複素数平面の入試問題

1+i −1−i 3+i −3−i 6−2i

3 i z = w - 6 + 2 i

z = \frac{w - 6 + 2 i}{3 i}

だから

∣ \frac{w - 6 + 2 i}{3 i} - 1 - i ∣= 1

∣ w - 6 + 2 i - 3 i - 3 i^{2} ∣=∣ 3 i ∣

∣ w - 6 + 2 i - 3 i + 3 ∣=∣ 3 i ∣

∣ w - 3 - i ∣= 3

中心は

3 + i

半径

解説やり直す

1 2 3 4 5 6

∣ w - 3 - i ∣= 3

だから
半径は

3

(2)
複素数平面上で，方程式

z \bar{z} - i z + i \bar{z} - 9 = 0

で定まる円の中心を表す複素数はfであり，半径はgである．ただし，iは虚数単位である．

（神奈川大2016年.
［当教材では選択問題に変更］）

（中心）

i −i 3 3i −3i

xy+ax+by+ab=(x+b)(y+a)のような因数分解を思い出しましょう．（xの係数はyの方のかっこ内にあり，yの係数はxの方のかっこ内にあります）

(z + i) (\bar{z} - i) + i^{2} - 9 = 0

∣ z + i ∣^{2} = 10

∣ z + i ∣= \sqrt{10}

中心は

- i

（半径）

\sqrt{3}

9 10

\sqrt{10}

∣ z + i ∣= \sqrt{10}

だから，半径は

\sqrt{10}

(3)
複素数zが|i(z−1)+2|=2を満たすとき，l=|z+3|の最大値はエである．

（芝浦工大2005年.一部引用
［当教材では選択問題に変更］）

1 5

2 \sqrt{5}

2 \sqrt{5} - 2

2 \sqrt{5} + 2

|i(z−1)+2|=2の左辺の括弧内に|-i|=1を掛けてもよいから
|−i2(z−1)−2i|=2

|z−1−2i|=2
zは1+2iを中心とする半径2の円周上を動く．
l=|z+3|は，このzと点−3との距離だから
−3から中心1+2iまでの距離

\sqrt{(1 + 3)^{2} + 2^{2}} = 2 \sqrt{5}

と半径2を加えて

2 \sqrt{5} + 2

が最大

（別解：三角不等式を使う場合の答案）
l=|z+3|=|(z−1−2i)+(1+2i+3)|
≦|z−1−2i|+|1+2i+3|=

2 + 2 \sqrt{5}

等号が成立するのは半径z−1−2iと1+2i+3=4+2iが同じ向きのとき

２点からの距離の比が一定の点の軌跡

次の◎は必ず覚えて覚えておくべきものです．○はどうしてもとは言えませんが，これを知っていると多くの問題で答案の見通しがよくなります．

【要点】

◎(1)　中学校の数学で習ったように，２定点A(α), B(β)からの距離が等しい点P(z)をつないでいくと，ABの垂直二等分線になります．
だから，
|z−α|=|z−β|
を満たす点zの軌跡は，線分ABの垂直二等分線になります．

※この方程式はPAとPBの長さが等しいPA=PBということだけを指定しているので
1) PAやPBの長さは変化する（一定ではない）ことに注意
2) PAとPBは必ずしも一直線上にはなく，ABの中点M以外の点では,AP, PBは折れ線になることに注意

○(2)　高校数学の円の方程式やベクトルのところで習うように，２定点A(α), B(β)からの距離の比が一定である点の軌跡は，アポロニウスの円になります．

　「アポロニウスの円」というのは，変な形の円につけられた名前ではなく，ちゃんとした普通の円であるがアポロニウスという数学者が研究したもので「描き方」につけられた名前
　地中海風スパゲッティという感じで，アポちゃん風の円の描き方と言っているようなもの

　この公式をうまく使うには，次のように３点A, B, Pが一直線上に並ぶ特別な場合，すなわち内分点と外分点を考えるとよい．
m|z−α|=n|z−β|（m≠n, n>0, n>0）
を満たす点zの軌跡は，

