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各々の答案は筆者が作成したものです．間違いなどがありましたらお知らせください．

円の方程式と距離の最大最小

２点からの距離の比が一定の点の軌跡

実数であるための条件，純虚数であるための条件

(1) |z−α|+|z−β|の最小値
(2) |z−α|2+|z−β|2の最小値

円の方程式と距離の最大最小

【要点】
(1) ２点A(α), B(β)間の距離ABは，
|α−β|
で表される．
(2) 動点P(z)が方程式
|z|=r (r>0)
を満たすとき，点P(z)は原点を中心とする半径rの円周上にある．

(3) 動点P(z)，定点A(α)について
|z−α|=r (r>0)
が成り立つとき，点P(z)は点A(α)を中心とする半径rの円周上にある．
(4) 複素数の絶対値|z|については
${\displaystyle \mid z{\mid }^2=z\overline{z}}$
の変形がよく用いられる．

【例題1.1】
複素数zが|z−2i|=2を満たすとき，${\displaystyle \mid z-2\sqrt{3}\mid }$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときのzの値を求めよ．ただし，iは虚数単位である．

（三角不等式を用いた別解）
|α|<|β|のとき，一般に次の不等式が成り立つ．（三角不等式と呼ばれる）
|β|−|α|≦|α+β|≦|α|+|β|

βを固定して，αの向きを変えていくと，α+βは図の赤で示した円周上にある．
1) αとβが同じ向きに平行なときに図のPで示した点で|α+β|の値は最大値|α|+|β|となる．
2) αとβが逆向きに平行なときに図のQで示した点で|α+β|の値は最小値|β|−|α|となる．

${\displaystyle \mid z-2\sqrt{3}\mid =\mid (z-2i)+(2i-2\sqrt{3})\mid }$
ここで${\displaystyle \mid z-2i\mid =2}$，${\displaystyle \mid 2i-2\sqrt{3}\mid =\sqrt{12+4}=4}$
であるから，
${\displaystyle z-2i}$と${\displaystyle 2i-2\sqrt{3}}$が同じ向きに平行であるとき，最大値６になり，逆向きに平行であるとき最小値２になる．

【例題1.2】
複素数zが${\displaystyle z\overline{z}+(-3+4i)z-(3+4i)\overline{z}-50=0}$を満たすとする．ここで，iは虚数単位，${\displaystyle \overline{z}}$はzの共役複素数である．
(1)　複素数平面上で，等式を満たす点zの全体の集合は中心がア+イi，半径がウ.√エ√nnniの円を表す．
(2)　等式を満たすzについて，絶対値|z|の最大値は
オ.√カ√nnni+キ，最小値はク.√ケ√nnni−コとなる．

(2)（三角不等式を用いた別解）
一般に次の不等式が成り立つ．
|β|−|α|≦|α+β|≦|α|+|β|（ただし|α|<|β|とする）
${\displaystyle \mid z\mid =\mid \{z-(3+4i)\}+(3+4i)\mid }$
と変形する．
${\displaystyle \mid z-(3+4i)\mid =5\sqrt{3}}$，${\displaystyle \mid 3+4i\mid =5}$
であるから，
${\displaystyle z-(3+4i)}$と${\displaystyle 3+4i}$が同じ向きに平行であるとき，最大値${\displaystyle 5\sqrt{3}+5}$になり，逆向きに平行であるとき最小値${\displaystyle 5\sqrt{3}-5}$になる．

(1)
複素数平面上で，点zが円|z−1−i|=1上を動くとき，式w=3iz+6−2iで表される点wが描く図形をC0とする．
(1)　C0は円であることを示しなさい．また，C0の中心と半径を求めなさい．

解説 やり直す

1+i −1−i 3+i −3−i 6−2i

${\displaystyle 3iz=w-6+2i}$
${\displaystyle z=\frac{w-6+2i}{3i}}$
だから
${\displaystyle \mid \frac{w-6+2i}{3i}-1-i\mid =1}$
${\displaystyle \mid w-6+2i-3i-3i^2\mid =\mid 3i\mid }$
${\displaystyle \mid w-6+2i-3i+3\mid =\mid 3i\mid }$
${\displaystyle \mid w-3-i\mid =3}$
中心は${\displaystyle 3+i}$

