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==微分法(数学Ⅱ/教科書レベル基本問題2)==
《微分係数の定義,導関数の定義》
【微分係数】
 関数f(x)x=aにおける極限値を,次の極限値で定義する.
f(a)=limh0f(a+h)f(a)h・・・(#1)
次の形で書かれることもある.
f(a)=limxaf(x)f(a)xa・・・(#2)
f(a)=limΔx0f(a+Δx)f(a)Δx・・・(#3)
【例題1】
 関数f(x)=x2について,定義に従ってx=1における微分係数の値を求めてください.
(解答)
f(1)=limh0f(1+h)f(1)h
=limh0(1+h)212h=limh02h+h2h
=limh0(2+h)=2・・・(答)
• 微分法の公式を習えば,f(x)=2xとなるので,直ちにf(1)=2が求められるが,答案にそのように書けば零点になります.すなわち,「定義に従って微分係数を求めよ」という問題では,定義に従って求めていなければ解答になりません.
• 上記の(#2)(#3)の方法で求めてもよいが,変数hを用いた(#1)の書き方が「見やすく」「間違いにくい」ようです.

• 空欄を「半角数字(1, 2, 3 など)」「半角英小文字」(a, b, c など)で埋めて,採点ボタンを押してください.
• 採点すれば採点結果と解説が出ます.見ているだけでは解説は出ません.
【問題1-1】
 f(x)=x2+3xについて,定義に従ってx=2における微分係数の値を求めてください.
f(1)=
採点する
【問題1-2】
 f(x)=x3について,定義に従ってx=−1における微分係数の値を求めてください.
f(−1)=
採点する
【問題1-3】
 f(x)=x2+2xについて,定義に従ってx=aにおける微分係数の値を求めてください.
f(a)=a+
採点する
【例題2】
 関数f(x)x=aにおいて微分係数f(a)をもつとき,次の極限値をa, f(a), f(a)を用いて表してください.
limh0f(a+3h)f(a)h
(解答)
limh0f(a+3h)f(a)h=limh0f(a+3h)f(a)3h×3
ここで,3h=とおくと,h0のとき,0となるから
(原式)=lim0f(a+)f(a)×3=3f(a)…(答)
• 空欄を「半角数字(1, 2, 3 など)」「半角英小文字」(a, b, c など)で埋めて,採点ボタンを押してください.
• 採点すれば採点結果と解説が出ます.見ているだけでは解説は出ません.
【問題2-1】
 関数f(x)x=aにおいて微分係数f(a)をもつとき,次の極限値をa, f(a), f(a)を用いて表してください.
limxaxf(x)af(a)xa
=f(a)+f(a)
採点する
【問題2-2】
 関数f(x)x=aにおいて微分係数f(a)をもつとき,次の極限値をa, f(a), f(a)を用いて表してください.
limh0f(a+3h)f(a2h)h
=f(a)
採点する
【問題2-3】
 関数f(x)x=a(ただし,a≠0とする)において微分係数f(a)をもつとき,次の極限値をa, f(a), f(a)を用いて表してください.
limxaxf(a)af(x)x2a2
=
f(a)
1
f(a)


採点する
【導関数】
 関数f(x)の導関数f(x)を,次の極限値で定義する.
f(x)=limh0f(x+h)f(x)h・・・(#1)
次の形で書かれることもある.
f(x)=limΔx0f(x+Δx)f(x)Δx・・・(#2)
※関数y=f(x)の導関数は,f(x)の他,
y,dydx,ddxf(x)などと書かれることもある.
※関数y=f(x)の導関数は,関数y=f(x)の微分とも呼ばれる.
 導関数(微分)を表す記号のうちで,dydxは小中学校以来習ってきた普通の分数とは異なり,xの増分をΔxyの増分f(x+Δx)−f(x)Δyで表したときの
limΔx0ΔyΔx という極限値の省略記号なので,dを約分することなどできないことに注意.
ddxf(x)も同様
微分係数の定義
f(a)=limh0f(a+h)f(a)h
と導関数の定義
f(x)=limh0f(x+h)f(x)h
は,同じ形の式ですが,微分係数のaが定数であるのに対して,導関数のxは変数なので,f(x)を求めてからxの値を変化させることができる.
 ただし
f(x)=limh0f(x+h)f(x)h
の計算において,limの中で,hを変化させて極限値を求めるときは,hだけが変化し,xは変化しません.f(x)が決まってからはxの値を変化させることができる.
【例題3】
 定義に従って,関数f(x)=x2の導関数を求めてください.
(解答)
f(x)=limh0f(x+h)f(x)h
=limh0(x+h)2x2h=limh02hx+h2h
=limh0(2x+h)=2x・・・(答)
• 微分法の公式を習えば,直ちにf(x)=2xが求められるが,答案にそのように書けば零点になります.すなわち,「定義に従って導関数を求めよ」という問題では,定義に従って求めていなければ解答になりません.

【問題3-1】
 定義に従って,関数f(x)=x3の導関数を求めてください.
解説を読む
 数学Ⅱでは,分数関数の導関数を普通は扱いませんが,定義に従えば数学Ⅱの範囲でも求めることができます.
【問題3-2】
 定義に従って,関数f(x)=1xの導関数を求めてください.
解説を読む
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