２点A, Bをn:mに内分する点と
２点A, Bをn:mに外分する点を
直径の両端とする円になる．

※m=n (gt;0)のときは円にならず，(1)で述べた垂直二等分線になります．

(2)の証明
　A, Bをm:nに内分する点をQ，m:nに外分する点をRとする．
　垂直関係の証明はベクトルの方が簡単なので

\vec{P A} = \vec{a}, \vec{P B} = \vec{b}

とおいて，

\vec{P Q} \cdot \vec{P R} = 0

となることを示せばよい．

\vec{P Q} = \frac{n \vec{a} + m \vec{b}}{m + n}, \vec{P R} = \frac{- n \vec{a} + m \vec{b}}{m - n}

だから

\vec{P Q} \cdot \vec{P R} = \frac{n \vec{a} + m \vec{b}}{m + n} \cdot \frac{- n \vec{a} + m \vec{b}}{m - n}

= \frac{- n^{2} ∣ \vec{a} ∣^{2} - m n \vec{a} \vec{b} + m n \vec{a} \vec{b} + m^{2} ∣ \vec{b} ∣^{2}}{m^{2} - n^{2}}

= \frac{m^{2} ∣ \vec{b} ∣^{2} - n^{2} ∣ \vec{a} ∣^{2}}{m^{2} - n^{2}}

ここで，

∣ \vec{a} ∣ : ∣ \vec{b} ∣= m : n

のとき，分子が０になるから

\vec{P Q} \cdot \vec{P R} = 0

したがって,PはQRを直径の両端とする円周上にある．

※PがQやRに一致するとき，

\vec{P A}

と

\vec{P B}

が垂直だとは（高校では）言わないが，上の内積は０になるので，QやR自体も軌跡に含まれる．

【例題2.1】
複素数平面において，方程式|z+1|=|z−1|を満たす点zの全体はどのような図形か答えよ．

（愛知教育大2016年）

（解答）
２定点A(1), B(−1)からの距離が等しい点の軌跡だから，２点ABの垂直二等分線すなわち虚軸になる．

【例題2.2】
複素数平面において，等式2|z−4|=3|z−3i|を満たす点zの全体はどのような図形を表すか．ただしiは虚数単位とする．

（札幌医科大2016年）

（解答）
２定点からの距離の比が一定（≠1）となる動点の軌跡は，アポロニウスの円になる．
２定点A(4), B(3i)を結ぶ線分２定点ABを3:2に内分する点をQ，3:2に外分する点をRとする．

Q : \frac{2 \times 4 + 3 \times 3 i}{3 + 2} = \frac{8 + 9 i}{5}

R : \frac{- 2 \times 4 + 3 \times 3 i}{3 - 2} = - 8 + 9 i

求める軌跡はQRを直径の両端とする円になる．
中心は，QRの中点

\frac{\frac{8 + 9 i}{5} + (- 8 + 9 i)}{2} = \frac{- 32 + 54 i}{10} = \frac{- 16 + 27 i}{5}

半径は

\frac{Q R}{2}

∣ \frac{Q R}{2} ∣=∣ \frac{\frac{8 + 9 i}{5} - (- 8 + 9 i)}{2} ∣=∣ \frac{48 - 36 i}{10} ∣