解説 やり直す

1 2 3 4 5 6

${\displaystyle \mid w-3-i\mid =3}$
だから
半径は${\displaystyle 3}$

(2)
複素数平面上で，方程式${\displaystyle z\overline{z}-iz+i\overline{z}-9=0}$で定まる円の中心を表す複素数はfであり，半径はgである．ただし，iは虚数単位である．

解説 やり直す

i −i 3 3i −3i

xy+ax+by+ab=(x+b)(y+a)のような因数分解を思い出しましょう．（xの係数はyの方のかっこ内にあり，yの係数はxの方のかっこ内にあります）

${\displaystyle (z+i)(\overline{z}-i)+i^2-9=0}$
${\displaystyle \mid z+i{\mid }^2=10}$
${\displaystyle \mid z+i\mid =\sqrt{10}}$
中心は${\displaystyle -i}$

解説 やり直す

3 ${\displaystyle \sqrt{3}}$ 9 10 ${\displaystyle \sqrt{10}}$

${\displaystyle \mid z+i\mid =\sqrt{10}}$
だから，半径は${\displaystyle \sqrt{10}}$

(3)
複素数zが|i(z−1)+2|=2を満たすとき，l=|z+3|の最大値はエである．

解説 やり直す

1 5 ${\displaystyle 2\sqrt{5}}$ ${\displaystyle 2\sqrt{5}-2}$ ${\displaystyle 2\sqrt{5}+2}$

|i(z−1)+2|=2の左辺の括弧内に|-i|=1を掛けてもよいから
|−i2(z−1)−2i|=2
|z−1−2i|=2
zは1+2iを中心とする半径2の円周上を動く．
l=|z+3|は，このzと点−3との距離だから
−3から中心1+2iまでの距離
${\displaystyle \sqrt{(1+3{)}^2+2^2}=2\sqrt{5}}$と半径2を加えて${\displaystyle 2\sqrt{5}+2}$が最大

（別解：三角不等式を使う場合の答案）
l=|z+3|=|(z−1−2i)+(1+2i+3)|
≦|z−1−2i|+|1+2i+3|=${\displaystyle 2+2\sqrt{5}}$
等号が成立するのは半径z−1−2iと1+2i+3=4+2iが同じ向きのとき

２点からの距離の比が一定の点の軌跡

【要点】
◎(1)　中学校の数学で習ったように，２定点A(α), B(β)からの距離が等しい点P(z)をつないでいくと，ABの垂直二等分線になります．
だから，
|z−α|=|z−β|
を満たす点zの軌跡は，線分ABの垂直二等分線になります．

○(2)　高校数学の円の方程式やベクトルのところで習うように，２定点A(α), B(β)からの距離の比が一定である点の軌跡は，アポロニウスの円になります．
　この公式をうまく使うには，次のように３点A, B, Pが一直線上に並ぶ特別な場合，すなわち内分点と外分点を考えるとよい．
m|z−α|=n|z−β|（m≠n, n>0, n>0）
を満たす点zの軌跡は，
※m=n (gt;0)のときは円にならず，(1)で述べた垂直二等分線になります．

※PがQやRに一致するとき，${\displaystyle \overrightarrow{PA}}$と${\displaystyle \overrightarrow{PB}}$が垂直だとは（高校では）言わないが，上の内積は０になるので，QやR自体も軌跡に含まれる．

【例題2.1】
複素数平面において，方程式|z+1|=|z−1|を満たす点zの全体はどのような図形か答えよ．

【例題2.2】
複素数平面において，等式2|z−4|=3|z−3i|を満たす点zの全体はどのような図形を表すか．ただしiは虚数単位とする．

※答案の中に「アポロニウスの円」という用語を入れることにより，それが教科書や参考書に書いてある公式であることをほのめかし，根拠なしとして減点されるのを防ぐ

(1)
aを実数の定数とする．複素数zが${\displaystyle z\overline{z}-ia\overline{z}+iaz=1}$をみたしながら動くとき，複素数平面上でzの表す点はどのような図形をえがくか．ただし，${\displaystyle \overline{z}}$はzに共役な複素数を表す．

