回転と拡大

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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ 高卒・大学初年度
*** 単元 ***
複素数平面二次曲線媒介変数表示と極座標
数列の極限関数導関数不定積分定積分
行列 1次変換

※高校数学Ⅲの「複素数平面」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓複素数平面

↓回転と拡大-現在地
↓点Ａの周りの回転
↓三角形の形状問題
↓ド・モアブルの定理
↓ド・モアブルの定理(入試問題)

↓複素数で表される軌跡の方程式
↓同(2)
↓複素数の１次結合が表す図形

↓内分点・外分点
↓２直線の交点
↓内分点の内分点
↓２直線の平行条件・垂直条件

↓複素数平面の入試問題1
↓複素数平面の入試問題2
↓複素数平面の入試問題3
複素数平面の入試問題4

■回転と拡大

【単位円上の複素数の積→偏角は和になる】
(cosα+i sinα)(cosβ+i sinβ)
=cos(α+β)+i sin(α+β)…(1)

（解説）
(cosα+i sinα)(cosβ+i sinβ)
=cosα.cosβ+i.cosα.sinβ+i.sinα.cosβ+i2.sinα.sinβ
=(cosα.cosβ−sinα.sinβ)+i(cosα.sinβ+sinα.cosβ)
ここで三角関数の加法定理を用いると
cos(α+β)+i sin(α+β)
になる．

【単位円上の複素数の商→偏角は差になる】

cosα+i sinαcosβ+i sinβnnnnnnnnnn=cos(α−β)+i sin(α−β)…(2)

（解説）

cosα+i sinαcosβ+i sinβnnnnnnnnnn

の分母と分子に分母の共役複素数cosβ−i sinβを掛けて，分母を実数に変える．

(cosα+i sinα)(cosβ−i sinβ)(cosβ+i sinβ)(cosβ−i sinβ)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

cosα.cosβ−i cosα.sinβ+i.sinα.cosβ−i2.sinα.sinβ)cos2β−i2.sin2βnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

cosα.cosβ−i.cosα.sinβ+i.sinα.cosβ+sinα.sinβ)cos2β+sin2βnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

分母はcos2β+sin2β=1になるから
=cosα.cosβ+sinα.sinβ+i（sinα.cosβ−cosα.sinβ) ここで三角関数の加法定理を用いると
cos(α−β)+i.sin(α−β)
になる．

【問題１】
　次の複素数を求めてください．

(1)(cos.

π3n+i sin.

π3n )(cos.

π6n+i sin.

π6n )

1 −1 i −i
解説

偏角の和を求めます．

π3n+.

π6n=.

π2n

cos.

π2n+i sin.

π2n=i…（答）

(2)(cos.

π2n+i sin.

π2n )(cos.

π4n−i sin.

π4n )

解説

公式が適用できるように，a+biの形にします．
そのとき，sin(−θ)=−sinθ, cos(−θ)=cosθとなることに注意します．

(cos.

π2n+i sin.

π2n )(cos(−.

π4n)+i sin(−.

π4n ))

そこで，偏角の和を求めます．

π2n+(−.

π4n )=.

π4n

cos.

π4n+i sin.

π4n=.

√2√ni2nn+.

√2√ni2nni…（答）

(3)(cos.

π4n+i sin.

π4n )2

1 −1 i −i
解説

(cos.

π4n+i sin.

π4n )2=(cos.

π4n+i sin.

π4n )(cos.

π4n+i sin.

π4n )

=cos.

π2n+i sin.

π2n=i

この頁ではまだ取り上げていないが，次のド・モアブルの定理を使ってもよい．
(cosθ+i sinθ)n=cos nθ+i sin nθ（nは整数）
これにより

2×.

π4n=.

π2n

cos.

π2n+i sin.

π2n=i…（答）

(4).

cos.

π4n+i.sin.

π4ncos.

π2n+i.sin.

π2nnnnnnnnnnn

解説

偏角の差を求めます．

π4n−.

π2n=−.

π4n

cos(−.

π4n )+i sin(−.

π4n )=.

√2√ni2nn−.

