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■回転と拡大
【単位円上の複素数の積→偏角は和になる】
(cosα+i sinα)(cosβ+i sinβ)
=cos(α+β)+i sin(α+β)
…(1)
(解説)
(cosα+i sinα)(cosβ+i sinβ)
=cosα.cosβ+i.cosα.sinβ+i.sinα.cosβ+i2.sinα.sinβ

=(cosα.cosβ−sinα.sinβ)+i(cosα.sinβ+sinα.cosβ)
ここで三角関数の加法定理を用いると
cos(α+β)+i sin(α+β)
になる.

【単位円上の複素数の商→偏角は差になる】
.cosα+i sinαcosβ+i sinβnnnnnnnnnn=cos(α−β)+i sin(α−β)…(2)
(解説)
.cosα+i sinαcosβ+i sinβnnnnnnnnnn
の分母と分子に分母の共役複素数cosβ−i sinβを掛けて,分母を実数に変える.
.(cosα+i sinα)(cosβ−i sinβ)(cosβ+i sinβ)(cosβ−i sinβ)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn
=.cosα.cosβ−i cosα.sinβ+i.sinα.cosβ−i2.sinα.sinβ)cos2β−i2.sin2βnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn
=.cosα.cosβ−i.cosα.sinβ+i.sinα.cosβ+sinα.sinβ)cos2β+sin2βnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn
分母はcos2β+sin2β=1になるから
=cosα.cosβ+sinα.sinβ+i(sinα.cosβ−cosα.sinβ) ここで三角関数の加法定理を用いると
cos(α−β)+i.sin(α−β)
になる.


【問題1】
 次の複素数を求めてください.
(1)(cos.π3n+i sin.π3n )(cos.π6n+i sin.π6n )
1 −1 i −i
(2)(cos.π2n+i sin.π2n )(cos.π4n−i sin.π4n )
..2√ni2nn+..2√ni2nni ..2√ni2nn..2√ni2nni ..2√ni2nn+..2√ni2nni ..2√ni2nn..2√ni2nni

(3)(cos.π4n+i sin.π4n )2
1 −1 i −i
(4).cos.π4n+i.sin.π4ncos.π2n+i.sin.π2nnnnnnnnnnn
..2√ni2nn+..2√ni2nni ..2√ni2nn..2√ni2nni ..2√ni2nn+..2√ni2nni ..2√ni2nn..2√ni2nni


■複素数の極形式
複素数の2通りの表し方
(1) (実部)+i(虚部) の形
(2) 絶対値×(cosθ+i sinθ の形(←これが極形式)
図4
○右図4のように,半径rの円を描くと
sinθ=.yrn
cosθ=.xrn
だから
x=r.cosθ
y=r.sinθ
になります.
したがって,
x+yi=r.cosθ+ir.sinθ=r(cosθ+i.sinθ)
という形で書くことができます.

x+yir(cosθ+i.sinθ)に直すときは,
r=.x2+y2√nnnnni
によって,絶対値rを求めることができます.

○複素数の絶対値(大きさ)は,その複素数の原点からの距離を表しています.
【例】
右図の赤で示した点が表す複素数は
5(cos.π3n+i sin.π3n)
=5(.12n+..3√ni2nni)
=.52n+.5.3√ni2nnni


■複素数の積商の図形的な意味
【複素数の掛け算は回転・拡大】
複素数z1=r1(cosθ1+sinθ1)z2=r2(cosθ2+sinθ2)を掛けると
z1z2=r1r2(cos12)+sin12))
となるので,これらの積は元の複素数z1の大きさr1r2倍し,偏角θ1θ2を加えたものになります.
このように,偏角θ2,大きさr2の複素数を掛けると,これらで表される角度と大きさだけ「回転と拡大」を行うことになります.