解説 やり直す

i −i a −a ia −ia

${\displaystyle (z-ia)(\overline{z}+ia)+i^2{a}^2=1}$
${\displaystyle \mid z-ia{\mid }^2=a^2+1}$
${\displaystyle \mid z-ia\mid =\sqrt{a^2+1}}$
中心はia

解説 やり直す

1 a2+1 1−a2 ${\displaystyle \sqrt{a^2+1}}$ ${\displaystyle \sqrt{1-a^2}}$

${\displaystyle \mid z-ia\mid =\sqrt{a^2+1}}$
だから
半径は${\displaystyle \sqrt{a^2+1}}$

(2)
複素数zが${\displaystyle \mid z-1\mid =2\mid z+1\mid }$をみたしながら動くとき
(i) 複素数平面上でzの表す点はどのような図形をえがくか．
(ii) 複素数平面上で${\displaystyle w=\frac{3z+1}{z+3}}$の表す点はどのような図形をえがくか．ただし，z≠−3とする．

解説 やり直す

${\displaystyle -\frac{7}{3}}$ −2 ${\displaystyle -\frac{5}{3}}$ ${\displaystyle \frac{1}{3}}$

２点1, −1を結ぶ線分を2：1に内分する点Qは
${\displaystyle \frac{1\times 1+2\times (-1)}{2+1}=-\frac{1}{3}}$
２点1, −1を結ぶ線分を2：1に外分する点Rは
${\displaystyle \frac{-1\times 1+2\times (-1)}{2-1}=-3}$
これらQ,Rの中点が円の中心だから
${\displaystyle \frac{-\frac{1}{3}+(-3)}{2}=-\frac{5}{3}}$

解説 やり直す

${\displaystyle \frac{4}{3}}$ ${\displaystyle \frac{5}{3}}$ ${\displaystyle \frac{5}{6}}$ ${\displaystyle \frac{7}{6}}$

Q,Rの半分が半径だから
${\displaystyle \mid \frac{-\frac{1}{3}-(-3)}{2}\mid =\frac{4}{3}}$
（別解：${\displaystyle \mid z{\mid }^2=z\overline{z}}$の変形を使った答案）
${\displaystyle \mid z-1{\mid }^2=2^2\mid z+1{\mid }^2}$
${\displaystyle (z-1)(\overline{z}-1)=4(z+1)(\overline{z}+1)}$
${\displaystyle z\overline{z}-z-\overline{z}+1=4(z\overline{z}+z+\overline{z}+1)}$
${\displaystyle 3z\overline{z}+5z+5\overline{z}+3=0}$
${\displaystyle z\overline{z}+\frac{5}{3}z+\frac{5}{3}\overline{z}+1=0}$
${\displaystyle (z+\frac{5}{3})(\overline{z}+\frac{5}{3})-\frac{25}{9}+1=0}$
${\displaystyle \mid z+\frac{5}{3}{\mid }^2=\frac{16}{9}}$
${\displaystyle \mid z}$
したがって，
中心が${\displaystyle -\frac{5}{3}}$，半径が${\displaystyle \frac{4}{3}}$の円

解説 やり直す

実軸（ｘ軸） 虚軸（ｙ軸） 円

(3)
iを虚数単位とする．複素数zが等式|iz+3|=|2z−6|を満たすとき，次の問いに答えよ．
(1) この等式を満たす点z全体は，どのような図形を表すか答えよ．

解説 やり直す

２点3, 3iを結ぶ線分の垂直二等分線になる ２点3, 3iを直径の両端とする円になる 中心が4−iで半径が${\displaystyle 2\sqrt{2}}$の円になる 中心が4−iで半径が${\displaystyle 4\sqrt{2}}$の円になる

