複素数平面の入試問題

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nが整数のとき
(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ
が成り立つ．

【例】

(\cos \frac{π}{6} + i \sin \frac{π}{6})^{3} = \cos \frac{3 π}{6} + i \sin \frac{3 π}{6}

= \cos \frac{π}{2} + i \sin \frac{π}{2} = i

(1 + i)^{- 5}

→極形式に直す

= {\sqrt{2} (\cos \frac{π}{4} + i \sin \frac{π}{4})}^{- 5}

= (\sqrt{2})^{- 5} (\cos \frac{π}{4} + i \sin \frac{π}{4})^{- 5}

= \frac{1}{4 \sqrt{2}} {\cos (\frac{- 5 π}{4}) + i \sin (\frac{- 5 π}{4})}

= \frac{1}{4 \sqrt{2}} (\frac{- 1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} i)

= - \frac{1}{8} + \frac{1}{8} i

【例題1.1】

z = 1 + \sqrt{3} i

を極形式で表すと，である．これを用いると

z^{12} =

が計算される．

（明星大理工学部2005年）

　元の問題は記述問題やマークシート問題です，このWeb教材では読者の操作性をよくするため選択問題にしています．正しい選択肢をクリックしてください．
　暗算ではできません．必ず計算用紙を使って十分考えてから選んでください．

(1)
虚数単位iに対し，

(\frac{1 + i}{\sqrt{3} + i})^{12}

の値を求めよ．

（高知工科大2016年）

1 + i = \sqrt{2} (\cos \frac{π}{4} + i \sin \frac{π}{4})

\sqrt{3} + i = 2 (\cos \frac{π}{6} + i \sin \frac{π}{6})

だから

\frac{1 + i}{\sqrt{3} + i} = \frac{\sqrt{2} (\cos \frac{π}{4} + i \sin \frac{π}{4})}{2 (\cos \frac{π}{6} + i \sin \frac{π}{6})}

= \frac{1}{\sqrt{2}} {\cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})}

= 2^{- \frac{1}{2}} (\cos \frac{π}{12} + i \sin \frac{π}{12})

したがって

(\frac{1 + i}{\sqrt{3} + i})^{12} = {2^{- \frac{1}{2}} (\cos \frac{π}{12} + i \sin \frac{π}{12})}^{12}

= 2^{- 6} (\cos π + i \sin π) = \frac{1}{64} \times (- 1) = - \frac{1}{64}

※

\frac{1 + i}{\sqrt{3} + i} = \frac{(1 + i) (\sqrt{3} - i)}{2} = \frac{(\sqrt{3} + 1) + (\sqrt{3} - 1) i}{2}

などと変形してしまうと偏角が分からなくなります

→閉じる←

(2)
複素数

(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} + i})^{8}

の実部は⑤，虚部は⑥である．ただし，iは虚数単位である．

（関西大2005年）

極形式で表すと

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} + i} = \frac{\sqrt{2} (\cos 0 + i \sin 0)}{2 (\cos \frac{π}{6} + i \sin \frac{π}{6})} = \frac{1}{\sqrt{2}} {\cos (- \frac{π}{6}) + i \sin (- \frac{π}{6})}

だから

(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} + i})^{8} = {[\frac{1}{\sqrt{2}} {\cos (- \frac{π}{6}) + i \sin (- \frac{π}{6})}]}^{8}

= \frac{1}{16} {\cos (- \frac{8 π}{6}) + i \sin (- \frac{8 π}{6})}

= \frac{1}{16} (- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i) = - \frac{1}{32} + \frac{\sqrt{3}}{32} i

実部は

- \frac{1}{32}

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複素数z=a+biについて，aを実部といい，bを虚部という．
すなわち，「虚部は虚数biではない」「虚部にはアイ（i）はない」←そこに愛はあるんか？おかみさん

