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【直線の方程式】
（解説）複素数平面において，点A(z1)を通り，複素数z2に平行な直線の方程式は z=z1+tz2 （tは実数） 図１のように，tを変化させると，tz2は直線の方向に伸び縮みするから，z=z1+tz2は，点A(z1)を通り，複素数z2に平行な直線上の点を指し示します．
図１
この直線の方程式において，z=z1+tz2は「直線の中に埋め込まれたもの」を表しているのではなく，原点から直線上の点に向かうものでることに注意
【２直線の交点を求めるための元になる考え方】
（解説）（複素数の１次独立） (1) z1, z2は平行でなく，0でもない複素数，p,qは実数とする． pz1+qz2=0 ならば p=q=0 が成り立つ． (2) z1, z2は平行でなく，0でもない複素数，p,q,s,tは実数とする． pz1+qz2=sz1+tz2 ならば p=s, q=t が成り立つ． ２つの複素数z1 , z2が平行であるときは，一方を他方の実数倍として表すことができます． z1=sz2 （またはz2=tz1） しかし，２つの複素数z1 , z2が平行でなく，0でもないとき， z1=sz2 （またはz2=tz1） となることはありません． (1) 平行でなく，0でもない複素数z1, z2について， pz1+qz2=0…(A) のとき，もし，p≠0ならば z1=−  qpz2
となって，z1, z2が平行でないという仮定に反します．したがって，p=0でなければなりません．このとき， 0z1+qz2=0 qz2=0 （z2≠0） により q=0でなければなりません． 以上により，(A)が成り立つならばp=q=0でなければなりません． (2) pz1+qz2=sz1+tz2 …(B)ならば (p−s)z1+(q−t)z2=0 と変形できるから，(1)の結果からp−s=0, q−t=0でなければなりません． したがって，(B)が成り立つならばp=s, q=tになります． （係数比較が各々等しいといえるということです．） |
（２直線の交点の求め方）
【例１】(1) 図の三角形において，頂点Aを表す複素数をz1，頂点Bを表す複素数をz2とし，OAの中点CとOBを2:1に内分する点をDとするとき，CBとADの交点Pを表す複素数をz1 , z2を用いて表してください． (2) さらに，OPの延長が線分ABと交わる点をEとするとき，Eを表す複素数をz1 , z2を用いて表してください． (1) Aを表す複素数はz1 DはOBを2:1に内分する点だから 1×0+2z23=23z2
−−−−>AD=23z2−z1直線ADはAを通り，−−−−>ADに平行な直線だから，その方程式はsを実数として z=z1+s( 23z2−z1 )=(1−s)z1+2s3z2…(i)と書ける． 他方で，Bを表す複素数はz2 CはOAの中点だから 0+z12=12z1
−−−−>BC=12z1−z2直線BCはBを通り，−−−−>BCに平行な直線だから，その方程式はtを実数として z=z2+t( 12z1−z2 )=t2z1+(1−t)z2…(ii)と書ける． 求める交点P(z)は(i)(ii)の両方とも満たすから (1−s)z1+ 2s3z2=t2z1+(1−t)z2…(iii)ここで，z1 , z2は平行でなく，0でもないから，係数比較により 1−s= t22s3=1−tこの連立方程式を解くと s= 34 ,t=12(i)または(ii)に代入すると z= z1+2z24 …（答）(2) EはABの内分点だから， nz1+mz2m+nまたはsz1+tz2 (s+t=1)の形に書ける． z1+2z24の定数倍としてこの形になるのは z1+2z23 …（答） |
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【解き方２】（中学校で習う相似図形と比例の関係を使って解く方法） 
平行線を引けば相似図形ができ，相似図形を使えば，他の辺の比を利用して辺の比を求めることができます．
右図のようにDからBCに平行な直線を引き，OAとの交点をSとすると，△ODS∽△OBCとなるから，OS:SC=OD:DB=2:1 また，OC=CAだから OS:SC:CA=2:1:3 △ACP∽△ASDとなるから， AP:PD=AC:CS=3:1 よって，PはADを3:1に内分する． (1) A(z1 ), D( 23z2 )だから
Pを表す複素数は，z1+323z24=z1+2z24…（答）
（別解）
(2) CからOEに平行な直線を引き，ABとの交点をUとすると，△ACU∽△AOEとなるから，CからADに平行な直線を引き，OBとの交点をTとすると，△OTC∽△ODAとなるから， OT:TD=OC:CA=1:1 また，OD:DB=2:1だから TD:DB=1:1 △BPD∽△BCTとなるから， CP:PB=TD:DB=1:1 したがって，PはBCを1:1に内分する． Pを表す複素数は，  z12+z22=z1+2z24…（答）
AU:UE=AC:CO=1:1 また，CP:PB=1:1だから UE:EB=1:1 よって，EはABを2:1に内分する． Eを表す複素数は z1+2z23 …（答）【解き方３】（チェバの定理を使って解く方法） 
チェバの定理とは，右図のような△ABCにおいて，頂点からA,B,Cから点Pを通る直線を引いて，対辺との交点をR,S,Tとするとき，
ASSCCRRBBTTA=1が成り立つというものです．
この関係は，右図のように分母と分子を順に選んで一周すれば，次の形に書くこともできます．
 RCBRSACSTBAT=1