=∣ \frac{24 - 18 i}{5} ∣

=∣ \frac{6 (4 - 3 i)}{5} ∣= \frac{6}{5} ∣ 4 - 3 i ∣= \frac{6}{5} \times 5 = 6

したがって

\frac{- 16 + 27 i}{5}

を中心とする半径

6

の円になる．

※答案の中に「アポロニウスの円」という用語を入れることにより，それが教科書や参考書に書いてある公式であることをほのめかし，根拠なしとして減点されるのを防ぐ

【問題２】　選択肢の中から正しい答を選んでください．（クリックする）

(1)
aを実数の定数とする．複素数zが

z \bar{z} - i a \bar{z} + i a z = 1

をみたしながら動くとき，複素数平面上でzの表す点はどのような図形をえがくか．ただし，

\bar{z}

はzに共役な複素数を表す．

（宮城教育大2005年.
[当教材では選択問題に変更]）

円になる
（中心）

i −i a −a ia −ia

(z - i a) (\bar{z} + i a) + i^{2} a^{2} = 1

∣ z - i a ∣^{2} = a^{2} + 1

∣ z - i a ∣= \sqrt{a^{2} + 1}

中心はia

（半径）

1 a2+1 1−a2

\sqrt{a^{2} + 1}

\sqrt{1 - a^{2}}

∣ z - i a ∣= \sqrt{a^{2} + 1}

だから
半径は

\sqrt{a^{2} + 1}

(2)
複素数zが

∣ z - 1 ∣= 2 ∣ z + 1 ∣

をみたしながら動くとき
(i) 複素数平面上でzの表す点はどのような図形をえがくか．

(ii) 複素数平面上で

w = \frac{3 z + 1}{z + 3}

の表す点はどのような図形をえがくか．ただし，z≠−3とする．

（宮城教育大2005年.[当教材では選択問題に変更]）

(i) ２定点からの距離の比が一定（≠1）である動点の軌跡はアポロニウスの円になる．
（中心）

- \frac{7}{3}

−2

- \frac{5}{3}

\frac{1}{3}

２点1, −1を結ぶ線分を2：1に内分する点Qは

\frac{1 \times 1 + 2 \times (- 1)}{2 + 1} = - \frac{1}{3}

２点1, −1を結ぶ線分を2：1に外分する点Rは

\frac{- 1 \times 1 + 2 \times (- 1)}{2 - 1} = - 3

これらQ,Rの中点が円の中心だから

\frac{- \frac{1}{3} + (- 3)}{2} = - \frac{5}{3}

（半径）

\frac{4}{3}

\frac{5}{3}

\frac{5}{6}

\frac{7}{6}

Q,Rの半分が半径だから

∣ \frac{- \frac{1}{3} - (- 3)}{2} ∣= \frac{4}{3}

（別解：

∣ z ∣^{2} = z \bar{z}

の変形を使った答案）

∣ z - 1 ∣^{2} = 2^{2} ∣ z + 1 ∣^{2}

(z - 1) (\bar{z} - 1) = 4 (z + 1) (\bar{z} + 1)

z \bar{z} - z - \bar{z} + 1 = 4 (z \bar{z} + z + \bar{z} + 1)

3 z \bar{z} + 5 z + 5 \bar{z} + 3 = 0

z \bar{z} + \frac{5}{3} z + \frac{5}{3} \bar{z} + 1 = 0

(z + \frac{5}{3}) (\bar{z} + \frac{5}{3}) - \frac{25}{9} + 1 = 0

∣ z + \frac{5}{3} ∣^{2} = \frac{16}{9}

∣ z

したがって，
中心が

- \frac{5}{3}

，半径が

\frac{4}{3}

の円

ii)

実軸（ｘ軸）虚軸（ｙ軸）円

wz+3w=3z+1
(w−3)z=1−3w

z = \frac{1 - 3 w}{w - 3}

これを|z−1|=2|z+1|に代入すると

∣ \frac{1 - 3 w}{w - 3} - 1 ∣= 2 ∣ \frac{1 - 3 w}{w - 3} + 1 ∣

|1−3w−w+3|
=2|1−3w+w−3|
|−4w+4|=2|−2w−2|
4|w−1|=4|w+1|
|w−1|=|w+1|
２点1, −1からの距離が等しい点の軌跡になるから，虚軸

i)の結果：zの軌跡が，中心

- \frac{5}{3}

半径

\frac{4}{3}

の円になることから出発してもよい．

∣ \frac{1 - 3 w}{w - 3} + \frac{5}{3} ∣= \frac{4}{3}

|3(1−3w)+5(w−3)|
=4|w−3|
|−4w−12|=4|w−3|
4|w+3|=4|w−3|
|w+3|=|w−3|
２点−3, 3からの距離が等しい点の軌跡になるから，虚軸

(3)
iを虚数単位とする．複素数zが等式|iz+3|=|2z−6|を満たすとき，次の問いに答えよ．
(1) この等式を満たす点z全体は，どのような図形を表すか答えよ．

（秋田大2016年.[当教材では選択問題に変更]）

２点3, 3iを結ぶ線分の垂直二等分線になる

２点3, 3iを直径の両端とする円になる

中心が4−iで半径が

2 \sqrt{2}

の円になる

中心が4−iで半径が

4 \sqrt{2}

の円になる

左辺の絶対値記号の中に−iを掛けても等式は成り立つ（|−i|=1だから）
|−i2z−3i|=|2z−6|
|z−3i|=2|z−3|
２定点3i, 3からの距離の比が2:1である点の軌跡はアポロニウスの円になる．
3i, 3を2：1に内分する点は

