２直線の交点

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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ 高卒・大学初年度
*** 単元 ***
複素数平面二次曲線媒介変数表示と極座標
数列の極限関数導関数不定積分定積分
行列 1次変換

※高校数学Ⅲの「複素数平面」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓複素数平面

↓回転と拡大
↓点Ａの周りの回転
↓三角形の形状問題
↓ド・モアブルの定理
↓ド・モアブルの定理(入試問題)

↓複素数で表される軌跡の方程式
↓同(2)
↓複素数の１次結合が表す図形

↓内分点・外分点
↓２直線の交点-現在地
↓内分点の内分点
↓２直線の平行条件・垂直条件

↓複素数平面の入試問題1
↓複素数平面の入試問題2
↓複素数平面の入試問題3
複素数平面の入試問題4

== ２直線の交点 ==

【直線の方程式】
　複素数平面において，点A(z1)を通り，複素数z2に平行な直線の方程式は
z=z1+tz2　（tは実数）

（解説）
　図１のように，tを変化させると，tz2は直線の方向に伸び縮みするから，z=z1+tz2は，点A(z1)を通り，複素数z2に平行な直線上の点を指し示します．

図１

この直線の方程式において，z=z1+tz2は「直線の中に埋め込まれたもの」を表しているのではなく，原点から直線上の点に向かうものでることに注意

【２直線の交点を求めるための元になる考え方】
（複素数の１次独立）
(1)　z1, z2は平行でなく，0でもない複素数，p,qは実数とする．
pz1+qz2=0 ならば p=q=0
が成り立つ．
(2)　z1, z2は平行でなく，0でもない複素数，p,q,s,tは実数とする．
pz1+qz2=sz1+tz2 ならば p=s, q=t
が成り立つ．

（解説）
　２つの複素数z1 , z2が平行であるときは，一方を他方の実数倍として表すことができます．
z1=sz2 （またはz2=tz1）
　しかし，２つの複素数z1 , z2が平行でなく，0でもないとき，
z1=sz2 （またはz2=tz1）
となることはありません．

(1) 平行でなく，0でもない複素数z1, z2について，
pz1+qz2=0…(A)
のとき，もし，p≠0ならば

z1=−.

qpnz2

となって，z1, z2が平行でないという仮定に反します．したがって，p=0でなければなりません．
　このとき，
0z1+qz2=0
qz2=0　（z2≠0）
により
q=0でなければなりません．
以上により，(A)が成り立つならばp=q=0でなければなりません．

(2)　pz1+qz2=sz1+tz2 …(B)ならば
(p−s)z1+(q−t)z2=0
と変形できるから，(1)の結果からp−s=0, q−t=0でなければなりません．
したがって，(B)が成り立つならばp=s, q=tになります．
（係数比較が各々等しいといえるということです．）

（２直線の交点の求め方）

【例１】
(1)　図の三角形において，頂点Aを表す複素数をz1，頂点Bを表す複素数をz2とし，OAの中点CとOBを2:1に内分する点をDとするとき，CBとADの交点Pを表す複素数をz1 , z2を用いて表してください．
(2)　さらに，OPの延長が線分ABと交わる点をEとするとき，Eを表す複素数をz1 , z2を用いて表してください．

【解き方１】（複素数で直線の方程式を作って交点を求める方法）
(1)　Aを表す複素数はz1
DはOBを2:1に内分する点だから

1×0+2z23nnnnnnn=.

23nz2

.−−−−>ADww=.

23nz2−z1

直線ADはAを通り，−−−−>ADwwに平行な直線だから，その方程式はsを実数として

z=z1+s(.

23nz2−z1 )=(1−s)z1+.

2s3nnz2…(i)

と書ける．

　他方で，Bを表す複素数はz2
CはOAの中点だから

0+z12nnnn=.

12nz1

.−−−−>BCww=.

12nz1−z2

直線BCはBを通り，−−−−>BCwwに平行な直線だから，その方程式はtを実数として

z=z2+t(.

12nz1−z2 )=.

t2nz1+(1−t)z2…(ii)

と書ける．

　求める交点P(z)は(i)(ii)の両方とも満たすから

(1−s)z1+.

2s3nnz2=.

t2nz1+(1−t)z2…(iii)

ここで，z1 , z2は平行でなく，0でもないから，係数比較により

1−s=.

t2n

2s3nn=1−t

この連立方程式を解くと

s=.