√2√ni2nni…（答）

■複素数の極形式

複素数の２通りの表し方
(1)　（実部）＋i（虚部）　の形
(2)　絶対値×（cosθ+i sinθ）　の形（←これが極形式）

図４

○右図４のように，半径rの円を描くと

sinθ=.

yrn

cosθ=.

xrn

だから

x=r.cosθ
y=r.sinθ

になります．
したがって，

x+yi=r.cosθ+ir.sinθ=r(cosθ+i.sinθ)

という形で書くことができます．

○x+yiをr(cosθ+i.sinθ)に直すときは，

r=.

√x2+y2√nnnnni

によって，絶対値rを求めることができます．

○複素数の絶対値（大きさ）は，その複素数の原点からの距離を表しています．

【例】

右図の赤で示した点が表す複素数は

5(cos.

π3n+i sin.

π3n)

=5(.

12n+.

√3√ni2nni)

52n+.

√3√ni2nnni

■複素数の積商の図形的な意味

【複素数の掛け算は回転・拡大】

複素数z1=r1(cosθ1+sinθ1)にz2=r2(cosθ2+sinθ2)を掛けると

z1z2=r1r2(cos(θ1+θ2)+sin(θ1+θ2))

となるので，これらの積は元の複素数z1の大きさr1をr2倍し，偏角θ1にθ2を加えたものになります．
このように，偏角θ2，大きさr2の複素数を掛けると，これらで表される角度と大きさだけ「回転と拡大」を行うことになります．

【例１】

2(cos.

π6n+i sin.

π6n)

は，絶対値が2で偏角が.

π6nの複素数（青丸）

これに

√2√ni(cos.

π3n+i sin.

π3n)

を掛けると，

.

π3n回転して，

√2√ni倍したものになる（赤丸）

2(cos.

π6n+i sin.

π6n)×.

√2√ni(cos.

π3n+i sin.

π3n)

=2.

√2√ni(cos.

π2n+i sin.

π2n)=2.

√2√nii

【例２】
3=3(cos0+i sin0)は，絶対値が3で偏角が0の複素数（青丸）

これに

i=cos.

π2n+i sin.

π2nを掛けると，

π2n回転したものになる（赤丸：3i）

さらに，iを掛けると，.

π2n回転したものになる（緑丸：−3）

さらに，iを掛けると，.

π2n回転したものになる（茶丸：−3i）

さらに，iを掛けると，.

π2n回転したものになる（青丸：3）

【複素数の割り算は逆回転・縮小】

複素数z1=r1(cosθ1+sinθ1)をz2=r2(cosθ2+sinθ2)で割ると

z1z2n=.

r1(cosα+i sinα)r2(cosβ+i sinβ)nnnnnnnnnnnnn=.

r1r2nn(cos(α−β)+i.sin(α−β)) ←(4)

となるので，この商は元の複素数z1の大きさr1をr2で割り，偏角θ1からθ2を引いたものになります．
このように，偏角θ2，大きさr2の複素数で割ると，これらで表される角度と大きさだけ「逆回転と縮小」を行うことになります．

【例１】
8(cos.

π4n+i sin.

π4n)=4.

√2√ni+4.

√2√niiは，

絶対値が8で偏角が.

π4nの複素数（青丸）

これを

2(cos.

π2n+i sin.

π2n)=2iで割ると，

時計回りに.

π2n回転して，絶対値を半分にしたものになる．

（赤丸：）

8(cos.

π4n+i.sin.

π4n)2(cos.

π2n+i.sin.

π2n)nnnnnnnnnnnnn=.

√2√ni+4.

√2√nii2innnnnnnnn=.

√2√nii+4.

√2√nii22i2nnnnnnnnnn

√2√nii−4.

√2√ni−2nnnnnnnnn=−2.

√2√nii+2.

√2√ni=2.

√2√ni−2.

√2√nii

さらに，2iで割ると，時計回りに.

π2n回転して，絶対値を半分にしたものになる．
（緑丸：−.

√2√ni−.

√2√nii）

【問題２】

(1)次の図において，青で示した点は複素数

z1=2.

√2√ni(cos.

π4n+i sin.

π4n )

を表しています．
　もう一つの複素数を

z2=.

