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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 単元 ***
式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数
指数関数対数関数微分不定積分定積分
高次方程式数列漸化式と数学的帰納法
平面ベクトル空間ベクトル確率分布

※高校数学Ⅱの「微分・導関数」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．
↓平均変化率,極限値
↓不定形の極限
↓微分係数
↓導関数の定義
↓微分係数,導関数の定義(問題)
↓導関数の公式(問題)
↓導関数の符号,求め方
↓増減表
↓増減,極値,グラフ
↓絶対値付き関数の増減(問題)
↓最大値,最小値
↓最大最小,文字係数とグラフ(問題)
↓接線の方程式
センター試験の数Ⅱ微積

【平均変化率】
(1)　
xの値がaからbまで変化するときの関数y=f(x)の値の平均変化率は
${\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}$
(2)　
xの値がaからa+hまで変化するときの関数y=f(x)の値の平均変化率は
${\displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{h}}$

【例題1】
　関数f(x)=3x2+2x−4について，xの値が1から3まで変化するときの平均変化率を求めてください．

【関数の極限値】
　xの値がaと異なる値をとりながら限りなくaに近づくとき，関数yの値が限りなく定数bに近づくとき，xがaに近づくときの，yの極限値はbであるといい
${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f(x)=b}$
で表す．
x→aのときf(x)→b
と書くこともある．

　「限りなく近づく」ということの厳密な定義は，19世紀になってからコーシーやワイエルシュトラスによりε-δ論法として確立された．
　ε-δ論法は大学で習う･･･高校では扱わない．

×x→0のときx+1→1になることを証明せよ．
×x→1のときx2+1→2になることを証明せよ．

〇x→0のときx+1→1
〇${\displaystyle \underset{x\to 1}{lim}(x^2+1)=2}$

【数学Ⅱの答案で黙って使ってよい極限値1】
• x=aのとき関数f(x)の分母が0になるなどの「あやしいこと」がないとき
${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a)}$

【例題2-1】
(1)　${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}(x^2+2x+3)}$
(2)　${\displaystyle \underset{x\to 1}{lim}(x^2-3)}$
(3)　${\displaystyle \underset{x\to 2}{lim}x(x+1)(x+2)}$

【数学Ⅱの答案で黙って使ってよい極限値2】
• そのまま代入すると分母が0になるときは，
「約分によって分母が0になる原因を取り除いてから」値を代入するとよい

【例題2-2】
(1)　${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{x^2+2x}{x}}}$
(2)　${\displaystyle \underset{x\to 1}{lim}{\displaystyle \frac{x^2-1}{x-1}}}$
(3)　${\displaystyle \underset{x\to 2}{lim}{\displaystyle \frac{x^2-3x+2}{x-2}}}$

x→0のときに，xで約分するということは，0で割ることにならないか？
--------
　最初の定義をよく見ると，「xの値がaと異なる値をとりながら限りなくaに近づくとき」と書いてあるので，x→0のときは，xは0以外の値をとりながら，0に近づくので，xで約分しても，0で割ったことにならないのです．

【数学Ⅱの答案で黙って使ってよい極限値3】
　高校数学のやり方としては，少しずつ近づけて，どこへ向かうかが言えればよい．（直感的な考え方）

右図の赤矢印
x=10, 100, 1000, 10000, ･･･のとき
${\displaystyle \frac{1}{x}}$=0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, ･･･となるから
${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{1}{x}}=0}$

右図の黄色矢印
x=−10, −100, −1000, −10000, ･･･のとき
${\displaystyle \frac{1}{x}}$=−0.1, −0.01, −0.001, −0.0001, ･･･となるから
${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{1}{x}}=0}$

