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【要点】
(1) x, y座標がそれぞれ第3の変数tを用いて
(2) x, yが媒介変数で表される関数tを用いて表されるとき,その導関数(微分)は ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() となるので,上記の媒介変数表示(*)についてt=t0のときの [接線の方程式]は
y−g(t0)=
[法線の方程式]は![]()
y−g(t0)=−
(4) 動点P(x, y)の座標が,上記の媒介変数表示(*)で与えられるとき,その速度のx成分vxおよびy成分vyは
![]()
→v =(f’(t) , g’(t) )
で求められる.また,加速度→aのx成分axおよびy成分ayは
→a =(f”(t) , g”(t) )
で求められる.【解説】 (2) ← yをxで微分した導関数(微分) ![]() のでdだけ約分するようなことはできません. しかし,導関数(微分) ![]() ![]() 定義されており, ![]() ![]() 平均変化率 ![]() 約分などができます.そこで,分母と分子をΔtで割ると ![]() ![]() ![]() ![]() この式において,Δx→0(このとき,同時にΔt→0となる)の極限を考えると limΔx→0 ![]() ![]() ![]() ![]() となります.この両辺を微分記号で表すと ![]() ![]() ![]() ![]() |
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![]() 曲線上の点P(a, b)における微分係数は,導関数 ![]() そのxの値を代入したもの)で求められるから,点P(a, b)における接線の方程式において 傾きはm= ![]() x座標はa=f(t0) y座標はb=g(t0) だから,接線の方程式はy−b=m(x−a)にこの値を代入して y−g(t0)= ![]() で求められます. ![]() ![]() になります.したがって,接線 の傾きm= ![]() ![]() ![]() ![]() |
問1媒介変数で表された次の関数について,導関数
1![]()
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() だから ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() → 3
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問2媒介変数で表された次の関数について,導関数
1![]()
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() だから ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() → 2
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問3次の媒介変数で表された曲線について,( )内のtの値に対応する点における接線の方程式を求めてください.
1y=x+
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() だから ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t= ![]() ![]() y=1 ![]() だから y−1=x−( ![]() y=x− ![]() → 2
※(参考)次の図のように,このグラフは標準的なサイクロイド曲線:[赤で示したもの]
![]() |
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問4次の媒介変数で表された曲線について,( )内のtの値に対応する点における接線の方程式を求めてください.
1y=2x+2
2y=2x+3
3y=3x+2
4y=3x+3
HELP
![]() ![]() だから ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t=1のとき x=0 y=2 ![]() となって,接線の方程式は y−2=3x y=3x+2 ※(参考) 次の図のように,このグラフは放物線を傾けたものとなっています. ![]() → 3
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問5次の媒介変数で表された曲線について,( )内のtの値に対応する点における法線の方程式を求めてください.
1y=ex−e2
2y=−ex+e2
3y= ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() だから m= ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() m’=−tet t=1のとき x=e, y=0, m’=−e となって,法線の方程式は y=−e(x−e) y=−ex+e2 ※(参考) 次の図の水色が接線,赤が法線になります. ![]() → 2
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問6次の媒介変数で表された曲線について,( )内のtの値に対応する点における法線の方程式を求めてください.
1y=−
![]() ![]() 3y=x−1 4y= ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() だから m= ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() m’=− ![]() t=2のとき x= ![]() ![]() ![]() となって,法線の方程式は y− ![]() ![]() ![]() y=− ![]() ![]() → 1
※(参考)媒介変数を消去して元のグラフをx, yの関係式で表すと, x2+y2= ![]() すなわち, (x−1)2+y2=1 これは,点(1, 0)を中心とする半径1の円になり,法線は中心を通ります.次の図の青色が接線,赤が法線になります. ![]() |
問7動点の運動が時刻tの関数として次の媒介変数で表されているとき,( )内の時刻における速度ベクトル→vを求めてください.
1→v =(0, 1)
2→v =(0, −1)
3→v =(1, 0) 4→v =(−1, 0) HELP ![]() ![]() ![]() だから →v =(log t+1, ![]() t=1のとき →v =(1, 0) → 3
※(参考)次の図の青色が軌跡,矢印が速度になります. ![]() |
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問8動点の運動が時刻tの関数として次の媒介変数で表されているとき,( )内の時刻における速度ベクトル→vを求めてください.
1→v =(
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 3→v =( ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() だから →v =( ![]() ![]() ![]() ![]() t=1のとき →v =( ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() → 4
(参考)次の図の青色が軌跡,矢印が速度になります. ![]() |
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