√2√ni(cos.

π4n+i sin.

π4n )

とするとき，これらの積z1z2を次の複素数平面上で示してください．

解説

　z1，z2の絶対値は各々2.

√2√ni，.

√2√niだから

z1z2の絶対値は2.

√2√ni×.

√2√ni=4

　z1，z1の偏角は各々.

π4nだから

z1z2の偏角は.

π4n+.

π4n=.

π2n

になります．
　したがって，

z1z2=4(cos.

π2n+i sin.

π2n )=4i

をポイントします．

(2)次の図において，青で示した点は複素数

z1=2.

√2√ni(cos.

π4n+i sin.

π4n )

を表しています．
　もう一つの複素数を

z2=cos.

π2n−i sin.

π2n

とするとき，これらの積z1z2を次の複素数平面上で示してください．

解説

　sin(−θ)=−sinθ, cos(−θ)=cosθだから

　z2=cos(−.

π2n )+i sin(−.

π2n )と書ける．

　z1，z2の絶対値は各々2.

√2√ni，1だから

z1z2の絶対値は2.

√2√ni×1=2.

√2√ni

　z1，z1の偏角は各々.

π4n, −.

π2nだから

z1z2の偏角は.

π4n−.

π2n=−.

π4n

になります．
　したがって，

z1z2=2.

√2√ni(cos(−.

π4n )+i sin(−.

π4n )=2−2i

をポイントします．

(3)次の図において，赤で示した点は複素数

z1=3.

√2√ni(cos.

3π4nn+i sin.

3π4nn )

を表しています．
　もう一つの複素数を

z2=3(cos.

π2n+i sin.

π2n )

とするとき，これらの商.

z1z2nを次の複素数平面上で示してください．

解説

　z1，z2の絶対値は各々3.

√2√ni，3だから

z1z2nの絶対値は.

√2√ni3nnn=.

√2√ni

　z1，z1の偏角は各々.

3π4nn, .

π2nだから

z1z2nの偏角は.

3π4nn−.

π2n=.

π4n

になります．
　したがって，

z1z2n=.

√2√ni(cos.

π4n+i sin.

π4n )=1+i

をポイントします．

(4)次の図において，赤で示した点は複素数

z1=3.

√2√ni(cos.

3π4nn+i sin.

3π4nn )

を表しています．
　もう一つの複素数を

z2=.

√2√ni(cos.

3π4nn−i sin.

3π4nn )

とするとき，これらの商.

z1z2nを次の複素数平面上で示してください．

解説

　sin(−θ)=−sinθ, cos(−θ)=cosθだから

　z2=.

√2√ni(cos(−.

3π4nn )+i sin(−.

3π4nn )と書ける．

　z1，z2の絶対値は各々3.

√2√ni，.

√2√niだから

z1z2nの絶対値は.

√2√ni.

√2√ninnn=3

　z1，z1の偏角は各々.

3π4nn, −.

3π4nnだから

z1z2nの偏角は.

3π4nn−(−.

3π4nn )=.

3π2nn

になります．
　したがって，

z1z2n=3(cos.

3π2nn+i sin.

3π2nn )=−3i

をポイントします．

【問題３】　♪～クロスワード・パズル風～軽く明るく！♪

○はじめに空欄を１つクリックし，続いてその空欄に入る複素数を下の選択肢から選んで１つクリックしてください．
○正しければ代入されます．
○間違っていれば解説を読むことができます．

レベル1

$\cos\frac{\pi}{6}+ i\sin\frac{\pi}{6}$		$2(\cos\frac{\pi}{4}+ i\sin\frac{\pi}{4})$

$3(\cos\frac{\pi}{3}+ i\sin\frac{\pi}{3})$		$2(\cos\frac{\pi}{2}+ i\sin\frac{\pi}{2})$

［選択肢］
$3(\cos\frac{\pi}{3}+ i\sin\frac{\pi}{3})$ $2(\cos\frac{5\pi}{12}+ i\sin\frac{5\pi}{12})$ $2(\cos\frac{2\pi}{3}+ i\sin\frac{2\pi}{3})$

