数列の極限（∞／∞型）

== 数列の極限(∞／∞型) ==

【はじめに】
○高校の教科書では，「数列の極限」を先に学習し，その後しばらくしてから「関数の極限」を学習するように教材が並んでいます．
○関数の極限では

$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{2x+ 1}{x-1}$ ， $\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{2x+ 1}{x-1}$ や $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{2x+ 1}{x-1}$
のように

$\lim_{x\rightarrow a}f(x)$ において変数 $x$ が限りなく近づく値 $a$ は，
「 $\infty$ 」も「 $-\infty$ 」も「有限の値」もあります．

右上に続く↑

○これに対して，数列の極限では

$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{2n+ 1}{n-1}$

のように $\lim_{n\rightarrow \infty}a_n$ において第n項のnが近づく値としては「 $\infty$ 」だけを考えます．「 $-\infty$ 」や「有限の値」ということはありません．

※高校の数列は $a_1,\hspace{10}a_2,\hspace{10}a_3,\hspace{10}\cdots$ のように正の整数番目の項だけを考えるので， $n \rightarrow -\infty$ は考えないのは当然でしょう．
また，nは整数しかないので $n \rightarrow 1.5$ ということもないでしょう．nが有限の正の整数（例えば5）の場合は，「近づく」必要はなく単純にその項（例えば $a_5$ ）を考えれば済むことなので，nが有限の値に「近づく」ということもありません．

数列の極限と言えば， $n \rightarrow \infty$ の場合，すなわち $\lim_{n \rightarrow \infty}a_n$ ， $\lim_{n \rightarrow \infty}b_n$ など無限数列で項の番号nが限りなく大きくなる場合のことです．

【収束するとは】
　nを限りなく大きくすると，anの値が限りなくある値αに近づいていくとき，数列 {an} はαに収束するといい
$\lim_{n \rightarrow \infty}a_n=\alpha$
で表す．このときαを数列 {an} の極限値という．

【例１】
$\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n}=0$ …（重要）
【例２】
$\lim_{n \rightarrow \infty}(1-\frac{3}{n})=1$

高校の数学では，「限りなく近づく」とはどういうことかということを厳密には証明せず，直感的に理解するものとします．

(1)　nが10, 100, 1000, ...と限りなく大きくなるとき，
$\frac{1}{n}=\frac{1}{10},\hspace{10}\frac{1}{100},\hspace{10}\frac{1}{1000},\hspace{10}...$
$=0.1,\hspace{10}0.01,\hspace{10}0.001,\hspace{10}...$

のように， $\frac{1}{n}$ は「限りなく０に近づきます」．
これが【例１】の意味です．この式は今後何度も登場しますので確実に答えられるようにしておきましょう．

(2)　nが10, 100, 1000, ...と限りなく大きくなるとき，
$\frac{3}{n}=\frac{3}{10},\hspace{10}\frac{3}{100},\hspace{10}\frac{3}{1000},\hspace{10}...$
$=0.3,\hspace{10}0.03,\hspace{10}0.003,\hspace{10}...$

のように， $\frac{3}{n}$ も「限りなく０に近づきます」．
だから，
$\lim_{n \rightarrow \infty}(1-\frac{3}{n})=1-0=1$
になります．【例２】
この極限は，上で示した（重要）を使えば
$\lim_{n \rightarrow \infty}(1-\frac{3}{n})=\lim_{n \rightarrow \infty}(1-3\times \frac{1}{n})$
$=1-3\times 0=1$
とすることもできます．

右上に続く↑

【無限大とは】
　数列 {an} が「有限確定」の値に収束しないときは発散するといいます．

　正の無限大 $ \infty $は特定の数字ではありませんが，正の無限大に発散するときも極限があるといいます．
　負の無限大 $ -\infty $に発散するときも同様に，極限があるといいます．

　有限の値でなく「無限大に発散する」場合
【例３】
$\lim_{n \rightarrow \infty}(n+ 1)=\infty$
【例４】
$\lim_{n \rightarrow \infty}(-3n^2)=-\infty$

　高校の数学では，「無限大」とは何かということを厳密には定義せず，直感的に理解するものとします．
　 $ \infty $というのは特定の値を表す（１つの）数字ではないので，普通の文字式のように扱うことはできません．

$\lim_{n \rightarrow \infty}n=\infty$ だからといって， $\lim_{n \rightarrow \infty}(n+ 1)=\infty+ 1$ とは書きません．
また， $\lim_{n \rightarrow \infty}(n+ 1)$ は"無限よりも大きい"とは言いません．
さらに， $\infty + 1=\infty$ なら $1=0$ かとも考えません．

　nが10, 100, 1000, ...と限りなく大きくなるとき，n+1も限りなく大きくなるということを，単に
$\lim_{n \rightarrow \infty}(n+ 1)=\infty$
と書きます．【例３】

