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【単位円上の複素数の積→偏角は和になる】
（解説）(cosα+i sinα)(cosβ+i sinβ) =cos(α+β)+i sin(α+β)…(1)  (cosα+i sinα)(cosβ+i sinβ) =cosαcosβ+icosαsinβ+isinαcosβ+i2sinαsinβ =(cosαcosβ−sinαsinβ)+i(cosαsinβ+sinαcosβ) ここで三角関数の加法定理を用いると cos(α+β)+i sin(α+β) になる．
【単位円上の複素数の商→偏角は差になる】
（解説）
 cosα+i sinαcosβ+i sinβ=cos(α−β)+i sin(α−β)…(2)
  cosα+i sinαcosβ+i sinβ
(cosα+i sinα)(cosβ−i sinβ)(cosβ+i sinβ)(cosβ−i sinβ)
=
cosαcosβ−i cosαsinβ+isinαcosβ−i2sinαsinβ)cos2β−i2sin2β
=
分母はcos2β+sin2β=1になるからcosαcosβ−icosαsinβ+isinαcosβ+sinαsinβ)cos2β+sin2β
=cosαcosβ+sinαsinβ+i（sinαcosβ−cosαsinβ) ここで三角関数の加法定理を用いると cos(α−β)+isin(α−β) になる． |
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【問題１】 次の複素数を求めてください．
偏角の和を求めます．
π3+π6=π2cos π2+i sinπ2=i…（答）
公式が適用できるように，a+biの形にします．
そのとき，sin(−θ)=−sinθ, cos(−θ)=cosθとなることに注意します． (cos π2+i sinπ2 )(cos(−π4)+i sin(−π4 ))そこで，偏角の和を求めます． π2+(−π4 )=π4cos π4+i sinπ4=√22+√22i…（答）
(cos π4+i sinπ4 )2=(cosπ4+i sinπ4 )(cosπ4+i sinπ4 )=cos π2+i sinπ2=i
この頁ではまだ取り上げていないが，次のド・モアブルの定理を使ってもよい．(cosθ+i sinθ)n=cos nθ+i sin nθ（nは整数） これにより 2×  π4=π2cos π2+i sinπ2=i…（答）
偏角の差を求めます．
π4−π2=−π4cos(− π4 )+i sin(−π4 )=√22−√22i…（答）
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■複素数の極形式
複素数の２通りの表し方
(1) （実部）＋i（虚部） の形 (2) 絶対値×（cosθ+i sinθ） の形（←これが極形式） 
sinθ=
yr
cosθ=
だから
xr
x=rcosθ
になります．y=rsinθ したがって，
x+yi=rcosθ+irsinθ=r(cosθ+isinθ)
という形で書くことができます．○x+yiをr(cosθ+isinθ)に直すときは，
r=
によって，絶対値rを求めることができます．√x2+y2
○複素数の絶対値（大きさ）は，その複素数の原点からの距離を表しています．
【例】
右図の赤で示した点が表す複素数は
5(cos
π3+i sinπ3)
=5(
12+√32i)
=
52+5√32i
■複素数の積商の図形的な意味
【複素数の掛け算は回転・拡大】
複素数z1=r1(cosθ1+sinθ1)にz2=r2(cosθ2+sinθ2)を掛けると
z1z2=r1r2(cos(θ1+θ2)+sin(θ1+θ2))
となるので，これらの積は元の複素数z1の大きさr1をr2倍し，偏角θ1にθ2を加えたものになります．このように，偏角θ2，大きさr2の複素数を掛けると，これらで表される角度と大きさだけ「回転と拡大」を行うことになります． 
【例１】
2(cos
は，絶対値が2で偏角がπ6+i sinπ6)
π6の複素数（青丸）これに √2(cosπ3+i sinπ3)
π3回転して，√2倍したものになる（赤丸）
2(cos
π6+i sinπ6)×√2(cosπ3+i sinπ3)
=2
√2(cosπ2+i sinπ2)=2√2i
【例２】3=3(cos0+i sin0)は，絶対値が3で偏角が0の複素数（青丸） これに
i=cos
π2+i sinπ2を掛けると，
π2回転したものになる（赤丸：3i）さらに，iを掛けると， π2回転したものになる（緑丸：−3）さらに，iを掛けると， π2回転したものになる（茶丸：−3i）さらに，iを掛けると， π2回転したものになる（青丸：3）
【複素数の割り算は逆回転・縮小】