虚部は虚数biではない
･･･そのこころは･･･
爪つめにムつめなし，瓜うりにムつめあり
はげに毛なし，はけに毛あり
･･･と言うがごとし･･･

なんてこった！
小峠さんに謝れ！

- \frac{1}{32} + \frac{\sqrt{3}}{32} i

の虚部は

\frac{\sqrt{3}}{32}

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(3)
複素数

α = \frac{\sqrt{3} + i}{\sqrt{3} - i}

に対して，

β = α^{3}

，

γ = α + α^{2} + α^{3} + \dots + α^{100}

とするとき，

β

と

γ

をそれぞれ極形式で表せ．

（大阪府立大工学部2016年）

α = \frac{\sqrt{3} + i}{\sqrt{3} - i} = \frac{2 (\cos \frac{π}{6} + i \sin \frac{π}{6})}{2 {\cos (- \frac{π}{6}) + i \sin (- \frac{π}{6})}}

= \cos {\frac{π}{6} - (- \frac{π}{6})} + i \sin {\frac{π}{6} - (- \frac{π}{6})}

= \cos \frac{π}{3} + i \sin \frac{π}{3}

β = α^{3} = \cos π + i \sin π

→閉じる←

γ = α + α^{2} + α^{3} + \dots + α^{100}

は，初項α，公比α (≠1)，項数100の等比数列の和だから

γ = \frac{α (α^{100} - 1)}{α - 1}

それぞれの複素数を

z_{1} = r_{1} (\cos θ_{1} + i \sin θ_{1})

，

z_{2} = r_{2} (\cos θ_{2} + i \sin θ_{2})

，

z_{3} = r_{3} (\cos θ_{3} + i \sin θ_{3})

のように極形式で表しておくと，

\frac{z_{1} \cdot z_{2}}{z_{3}} = \frac{r_{1} \cdot r_{2}}{r_{3}} {\cos (θ_{1} + θ_{2} - θ_{3}) + i \sin (θ_{1} + θ_{2} - θ_{3})}

のように結果も極形式で表される

α = \cos \frac{π}{3} + i \sin \frac{π}{3}

α^{100} - 1 = \cos \frac{100 π}{3} + i \sin \frac{100 π}{3} - 1

= \cos \frac{4 π}{3} + i \sin \frac{4 π}{3} - 1 = - \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i

= \sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} i)

= \sqrt{3} (\cos \frac{7 π}{6} + i \sin \frac{7 π}{6})

α - 1 = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i - 1 = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i

= \cos \frac{2 π}{3} + i \sin \frac{2 π}{3}

このとき

γ = \frac{(\cos \frac{π}{3} + i \sin \frac{π}{3}) \sqrt{3} (\cos \frac{7 π}{6} + i \sin \frac{7 π}{6})}{\cos \frac{2 π}{3} + i \sin \frac{2 π}{3}}

= \sqrt{3} {\cos (\frac{π}{3} + \frac{7 π}{6} - \frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3} + \frac{7 π}{6} - \frac{2 π}{3})}

= \sqrt{3} (\cos \frac{5 π}{6} + i \sin \frac{5 π}{6})

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2.1
複素数zは実部が

\frac{\sqrt{5} - 1}{4}

，虚部は正で|z|=1である．
(1)

(z + \frac{1}{z})^{2} + (z + \frac{1}{z})

の値を求めよ．
(2)

1 + z + z^{2} + z^{3} + z^{4}

の値を求めよ．
(3) zの偏角θを求めよ．ただし，0≦θ<2πとする．

（福岡教育大2016年）

z = \frac{\sqrt{5} - 1}{4} + b i

（bは実数）とおくと

\bar{z} = \frac{\sqrt{5} - 1}{4} - b i

このとき

z + \frac{1}{z} = z + \frac{\bar{z}}{z \bar{z}}

ここで|z|=1であるから

z \bar{z} = 1

z + \frac{1}{z} = z + \frac{\bar{z}}{z \bar{z}} = z + \bar{z} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}

(z + \frac{1}{z})^{2} + (z + \frac{1}{z}) = (z + \frac{1}{z}) (z + \frac{1}{z} + 1)