左辺の絶対値記号の中に−iを掛けても等式は成り立つ（|−i|=1だから）
|−i2z−3i|=|2z−6|
|z−3i|=2|z−3|
２定点3i, 3からの距離の比が2:1である点の軌跡はアポロニウスの円になる．
3i, 3を2：1に内分する点は
${\displaystyle \frac{1\times 3i+2\times 3}{2+1}=2+i}$
3i, 3を2：1に外分する点は
${\displaystyle \frac{-1\times 3i+2\times 3}{2-1}=6-3i}$
これらの中点が円の中心になる
${\displaystyle \frac{(2+i)+(6-3i)}{2}=4-i}$
半径は
${\displaystyle \mid \frac{(6-3i)-(2+i)}{2}\mid =\mid 2-2i\mid =2\sqrt{2}}$
（別解：${\displaystyle \mid z{\mid }^2=z\overline{z}}$の変形を使った答案）
${\displaystyle \mid iz+3{\mid }^2=\mid 2z-6{\mid }^2}$
${\displaystyle (iz+3)(-i\overline{z}+3)=(2z-6)(2\overline{z}-6)}$
${\displaystyle -i^{2}z\overline{z}+3iz-3i\overline{z}+9=4z\overline{z}-12z-12\overline{z}+36}$
${\displaystyle 3z\overline{z}-(12+3i)z+(-12+3i)\overline{z}+27=0}$
${\displaystyle z\overline{z}-(4+i)z+(-4+i)\overline{z}+9=0}$
${\displaystyle \{z-(4-i)\}\{\overline{z}-(4+i)\}-(4-i)(4+i)+9=0}$
${\displaystyle \mid z-(4-i){\mid }^2=8}$
${\displaystyle \mid z-(4-i)\mid =2\sqrt{2}}$
したがって， 中心が4−iで半径が${\displaystyle 2\sqrt{2}}$の円になる

実数であるための条件，純虚数であるための条件

【要点】
(1)　複素数$z$が実数であるための条件は
$z=\overline{z}$
(2)　複素数$z$が純虚数であるための条件は
$z=-\overline{z},z\ne 0$

$b=0$だから
$\overline{z}=a=z$が成り立つ．

$a+bi=a-bi$だから
$2bi=0$
$b=0$となって
$z$は実数になる．

$a=0$だから
$z=bi=-\overline{z}$が成り立つ．
ただし,原点０は虚軸上にもあるが実数として扱うので，純虚数といえるためには$b\ne 0$でなければならない．

$a+bi=-a+bi$
$a=0$
$z=bi,\overline{z}=-bi$
だから$z=-\overline{z}$になる．

【例題3.1】
複素数平面上で，${\displaystyle \frac{(1-i)(z-2)}{iz}}$が実数となるような点zが描く図形を図示せよ．

※一般に複素数の多項式や分数式の共役複素数は，各々の複素数を共役複素数に入れ換えた多項式や分数式に等しい．
${\displaystyle \overline{\alpha z^2+\beta z+\gamma }=\overline{\alpha }{\overline{z}}^2+\overline{\beta }\overline{z}+\overline{\gamma }}$
${\displaystyle \overline{\{\frac{(z-\alpha )(z-\beta )}{z-\gamma }\}}=\frac{(\overline{z}-\overline{\alpha })(\overline{z}-\overline{\beta })}{\overline{z}-\overline{\gamma }}}$
この公式は教科書や参考書に通常書かれているので，入試の答案を書くときに黙って使ってもよい．

入試会場では，ほとんどの受験生は上記のように計算する他ないと思われるが，このような計算を目で追っていくのはそれなりに苦痛である．複素数の偏角を考えると，もっと少ない計算量でできる．

${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}$の偏角は，αからβまでの角

【例題3.2】
異なる複素数α, βに対して，${\displaystyle \frac{z-\alpha }{z-\beta }}$が純虚数となるようなzは，複素数平面上でどのような図形を描くか．