\frac{1 \times 3 i + 2 \times 3}{2 + 1} = 2 + i

3i, 3を2：1に外分する点は

\frac{- 1 \times 3 i + 2 \times 3}{2 - 1} = 6 - 3 i

これらの中点が円の中心になる

\frac{(2 + i) + (6 - 3 i)}{2} = 4 - i

半径は

∣ \frac{(6 - 3 i) - (2 + i)}{2} ∣=∣ 2 - 2 i ∣= 2 \sqrt{2}

（別解：

∣ z ∣^{2} = z \bar{z}

の変形を使った答案）

∣ i z + 3 ∣^{2} =∣ 2 z - 6 ∣^{2}

(i z + 3) (- i \bar{z} + 3) = (2 z - 6) (2 \bar{z} - 6)

- i^{2} z \bar{z} + 3 i z - 3 i \bar{z} + 9 = 4 z \bar{z} - 12 z - 12 \bar{z} + 36

3 z \bar{z} - (12 + 3 i) z + (- 12 + 3 i) \bar{z} + 27 = 0

z \bar{z} - (4 + i) z + (- 4 + i) \bar{z} + 9 = 0

{z - (4 - i)} {\bar{z} - (4 + i)} - (4 - i) (4 + i) + 9 = 0

∣ z - (4 - i) ∣^{2} = 8

∣ z - (4 - i) ∣= 2 \sqrt{2}

したがって，中心が4−iで半径が

2 \sqrt{2}

の円になる

実数であるための条件，純虚数であるための条件

【要点】
(1)　複素数

z

が実数であるための条件は

z = \bar{z}

(2)　複素数

z

が純虚数であるための条件は

z = - \bar{z}, z \neq 0

（解説）

z = a + b i

（ただし，

a, b

は実数）とおくと

\bar{z} = a - b i

(1)

z

が実数ならば

b = 0

だから

\bar{z} = a = z

が成り立つ．

逆に，

\bar{z} = a = z

ならば

a + b i = a - b i

だから

2 b i = 0

b = 0

となって

z

は実数になる．

(2)

z

が純虚数ならば

a = 0

だから

z = b i = - \bar{z}

が成り立つ．
ただし,原点０は虚軸上にもあるが実数として扱うので，純虚数といえるためには

b \neq 0

でなければならない．

逆に，

z = - \bar{z}, z \neq 0

ならば

a + b i = - a + b i

a = 0

z = b i, \bar{z} = - b i

だから

z = - \bar{z}

になる．

【例題3.1】
複素数平面上で，

\frac{(1 - i) (z - 2)}{i z}

が実数となるような点zが描く図形を図示せよ．

（横浜国立大2016年）

（解答）

※一般に複素数の多項式や分数式の共役複素数は，各々の複素数を共役複素数に入れ換えた多項式や分数式に等しい．

\overset{―}{α z^{2} + β z + γ} = \bar{α} {\bar{z}}^{2} + \bar{β} \bar{z} + \bar{γ}

\overset{―}{{\frac{(z - α) (z - β)}{z - γ}}} = \frac{(\bar{z} - \bar{α}) (\bar{z} - \bar{β})}{\bar{z} - \bar{γ}}

この公式は教科書や参考書に通常書かれているので，入試の答案を書くときに黙って使ってもよい．

\frac{(1 - i) (z - 2)}{i z}

が実数となる条件は

z \neq 0

…(i)

\overset{―}{(\frac{(1 - i) (z - 2)}{i z})} = \frac{(1 - i) (z - 2)}{i z}

…(ii)
(ii)より

\frac{(1 + i) (\bar{z} - 2)}{- i \bar{z}} = \frac{(1 - i) (z - 2)}{i z}

i z (1 + i) (\bar{z} - 2) = - i \bar{z} (1 - i) (z - 2)

両辺をi(≠0)で割ると

z (1 + i) (\bar{z} - 2) = - \bar{z} (1 - i) (z - 2)