　高校の数学では，無限大の厳密な定義（εδ論法）を要求しませんので
$\lim_{n \rightarrow \infty}(n+ 1)=\infty$
を証明せよとは言いません．
$n\lt n+ 1$ であって，かつ $n\rightarrow \infty$
だから
$n+ 1\rightarrow \infty$
とするまでです．

　同様にして，無限大になる式の定数倍も無限大と書きます．
$\lim_{n \rightarrow \infty}2n=\infty$
　ただし，符号が逆の場合は負の無限大になります．
$\lim_{n \rightarrow \infty}(-2n)=-\infty$
$\lim_{n \rightarrow \infty}(-3n^2)=-\infty$ 【例４】

　有限ではあっても「振動して値が確定しない」場合も，数列は発散するといいます．
【例５】
$\lim_{n \rightarrow \infty}(-1)^n$ …（極限なし，発散）

　絶対値が無限に大きくなってかつ振動する場合も発散です．
【例６】
$\lim_{n \rightarrow \infty}(-2)^n$ …（極限なし，発散）

　振動する場合でも振幅が０に近づく場合は収束します．
【例７】
$\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{(-1)^n}{n}=0$

【ここまでの要約】
【例１，２】　有限確定の極限値に収束するもの
$\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n}=0$ $\lim_{n \rightarrow \infty}(1-\frac{3}{n})=1$
【例３】　正の無限大に発散するもの
$\lim_{n \rightarrow \infty}(n+ 1)=\infty$
【例４】　負の無限大に発散するもの
$\lim_{n \rightarrow \infty}(-3n^2)=-\infty$
【例５】　有限であるが振動するもの
$\lim_{n \rightarrow \infty}(-1)^n$ …（極限なし）
【例６】　絶対値が無限に大きくなって振動するもの
$\lim_{n \rightarrow \infty}(-2)^n$ …（極限なし）
【例７】　振動するが振幅が０に近づいて収束するもの
$\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{(-1)^n}{n}=0$

【問題１】
　下の選択肢のうちで正しいものをクリックしてください．

(1)　一般項が次の式で表される数列の極限を求めてください．
$a_n=2n + 3$

$-\infty$ $2$ $3$ $5$ $\infty$

解説やり直す

数列 { $a_n$ } の極限とは， $\lim_{n \rightarrow \infty}a_n$ のことです
$\lim_{n \rightarrow \infty}(2n + 3)=\infty$

nが限りなく大きくなるとき，2n (>n)も2n+3 (>2n>n)も限りなく大きくなる

(2)　一般項が次の式で表される数列の極限を求めてください．
$2 + \frac{3}{n}$

$2$ $3$ $5$ $6$ $\infty$

解説やり直す

数列 { $2 + \frac{3}{n}$ } の極限とは， $\lim_{n \rightarrow \infty}(2 + \frac{3}{n})$ のことです
$\frac{3}{n} \rightarrow 0$
だから
$\lim_{n \rightarrow \infty}(2 + \frac{3}{n})=2$

(3)　次の極限を求めてください．
$\lim_{n \rightarrow \infty}(-3n^2)$

$-\infty$ $-9$ $-6$ $9$ $\infty$

解説やり直す

$n \rightarrow \infty$ のとき
$n^2 \rightarrow \infty$
だから
$\lim_{n \rightarrow \infty}(-3n^2)=-\infty$

(4)　次の極限を求めてください．
$\lim_{n \rightarrow \infty}(-1)^{n+ 1}$

$-\infty$ $-1$ $0$ $1$ $\infty$ なし

解説やり直す

n=1, 2, 3, 4, ...と増えていくとき
1, −1, 1, −1, 1, ...と振動するから
極限なし

(5)　次の極限を求めてください．
$\lim_{n \rightarrow \infty}(-2^n)$

$-\infty$ $-2$ $0$ $2$ $\infty$ なし

解説やり直す

$2^n \rightarrow \infty$
だから
$\lim_{n \rightarrow \infty}(-2^n)=-\infty$

(6)　次の極限を求めてください．
$\lim_{n \rightarrow \infty}(-\frac{1}{2})^n$

$-\infty$ $-\frac{1}{2}$ $0$ $\frac{1}{2}$ $\infty$ なし

解説やり直す

n=1, 2, 3, 4, ...と増えていくとき
$-\frac{1}{2},\hspace{10}\frac{1}{4},\hspace{10}-\frac{1}{8},\hspace{10}\frac{1}{16},\hspace{10}...$
と絶対値が限りなく０に近づくから，振動していても極限値がある．
$\lim_{n \rightarrow \infty}(-\frac{1}{2})^n=0$