$3(\cos\frac{\pi}{2}+ i\sin\frac{\pi}{2})$ $4(\cos\frac{3\pi}{4}+ i\sin\frac{3\pi}{4})$ $6(\cos\frac{7\pi}{12}+ i\sin\frac{7\pi}{12})$

$6(\cos\frac{5\pi}{6}+ i\sin\frac{5\pi}{6})$ $12(\cos\frac{5\pi}{4}+ i\sin\frac{5\pi}{4})$ $24(\cos\frac{4\pi}{3}+ i\sin\frac{4\pi}{3})$
解説

レベル2

$6(\cos\frac{2\pi}{3}+ i\sin\frac{2\pi}{3}$		$3(\cos\frac{\pi}{4}+ i\sin\frac{\pi}{4})$

$2(\cos\frac{\pi}{3}+ i\sin\frac{\pi}{3})$		$(\cos\frac{\pi}{6}+ i\sin\frac{\pi}{6})$

［選択肢］
$(\cos\frac{\pi}{12}+ i\sin\frac{\pi}{12})$ $3(\cos\frac{\pi}{12}+ i\sin\frac{\pi}{12})$ $2(\cos\frac{\pi}{6}+ i\sin\frac{\pi}{6})$

$3(\cos\frac{\pi}{6}+ i\sin\frac{\pi}{6})$ $(\cos\frac{\pi}{4}+ i\sin\frac{\pi}{4})$ $3(\cos\frac{\pi}{3}+ i\sin\frac{\pi}{3})$

$2(\cos\frac{5\pi}{12}+ i\sin\frac{5\pi}{12})$ $(\cos\frac{\pi}{2}+ i\sin\frac{\pi}{2})$ $(\cos\frac{7\pi}{12}+ i\sin\frac{7\pi}{12})$
解説

レベル3

$(\cos\frac{\pi}{4}+ i\sin\frac{\pi}{4})$				$6(\cos\frac{\pi}{2}+ i\sin\frac{\pi}{2})$



$(\cos\frac{\pi}{6}+ i\sin\frac{\pi}{6})$				$2(\cos\frac{\pi}{3}+ i\sin\frac{\pi}{3})$

［選択肢］
$(\cos\frac{\pi}{12}+ i\sin\frac{\pi}{12})$ $3(\cos\frac{\pi}{12}+ i\sin\frac{\pi}{12})$ $2(\cos\frac{\pi}{6}+ i\sin\frac{\pi}{6})$

$3(\cos\frac{\pi}{6}+ i\sin\frac{\pi}{6})$ $2(\cos\frac{\pi}{4}+ i\sin\frac{\pi}{4})$ $6(\cos\frac{\pi}{4}+ i\sin\frac{\pi}{4})$

$2(\cos\frac{\pi}{3}+ i\sin\frac{\pi}{3})$ $(\cos\frac{\pi}{2}+ i\sin\frac{\pi}{2})$ $6(\cos\frac{2\pi}{3}+ i\sin\frac{2\pi}{3})$
解説

レベル4

$(-3+ 3\sqrt{3}i)$				$-18$

$\frac{1+ \sqrt{3}i}{2}$

				$9(\cos\frac{5\pi}{12}+ i\sin\frac{5\pi}{12})$

［選択肢］
$\frac{2}{3}(\cos\frac{\pi}{12}+ i\sin\frac{\pi}{12})$ $\frac{3}{2}(\cos\frac{\pi}{12}+ i\sin\frac{\pi}{12})$ $3(\cos\frac{\pi}{6}+ i\sin\frac{\pi}{6})$

$2(\cos\frac{\pi}{4}+ i\sin\frac{\pi}{4})$ $2(\cos\frac{5\pi}{12}+ i\sin\frac{5\pi}{12})$ $3(\cos\frac{5\pi}{12}+ i\sin\frac{5\pi}{12})$

$3(\cos\frac{\pi}{3}+ i\sin\frac{\pi}{3})$ $6(\cos\frac{\pi}{3}+ i\sin\frac{\pi}{3})$ $2(\cos\frac{7\pi}{12}+ i\sin\frac{7\pi}{12})$
解説

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問題2-3は1-iではないでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．画面上のHelpを見てください．

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