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== ２直線の交点 ==
【直線の方程式】
　複素数平面において，点A(z1)を通り，複素数z2に平行な直線の方程式は
z=z1+tz2　（tは実数）
（解説）
　図１のように，tを変化させると，tz2は直線の方向に伸び縮みするから，z=z1+tz2は，点A(z1)を通り，複素数z2に平行な直線上の点を指し示します．
図１
この直線の方程式において，z=z1+tz2は「直線の中に埋め込まれたもの」を表しているのではなく，原点から直線上の点に向かうものでることに注意
【２直線の交点を求めるための元になる考え方】
（複素数の１次独立）
(1)　z1, z2は平行でなく，0でもない複素数，p,qは実数とする．
pz1+qz2=0 ならば p=q=0
が成り立つ．
(2)　z1, z2は平行でなく，0でもない複素数，p,q,s,tは実数とする．
pz1+qz2=sz1+tz2 ならば p=s, q=t
が成り立つ．
（解説）
　２つの複素数z1 , z2が平行であるときは，一方を他方の実数倍として表すことができます．
z1=sz2 （またはz2=tz1）
　しかし，２つの複素数z1 , z2が平行でなく，0でもないとき，
z1=sz2 （またはz2=tz1）
となることはありません．

(1) 平行でなく，0でもない複素数z1, z2について，
pz1+qz2=0…(A)
のとき，もし，p≠0ならば
z1=−z2
となって，z1, z2が平行でないという仮定に反します．したがって，p=0でなければなりません．
　このとき，
0z1+qz2=0
qz2=0　（z2≠0）
により
q=0でなければなりません．
以上により，(A)が成り立つならばp=q=0でなければなりません．

(2)　pz1+qz2=sz1+tz2 …(B)ならば
(p−s)z1+(q−t)z2=0
と変形できるから，(1)の結果からp−s=0, q−t=0でなければなりません．
したがって，(B)が成り立つならばp=s, q=tになります．
（係数比較が各々等しいといえるということです．）

（２直線の交点の求め方）
【例１】
(1)　図の三角形において，頂点Aを表す複素数をz1，頂点Bを表す複素数をz2とし，OAの中点CとOBを2:1に内分する点をDとするとき，CBとADの交点Pを表す複素数をz1 , z2を用いて表してください．
(2)　さらに，OPの延長が線分ABと交わる点をEとするとき，Eを表す複素数をz1 , z2を用いて表してください．
【解き方１】（複素数で直線の方程式を作って交点を求める方法）
(1)　Aを表す複素数はz1
DはOBを2:1に内分する点だから
=z2
.=z2−z1
直線ADはAを通り，に平行な直線だから，その方程式はsを実数として
z=z1+s(z2−z1 )=(1−s)z1+z2…(i)
と書ける．

　他方で，Bを表す複素数はz2
CはOAの中点だから
=z1
.=z1−z2
直線BCはBを通り，に平行な直線だから，その方程式はtを実数として
z=z2+t(z1−z2 )=z1+(1−t)z2…(ii)
と書ける．

　求める交点P(z)は(i)(ii)の両方とも満たすから
(1−s)z1+z2=z1+(1−t)z2…(iii)
ここで，z1 , z2は平行でなく，0でもないから，係数比較により
1−s=
=1−t
この連立方程式を解くと
s= ,t=
(i)または(ii)に代入すると
z= …（答）
(2)
　EはABの内分点だから，
またはsz1+tz2 (s+t=1)
の形に書ける．

