微分法（数学Ⅱ/教科書レベル基本問題1）

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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ 高卒・大学初年度
*** 単元 ***
式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数
指数関数対数関数微分不定積分定積分
高次方程式数列漸化式と数学的帰納法
平面ベクトル空間ベクトル確率分布

※高校数学Ⅱの「微分・導関数」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓平均変化率,極限値

↓不定形の極限
↓微分係数
↓導関数の定義
↓微分係数,導関数の定義(問題)

↓導関数の公式(問題)
↓導関数の符号,求め方
↓増減表
↓増減,極値,グラフ
↓絶対値付き関数の増減(問題)
↓最大値,最小値
↓最大最小,文字係数とグラフ(問題)

↓接線の方程式

センター試験の数Ⅱ微積

==微分法（数学Ⅱ/教科書レベル基本問題1）== 《平均変化率，関数の極限，極限値から定数を求める問題》

【平均変化率】
(1)　
xの値がaからbまで変化するときの関数y=f(x)の値の平均変化率は

\frac{f (b) - f (a)}{b - a}

(2)　
xの値がaからa+hまで変化するときの関数y=f(x)の値の平均変化率は

\frac{f (a + h) - f (a)}{h}

【例題1】
　関数f(x)=3x2+2x−4について，xの値が1から3まで変化するときの平均変化率を求めてください．

（解答）

\frac{f (3) - f (1)}{3 - 1} = \frac{29 - 1}{2} = 14

･･･（答）

【問題1-1】
　関数f(x)=2x2+3x+4について，xの値が0から3まで変化するときの平均変化率を求めてください．

採点するやり直す解説を読む

（解答）

\frac{f (3) - f (0)}{3 - 0} = \frac{31 - 4}{3} = 9

･･･（答）
→解説を隠す←

【問題1-2】
　関数f(x)=−2x+3の区間(−1≦x≦2)における平均変化率を求めてください．

採点するやり直す解説を読む

（解答）

\frac{f (2) - f (- 1)}{2 - (- 1)} = \frac{- 1 - 5}{3} = - 2

･･･（答）
→解説を隠す←

【問題1-3】
　関数f(x)=x2−2x+3xの値がaからbまで変化するときの平均変化率を求めてください．（ただし，a<bとする）
a+b−

採点するやり直す解説を読む

（解答）

\frac{f (b) - f (a)}{b - a} = \frac{(b^{2} - 2 b + 3) - (a^{2} - 2 a + 3)}{b - a}

= \frac{(b^{2} - a^{2}) - 2 (b - a)}{b - a} = \frac{b + a - 2}{b - a} = a + b - 2

･･･(答)
→解説を隠す←

【関数の極限値】
　xの値がaと異なる値をとりながら限りなくaに近づくとき，関数yの値が限りなく定数bに近づくとき，xがaに近づくときの，yの極限値はbであるといい

lim_{x \to a} f (x) = b

で表す．
x→aのときf(x)→b
と書くこともある．

（備考）
(1) 高校数学では（数学Ⅱ，数学Ⅲのいずれも），「限りなく近づく」ということの厳密な定義を行わずに，直感的に理解できる範囲の内容を扱う．

　「限りなく近づく」ということの厳密な定義は，19世紀になってからコーシーやワイエルシュトラスによりε-δ論法として確立された．
　ε-δ論法は大学で習う･･･高校では扱わない．

　高校では，「限りなく近づく」とか「関数の極限」について厳密な定義を習わないので，例えば，次のような問題は出さない，証明できない．

×x→0のときx+1→1になることを証明せよ．
×x→1のときx2+1→2になることを証明せよ．

　しかし，次のような結果は証明なしに答えてよい．答えなければならない．

〇x→0のときx+1→1
〇

lim_{x \to 1} (x^{2} + 1) = 2

【数学Ⅱの答案で黙って使ってよい極限値1】
• x=aのとき関数f(x)の分母が0になるなどの「あやしいこと」がないとき

lim_{x \to a} f (x) = f (a)

数学Ⅱに登場する多項式で，分母が0になるなどの心配がないものについては，「極限値」

lim_{x \to a} f (x)