両辺を1+i(≠0)で割ると

z (\bar{z} - 2) = - \bar{z} (z - 2) \frac{1 - i}{1 + i}

z (\bar{z} - 2) = - \bar{z} (z - 2) \frac{(1 - i)^{2}}{(1 + i) (1 - i)}

z (\bar{z} - 2) = - \bar{z} (z - 2) \frac{1 - 2 i + i^{2}}{2}

z (\bar{z} - 2) = i \bar{z} (z - 2)

z \bar{z} - 2 z = i z \bar{z} - 2 i \bar{z}

(1 - i) z \bar{z} - 2 z + 2 i \bar{z} = 0

両辺を1−i(≠0)で割ると

z \bar{z} - \frac{2}{1 - i} z + \frac{2 i}{1 - i} \bar{z} = 0

z \bar{z} - (1 + i) z + (- 1 + i) \bar{z} = 0

{z - (1 - i)} {\bar{z} - (1 + i)} - (1 + i) (1 - i) = 0

∣ z - (1 - i) ∣^{2} = 2

∣ z - (1 - i) ∣= \sqrt{2}

したがって
点

1 - i

を中心とする半径

\sqrt{2}

の円（ただし，(i)により原点を除く）

（別解）

入試会場では，ほとんどの受験生は上記のように計算する他ないと思われるが，このような計算を目で追っていくのはそれなりに苦痛である．複素数の偏角を考えると，もっと少ない計算量でできる．

\frac{1 - i}{i} = - 1 - i

の偏角は

\frac{5}{4} π

これに

\frac{z - 2}{z}

を掛けると
実数（偏角が0またはπ）になるのだから，

\frac{z - 2}{z}

の偏角は

- \frac{π}{4}

または

\frac{3}{4} π

\frac{β}{α}

の偏角は，αからβまでの角

ところで，動径

z

から

z - 2

に向かう角が一定の場合，中学校で習う円周角の定理の逆で，点

z

は同一円周上にある．

\frac{z - 2}{z}

の偏角が

- \frac{π}{4}

のときは，図のように優弧（長い方の弧）の上にあり，

\frac{3}{4} π

のときは劣弧（短い方の弧）の上にある．

\frac{π}{4} + \frac{3}{4} π = π

だから，この弧は１つの円としてつながっている．

【例題3.2】
異なる複素数α, βに対して，

\frac{z - α}{z - β}

が純虚数となるようなzは，複素数平面上でどのような図形を描くか．

（和歌山県立医大2016年）

（解答）

\frac{z - α}{z - β}

が純虚数となる条件は

\frac{z - α}{z - β} \neq 0

…(i)

\overset{―}{(\frac{z - α}{z - β})} = - \frac{z - α}{z - β}

…(ii)

\frac{z - α}{z - β}

が定義されるためにはz≠β，また(i)よりz≠α…(*1)
(ii)より

\frac{\bar{z} - \bar{α}}{\bar{z} - \bar{β}} = - \frac{z - α}{z - β}

\frac{\bar{z} - \bar{α}}{\bar{z} - \bar{β}} + \frac{z - α}{z - β} = 0

(\bar{z} - \bar{α}) (z - β) + (z - α) (\bar{z} - \bar{β}) = 0

z \bar{z} - z \bar{α} - \bar{z} β + \bar{α} β + z \bar{z} - \bar{z} α - z \bar{β} + α \bar{β} = 0

2 z \bar{z} - (\bar{α} + \bar{β}) z - (α + β) \bar{z} + \bar{α} β + α \bar{β} = 0

z \bar{z} - \frac{\bar{α} + \bar{β}}{2} z - \frac{α + β}{2} \bar{z} + \frac{\bar{α} β + α \bar{β}}{2} = 0

(z - \frac{α + β}{2}) (\bar{z} - \frac{\bar{α} + \bar{β}}{2})

- \frac{(α + β) (\bar{α} + \bar{β})}{4} + \frac{\bar{α} β + α \bar{β}}{2} = 0

∣ z - \frac{α + β}{2} ∣^{2} = \frac{(α + β) (\bar{α} + \bar{β}) - 2 \bar{α} β - 2 α \bar{β}}{4}

= \frac{α \bar{α} + α \bar{β} + \bar{α} β + β \bar{β} - 2 \bar{α} β - 2 α \bar{β}}{4}