34n ,t=.

12n

(i)または(ii)に代入すると

z=.

z1+2z24nnnnn …（答）

(2)
　EはABの内分点だから，

nz1+mz2m+nnnnnnnまたはsz1+tz2 (s+t=1)

の形に書ける．

z1+2z24nnnnn

の定数倍としてこの形になるのは

z1+2z23nnnnn …（答）

【解き方２】（中学校で習う相似図形と比例の関係を使って解く方法）

　平行線を引けば相似図形ができ，相似図形を使えば，他の辺の比を利用して辺の比を求めることができます．

　右図のようにDからBCに平行な直線を引き，OAとの交点をSとすると，△ODS∽△OBCとなるから，
OS:SC=OD:DB=2:1
また，OC=CAだから
OS:SC:CA=2:1:3
△ACP∽△ASDとなるから，
AP:PD=AC:CS=3:1
よって，PはADを3:1に内分する．

(1) A(z1 ), D(.

23nz2 )だから

Pを表す複素数は，.

z1+3.

23nz24nnnnnn=.

z1+2z24nnnnn…（答）

（別解）
　CからADに平行な直線を引き，OBとの交点をTとすると，△OTC∽△ODAとなるから，
OT:TD=OC:CA=1:1
また，OD:DB=2:1だから
TD:DB=1:1
△BPD∽△BCTとなるから，
CP:PB=TD:DB=1:1
したがって，PはBCを1:1に内分する．

Pを表す複素数は，.

z12nn+z22nnnnnn=.

z1+2z24nnnnn…（答）

(2) CからOEに平行な直線を引き，ABとの交点をUとすると，△ACU∽△AOEとなるから，
AU:UE=AC:CO=1:1
また，CP:PB=1:1だから
UE:EB=1:1
よって，EはABを2:1に内分する．
Eを表す複素数は

z1+2z23nnnnn …（答）

【解き方３】（チェバの定理を使って解く方法）

チェバの定理とは，右図のような△ABCにおいて，頂点からA,B,Cから点Pを通る直線を引いて，対辺との交点をR,S,Tとするとき，

ASSCnn.

CRRBnn.

BTTAnn=1

が成り立つというものです．

この関係は，右図のように分母と分子を順に選んで一周すれば，次の形に書くこともできます．

RCBRnn.

SACSnn.

TBATnn=1

証明は，右図のようにAを通ってBCに平行な直線を引いて行うことができます．

ASSCnn=.

AEBCnn

CRRBnn=.

DAAEnn

BTTAnn=.

BCDAnn

ゆえに

ASSCnn.

CRRBnn.

BTTAnn=.

AEBCnn.

DAAEnn.

BCDAnn=1

(2) 例１の問題について，チェバの定理を適用すると，(2)の問題が先に解ける．

AEEBnn×.

12n×.

11n=1

AEEBnn=2

よって，AE:EB=2:1
Eを表す複素数は

z1+2z23nnnnn …（答）

(1) k .

z1+2z23nnnnn

が，B(z2 ), C( .

z12nn)の内分点

qz2+p.

z12nnp+qnnnnnnn=.

pz1+2qz22p+2qnnnnnnn

となるのは，p=1, q=1のときで

z1+2z24nnnnnn …（答）（k=.

34n）

【問題１】
　右図の三角形において，頂点Aを表す複素数をz1，頂点Bを表す複素数をz2とし，OAを1:2に内分する点をC，OBを2:3に内分する点をDとする．
(1)CBとADの交点Pを表す複素数zをz1 , z2を用いて表してください．
(2)OPの延長が線分ABと交わる点をEとするとき，Eを表す複素数wをz1 , z2を用いて表してください．

（解き方１）
(1)直線ADは，A(z1) を通り，−−−−>ADww=.

25nz2−z1に平行な直線だから，

z=z1+s(.

25nz2−z1 )（sは実数） …(i)

と書ける．
　また，直線BCは，B(z2) を通り，−−−−>BCww=.

13nz1−z2に平行な直線だから，

z=z2+t(.

13nz1−z2 )（tは実数） …(ii)

と書ける．
AD, BCの交点は(i)(ii)の両方とも満たすから

z1+s(.

