微分法（数学Ⅱ/教科書レベル基本問題2）

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==微分法（数学Ⅱ/教科書レベル基本問題2）== 《微分係数の定義，導関数の定義》

【微分係数】
　関数f(x)のx=aにおける極限値を，次の極限値で定義する．

f^{'} (a) = lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h}

･･･(#1)
次の形で書かれることもある．

f^{'} (a) = lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{x - a}

･･･(#2)

f^{'} (a) = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (a + Δ x) - f (a)}{Δ x}

･･･(#3)

【例題1】
　関数f(x)=x2について，定義に従ってx=1における微分係数の値を求めてください．

（解答）

f^{'} (1) = lim_{h \to 0} \frac{f (1 + h) - f (1)}{h}

= lim_{h \to 0} \frac{(1 + h)^{2} - 1^{2}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{2 h + h^{2}}{h}

= lim_{h \to 0} (2 + h) = 2

･･･（答）

• 微分法の公式を習えば，

f^{'} (x) = 2 x

となるので，直ちに

f^{'} (1) = 2

が求められるが，答案にそのように書けば零点になります．すなわち，「定義に従って微分係数を求めよ」という問題では，定義に従って求めていなければ解答になりません．
• 上記の(#2)(#3)の方法で求めてもよいが，変数hを用いた(#1)の書き方が「見やすく」「間違いにくい」ようです．

• 空欄を「半角数字(1, 2, 3 など)」「半角英小文字」(a, b, c など)で埋めて，採点ボタンを押してください．
• 採点すれば採点結果と解説が出ます．見ているだけでは解説は出ません．

【問題1-1】
　f(x)=x2+3xについて，定義に従ってx=2における微分係数の値を求めてください．
f’(1)=

採点するやり直す解説を読む

（解答）

f^{'} (2) = lim_{h \to 0} \frac{f (2 + h) - f (2)}{h}

= lim_{h \to 0} \frac{{(2 + h)^{2} + 3 (2 + h)} - {2^{2} + 3 \times 2}}{h}

= lim_{h \to 0} \frac{4 + 4 h + h^{2} + 6 + 3 h - 4 - 6}{h}

= lim_{h \to 0} \frac{7 h + h^{2}}{h} = lim_{h \to 0} (7 + h) = 7

･･･（答）
→解説を隠す←

【問題1-2】
　f(x)=x3について，定義に従ってx=−1における微分係数の値を求めてください．
f’(−1)=

採点するやり直す解説を読む

（解答）

f^{'} (- 1) = lim_{h \to 0} \frac{f (- 1 + h) - f (- 1)}{h}

= lim_{h \to 0} \frac{(- 1 + h)^{3} - (- 1)^{3}}}{h}

= lim_{h \to 0} \frac{- 1 + 3 h - 3 h^{2} + h^{3} + 1}{h}

= lim_{h \to 0} \frac{3 h - 3 h^{2} + h^{3}}{h} = lim_{h \to 0} (3 - 3 h + h^{2}) = 3

･･･（答）
→解説を隠す←

【問題1-3】
　f(x)=x2+2xについて，定義に従ってx=aにおける微分係数の値を求めてください．
f’(a)=a+

採点するやり直す解説を読む

（解答）

f^{'} (a) = lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h}

= lim_{h \to 0} \frac{{(a + h)^{2} + 2 (a + h)} - {a^{2} + 2 a}}{h}

= lim_{h \to 0} \frac{a^{2} + 2 a h + h^{2} + 2 a + 2 h - a^{2} - 2 a}{h}

= lim_{h \to 0} \frac{(2 a + 2) h + h^{2}}{h} = lim_{h \to 0} (2 a + 2) = 2 a + 2

･･･（答）
→解説を隠す←

【例題2】
　関数f(x)がx=aにおいて微分係数f’(a)をもつとき，次の極限値をa, f(a), f’(a)を用いて表してください．

lim_{h \to 0} \frac{f (a + 3 h) - f (a)}{h}

（解答）

lim_{h \to 0} \frac{f (a + 3 h) - f (a)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{f (a + 3 h) - f (a)}{3 h} \times 3

ここで，3h=ℓとおくと，

h \to 0

のとき，ℓ

\to 0

となるから
（原式）

= lim_{ℓ \to 0} \frac{f (a + ℓ) - f (a)}{ℓ} \times 3 = 3 f^{'} (a)

…（答）

【問題2-1】
　関数f(x)がx=aにおいて微分係数f’(a)をもつとき，次の極限値をa, f(a), f’(a)を用いて表してください．

lim_{x \to a} \frac{x f (x) - a f (a)}{x - a}

=f(a)+f’(a)