【ここから後の要約】
(1)　多項式形の数列の極限
【変形】　次数が最大の項でくくる（→解説１）
$\lim_{n \rightarrow \infty}(3n^2-4n)=\lim_{n \rightarrow \infty}3n^2(1-\frac{4n}{3n^2})$
$\lim_{n \rightarrow \infty}(-2n^2 + 3n)=\lim_{n \rightarrow \infty}(-2n^2)(1-\frac{3n}{2n^2})$
【結果】　次数が最大の項だけで決まり，次数の低い項は影響しない（→解説２）
$\lim_{n \rightarrow \infty}3n^2(1-\frac{4}{3n})=\infty$
$\lim_{n \rightarrow \infty}(-2n^2)(1-\frac{3}{2n})=-\infty$

(2)　分数式形の数列の極限
【変形】　分母と分子の各々を次数最大の項でくくる（→解説３）
$\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{2n-1}{n + 1}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{2n(1-\frac{1}{2n})}{n(1 + \frac{1}{n})}$
【結果】　次数が最大の項だけで決まり，次数の低い項は影響しない
（分母の次数）＞（分子の次数）なら「0」になる（→解説４）
$\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{2n-1}{n^2 + 1}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{2n(1-\frac{1}{2n})}{n^2(1 + \frac{1}{n^2})}$
$=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{2(1-\frac{1}{2n})}{n(1 + \frac{1}{n^2})}$
$=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{2}{n}=0$
（分母の次数）＝（分子の次数）なら「次数最大の項の係数の比」になる（→解説５）
$\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{2n-1}{n + 1}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{2n(1-\frac{1}{2n})}{n(1 + \frac{1}{n})}$
$=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{2(1-\frac{1}{2n})}{(1 + \frac{1}{n})}$
$=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{2}{1}=2$
（分母の次数）＜（分子の次数）なら「∞または−∞」になる（→解説６）
$\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{2n^2-1}{n + 1}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{2n^2(1-\frac{1}{2n^2})}{n(1 + \frac{1}{n})}$
$=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{2n(1-\frac{1}{2n})}{(1 + \frac{1}{n})}$
$=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{2n}{1}=\infty$
$\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{-2n^2 + 1}{3n + 1}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{-2n^2(1 - \frac{1}{2n^2})}{3n(1 + \frac{1}{3n})}$
$=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{-2n(1-\frac{1}{2n^2})}{3(1 + \frac{1}{3n})}$
$=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{-2n}{3}=-\infty$

（解説１）
　多項式の形の数列の極限で
$\lim_{n \rightarrow \infty}(n^2+ 4n)$ や $\lim_{n \rightarrow \infty}(-2n^2 -3n)$ のように見かけ上「∞＋∞」や「−∞−∞」に見えるものの極限は，直ちに「∞」「−∞」と答えられます．
　これに対して， $\lim_{n \rightarrow \infty}(3n^2-4n)$ のように「大きくするものと小さくするものが対立」しているとき，どちらが強いか決着をつける必要があります．
$\lim_{n \rightarrow \infty}(3n^2-4n)=\lim_{n \rightarrow \infty}3n^2(1-\frac{4n}{3n^2})$
$=\lim_{n \rightarrow \infty}3n^2(1-\frac{4}{3n})$
のように次数最大の項でくくると，
$1-\frac{4}{3n}\rightarrow 1$
となるので，次数の低い項は結果に影響していないことが分かります．

（解説２）
　上の解説１のように変形すると，つねに
$\lim_{n \rightarrow \infty}(an + b)=\lim_{n \rightarrow \infty}an$
$\lim_{n \rightarrow \infty}(an^2 + bn + c)=\lim_{n \rightarrow \infty}an^2$
$\lim_{n \rightarrow \infty}(an^3 + bn^2 + cn + d)=\lim_{n \rightarrow \infty}an^3$
となって，次数が最大の項だけを見れば結果が得られますが，いろいろな応用問題にも対応できるように「最大項でくくる」という変形方法も覚えておく方がよいでしょう．

（解説３）
　 $\lim_{n \rightarrow \infty}(n + 1)(2n-1)$ のように見かけ上「∞×∞」に見えるものは直ちに「∞」と答えることができます．

　これに対して， $\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{2n-1}{n + 1}$ のように $\frac{\infty}{\infty}$ に見えるものは，分母（小さくするもの）が強いか分子（大きくするもの）が強いかの決着をつける必要があります．
　はじめに「分母と分子の各々を次数最大の項でくくり」，次に「最大項同士を約分すると」結果が見えます．
$\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{2n-1}{n + 1}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{2n(1-\frac{1}{2n})}{n(1 + \frac{1}{n})}$
$=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{2n}{n}\times \frac{(1-\frac{1}{2n})}{(1 + \frac{1}{n})}$
$=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{2}{1}\times \frac{1}{1}=2$
とできます．