${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}$の偏角は，αからβまでの角

このような計算を目で追っていくのはそれなりに苦痛である．複素数の偏角を考えると，もっと少ない計算量でできる．

読者の操作性を考えて選択問題にしていますが，計算用紙などを使って十分考えてから選んでください．まぐれ当たりでは力は付きません

(1)
２つの複素数w, zが${\displaystyle w=\frac{iz}{z-2}}$を満たしているとする．ただし，iは虚数単位とする．
(1)　複素数平面上で，点zが原点を中心とする半径２の円周上を動くとき，点wはどのような図形を描くか．ただし，z≠2とする．
(2)　複素数平面上で点zが虚軸上を動くとき，点wはどのような図形を描くか．
(3)　複素数平面上で点wが実軸上を動くとき，点zはどのような図形を描くか．

点iを通り実軸に平行な直線 点${\displaystyle \frac{i}{2}}$を通り実軸に平行な直線 虚軸 点1を通り虚軸に平行な直線 点${\displaystyle \frac{i}{2}}$を中心とする半径${\displaystyle \frac{1}{2}}$の円（点iを除く） 点1を中心とする半径1の円（点2を除く）

(1)
$z$について解き直す．
${\displaystyle wz-2w=iz}$
${\displaystyle (w-i)z=2w}$
${\displaystyle z=\frac{2w}{w-i}}$
問題の仮定により，${\displaystyle \mid z\mid =2}$だから${\displaystyle \mid \frac{2w}{w-i}\mid =2}$
${\displaystyle 2\mid w\mid =2\mid w-i\mid }$
${\displaystyle \mid w\mid =\mid w-i\mid }$
したがって，原点と点iを結ぶ線分の垂直二等分線，すなわち点${\displaystyle \frac{i}{2}}$を通り実軸に平行な直線

点iを通り実軸に平行な直線 点${\displaystyle \frac{i}{2}}$を通り実軸に平行な直線 虚軸 点1を通り虚軸に平行な直線 点${\displaystyle \frac{i}{2}}$を中心とする半径${\displaystyle \frac{1}{2}}$の円（点iを除く） 点1を中心とする半径1の円（点2を除く）

(2)
w≠i…(*1)
${\displaystyle \frac{2w}{w-i}+\frac{2\overline{w}}{\overline{w}+i}=0}$
${\displaystyle 2w(\overline{w}+i)+2\overline{w}(w-i)=0}$
${\displaystyle w(\overline{w}+i)+\overline{w}(w-i)=0}$
${\displaystyle w\overline{w}+wi+\overline{w}w-\overline{w}i=0}$
${\displaystyle 2w\overline{w}+wi-\overline{w}i=0}$
${\displaystyle w\overline{w}+\frac{i}{2}w-\frac{i}{2}\overline{w}=0}$
${\displaystyle (w-\frac{i}{2})(\overline{w}+\frac{i}{2})+\frac{i^2}{4}=0}$
${\displaystyle \mid w-\frac{i}{2}{\mid }^2=\frac{1}{4}}$
${\displaystyle \mid w-\frac{i}{2}\mid =\frac{1}{2}}$
したがって，点${\displaystyle \frac{i}{2}}$を中心とする半径${\displaystyle \frac{1}{2}}$の円（点iを除く）

点iを通り実軸に平行な直線 点${\displaystyle \frac{i}{2}}$を通り実軸に平行な直線 虚軸 点1を通り虚軸に平行な直線 点${\displaystyle \frac{i}{2}}$を中心とする半径${\displaystyle \frac{1}{2}}$の円（点iを除く） 点1を中心とする半径1の円（点2を除く）

z≠2…(1)
${\displaystyle \frac{-i\overline{z}}{\overline{z}-2}=\frac{iz}{z-2}}$
${\displaystyle -i\overline{z}(z-2)=iz(\overline{z}-2)}$
${\displaystyle -\overline{z}(z-2)=z(\overline{z}-2)}$
${\displaystyle -\overline{z}z+2\overline{z}=z\overline{z}-2z}$
${\displaystyle 2z\overline{z}-2z-2\overline{z}=0}$
${\displaystyle z\overline{z}-z-\overline{z}=0}$
${\displaystyle (z-1)(\overline{z}-1)-1=0}$
${\displaystyle \mid z-1{\mid }^2=1}$
${\displaystyle \mid z-1\mid =1}$
したがって，１を中心とする半径１の円（ただし(*1)により点２を除く）