の代わりに，値を代入しただけの「関数値」f(a)を使ってよい．（これらが等しいことが分かっているから）

【例題2-1】
(1)　

lim_{x \to 0} (x^{2} + 2 x + 3)

(2)　

lim_{x \to 1} (x^{2} - 3)

(3)　

lim_{x \to 2} x (x + 1) (x + 2)

（解答）
(1)　x=0を代入すると02+2×0+3=3(←関数値)だから

lim_{x \to 0} (x^{2} + 2 x + 3) = 3

　（←極限値）･･･（答）
(2)　x=1を代入すると12−3=−2(←関数値)だから

lim_{x \to 1} (x^{2} - 3) = - 2

　(←極限値)･･･（答）
(3)　x=2を代入すると2×3×4=24(←関数値)だから

lim_{x \to 2} x (x + 1) (x + 2) = 24

　(←極限値)･･･（答）

【数学Ⅱの答案で黙って使ってよい極限値2】
• そのまま代入すると分母が0になるときは，
「約分によって分母が0になる原因を取り除いてから」値を代入するとよい

【例題2-2】
(1)　

lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + 2 x}{x}

(2)　

lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x - 1}

(3)　

lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x - 2}

（解答）
(1)　そのままx=0を代入すると分母が0になって，分数が定義できないが，分母と分子をxで約分すると

\frac{x^{2} + 2 x}{x} = \frac{x (x + 2)}{x} = x + 2

となって，x=0を代入できるようになる．

lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + 2 x}{x} = lim_{x \to 0} \frac{x (x + 2)}{x}

= lim_{x \to 0} (x + 2) = 2

･･･（答）

x→0のときに，xで約分するということは，0で割ることにならないか？
--------

　最初の定義をよく見ると，「xの値がaと異なる値をとりながら限りなくaに近づくとき」と書いてあるので，x→0のときは，xは0以外の値をとりながら，0に近づくので，xで約分しても，0で割ったことにならないのです．

(2)　そのままx=1を代入すると分母が0になって，分数が定義できないが，分母と分子をx−1で約分すると

\frac{x^{2} - 1}{x - 1} = \frac{(x - 1) (x + 1)}{x - 1} = x + 1

となって，x=1を代入できるようになる．

lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{(x - 1) (x + 1)}{x - 1}

= lim_{x \to 1} (x + 1) = 2

･･･（答）
(3)　そのままx=2を代入すると分母が0になって，分数が定義できないが，分母と分子をx−2で約分すると

\frac{x^{2} - 3 x + 2}{x - 2} = \frac{(x - 1) (x - 2)}{x - 2} = x - 1

となって，x=2を代入できるようになる．

lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x - 2} = lim_{x \to 2} \frac{(x - 1) (x - 2)}{x - 2}

= lim_{x \to 2} (x - 1) = 1

･･･（答）

【問題2-1】
　次の極限値を求めてください．

lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + x - 2}{x - 1}

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（解答）

lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + x - 2}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{(x - 1) (x + 2)}{x - 1}

= lim_{x \to 1} (x + 2) = 3

･･･（答） →解説を隠す←

【問題2-2】
　次の極限値を求めてください．

lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 5 x + 6}

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（解答）

lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 5 x + 6} = lim_{x \to 2} \frac{(x - 2) (x + 2)}{(x - 2) (x - 3)}

= lim_{x \to 2} \frac{x + 2}{x - 3} = - 4

･･･（答） →解説を隠す←

【問題2-3】
　次の極限値を求めてください．

lim_{x \to 2} \frac{x^{3} - 8}{x^{2} - 4}

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（解答）

lim_{x \to 2} \frac{x^{3} - 8}{x^{2} - 4} = lim_{x \to 2} \frac{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{(x - 2) (x + 2)}

= lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + 2 x + 4}{x + 2} = 3

･･･（答） →解説を隠す←

【数学Ⅱの答案で黙って使ってよい極限値3】
　高校数学のやり方としては，少しずつ近づけて，どこへ向かうかが言えればよい．（直感的な考え方）

(1)

lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0

右図の赤矢印
x=10, 100, 1000, 10000, ･･･のとき

\frac{1}{x}

=0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, ･･･となるから

lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0

(2)

lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} = 0

右図の黄色矢印
x=−10, −100, −1000, −10000, ･･･のとき

\frac{1}{x}

=−0.1, −0.01, −0.001, −0.0001, ･･･となるから

lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} = 0

(3)

lim_{x \to + 0} \frac{1}{x} = \infty

（x→+0とは，0よりも大きな値をとりながら0に限りなく近づくことを言う．）
右図の青矢印
x=0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, ･･･のとき

\frac{1}{x}

=10, 100, 1000, 10000, ･･･となるから

lim_{x \to + 0} \frac{1}{x} = \infty

lim_{x \to + 0} \frac{1}{x} = + \infty

と書いてもよい

(4)

lim_{x \to - 0} \frac{1}{x} = - \infty

（x→−0とは，0よりも小さな値（負の値）をとりながら0に限りなく近づくことを言う．）
右図の緑色矢印
x=−0.1, −0.01, −0.001, −0.0001, ･･･のとき

\frac{1}{x}

=−10, −100, −1000, −10000, ･･･となるから

lim_{x \to - 0} \frac{1}{x} = - \infty

（参考）

lim_{x \to 0} \frac{1}{x}

の場合は，ア）正の値をとりながら0に近づく場合，イ）負の値をとりながら0に近づく場合，ウ）正負の値を振動しながら0に近づく場合の，いずれかによって、極限値が変わり，どの場合なのかが指定されていないから，極限値は決まらない．極限値なしとする．
　もともと，∞に近づく場合も，∞は特定の値でないので「極限なし」と書くこともあるが，「極限なし」の中でも「限りなく大きくなって，極限がない場合→+∞」「限りなく小さくなって，極限がない場合→−∞」「絶対値が限りなく大きくなるが，振動して符号が定まらない場合→±∞」のように分けることができ，無限という記号を使って表すことも多い．

【問題3-1】
　次の極限値を求めてください．

• 限りなく大きくなるときは ∞
• 限りなく小さくなるときは −∞
• 極限値がないときはなしと答えてください．（以下の問題も同様）

lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x - 1}

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（解答）
x→∞のときt=2x−1→∞だから

lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x - 1} = lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} = 0

･･･（答） →解説を隠す←

【問題3-2】
　次の極限値を求めてください．

lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1}

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（解答）

x=1.1, 1.01, 1.001, 1.0001, ･･･のとき

\frac{1}{x}

=10, 100, 1000, 10000, ･･･
x=0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ･･･のとき

\frac{1}{x}

=−10, −100, −1000, −10000, ･･･
１よりも大きな値をとりながら１に近づく場合と，１よりも小さな値をとりながら１に近づく場合とで，極限値が一致しないから，極限値はなし･･･（答） →解説を隠す←

【問題3-3】
　次の極限値を求めてください．

lim_{x \to \infty} \frac{2}{3 x + 1}

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（解答）
x=10, 100, 1000, 10000, ･･･のとき

\frac{2}{3 x + 1} = \frac{2}{31}, \frac{2}{301}, \frac{2}{3001}, \frac{2}{30001}, \dots

は，限りなく0に近づく
0･･･（答） →解説を隠す←

※多項式以外の関数について極限値を求める問題は，数学Ⅲで扱うことが多いが，数学Ⅱの段階でも類似の問題に出遭うことが多いので，一応整理しておく．

【極限値が存在するための条件】
　例えば，

lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + a x + b}{x - 1} = 3

となるように定数a, bの値を定める問題では，
(1) 分母の極限値が0になるとき，分子の極限値が0以外の場合は，式の極限値が有限の値に定まらないから，「分子の極限が0になる」ということが第１の条件になる．
　　1+a+b=0
(2) 上記の条件を満たすときは，（因数定理により分子がx−1という因数をもつこといなるから），分母と分子はx−1で約分できる．そこで，「式の極限値が3になる」ということが第２の条件になる．
　　2+a=3
これら２つの条件から，連立方程式を解くと，定数a, bの値が定まる．
　　a=1, b=−2