（解説４，５，６）
　上記の解説３のように「最大項でくくる」をキーワードに変形していくと，分母，分子とも次数の低い項は結果に影響せず
$\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{an+ b}{pn^2+ qn + r}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{an}{pn^2}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{a}{pn}$
$\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{an+ b}{pn+ q}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{an}{pn}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{a}{p}$
$\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{an^2+ b + c}{pn+ q}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{an^2}{pn}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{an}{p}$
などと最大項と最大項の比になり，約分すれば結果が見えます．

【要点】
　多項式でも分数式でも，「次数最大の項でくくれば」なんとかなります．

【問題２】
　次の数列の極限を求めてください．（下の選択肢のうちで正しいものをクリック）

(1)
$\lim_{n \rightarrow \infty}(2n-3)$

$-\infty$ $-6$ $-1$ $1$ $\infty$ なし

解説やり直す

次数が最大の項2nでくくると
$\lim_{n \rightarrow \infty}(2n-3)=\lim_{n \rightarrow \infty}2n(1-\frac{3}{2n})$
ここで
$\lim_{n \rightarrow \infty}2n=\infty,\hspace{10}\lim_{n \rightarrow \infty}(1-\frac{3}{2n})=1$
だから
$\lim_{n \rightarrow \infty}2n(1-\frac{3}{2n})=\infty$

(2)
$\lim_{n \rightarrow \infty}(2n-3n^2)$

$-\infty$ $-9$ $-1$ $9$ $\infty$ なし

解説やり直す

次数が最大の項−3n2でくくると
$\lim_{n \rightarrow \infty}(2n-3n^2)=\lim_{n \rightarrow \infty}(-3n^2)(-\frac{2}{3n}+ 1)$
ここで
$\lim_{n \rightarrow \infty}(-3n^2)=-\infty,\hspace{10}\lim_{n \rightarrow \infty}(-\frac{2}{3n}+ 1)=1$
だから
$\lim_{n \rightarrow \infty}(-3n^2)(-\frac{2}{3n}+ 1)=-\infty$

(3)
$\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{3n-1}{2n^2+ 1}$

$-\infty$ $0$ $\frac{3}{2}$ $\infty$ なし

解説やり直す

分母を次数最大の項2n2でくくり，分子を次数最大の項3nでくくると
$\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{3n-1}{2n^2+ 1}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{3n(1-\frac{1}{3n})}{2n^2(1+ \frac{1}{2n^2})}$
$=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{3(1-\frac{1}{3n})}{2n(1+ \frac{1}{2n^2})}$
ここで
$\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{3}{2n}=0$
$\lim_{n \rightarrow \infty}(1-\frac{1}{3n})=1, \hspace{10}\lim_{n \rightarrow \infty}(1+ \frac{1}{2n^2})=1$
だから
$\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{3(1-\frac{1}{3n})}{2n(1+ \frac{1}{2n^2})}=0$
※分母の次数が分子の次数よりも高いとき，極限値は０になる．

(4)
$\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{3n+ 1}{2n-1}$

$-\infty$ $0$ $\frac{3}{2}$ $\infty$ なし

解説やり直す

分母を次数最大の項2nでくくり，分子を次数最大の項3nでくくると
$\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{3n+ 1}{2n-1}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{3n(1+ \frac{1}{3n})}{2n(1- \frac{1}{2n})}$
$=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{3(1+ \frac{1}{3n})}{2(1-\frac{1}{2n})}$
ここで
$\lim_{n \rightarrow \infty}(1+ \frac{1}{3n})=1, \hspace{10}\lim_{n \rightarrow \infty}(1- \frac{1}{2n})=1$
だから
$\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{3(1+ \frac{1}{3n})}{2(1-\frac{1}{2n})}=\frac{3}{2}$
※分母と分子の次数が等しいときは，極限値は最大項の係数の比になる．

(5)
$\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{-3n^2 + 1}{2n -1}$

$-\infty$ $-\frac{3}{2}$ $0$ $\infty$ なし

解説やり直す

分母を次数最大の項2nでくくり，分子を次数最大の項−3n2でくくると
$\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{-3n^2 + 1}{2n -1}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{-3n^2(1- \frac{1}{3n^2})}{2n(1- \frac{1}{2n})}$
$=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{-3n(1- \frac{1}{3n^2})}{2(1-\frac{1}{2n})}$
ここで
$\frac{-3n}{2}\rightarrow -\infty$
$\lim_{n \rightarrow \infty}(1- \frac{1}{3n^2})=1, \hspace{10}\lim_{n \rightarrow \infty}(1- \frac{1}{2n})=1$
だから
$\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{-3n(1- \frac{1}{3n^2})}{2(1-\frac{1}{2n})}=-\infty$
※分子の次数が分母の次数よりも大きいとき，極限は正または負の無限大になる．

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