25nz2−z1 )=z2+t(.

13nz1−z2 )

(1−s)z1+.

25nsz2=.

13ntz1+(1−t)z2

z1 , z2は平行でなく，0でもないから，係数比較により

（正しいものを選んでください）解説

t=s, s+t=1 .

z1の係数が等しくなるべきことから， 1−s=.

13nt

z2の係数が等しくなるべきことから， .

25ns=1−t

になります．
s, tについての上記の連立方程式を解くと

（正しいものを選んでください）解説

s=.

s=.

1−s=.

13nt → 3−3s=t…(A)

25ns=1−t → 2s=5−5t…(B)

(A)を(B)に代入すると
2s=5−5(3−3s)
13s=10

s=.

1013nn, t=.

913nn

になります．
以上により，Pを表す複素数zは

（正しいものを選んでください）解説

z=.

z=.

s=.

1013nn, t=.

913nn

だから

z=(1−s)z1+.

25nsz2=.

313nnz1+.

413nnsz2

になります．

(2)
E(w)はABの内分点だから

w=.

nz1+mz2m+nnnnnnn (m,n>0)

の形になる．

z=.

3z1+4z213nnnnn

の定数倍で，これが成り立つのは

（正しいものを選んでください）解説

w=.

w=.

3+4=7だから，分母を7にすると内分点を表すことになり

w=.

3z1+4z27nnnnnn

（解き方２）
(1) 　DからBCに平行な直線を引き，OAとの交点をSとすると，
OS:SC=OD:DB=2:3
また，OC:CA=1:2だから
OS:SC:CA=OD:DB=2:3:10

したがって，

（正しいものを選んでください）解説

AP:PD=2:1 AP:PD=10:3

AP:PD=10:13 AP:PD=13:3

DS//BCだから△ACP∽△ASD
AP:PD=AC:CS=10:3
A(z1 )とD(.

2z25nn)だから

z=.

3z1+10.

2z25nn10+3nnnnnnnnn=.

3z1+4z213nnnnnn

(2)
E(w)はABの内分点だから

w=.

nz1+mz2m+nnnnnnn (m,n>0)

の形になる．

z=.

3z1+4z213nnnnn

の定数倍で，これが成り立つのは

w=.

3z1+4z27nnnnnn

（解き方３）
(2)
　チェバの定理により

AEEBnn×.

32n×.

12n=1

AEEBnn=.

43n

（正しいものを選んでください）解説

AE:EB=3:4 AE:EB=3:7

AE:EB=4:3 AE:EB=4:7

AEEBnn=.

43n

より，
AE=.

43nEB → AE:EB=.

43nEB:EB=4:3

したがって

w=.

3z1+4z27nnnnnn

(1)
k .

3z1+4z27nnnnnn

が，B(z2 ), C( .

z13nn)の内分点

qz2+p.

z13nnp+qnnnnnnn=.

pz1+3qz23p+3qnnnnnnn

となるのは，p:3q=3:4 → 4p=9q

（正しいものを選んでください）解説

p:q=4:9 p:q=9:4

p:q=4:3 p:q=3:4

p=.

9q4nn

p:q=.

9q4nn:q=9:4

9z1+12z227+12nnnnnnn=.

9z1+12z239nnnnnnn=.

3z1+4z213nnnnnn …（答）（k=.

713nn）

≪一般化して公式を作ろう≫

【問題２】
　右図の三角形において，頂点Aを表す複素数をz1，頂点Bを表す複素数をz2とし，OAをm:nに内分する点をC，OBをh:kに内分する点をDとする．
(1)CBとADの交点Pを表す複素数zをz1 , z2を用いて表してください．
(2)OPの延長が線分ABと交わる点をEとするとき，Eを表す複素数wをz1 , z2を用いて表してください．

(1)

（正しいものを選んでください）解説

z=.

(mk)z1+(nh)z2(nh+mk)+nknnnnnnnnnnn z=.

(mk)z1+(nh)z2(nh+mk)+mhnnnnnnnnnnn

z=.

(mh)z1+(nk)z2(nk+mh)+nhnnnnnnnnnnn z=.

(mh)z1+(nk)z2(nk+mh)+mknnnnnnnnnnn

(1)
（解き方２：平行線を引く方法で解説する）･･･他の方法でもよい