の定数倍としてこの形になるのは
…（答）

【解き方２】（中学校で習う相似図形と比例の関係を使って解く方法）
　平行線を引けば相似図形ができ，相似図形を使えば，他の辺の比を利用して辺の比を求めることができます．
　右図のようにDからBCに平行な直線を引き，OAとの交点をSとすると，△ODS∽△OBCとなるから，
OS:SC=OD:DB=2:1
また，OC=CAだから
OS:SC:CA=2:1:3
△ACP∽△ASDとなるから，
AP:PD=AC:CS=3:1
よって，PはADを3:1に内分する．
(1) A(z1 ), D(z2 )だから
Pを表す複素数は，=…（答）
（別解）
　CからADに平行な直線を引き，OBとの交点をTとすると，△OTC∽△ODAとなるから，
OT:TD=OC:CA=1:1
また，OD:DB=2:1だから
TD:DB=1:1
△BPD∽△BCTとなるから，
CP:PB=TD:DB=1:1
したがって，PはBCを1:1に内分する．
Pを表す複素数は，=…（答）
(2) CからOEに平行な直線を引き，ABとの交点をUとすると，△ACU∽△AOEとなるから，
AU:UE=AC:CO=1:1
また，CP:PB=1:1だから
UE:EB=1:1
よって，EはABを2:1に内分する．
Eを表す複素数は
…（答）
【解き方３】（チェバの定理を使って解く方法）
チェバの定理とは，右図のような△ABCにおいて，頂点からA,B,Cから点Pを通る直線を引いて，対辺との交点をR,S,Tとするとき，
=1
が成り立つというものです．
この関係は，右図のように分母と分子を順に選んで一周すれば，次の形に書くこともできます．
=1

証明は，右図のようにAを通ってBCに平行な直線を引いて行うことができます．
=
=
=
ゆえに
==1
(2) 例１の問題について，チェバの定理を適用すると，(2)の問題が先に解ける．
××=1
=2
よって，AE:EB=2:1
Eを表す複素数は
…（答）
(1) k
が，B(z2 ), C( )の内分点
=
となるのは，p=1, q=1のときで
…（答）（k=）

【問題１】
　右図の三角形において，頂点Aを表す複素数をz1，頂点Bを表す複素数をz2とし，OAを1:2に内分する点をC，OBを2:3に内分する点をDとする．
(1)CBとADの交点Pを表す複素数zをz1 , z2を用いて表してください．
(2)OPの延長が線分ABと交わる点をEとするとき，Eを表す複素数wをz1 , z2を用いて表してください．
（解き方１）
(1)直線ADは，A(z1) を通り，=z2−z1に平行な直線だから，
z=z1+s(z2−z1 )（sは実数） …(i)
と書ける．
　また，直線BCは，B(z2) を通り，=z1−z2に平行な直線だから，
z=z2+t(z1−z2 )（tは実数） …(ii)
と書ける．
AD, BCの交点は(i)(ii)の両方とも満たすから
z1+s(z2−z1 )=z2+t(z1−z2 )
(1−s)z1+sz2=tz1+(1−t)z2
z1 , z2は平行でなく，0でもないから，係数比較により

s, tについての上記の連立方程式を解くと
以上により，Pを表す複素数zは
(2)
E(w)はABの内分点だから
w= (m,n>0)
の形になる．
z=
の定数倍で，これが成り立つのは
（解き方２）
(1) 　DからBCに平行な直線を引き，OAとの交点をSとすると，
OS:SC=OD:DB=2:3
また，OC:CA=1:2だから
OS:SC:CA=OD:DB=2:3:10

したがって，
（正しいものを選んでください）
AP:PD=2:1 AP:PD=10:3
AP:PD=10:13 AP:PD=13:3

A(z1 )とD()だから
z==

(2)
E(w)はABの内分点だから
w= (m,n>0)
の形になる．
z=
の定数倍で，これが成り立つのは
w=
（解き方３）
(2)
　チェバの定理により
××=1
=
（正しいものを選んでください）
AE:EB=3:4 AE:EB=3:7
AE:EB=4:3 AE:EB=4:7

したがって
w=
(1)
k
が，B(z2 ), C( )の内分点
=
となるのは，p:3q=3:4 → 4p=9q
（正しいものを選んでください）
p:q=4:9 p:q=9:4
p:q=4:3 p:q=3:4

== …（答）（k=）

≪一般化して公式を作ろう≫
【問題２】
　右図の三角形において，頂点Aを表す複素数をz1，頂点Bを表す複素数をz2とし，OAをm:nに内分する点をC，OBをh:kに内分する点をDとする．
(1)CBとADの交点Pを表す複素数zをz1 , z2を用いて表してください．
(2)OPの延長が線分ABと交わる点をEとするとき，Eを表す複素数wをz1 , z2を用いて表してください．
(1)

(2)

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