くことができなくても,1つの式から t =・・・ の形に直し,もう一方の式に代入することによりt を消去してx,yの関係式が求められる場合があります。

●3
 t を代入消去するときに,媒介変数に付着していた条件は,xやyの条件として引き継がなければならないことがあります。

■4
 一旦 t= という形に解くことは重要でなく,ただ単に t が消去できればよいので,x,yの式をよく観察して関係式を作ります。


 媒介変数が簡単には消去できないものもあります。
ア このようなものにおいては,曲線の方程式は媒介変数表示でのみ表わされます。
イ 曲線の概形が必要なときは,幾つかのtの値を元に,点をプロットすれば分かります。
 表計算ソフトExcelで次の赤枠部分を選択してから,グラフ→散布図などとします。

例○1 次の媒介変数表示をx,yの関係式に直しなさい。
x = -t +3・・(1)
y = 2t + 1・・(2)
(t は全実数)・・(3)


(1)より t = 3 - x
これを(2)に代入
y = 2(3 - x) + 1= -2x +7 ・・・答・・(4)
(なお,(3)よりxも全実数となり(4)の直線の全部が答。
数学では「制限のあるものは言わなければならない」が,「制限のないものは,何も言わなくてよい」ので
単に y = -2x +7 を答とすればよい。)
例□2 次の曲線の方程式を,yをxの関数として表わしなさい。
x = t - 1・・(1)
y = 2t2 + 3・・(2)
(数学では「制限のあるものは言わなければならない」が,「制限のないものは,何も言わなくてよい」ので,特に記述がなければ,t は全実数:制限がないものとして扱う)・・(3)


(1)より t = x + 1
これを(2)に代入すると
y =2(x + 1)2 + 3・・答・・(4)
(t は全実数で,(1)よりxは全実数:何も言わなくてよい。)
例●3 次の式で表わされる点(x,y)が動く軌跡の方程式を求めなさい。
x = √t・・(1)
y = 3t + 1・・(2)


(1)より x =√t ≧ 0
[t は消える → 条件はxが引き継ぐ:x≧0
(1)よりt = x2 を(2)に代入
y = 3x2 + 1 (x≧0)・・・答
例■4 実数 t が変化するとき,次の点(x,y)がどのような曲線上を動くか述べなさい。
x = cost・・(1)
y = sint・・(2)


sin2t + cos2t = 1はどんなtについても成立するから
x2 + y2 = 1・・答・・(3)
(実際には,(1)(2)において-1≦cost≦1,-1≦sint≦1だから-1≦x≦1,-1≦y≦1であるが,(3)を満たすx,yはこの制限を満たしているので,定義域について何も言わなくてよい。)
例※ 次の媒介変数表で表わされる曲線(サイクロイド)は,媒介変数の消去によるx,y関係式に簡単にはできません。
x = t - sint
y = 1 - cost
Excelのグラフで散布図を選択すると次のような概形が描けます。

■ 問題
1 次の媒介変数表示で表わされる曲線の方程式を右の選択肢から選びなさい。
 
[選択肢]
 
 
[ヒント]
[参考]
2 次の媒介変数表示で表わされる曲線の方程式を右の選択肢から選びなさい。
[選択肢]
y = 2x y =2x2
y = 2(1 - x) y = 2(1 - x2)
[ヒント]
[参考]
(む)3 次の媒介変数表示で表わされる曲線の方程式を右の選択肢から選びなさい。
[選択肢]

x2+y2 = 1 (点(1,0)を除く) x2+y2= 1 (点(-1,0)を除く)
x2+y2 = 1 (点(0,1)を除く) x2+y2= 1 (点(0,-1)を除く)

[ヒント]
[参考]


4 t が全実数を変化するとき,次の2直線の交点の軌跡の方程式を求めなさい。
tx - y - t = 0 ・・・(1)
x + ty + 1 = 0 ・・・(2)
[選択肢]

x2+y2 = 1 (点(1,0)を除く) x2+y2= 1 (点(-1,0)を除く)
x2+y2 = 1 (点(0,1)を除く) x2+y2= 1 (点(0,-1)を除く)

[ヒント]
[参考]