複素数z1=r1(cosθ1+sinθ1)をz2=r2(cosθ2+sinθ2)で割るとz1z2=r1(cosα+i sinα)r2(cosβ+i sinβ)=r1r2(cos(α−β)+isin(α−β))
←(4)
このように，偏角θ2，大きさr2の複素数で割ると，これらで表される角度と大きさだけ「逆回転と縮小」を行うことになります． 
【例１】8(cos π4+i sinπ4)=4√2+4√2iは，絶対値が8で偏角が π4の複素数（青丸）これを
2(cos
時計回りにπ2+i sinπ2)=2iで割ると，
π2回転して，絶対値を半分にしたものになる．（赤丸：） 8(cosπ4+isinπ4)2(cosπ2+isinπ2)=4√2+4√2i2i=4√2i+4√2i22i2= 4√2i−4√2−2=−2√2i+2√2=2√2−2√2iさらに，2iで割ると，時計回りに π2回転して，絶対値を半分にしたものになる．（緑丸：− √2−√2i）
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【問題２】
(1)次の図において，青で示した点は複素数
z1=2
を表しています．√2(cosπ4+i sinπ4 )
もう一つの複素数を
z2=
とするとき，これらの積z1z2を次の複素数平面上で示してください．√2(cosπ4+i sinπ4 )
 解説
z1，z2の絶対値は各々2
√2，√2だから
z1z2の絶対値は2
z1，z1の偏角は各々√2×√2=4
π4だから
z1z2の偏角は
になります．π4+π4=π2
したがって，
z1z2=4(cos
をポイントします．
π2+i sinπ2 )=4i
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(2)次の図において，青で示した点は複素数
z1=2
を表しています．√2(cosπ4+i sinπ4 )
もう一つの複素数を
z2=cos
とするとき，これらの積z1z2を次の複素数平面上で示してください．π2−i sinπ2
解説
sin(−θ)=−sinθ, cos(−θ)=cosθだから
z2=cos(−
π2 )+i sin(−π2 )と書ける．z1，z2の絶対値は各々2 √2，1だから
z1z2の絶対値は2
z1，z1の偏角は各々√2×1=2√2
π4, −π2だから
z1z2の偏角は
になります．π4−π2=−π4
したがって，
z1z2=2
をポイントします．
√2(cos(−π4 )+i sin(−π4 )=2−2i
(3)次の図において，赤で示した点は複素数
z1=3
を表しています．√2(cos3π4+i sin3π4 )
もう一つの複素数を
z2=3(cos
とするとき，これらの商π2+i sinπ2 )
z1z2を次の複素数平面上で示してください．
解説
z1，z2の絶対値は各々3
√2，3だから
z1z2の絶対値は3√23=√2
3π4, π2だから
z1z2の偏角は3π4−π2=π4
したがって， z1z2=√2(cosπ4+i sinπ4 )=1+i
(4)次の図において，赤で示した点は複素数
z1=3
を表しています．√2(cos3π4+i sin3π4 )
もう一つの複素数を
z2=
とするとき，これらの商√2(cos3π4−i sin3π4 )
z1z2を次の複素数平面上で示してください．
解説
sin(−θ)=−sinθ, cos(−θ)=cosθだから
z2=
√2(cos(−3π4 )+i sin(−3π4 )と書ける．z1，z2の絶対値は各々3 √2，√2だから
z1z2の絶対値は3√2√2=3
3π4, −3π4だから
z1z2の偏角は3π4−(−3π4 )=3π2
したがって， z1z2=3(cos3π2+i sin3π2 )=−3i
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【問題３】 ♪～クロスワード・パズル風～軽く明るく！♪
○はじめに空欄を１つクリックし，続いてその空欄に入る複素数を下の選択肢から選んで１つクリックしてください．
○正しければ代入されます． ○間違っていれば解説を読むことができます． レベル1
［選択肢］ 解説 レベル2
［選択肢］ 解説 |
レベル3
［選択肢］ 解説 レベル4
［選択肢］ 解説 |
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■［個別の頁からの質問に対する回答］[回転と拡大について／17.1.5］
問題2-3は1-iではないでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．画面上のHelpを見てください． |
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