= \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{5 - 1}{4} = 1

→閉じる←

(1)の結果から

(z + \frac{1}{z})^{2} + (z + \frac{1}{z}) = 1

の両辺に

z^{2} (\neq 0)

を掛けると

z^{4} + 2 z^{2} + 1 + z^{3} + z = z^{2}

z^{4} + z^{3} + z^{2} + z + 1 = 0

→閉じる←

(2)の結果から

1 + z + z^{2} + z^{3} + z^{4} = 0

この式は初項1，公比z (≠1)，項数5の等比数列の和だから次の形に書ける．

\frac{z^{5} - 1}{z - 1} = 0

したがってz5=1
ここでz=cosθ+isinθとおくと

z^{5} = \cos 5 θ + i \sin 5 θ = 1

0≦θ<2πで実部，虚部とも正だから0<θ<

\frac{π}{2}

したがって0<5θ<

\frac{5 π}{2}

この範囲で5θ=2kπ（kは整数）となるのは

5 θ = 2 π

θ = \frac{2 π}{5}

→閉じる←

2.2
iを虚数単位とし，

z = \cos \frac{2 π}{5} + i \sin \frac{2 π}{5}

とおく．
(1)

z^{5}

および

z^{4} + z^{3} + z^{2} + z + 1

の値を求めよ．

(2)

t = z + \frac{1}{z}

とおく．

t^{2} + t

の値を求めよ．
(3)

\cos \frac{2 π}{5}

の値を求めよ．
(4) 半径1の円に内接する正五角形の１辺の長さの２乗を求めよ．

（琉球大2016年）

ド・モアブルの定理により

z^{5} = \cos 2 π + i \sin 2 π = 1

→閉じる←

1 + z + z^{2} + z^{3} + z^{4}

は，初項1，公比z (≠1)，項数5の等比数列の和だから

1 + z + z^{2} + z^{3} + z^{4} = \frac{z^{5} - 1}{z - 1}

上記の結果から

z^{5} = 1

だから

1 + z + z^{2} + z^{3} + z^{4} = \frac{z^{5} - 1}{z - 1} = 0

→閉じる←

z^{4} + z^{3} + z^{2} + z + 1 = 0

の両辺を

z^{2} (\neq 0)

で割ると

z^{2} + z + 1 + \frac{1}{z} + \frac{1}{z^{2}} = 0

…(*1)

t = z + \frac{1}{z}

とおくと

t^{2} + t = (z + \frac{1}{z})^{2} + (z + \frac{1}{z})

= z^{2} + 2 + \frac{1}{z^{2}} + z + \frac{1}{z}

= (z^{2} + z + 1 + \frac{1}{z} + \frac{1}{z^{2}}) + 1 = 1

→閉じる←

t^{2} + t = 1

より解の公式を用いると

t = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2}

また

t = z + \frac{1}{z} = z + \frac{\bar{z}}{z \bar{z}} = z + \bar{z} = 2 \cos \frac{2 π}{5} > 0

だから

t = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2} = 2 \cos \frac{2 π}{5}

よって

\cos \frac{2 π}{5} = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{4}

→閉じる←

正五角形の１辺の長さをLとおくと，余弦定理により

L^{2} = 1^{2} + 1^{2} - 2 \times 1 \times 1 \times \cos \frac{2 π}{5}

= 2 - \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{5 - \sqrt{5}}{2}

→閉じる←

問題2.1(福岡教育大2016年の問題)の(2)ですが、答えは0なのに、0をクリックすると×になり、-1をクリックすると〇になります。ミスではないでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

２－２（４）の解答について確認をお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．百里の道は九十九里が半ばと言われ，九十九里になると判で押したように疲れが出るのは歳のせいか．訂正しました．

丁寧な作り、びっくりします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．連絡をもらうとその頁を見るようにしていますが，ブラウザ(IEなど)によっては空欄の枠が表示されない場合があるようですので，ついでに訂正しておきました．

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