[注]直前にPC版から入られた場合は,自動転送でスマホ版に来ていますので,ブラウザの[戻るキー]では戻れません(堂々巡りになる).下記のリンクを使ってメニューに戻ってください.
...(携帯版)メニューに戻る

...(PC版)メニューに戻る

■[個別の頁からの質問に対する回答][媒介変数表示について/16.12.12]
媒介変数表示の例2の345度の時に表示する点が間違えているかもしれません とてもわかりやすかったです、復習に使わせていただきました
=>[作者]:連絡ありがとう.ブラウザによっては表中の座標のマイナスの符号が上下にずれるものがありましたので訂正しました.また,ブラウザによっては点が縦方向に微妙に下にずれる場合がありましたので訂正しました.
■[個別の頁からの質問に対する回答][媒介変数表示について/16.11.14]
とてもわかりやすかったです! ありがとうございます 役に立ちました! 大学の過去問などから引用した問題なども掲載してもらえるとありがたいです
=>[作者]:連絡ありがとう.

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鬩搾スオ�ス�イ�ス�ス�ス�ス 鬩幢ス「�ス�ァ�ス�ス�ス�「鬩幢ス「隴趣ス「�ス�ス�ス�ウ鬩幢ス「�ス�ァ�ス�ス�ス�ア鬩幢ス「隴趣ス「�ス�ス�ス�シ鬩幢ス「隴惹シ夲スス�」�ス�ッ�ス縺、ツ€驕カ謫セ�ス�ス�ス�ス�ス�ソ�ス�ス�ス�。 鬩搾スオ�ス�イ�ス�ス�ス�ス
… 鬩搾スオ�ス�コ鬮ヲ�ョ陷サ�サ�ス�ソ�ス�ス鬩幢ス「�ス�ァ�ス�ス�ス�「鬩幢ス「隴趣ス「�ス�ス�ス�ウ鬩幢ス「�ス�ァ�ス�ス�ス�ア鬩幢ス「隴趣ス「�ス�ス�ス�シ鬩幢ス「隴主�讓滂ソス�ス�ス�ス鬮ォ�ー�ス�ィ髯キ�サ陷ソ螟懶スァ�ス蝙茨ソス�セ�ス�ス�ス�ケ鬮ッ諛茨スサ繧托スス�ソ�ス�ス�ス�ス�ス�ス鬮ッ�キ�ス�ソ驛「�ァ霑コ�ー�つ€�ス�ス�ス�ス驕カ莨∬アェ�ス�ク�ス�コ鬮エ蝓溷繭鬮ョ�キ鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ヲ鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ス髫ィ�ウ�ス�ス�ス�ク�ス�コ�ス�ス�ス�ス鬩搾スオ�ス�コ鬯ョ�ヲ�ス�ェ驕カ謫セ�ス�ェ鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ス