（x→+0とは，0よりも大きな値をとりながら0に限りなく近づくことを言う．）
右図の青矢印
x=0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, ･･･のとき
${\displaystyle \frac{1}{x}}$=10, 100, 1000, 10000, ･･･となるから
${\displaystyle \underset{x\to +0}{lim}{\displaystyle \frac{1}{x}}=\mathrm{\infty }}$
${\displaystyle \underset{x\to +0}{lim}{\displaystyle \frac{1}{x}}=+\mathrm{\infty }}$と書いてもよい

（x→−0とは，0よりも小さな値（負の値）をとりながら0に限りなく近づくことを言う．）
右図の緑色矢印
x=−0.1, −0.01, −0.001, −0.0001, ･･･のとき
${\displaystyle \frac{1}{x}}$=−10, −100, −1000, −10000, ･･･となるから
${\displaystyle \underset{x\to -0}{lim}{\displaystyle \frac{1}{x}}=-\mathrm{\infty }}$
（参考）
${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{1}{x}}}$
の場合は，ア）正の値をとりながら0に近づく場合，イ）負の値をとりながら0に近づく場合，ウ）正負の値を振動しながら0に近づく場合の，いずれかによって、極限値が変わり，どの場合なのかが指定されていないから，極限値は決まらない．極限値なしとする．
　もともと，∞に近づく場合も，∞は特定の値でないので「極限なし」と書くこともあるが，「極限なし」の中でも「限りなく大きくなって，極限がない場合→+∞」「限りなく小さくなって，極限がない場合→−∞」「絶対値が限りなく大きくなるが，振動して符号が定まらない場合→±∞」のように分けることができ，無限という記号を使って表すことも多い．

【極限値が存在するための条件】
　例えば，${\displaystyle \underset{x\to 1}{lim}{\displaystyle \frac{x^2+ax+b}{x-1}}=3}$となるように定数a, bの値を定める問題では，
(1) 分母の極限値が0になるとき，分子の極限値が0以外の場合は，式の極限値が有限の値に定まらないから，「分子の極限が0になる」ということが第１の条件になる．
　　1+a+b=0
(2) 上記の条件を満たすときは，（因数定理により分子がx−1という因数をもつこといなるから），分母と分子はx−1で約分できる．そこで，「式の極限値が3になる」ということが第２の条件になる．
　　2+a=3
これら２つの条件から，連立方程式を解くと，定数a, bの値が定まる．
　　a=1, b=−2
【要点】
(1) 極限値が定まること，(2) その極限値が与えられた値になること，の２つの条件から連立方程式が解ける．

上記(1)の補足説明
　分母→1のときに
ア）分子が0以外の有限の値に近づく場合
${\displaystyle \underset{x\to 1}{lim}{\displaystyle \frac{1}{x-1}},\underset{x\to 1}{lim}{\displaystyle \frac{2}{x-1}},\underset{x\to 1}{lim}{\displaystyle \frac{3}{x-1}},\cdots }$
${\displaystyle \underset{x\to 1}{lim}{\displaystyle \frac{-1}{x-1}},\underset{x\to 1}{lim}{\displaystyle \frac{-2}{x-1}},\underset{x\to 1}{lim}{\displaystyle \frac{-3}{x-1}},\cdots }$
などは，いずれも式の値が限りなく大きく（符号は正負ともあり）なるので，有限の極限値をもたない．
イ）分子が無限大になる場合も，与えられた式が有限の極限値をもつことはない．
${\displaystyle \underset{x\to 1}{lim}{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{x-1}}}{x-1}}=\mathrm{\infty }}$など
• 以上のように，分母が0に近づくときに，分子が0以外の値に近づくと，式全体は有限な極限値をもたないので，式全体が有限な極限値をもつためには，「分子→0が必要条件」になる．
• この条件を入れると，分数の約分ができるようになるが，極限値が実際に与えられた値になるかどうかの「十分条件」も調べなければならないということです．

【例題4】
　${\displaystyle \underset{x\to 2}{lim}{\displaystyle \frac{x^2+ax+b}{x-2}}=-1}$
となるように定数a, bの値を定めてください．