【例1】
2(cos.π6n+i sin.π6n)
は,絶対値が2で偏角が.π6nの複素数(青丸)

これに
.2√ni(cos.π3n+i sin.π3n)
を掛けると,

.π3n回転して,
.2√ni倍したものになる(赤丸)
2(cos.π6n+i sin.π6n.2√ni(cos.π3n+i sin.π3n)
=2.2√ni(cos.π2n+i sin.π2n)=2.2√nii
【例2】
3=3(cos0+i sin0)は,絶対値が3で偏角が0の複素数(青丸)

これに
i=cos.π2n+i sin.π2nを掛けると,

.π2n回転したものになる(赤丸:3i

さらに,iを掛けると,.π2n回転したものになる(緑丸:−3

さらに,iを掛けると,.π2n回転したものになる(茶丸:−3i

さらに,iを掛けると,.π2n回転したものになる(青丸:3


【複素数の割り算は逆回転・縮小】
複素数z1=r1(cosθ1+sinθ1)z2=r2(cosθ2+sinθ2)で割ると
.z1z2n=.r1(cosα+i sinα)r2(cosβ+i sinβ)nnnnnnnnnnnnn=.r1r2nn(cos(α−β)+i.sin(α−β)) ←(4)
となるので,この商は元の複素数z1の大きさr1r2で割り,偏角θ1からθ2を引いたものになります.
このように,偏角θ2,大きさr2の複素数で割ると,これらで表される角度と大きさだけ「逆回転と縮小」を行うことになります.

【例1】
8(cos.π4n+i sin.π4n)=4.2√ni+4.2√niiは,
絶対値が8で偏角が.π4nの複素数(青丸)

これを
2(cos.π2n+i sin.π2n)=2iで割ると,
時計回りに.π2n回転して,絶対値を半分にしたものになる.
(赤丸:
.8(cos.π4n+i.sin.π4n)2(cos.π2n+i.sin.π2n)nnnnnnnnnnnnn=.4.2√ni+4.2√nii2innnnnnnnn=.4.2√nii+4.2√nii22i2nnnnnnnnnn
=.4.2√nii−4.2√ni−2nnnnnnnnn=−2.2√nii+2.2√ni=2.2√ni−2.2√nii
さらに,2iで割ると,時計回りに.π2n回転して,絶対値を半分にしたものになる.
(緑丸:.2√ni.2√nii

【問題2】
(1)次の図において,青で示した点は複素数
z1=2.2√ni(cos.π4n+i sin.π4n )
を表しています.
 もう一つの複素数を
z2=.2√ni(cos.π4n+i sin.π4n )
とするとき,これらの積z1z2を次の複素数平面上で示してください.


(2)次の図において,青で示した点は複素数
z1=2.2√ni(cos.π4n+i sin.π4n )
を表しています.
 もう一つの複素数を
z2=cos.π2n−i sin.π2n
とするとき,これらの積z1z2を次の複素数平面上で示してください.

(3)次の図において,赤で示した点は複素数
z1=3.2√ni(cos.4nn+i sin.4nn )
を表しています.
 もう一つの複素数を
z2=3(cos.π2n+i sin.π2n )
とするとき,これらの商.z1z2nを次の複素数平面上で示してください.

(4)次の図において,赤で示した点は複素数
z1=3.2√ni(cos.4nn+i sin.4nn )
を表しています.
 もう一つの複素数を
z2=.2√ni(cos.4nn−i sin.4nn )
とするとき,これらの商.z1z2nを次の複素数平面上で示してください.


【問題3】 ~クロスワード・パズル風~軽く明るく!

○はじめに空欄を1つクリックし,続いてその空欄に入る複素数を下の選択肢から選んで1つクリックしてください.
○正しければ代入されます.
○間違っていれば解説を読むことができます.

レベル1






[選択肢]



レベル2






[選択肢]



レベル3






[選択肢]



レベル4






[選択肢]



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■[個別の頁からの質問に対する回答][回転と拡大について/17.1.5]
問題2-3は1-iではないでしょうか?
=>[作者]:連絡ありがとう.画面上のHelpを見てください.

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