= \frac{α \bar{α} - α \bar{β} - \bar{α} β + β \bar{β}}{4}

= \frac{(α - β) (\bar{α} - \bar{β})}{4}

=∣ \frac{α - β}{2} ∣^{2}

∣ z - \frac{α + β}{2} ∣=∣ \frac{α - β}{2} ∣

したがって
α, βの中点

\frac{α + β}{2}

を中心とする半径

∣ \frac{α - β}{2} ∣

の円…(*2)
(*2)より，α, βを直径の両端とする円（ただし，(*)よりα, βを除く）…（答）

\frac{β}{α}

の偏角は，αからβまでの角

（別解）

このような計算を目で追っていくのはそれなりに苦痛である．複素数の偏角を考えると，もっと少ない計算量でできる．

中学校で習う円周角の定理の逆（円周角が直角ならば弦は直径になる）を考える．

z - α

から

z - β

に向かう角が

\frac{π}{2}

になるときは（上側の）半円になり，

- \frac{π}{2}

になるときは（下側の）半円になるから，全体ではα, βを直径の両端とする円になる．ただし(*1)によりα, βは除く．

【問題３】　選択肢の中から正しい答を選んでください．（クリックする．）

読者の操作性を考えて選択問題にしていますが，計算用紙などを使って十分考えてから選んでください．まぐれ当たりでは力は付きません

(1)
２つの複素数w, zが

w = \frac{i z}{z - 2}

を満たしているとする．ただし，iは虚数単位とする．
(1)　複素数平面上で，点zが原点を中心とする半径２の円周上を動くとき，点wはどのような図形を描くか．ただし，z≠2とする．
(2)　複素数平面上で点zが虚軸上を動くとき，点wはどのような図形を描くか．
(3)　複素数平面上で点wが実軸上を動くとき，点zはどのような図形を描くか．

（弘前大2016年.[当教材では選択問題に変更]）

(1) 解説やり直す

点iを通り実軸に平行な直線

\frac{i}{2}

を通り実軸に平行な直線

虚軸

点1を通り虚軸に平行な直線

\frac{i}{2}

を中心とする半径

\frac{1}{2}

の円（点iを除く）

点1を中心とする半径1の円（点2を除く）

(1)

z

について解き直す．

w z - 2 w = i z

(w - i) z = 2 w

z = \frac{2 w}{w - i}

問題の仮定により，

∣ z ∣= 2

だから

∣ \frac{2 w}{w - i} ∣= 2

2 ∣ w ∣= 2 ∣ w - i ∣

∣ w ∣=∣ w - i ∣

したがって，原点と点iを結ぶ線分の垂直二等分線，すなわち点

\frac{i}{2}

を通り実軸に平行な直線

(2) 解説やり直す

点iを通り実軸に平行な直線

点

\frac{i}{2}

を通り実軸に平行な直線

虚軸

点1を通り虚軸に平行な直線

点

\frac{i}{2}

を中心とする半径

\frac{1}{2}

の円（点iを除く）

点1を中心とする半径1の円（点2を除く）

(2)

虚軸上にある条件 ⇔ 純虚数（ただし，０でもよい）
⇔

z + \bar{z} = 0

を使うとよい

w≠i…(*1)

\frac{2 w}{w - i} + \frac{2 \bar{w}}{\bar{w} + i} = 0

2 w (\bar{w} + i) + 2 \bar{w} (w - i) = 0

w (\bar{w} + i) + \bar{w} (w - i) = 0

w \bar{w} + w i + \bar{w} w - \bar{w} i = 0

2 w \bar{w} + w i - \bar{w} i = 0

w \bar{w} + \frac{i}{2} w - \frac{i}{2} \bar{w} = 0

(w - \frac{i}{2}) (\bar{w} + \frac{i}{2}) + \frac{i^{2}}{4} = 0

∣ w - \frac{i}{2} ∣^{2} = \frac{1}{4}

∣ w - \frac{i}{2} ∣= \frac{1}{2}

したがって，点

\frac{i}{2}

を中心とする半径

\frac{1}{2}

の円（点iを除く）

(3) 解説やり直す

点iを通り実軸に平行な直線

\frac{i}{2}

を通り実軸に平行な直線

虚軸

点1を通り虚軸に平行な直線