証明は，右図のようにAを通ってBCに平行な直線を引いて行うことができます．
 ASSC=AEBCCRRB=DAAEBTTA=BCDAゆえに ASSCCRRBBTTA=AEBCDAAEBCDA=1AEEB×12×11=1AEEB=2よって，AE:EB=2:1 Eを表す複素数は z1+2z23 …（答）(1) k z1+2z23が，B(z2 ), C( z12)の内分点
qz2+pz12p+q=pz1+2qz22p+2q
となるのは，p=1, q=1のときで
z1+2z24 …（答）（k=34）
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【問題１】右図の三角形において，頂点Aを表す複素数をz1，頂点Bを表す複素数をz2とし，OAを1:2に内分する点をC，OBを2:3に内分する点をDとする． (1)CBとADの交点Pを表す複素数zをz1 , z2を用いて表してください． (2)OPの延長が線分ABと交わる点をEとするとき，Eを表す複素数wをz1 , z2を用いて表してください． (1)直線ADは，A(z1) を通り，−−−−>AD= 25z2−z1に平行な直線だから，
z=z1+s(25z2−z1 )（sは実数） …(i)
と書ける．また，直線BCは，B(z2) を通り，−−−−>BC= 13z1−z2に平行な直線だから，
z=z2+t(13z1−z2 )（tは実数） …(ii)
と書ける．AD, BCの交点は(i)(ii)の両方とも満たすから z1+s( 25z2−z1 )=z2+t(13z1−z2 )
(1−s)z1+25sz2=13tz1+(1−t)z2
z1 , z2は平行でなく，0でもないから，係数比較によりz1の係数が等しくなるべきことから， 1−s=  13t
z2の係数が等しくなるべきことから，
25s=1−t
になります．
s, tについての上記の連立方程式を解くと 1−s= 13t → 3−3s=t…(A)
25s=1−t → 2s=5−5t…(B)
(A)を(B)に代入すると2s=5−5(3−3s) 13s=10 s= 1013, t=913
になります．
以上により，Pを表す複素数zは s= 1013, t=913
だから
z=(1−s)z1+25sz2=313z1+413sz2
になります．
(2) E(w)はABの内分点だから w= nz1+mz2m+n (m,n>0)
の形になる．
z=3z1+4z213
の定数倍で，これが成り立つのは
3+4=7だから，分母を7にすると内分点を表すことになり
w=3z1+4z27
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（解き方２）(1) DからBCに平行な直線を引き，OAとの交点をSとすると， OS:SC=OD:DB=2:3 また，OC:CA=1:2だから OS:SC:CA=OD:DB=2:3:10 したがって， DS//BCだから△ACP∽△ASD AP:PD=AC:CS=10:3 A(z1 )とD( 2z25)だから
z=3z1+102z2510+3=3z1+4z213
(2) E(w)はABの内分点だから w= nz1+mz2m+n (m,n>0)
の形になる．
z=3z1+4z213
の定数倍で，これが成り立つのは
w=3z1+4z27
（解き方３）(2) チェバの定理により AEEB×32×12=1AEEB=43AEEB=43より， AE= 43EB → AE:EB=43EB:EB=4:3したがって w= 3z1+4z27(1) k 3z1+4z27が，B(z2 ), C( z13)の内分点
qz2+pz13p+q=pz1+3qz23p+3q
となるのは，p:3q=3:4 → 4p=9q
p=9q4p:q= 9q4:q=9:49z1+12z227+12=9z1+12z239=3z1+4z213 …（答）（k=713）
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≪一般化して公式を作ろう≫
【問題２】右図の三角形において，頂点Aを表す複素数をz1，頂点Bを表す複素数をz2とし，OAをm:nに内分する点をC，OBをh:kに内分する点をDとする． (1)CBとADの交点Pを表す複素数zをz1 , z2を用いて表してください． (2)OPの延長が線分ABと交わる点をEとするとき，Eを表す複素数wをz1 , z2を用いて表してください．
（正しいものを選んでください）解説
(1)z= (mk)z1+(nh)z2(nh+mk)+nk
z=(mk)z1+(nh)z2(nh+mk)+mh
z=(mh)z1+(nk)z2(nk+mh)+nh
z=(mh)z1+(nk)z2(nk+mh)+mk
（解き方２：平行線を引く方法で解説する）･･･他の方法でもよい  OS:SC=h:k=mh:mk 他方で，OC:CA=m:n=m(h+k):n(h+k)だから OS:SC:CA=mh:mk:n(h+k) したがって AP:PD=n(h+k):mk z= (mk)z1+n(h+k)hh+kz2nh+nk+mk=(mk)z1+(nh)z2(nh+mk)+nk(2) |
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(2) （解き方３：チェバの定理を使う方法で解説する）･･･他の方法でもよい EBAE×hk×nm=1だから， EBAE=mknhAE:EB=nh:mk ゆえに w= (mk)z1+(nh)z2(nh+mk) |
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