【要点】
(1) 極限値が定まること，(2) その極限値が与えられた値になること，の２つの条件から連立方程式が解ける．

上記(1)の補足説明
　分母→1のときに
ア）分子が0以外の有限の値に近づく場合

lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1}, lim_{x \to 1} \frac{2}{x - 1}, lim_{x \to 1} \frac{3}{x - 1}, \dots

lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x - 1}, lim_{x \to 1} \frac{- 2}{x - 1}, lim_{x \to 1} \frac{- 3}{x - 1}, \dots

などは，いずれも式の値が限りなく大きく（符号は正負ともあり）なるので，有限の極限値をもたない．
イ）分子が無限大になる場合も，与えられた式が有限の極限値をもつことはない．

lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x - 1}}{x - 1} = \infty

など
• 以上のように，分母が0に近づくときに，分子が0以外の値に近づくと，式全体は有限な極限値をもたないので，式全体が有限な極限値をもつためには，「分子→0が必要条件」になる．
• この条件を入れると，分数の約分ができるようになるが，極限値が実際に与えられた値になるかどうかの「十分条件」も調べなければならないということです．

【例題4】
　

lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + a x + b}{x - 2} = - 1

となるように定数a, bの値を定めてください．

（解答）
x→2のとき，分母→0となるから，与えらえた式の極限値が有限の値になるためには，分子→0が必要条件となる
　4+2a+b=0
そこで，b=−4−2aを代入して，極限値を求めると

lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + a x - 4 - 2 a}{x - 2} = lim_{x \to 2} \frac{(x^{2} - 4) + a (x - 2)}{x - 2}

= lim_{x \to 2} \frac{(x - 2) (x + 2 + a)}{x - 2} = 4 + a = - 1

ゆえに，a=−5, b=6･･･（答）

【問題4-1】
　次の等式が成り立つように定数a, bの値を定めてください．

lim_{x \to - 1} \frac{a x^{2} + b x + 1}{x + 1} = 3

a=, b=

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（解答）
x→−1のとき，分母→0となるから，与えらえた式の極限値が有限の値になるためには，分子→0が必要条件となる
　a−b+1=0
そこで，b=a+1を代入して，極限値を求めると

lim_{x \to - 1} \frac{a x^{2} + (a + 1) x + 1}{x + 1} = lim_{x \to - 1} \frac{a (x^{2} + x) + x + 1}{x + 1}

= lim_{x \to - 1} \frac{(x + 1) (a x + 1)}{x + 1} = - a + 1 = 3

ゆえに，a=−2, b=−1･･･（答） →解説を隠す←

【問題4-2】
　次の等式が成り立つように定数a, bの値を定めてください．

lim_{x \to 3} \frac{x^{2} + 3 x - 18}{x^{2} + a x + b} = \frac{1}{2}

a=, b=

採点するやり直す解説を読む

（解答）
x→3のとき，分子→0となるから，与えらえた式の極限値が0以外の値になるためには，分母→0が必要条件となる
　9+3a+b=0
そこで，b=−3a−9を代入して，極限値を求めると

lim_{x \to 3} \frac{x^{2} + 3 x - 18}{x^{2} + a x - 3 a - 9} = lim_{x \to - 1} \frac{(x - 3) (x + 6)}{(x - 3) (x + 3) + a (x - 3)}

= lim_{x \to 3} \frac{(x - 3) (x + 6)}{(x - 3) (x + 3 + a)} = lim_{x \to 3} \frac{x + 6}{x + 3 + a}

= \frac{9}{6 + a} = \frac{1}{2}

ゆえに，a=12, b=−45･･･（答） →解説を隠す←

【問題4-3】
　次の等式が成り立つように定数a, bの値を定めてください．

lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + a x - 2}{x^{2} - (b + 1) x + b} = 1

a=, b=

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（解答）
x→1のとき，分母→0となるから，与えらえた式の極限値が有限の値になるためには，分子→0が必要条件となる
　1+a−2=0
そこで，a=1を代入して，極限値を求めると

lim_{x \to 1} \frac{(x + 2) (x - 1)}{(x - 1) (x - b)} = \frac{3}{1 - b} = 1

b=−2
ゆえに，a=1, b=−2･･･（答） →解説を隠す←

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