 ...（携帯版）メニューに戻る...(ＰＣ版)メニューに戻る*** 科目 *** 数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度 *** 単元 *** 複素数平面二次曲線媒介変数表示と極座標 数列の極限関数導関数不定積分定積分 行列1次変換 ※高校数学Ⅲの「複素数平面」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください． が現在地です． ↓複素数平面 ↓回転と拡大 ↓点Ａの周りの回転 ↓三角形の形状問題 ↓ド・モアブルの定理 ↓ド・モアブルの定理(入試問題) ↓複素数で表される軌跡の方程式 ↓同(2) ↓複素数の１次結合が表す図形 ↓内分点・外分点 ↓２直線の交点 ↓内分点の内分点 ↓２直線の平行条件・垂直条件-現在地 ↓複素数平面の入試問題1 ↓複素数平面の入試問題2 ↓複素数平面の入試問題3 複素数平面の入試問題4 |
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【２直線の平行条件】
（解説）複素数平面上に４点A(z1 ), B(z2 ), C(z3 ), D(z4 ) があるとき，AB//CDとなるための条件は z4−z3=k(z2−z1 )
となる実数kが存在すること．
k>0のときは同じ向きに平行
k<0のときは逆向きに平行
 また，AB//CDならば，このような実数kが必ず定まります．  z4−z3z2−z1=（実数）と考えてもよい．
【３点が１直線上にあるための条件】
（解説）複素数平面上に３点A(z1 ), B(z2 ), C(z3 )があるとき，これらの３点が１直線上にあるための条件は z3−z1=k(z2−z1 )
となる実数kが存在すること．
0<k<1のときはA,C,Bの順に並ぶ
k>1のときはA,B,Cの順に並ぶ
k<0のときはC,A,Bの順に並ぶ
 なお，赤で示したようにABを引き延ばして（または縮めて）ACに重ならなければ１直線上になく，１直線上になければABを引き延ばして（または縮めて）ACに重ならない． z3−z1z2−z1=（実数）と考えてもよい．
【例１】
複素数平面上の４点A(−1+i), B(1+4i), C(3+3i), D(1+yi)について，AB//CDとなるように，実数yの値を定めてください．  （解答）AB : 2+3i , CD : −2+(y−3)iだから AB//CDとなるためには 2+3i=k{ −2+(y−3)i } となることが条件となる． 2=−2k , 3=k(y−3) より y=0 (k=−1)…（答） |
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【例２】
複素数平面上の３点A(1+3i), B(i), C(x−i)が１直線上にあるように，実数xの値を定めてください．  （解答）AB : −1−2i , AC : (x−1)−4iだから (x−1)−4i=k(−1−2i) となることが条件となる． x−1=−k , −4=−2k より x=−1 (k=2)…（答） |
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【２直線の垂直条件】
（解説）複素数平面上に４点A(z1 ), B(z2 ), C(z3 ), D(z4 ) があるとき，AB⊥CDとなるための条件は z4−z3=ki(z2−z1 )
となる実数kが存在すること．
 i(z2−z1 ) はABを反時計回りに回転したものになる． したがって， ア） k>0のときは，反時計回りに回転して拡大縮小したものがCDと一致する． イ） k<0のときは，時計回りに回転して拡大縮小したものがCDと一致する． いずれの場合も， z4−z3=ki(z2−z1 ) （kは実数） となれば，AB⊥CDとなる． z4−z3z2−z1=（純虚数）と考えてもよい．
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【例３】
複素数平面上の３点A(i), B(3+2i), C(x)について，AC⊥BCとなるように，実数xの値を定めてください．  （解答）AC : x−i , BC : (x−3)−2iだから (x−3)−2i=ki(x−i) （kは実数） となることが条件となる． x−3=k , −2=kx −2=(x−3)x x2−3x+2=0 (x−1)(x−2)=0 x=1, 2 より x=1, 2 (k=−2, −1)…（答） |
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【例４】
複素数平面上の３点A(z1 ), B(z2 ), C(z3 )について， z3−z1=(1+i)(z2−z1) が成り立つとき，AB⊥BCとなることを示してください．  （解答）BC : z3−z2 に，z3=(1+i)(z2−z1 )+z1=(1+i)z2−iz1 を代入すると z3−z2=(1+i)z2−iz1−z2 =iz2−iz1=i(z2−z1 ) となるから AB : z2−z1 を90°回転したものがBC : z3−z2になる． |
| 【問題】 |
AB : 2+i , CD : 1−2i 2+i1−2i=(2+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=i （＝純虚数）だから AB//CDは不成立 AB⊥CDは成立 AC : 2 , BD : 1−3i 21−3i=2(1+3i)(1−3i)(1+3i)=1+3i5 （≠実数，≠純虚数）だから AC//BDは不成立 AC⊥BDは不成立 |
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AB : −2+3i , CD : 4+(y−3)i だから 4+(y−3)i=k(−2+3i) より 4=−2k , y−3=3k y=−3 (k=−2)…（答） |
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AB : −2+3i , CD : (x+2)+2i だから (x+2)+2i=ki(−2+3i)=−3k−2ki より x+2=−3k , 2=−2k x=1 (k=−1)…（答） |
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AB : 5−5i , AC : (x+1)−i だから (x+1)−i=k(5−5i)=5k−5ki となるには x+1=5k , −1=−5k x=0 (k= 15)…（答）
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(5)複素数平面上の３点A(z1 ), B(z2 ), C(z3 )について，
z3−z1=(1+ √3i)(z2−z1)が成り立つとき，次のうち正しいものを選んでください． 解説 ３点A,B,Cは１直線上にある AB⊥BC AC⊥CB BA⊥AC |
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z3=(1+√3i)(z2−z1)+z1=(1+√3i)z2−√3iz1 を代入すると z3−z2= √3i(z2−z1)となるから AB⊥BC…（答） |
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AC⊥BCとなればよい． AC : (x+2)−2i BC : (x−4)−4i だから (x−4)−4i=ki{ (x+2)−2i }=2k+(x+2)ki より x−4=2k , −4=(x+2)k x=2k+4を代入してkの２次方程式を解くと −4=(2k+4+2)k k2+3k+2=0 (k+1)(k+2)=0 k=−1, −2 このとき x=2 , 0 |
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