媒介変数表示

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*** 数学Ⅱ（多項式まで） ***

不定形の極限

微分係数

増減表

*** 高卒から大学初年度程度 ***

== 媒介変数表示3 ==

【要点】
(1)　x, y座標がそれぞれ第３の変数tを用いて

x=f(t)
y=g(t)

…(*)

と表されるとき，tが定まると点P(x, y)が定まる．このとき，(*)を媒介変数表示，tを媒介変数という．

(2)　x, yが媒介変数で表される関数tを用いて表されるとき，その導関数（微分）は

(3)　一般に，点P(a, b)を通り，傾きmの直線の方程式は

y−b=m(x−a)

となるので，上記の媒介変数表示(*)についてt=t0のときの
［接線の方程式］は

y−g(t0)=(x−f(t0))

［法線の方程式］は

y−g(t0)=−(x−f(t0))

(4)　動点P(x, y)の座標が，上記の媒介変数表示(*)で与えられるとき，その速度のx成分vxおよびy成分vyは

vx==f’(t)

vy==g’(t)

で与えられるので，時刻tにおける速度=(vx , vy )は

=(f’(t) , g’(t) )

で求められる．
　また，加速度のx成分axおよびy成分ayは

ax==f”(t)

ay==g”(t)

で与えられるので，時刻tにおける加速度=(ax , ay )は

=(f”(t) , g”(t) )

で求められる．

【解説】
(2) ←

　yをxで微分した導関数（微分）は，単なる分数ではない

のでdだけ約分するようなことはできません．

　しかし，導関数（微分）は，平均変化率の極限として

定義されており，

平均変化率の段階では，普通の分数で，掛け算・割り算や

約分などができます．そこで，分母と分子をΔtで割ると

この式において，Δx→0（このとき，同時にΔt→0となる）の極限を考えると

となります．この両辺を微分記号で表すと

(3) ←
　曲線上の点P(a, b)における微分係数は，導関数（に

そのxの値を代入したもの）で求められるから，点P(a, b)における接線の方程式において

傾きはm=

また
x座標はa=f(t0)
y座標はb=g(t0)
だから，接線の方程式はy−b=m(x−a)にこの値を代入して

y−g(t0)=(x−f(t0))

で求められます．

　法線は，接線に垂直（直角）な直線で，一般に傾きmの直線に垂直（直角）な直線の傾きm’は

m’=−

になります．したがって，接線

の傾きm=に垂直な

法線の傾きはm’=−になるので，

点P(a, b)を通り，傾きm’=−の直線の方程式は

y−g(t0)=−(x−f(t0))

※正しい番号をクリックしてください．

問１媒介変数で表された次の関数について，導関数をtの関数として表してください．

x=t2+2t+1
y=t2−1

1 2 3 4

HELP

=2t+2, =2t

だから

===

→ 3

問２媒介変数で表された次の関数について，導関数をtの関数として表してください．

x=asint
y=bcost

1tant 2−tant 3 4−

HELP

=acost, =−bsint

だから

==−=−tant

→ 2

問３次の媒介変数で表された曲線について，（　　）内のtの値に対応する点における接線の方程式を求めてください．

x=t+sint
y=1−cost

(t=)

1y=x+ 2y=x− 3y=−x+ 4y=−x−

HELP

=1+cost, =sint

だから

t=のとき

x=+1

y=1

だから

y−1=x−( +1)

y=x−

→ 2

※（参考）
　次の図のように，このグラフは標準的なサイクロイド曲線：［赤で示したもの］

x=t−sint
y=1−cost

ではなく，それを上下反転して平行移動したもの：［青で示したもの］となっています．

問４次の媒介変数で表された曲線について，（　　）内のtの値に対応する点における接線の方程式を求めてください．

x=t2−t
y=t2+t

(t=1)

1y=2x+2 2y=2x+3 3y=3x+2 4y=3x+3

HELP

=2t−1, =2t+1

だから

t=1のとき
x=0
y=2

=3

となって，接線の方程式は
y−2=3x
y=3x+2
※（参考）
　次の図のように，このグラフは放物線を傾けたものとなっています．

→ 3

問５次の媒介変数で表された曲線について，（　　）内のtの値に対応する点における法線の方程式を求めてください．

x=et
y=logt

(t=1)

1y=ex−e2 2y=−ex+e2

3y=−1 4y=−+1

HELP

=et, =

だから

m====

m’=−tet
t=1のとき
x=e, y=0, m’=−e
となって，法線の方程式は
y=−e(x−e)
y=−ex+e2
※（参考）
　次の図の水色が接線，赤が法線になります．

→ 2

問６次の媒介変数で表された曲線について，（　　）内のtの値に対応する点における法線の方程式を求めてください．

(t=2)

1y=−x+ 2y=−x+1

3y=x−1 4y=x+

HELP

=− , =2

だから

m===

m’=−

t=2のとき

x=, y=, m’=−

となって，法線の方程式は

y−=−(x−)

y=−x+

→ 1

※（参考）
　媒介変数を消去して元のグラフをx, yの関係式で表すと，

.x2+y2==2x
すなわち，
.(x−1)2+y2=1
これは，点(1, 0)を中心とする半径1の円になり，法線は中心を通ります．次の図の青色が接線，赤が法線になります．

問７動点の運動が時刻tの関数として次の媒介変数で表されているとき，（　　）内の時刻における速度ベクトルを求めてください．

x=tlogt

(t=1)

1=(0, 1) 2=(0, −1)

3=(1, 0) 4=(−1, 0)

HELP

=log t+1, =

だから

.=(log t+1, )

t=1のとき
.=(1, 0)

→ 3

※（参考）
　次の図の青色が軌跡，矢印が速度になります．

問８動点の運動が時刻tの関数として次の媒介変数で表されているとき，（　　）内の時刻における速度ベクトルを求めてください．

x=
y=

(t=1)

1=( , ) 2=( , )

3=( , ) 4=( , )

HELP

.=, =

だから

.=( , )

t=1のとき
.=( , )=( , )

→ 4

（参考）
　次の図の青色が軌跡，矢印が速度になります．

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