鬮ォ�ィ�ス�ス�ス�ソ�ス�ス鬩搾スオ�ス�コ鬮ヲ�ョ陷サ�サ�ス�ソ�ス�ス鬯ッ�ッ�ス�ス�ス�ス驕カ莨∬アェ�ス�ク�ス�コ�ス�ス�ス�、鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ス驕ッ�カ�ス�サ�ス�ス�ス�ス髴托スケ陞「�ス�ス�ス鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ス髯懶スィ隰夲スオ�ス�ソ�ス�ス髫エ�エ�ス�ァ驍オ�コ隶呵カ」�ス�ク�ス�コ�ス�ス�ス�ス髯懶スィ隰夲スオ�ス�ソ�ス�ス鬩募●謌厄ソス�ソ�ス�」鬯ッ�ゥ隰悟・�スス�シ髮具スサ�ス�シ隶捺慣�ス�ク�ス�コ�ス�ス�ス�ョ鬮ォ�ー陷エ�ス�ス�ソ�ス�ス鬯ゥ蛹�スス�ュ�ス�ス�ス�ス髯溷供�ィ�ッ髣懶スス鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ョ鬮」逧ョ蛻、邵コ蛛�スソ�ス�ス�ス鬮ォ�イ�ス�「髮倶シ�スウ�カ�ス�ヲ鬩搾スオ�ス�コ髯溷供�ィ�ッ隴鯉スコ鬩幢ス「�ス�ァ髯滓坩�ッ莨夲スス�ソ�ス�ス鬯ッ�ィ�ス�セ驕カ謫セ�ス�ス�ス�ス�ス�ソ�ス�ス�ス�。鬩搾スオ�ス�コ髯キ莨夲スス�ア驕ッ�カ�ス�サ鬩搾スオ�ス�コ髣包スウ陝ッ�ゥ陷サ�ウ鬩搾スオ�ス�コ鬮エ驛�スイ�サ�ス�シ隶厄スク�ス�ソ�ス�ス�ス�ス�ス�ス
鬮ォ�ィ�ス�ウ髯具スケ�ス�コ髫エ�ォ陞滓腸�ソ�ス�ス�ス�ス�ス鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ョ鬮ッ貅キ遘�ソス�ス�ス�「鬩幢ス「�ス�ァ髯句ケ「�ス�オ�ス�ス�ス�ス鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ヲ鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ス�ス�ス驍�私�ス�ォ�ス�「髮倶シ�スウ�カ�ス�ヲ鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ッ鬮ッ�キ髣鯉スィ�ス�ス�ス�ィ鬯ッ�ゥ陝キ�「�ス�ス�ス�ィ鬯ョ�ォ�ス�ア�ス�ス�ス�ュ鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�セ鬩搾スオ�ス�コ髯晢スカ陷キ�ョ�つ€�ス�サ鬩幢ス「�ス�ァ驛「�ァ�ス�ス�ス�ス髢セ�・�ス�ク�ス�コ�ス�ス�ス�」鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ヲ鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ス驕カ謫セ�ス�ェ鬩搾スオ�ス�コ髯キ�サ�ス�サ�ス�ス�ス�シ�ス�ス�ス�ス
鬮ォ�ィ�ス�ウ髯具スケ�ス�コ髫ィ貂可€鬮ォ�イ�ス�ス�ス�ス�ス�ウ鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ョ鬮ッ�キ�つ€�ス�ス�ス�ス驍オ�イ隰夲スオ�ス�ソ�ス�ス髯溷供�ィ�ッ�ス�ス鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ョ鬮ッ諛カ�ソ�ス髯懈・「�カ�」�ス�ス�ス�。髯溷供�ィ�ッ�つ€�ス�イ鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ゥ鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ス驍オ�イ陜」�、�ス�ク�ス�コ驛「�ァ�ス�ス陞滂ス「鬩搾スオ�ス�コ髮具ソス�シ莨夲スス�ー鬩幢ス「�ス�ァ髯キ�サ髣鯉スィ�ス�ス�ス�ュ�ス�ス�ス�」鬯ゥ蠅捺��ス�ス�ス�コ鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ェ鬮ォ�エ�ス�ス�ス�ソ�ス�ス�ス�ス�ス�ォ�ス�ス�ス�ス鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ァ鬮」雋サ�ス�ィ髫エ謫セ�ス�エ驕カ謫セ�ス�エ鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ヲ鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ス髫ィ�ウ�ス�ス�ス�ク�ス�コ�ス�ス�ス�ス鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ス髫ィ�ウ�ス�ス�ス�ャ�ス�セ�ス�ス�ス�ケ鬮ッ諛茨スサ繧托スス�ソ�ス�ス�ス�ス�ス�ヲ驕カ謫セ�ス�オ髫ー豕瑚ェソ�ス�ク�ス�コ�ス�ス�ス�ォ鬮ッ譎「�ソ�ス�ス�ス�ス�セ鬩搾スオ�ス�コ髯キ莨夲スス�ア驕ッ�カ�ス�サ鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ッ�ス�ス�ス�ス髫ー逍イ�コ�キ�ス�コ�ス�ス陞ッ蜻サ�ソ�ス�ス�ス鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ェ鬯ッ�ョ�ス�ッ鬮」莨�スッ莨夲スス�ス鬯倅ソカ�ア讖ク�ソ�ス�ス�セ鬮ッ貊ゑスス�「髫イ蟶幢スイ�ゥ�ス�ス鬩幢ス「�ス�ァ髣包スオ隴趣ス「�ス�ス髢ァ�イ�ス�ク�ス�コ�ス�ス�ス�ス驕カ莨∬アェ�ス�ク�ス�コ髯キ莨夲スス�ア驕ッ�カ�ス�サ鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ス驕カ謫セ�ス�ェ鬩搾スオ�ス�コ髯キ�サ�ス�サ�ス�ス�ス�シ鬮ョ諛カ�ス�」�ス�ス�ス�シ鬯ゥ蛹�スス�コ�ス縺、ツ€�ス�ス�ス�サ鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ェ鬩搾スオ�ス�コ髯槭q�ソ�ス�ス�ス�ス�シ髫エ�エ�ス�ァ髯具スサ�ス�、鬮ォ�ー�ス�ヲ�ス�ス�ス�ス髯懆カ」�ス�ェ鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ェ鬮ォ�エ�ス�ス�ス�ソ�ス�ス�ス�ス�ス�ォ�ス�ス�ス�ス鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ォ鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ェ鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�」鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ヲ鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ス�ス�ス驍�戟謐暦ソス�ス�ス�エ鬮ッ�キ�ス�キ髯具スケ�ス�サ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス髯溷供�ィ�ッ髣懶スス鬩幢ス「�ス�ァ髯滓坩�ッ莨夲スス�ス陞ウ螢スツ€�ヲ�ス�ス�ス�ャ鬯ッ�ョ�ス�「髣包スオ隴擾スカ�ス�ス鬩幢ス「�ス�ァ髣包スオ隴擾スカ�ス�ス鬯ゥ蛹�スス�イ�ス�ス�ス�ス�ス縺、ツ€�ス�ス�ス�ス髫ィ�ス�ス�。鬩搾スオ�ス�コ髣比シ夲スス�」驍オ�イ陜」�、�ス�ク�ス�コ�ス�ス�ス�ェ鬩搾スオ�ス�コ髯キ謇假スス�ー�ス�ス�ス�ェ�ス�ス�ス�ュ鬯ョ�「�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス郢ァ蜿・謫�ソス�ス�ス�ュ鬩幢ス「�ス�ァ�ス縺、ツ€鬩搾スオ�ス�コ鬮ヲ�ョ陷キ�ョ�ス�ス鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ォ鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ェ鬩幢ス「�ス�ァ鬩怜遜�ス�ォ驕カ謫セ�ス�ェ鬩搾スオ�ス�コ髯キ�キ�ス�カ�ス�ス�ス�ス鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ァ�ス�ス�ス�ス髫エ�エ�ス�ァ髮取腸�ス�サ鬯ィ�セ陋ケ�ス�ス�ス�ス�ィ鬩搾スオ�ス�コ髯キ莨夲スス�ア驕カ謫セ�ス�ェ鬩搾スオ�ス�コ髯晢スカ陷サ�サ�ス�ス鬮ョ�」�ス�ソ�ス�ス鬮ョ諛カ�ス�」�ス�ス�ス�シ�ス�ス�ス�ス