採点するやり直す解説を読む

（解答）
2つ同時に変化しないように，「つなぎ」となる式を「引いて，足します」

lim_{x \to a} \frac{x f (x) - a f (a)}{x - a}

= lim_{x \to a} \frac{x f (x) - a f (x) + a f (x) - a f (a)}{x - a}

= lim_{x \to a} \frac{(x - a) f (x)}{x - a} + a \frac{f (x) - f (a)}{x - a}

= f (a) + a f^{'} (a)

･･･（答）
→解説を隠す←

【問題2-2】
　関数f(x)がx=aにおいて微分係数f’(a)をもつとき，次の極限値をa, f(a), f’(a)を用いて表してください．

lim_{h \to 0} \frac{f (a + 3 h) - f (a - 2 h)}{h}

=f’(a)

採点するやり直す解説を読む

（解答）
微分係数の定義の式と合うように，f(a+??)−f(a)の形を作ります

lim_{h \to 0} \frac{f (a + 3 h) - f (a - 2 h)}{h}

= lim_{h \to 0} \frac{f (a + 3 h) - f (a) + f (a) - f (a - 2 h)}{h}

= lim_{h \to 0} {\frac{f (a + 3 h) - f (a)}{h} - \frac{f (a - 2 h) - f (a)}{h}}

= lim_{h \to 0} {\frac{f (a + 3 h) - f (a)}{3 h} \times 3 - \frac{f (a - 2 h) - f (a)}{- 2 h} \times (- 2)}

ここで，3h=s, −2h=tとおくと，

h \to 0

のとき，

s \to 0, t \to 0

となるから
（原式）

= lim_{s \to 0} \frac{f (a + s) - f (a)}{s} \times 3 + lim_{t \to 0} \frac{f (a + t) - f (a)}{t} \times 2

=3f’(a)+2f’(a)=5f’(a)･･･（答）
→解説を隠す←

【問題2-3】
　関数f(x)がx=a（ただし，a≠0とする）において微分係数f’(a)をもつとき，次の極限値をa, f(a), f’(a)を用いて表してください．

lim_{x \to a} \frac{x f (a) - a f (x)}{x^{2} - a^{2}}

f(a)

−

f’(a)

採点するやり直す解説を読む

（解答）
分子の項が2つ同時に変化しないように，「つなぎ」となる式を「引いて，足します」．分母は，後で考えます

lim_{x \to a} \frac{x f (a) - a f (x)}{x^{2} - a^{2}} = lim_{x \to a} \frac{x f (a) - a f (a) + a f (a) - a f (x)}{x^{2} - a^{2}}

= lim_{x \to a} {\frac{x - a}{x^{2} - a^{2}}} f (a) - lim_{x \to a} \frac{a {f (x) - f (a)}}{x^{2} - a^{2}}

= lim_{x \to a} {\frac{x - a}{(x - a) (x + a)}} f (a) - lim_{x \to a} \frac{a}{x + a} \cdot \frac{f (x) - f (a)}{x - a}

= \frac{f (a)}{2 a} - \frac{1}{2} f^{'} (a)

･･･（答）
→解説を隠す←

【導関数】
　関数f(x)の導関数f’(x)を，次の極限値で定義する．

f^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

･･･(#1)
次の形で書かれることもある．

f^{'} (x) = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x}

･･･(#2)

※関数y=f(x)の導関数は，

f^{'} (x)

の他，

y^{'}, \frac{d y}{d x}, \frac{d}{d x} f (x)

などと書かれることもある．

※関数y=f(x)の導関数は，関数y=f(x)の微分とも呼ばれる．
　導関数（微分）を表す記号のうちで，

\frac{d y}{d x}

は小中学校以来習ってきた普通の分数とは異なり，xの増分をΔx，yの増分f(x+Δx)−f(x)をΔyで表したときの

lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x}

という極限値の省略記号なので，dを約分することなどできないことに注意．

\frac{d}{d x} f (x)

も同様

微分係数の定義

f^{'} (a) = lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h}

と導関数の定義

f^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

は,同じ形の式ですが，微分係数のaが定数であるのに対して，導関数のxは変数なので，f’(x)を求めてからxの値を変化させることができる．
　ただし

f^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

の計算において，limの中で，hを変化させて極限値を求めるときは，hだけが変化し，xは変化しません．f’(x)が決まってからはxの値を変化させることができる．

【例題3】
　定義に従って，関数f(x)=x2の導関数を求めてください．

（解答）

f^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

= lim_{h \to 0} \frac{(x + h)^{2} - x^{2}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{2 h x + h^{2}}{h}

= lim_{h \to 0} (2 x + h) = 2 x

･･･（答）

• 微分法の公式を習えば，直ちに

f^{'} (x) = 2 x

が求められるが，答案にそのように書けば零点になります．すなわち，「定義に従って導関数を求めよ」という問題では，定義に従って求めていなければ解答になりません．

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