(1) |z−α|+|z−β|の最小値
(2) |z−α|2+|z−β|2の最小値

【要点】
指定された直線を経由して２点を折れ線で結ぶとき，その最短経路を求めるには， 「Aの鏡像A'からBに直線を引けばよい．」

【例題4.1】
複素数zが|z−1|=|z−i|を満たすとき，|z−2|+|z−4|の最小値を求めてください．

（式で書けないのか？）
|z−1|=|z−i|を満たす点は|z−2|=|z−2i|を満たす．（２乗してみると分かる）
このとき，
|z−2|+|z−4|=|z−2i|+|z−4|
=|2i−z|+|z−4|
は2i, z, 4が直線上に並ぶとき最小となる
≧|2i−z+z−4|=|2i−4|=${\displaystyle \sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}}$

【中線定理】（またはパップスの定理）

△ABCにおいてBCの中点をMとおくとき，
AB2+AC2=2(AM2+BM2)
が成り立つ．

この定理は余弦定理，座標幾何，ベクトルなどの分野で多くの教科書・参考書に登場する．基本公式とは言えないが，「中線定理により」と断り書きを書けば結果を利用してもよいでしょう

【例題4.2】
複素数zが|z−1|=|z−i|を満たすとき，|z−2|2+|z−4|2の最小値を求めてください．

読者の操作性を考えて選択問題にしていますが，計算用紙などを使って十分考えてから選んでください．まぐれ当たりでは力は付きません

zを複素数平面上の点とする．
(1)　|z−4|2+|z−6i|2−2|z−2−3i|2の値を求めよ．
(2)　zが点−1−iを中心とする半径1の円上を動くとき，|z−2−3i|の最大値を求めよ．
(3)　zが点−1−iを中心とする半径1の円上を動くとき，|z−4|2+|z−6i|2の最大値を求めよ．

5 6 ${\displaystyle \sqrt{13}}$ 13 26 49 98

A(4), B(6i)とするとM(2+3i)はABの中点になるから，任意の点P(z)について中線定理
PA2+PB2=2(PM2+AM2)
が成り立つ．
したがって，
|z−4|2+|z−6i|2−2|z−2−3i|2=2AM2
=2|2+3i−4|2=2|−2+3i|2=2(22+32)=26

5 6 ${\displaystyle \sqrt{13}}$ 13 26 49 98

円の中心C(−1−i)とM(2+3i)の距離は|2+3i−(−1−i)=|3+4i|
${\displaystyle =\sqrt{3^2+4^2}=5}$
だから，MCの延長が円の向こう側に当たる点で最大となる：5+1=6

5 6 ${\displaystyle \sqrt{13}}$ 13 26 49 98

PA2+PB2=2(PM2+AM2)
=2×62+26=98

例題3.2で、z≠βは示されていますが、(zの共役複素数をz_、βの共役複素数をβ_として)z_≠β_は示されていません。複素数=複素数だったら互いに共役複素数をとっても＝関係が成立するみたいな定理があるんでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．
真であるものがすべて定理であるわけではない．汎用性があって重宝するものしか定理とは呼ばない．だから，個別の式を変形しただけの結果は，目で確かめるだけでよい．

のとき
ならば，または
だから
とは等しくない．

例題1.2と問題1の(2)で質問です。 どちらの問題とも因数分解の形にできていないですけれど、何を目標に式変形をしていけばいいのでしょうか？また、その目標を達成するためにどのように式変形をしていけばいいかも教えて欲しいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．複素数平面で，中心がα，半径がｒの円の方程式は

だから

すなわち

の形を目指して変形します．