鬯ョ�ョ闔ィ螟イ�ス�ス�ス�ェ鬮ッ諛カ�ソ�ス髣包スウ陝ッ�ゥ�ス�ス鬮ッ譎「�ソ�ス�ス�ス�ス�セ鬩搾スオ�ス�コ髯キ�キ�ス�カ�ス�ス驍�戟邯憺垳謐コ諷」�ス�ス�ス�ュ髫エ竏オ閻ク�ス�ソ�ス�ス鬮」蛹�スス�ウ�ス�ス�ス�ュ鬮ッ譎「�ソ�ス�ス�ス�ス�ヲ鬮エ螟ァ�」�シ霑エ�セ�ス�ス�ス�ス鬩搾スオ�ス�コ鬮ヲ�ョ陷サ�サ�ス�ソ�ス�ス鬯ッ�ッ�ス�ス�ス�ソ�ス�ス�ス�ス�ス�ス鬩墓慣�ソ�ス�ス�ス�ス�ォ髣厄スォ�ス�カ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�。鬮エ螟ァ�」�シ霑エ�セ�ス�ス�ス�ス鬩搾スオ�ス�コ鬮ヲ�ョ陷サ�サ�ス�ソ�ス�ス鬯ッ�ッ�ス�ス�ス�ソ�ス�ス鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ォ鬩搾スオ�ス�コ驛「�ァ�ス�ス�ス�ス鬯倩イサ�ス�ク�ス�コ�ス�ス�ス�セ鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ス