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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 単元 ***
複素数平面二次曲線媒介変数表示と極座標
数列の極限関数導関数不定積分定積分
行列1次変換

※高校数学Ⅲの「複素数平面」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．
↓複素数平面
↓回転と拡大
↓点Ａの周りの回転
↓三角形の形状問題-現在地
↓ド・モアブルの定理
↓ド・モアブルの定理(入試問題)
↓複素数で表される軌跡の方程式
↓同(2)
↓複素数の１次結合が表す図形
↓内分点・外分点
↓２直線の交点
↓内分点の内分点
↓２直線の平行条件・垂直条件
↓複素数平面の入試問題1
↓複素数平面の入試問題2
↓複素数平面の入試問題3
複素数平面の入試問題4

○この頁では，それぞれの問題の結果を暗記することはお勧めしない．
○いろいろな問題を処理する中で「考え方や変形の仕方を身に付ける」ことが目標です．

２つの複素数の商（割り算）を極形式で書くと
${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }=\frac{r_2(\cos {\theta }_2+i\sin {\theta }_2)}{r_1(\cos {\theta }_1+i\sin {\theta }_1)}}$
${\displaystyle =\frac{r_2}{r_1}\{\cos ({\theta }_2-{\theta }_1)+i\sin ({\theta }_2-{\theta }_1)\}}$
A(α)からB(β)へ移るときの「辺の長さの比」と「回転角」が分かる．

【例題1.1】
　３点O, A(α), B(β)を頂点とする△OABについて
${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }=1+i}$
が成り立つとき△OABはどのような形の三角形か述べよ．

この問題に答えるためには，辺の比が1：${\displaystyle \sqrt{2}}$で，その間の角度が45°のときは，「1：1：${\displaystyle \sqrt{2}}$の直角二等辺三角形になる」という中学校数学の基本が前もって分かっていなければなりません．
このことに気づかない場合は，
${\displaystyle \beta =(1+i)\alpha }$
${\displaystyle \beta -\alpha =i\alpha }$
${\displaystyle |\beta -\alpha |=|i\alpha |=|\alpha |}$
などと，AB間の距離も求める必要があります．

≪参考≫
そもそも，複素数で書かれた１つの等式は，実数で書かれた２つの等式と同値になります．

○1　実部，虚部で書けば

○2　極形式で書けば
r1(cosα+isinα)=r2(cosβ+isinβ)
(r1, r2>0, 0≦α, β<2π)
↓↑
r1=r2
α=β

　直角二等辺三角形となるための条件は，実数（大きさ）を用いて
|α|=|β|…(*1)
|α|2+|β|2=|β−α|2…(*2)
のように連立方程式で書いてもよいはずです．（問題の形によってはこの形の方が使いやすい場合もある）

(*1)(*2)と(2)とは次のようにつながる．
(*1)を(*2)に代入すると
2|α|2=|β−α|2
${\displaystyle |\beta -\alpha |=\sqrt{2}|\alpha |}$
${\displaystyle |\frac{\beta }{\alpha }-1|=\sqrt{2}}$…(*3)
(*1)(*2)←→(*1)(*3)であるが，(*1)(*3)は${\displaystyle z=\frac{\beta }{\alpha }}$が原点を中心とする半径1の円周上にあり，かつ，点1を中心とする半径${\displaystyle \sqrt{2}}$の円周上にあるという２つの条件で表されることを示している．
　これは，上記(i)で述べた
${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }=\pm i}$
を２つに分けて述べていることになる．

※以下の問題では，画面上で答えやすいように選択問題にしていますが，計算用紙を使ってよく考えてから正しい選択肢をクリックしてください．
　なお，試験問題では単に「二等辺三角形」と答えるだけでは不十分で「ＡＢ＝ＢＣの二等辺三角形」などと答えなければなりませんが，選択肢は省略形になっています．詳しくは解説に書いたように答えるのが普通です．

　３点O, A(α), B(β)を頂点とする△OABについて
${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }=1\pm \sqrt{3}i}$
が成り立つとき△OABはどのような形の三角形か述べよ．

解説 やり直す

二等辺三角形 直角三角形 直角二等辺三角形 正三角形

${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }=1\pm \sqrt{3}i=2(\cos {60}^{\circ }\pm i\sin {60}^{\circ })}$
と変形すると，${\displaystyle \frac{OB}{OA}=2}$，∠AOB=60°になるから
「${\displaystyle OA:AB:BO=1:\sqrt{3}:2}$の直角三角形」…（答）

(2)
　３点O, A(α), B(β)を頂点とする△OABについて
${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }=\frac{1\pm \sqrt{3}i}{2}}$
が成り立つとき△OABはどのような形の三角形か述べよ．

解説 やり直す

二等辺三角形 直角三角形 直角二等辺三角形 正三角形

${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }=\frac{1\pm \sqrt{3}i}{2}=\cos {60}^{\circ }\pm i\sin {60}^{\circ }}$
と変形すると，${\displaystyle \frac{OB}{OA}=1\to OB=OA}$，∠AOB=60°になるから
正三角形…（答）

≪参考≫
そもそも，複素数で書かれた１つの等式は，実数で書かれた２つの等式と同値になります．

　正三角形となるための条件は，実数（大きさ）を用いて
|α|=|β|…(*1)
|α|=|β−α|…(*2)
のように連立方程式で書いてもよいはずです．（問題の形によってはこの形の方が使いやすい場合もある）
(*1)の両辺を|α|で割ると
${\displaystyle |\frac{\beta }{\alpha }|=1}$…(*3)
(*2)の両辺を|α|で割ると
${\displaystyle |\frac{\beta }{\alpha }-1|=1}$…(*4)
(*1)(*2)←→(*3)(*4)であるが，(*3)(*4)は${\displaystyle z=\frac{\beta }{\alpha }}$が原点を中心とする半径1の円周上にあり，かつ，点1を中心とする半径1の円周上にあるという２つの条件で表されることを示している．
　したがって，(*1)(*2)の２つに分けて述べている事柄は
${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }=\frac{1\pm \sqrt{3}i}{2}}$
の１つで述べられる事柄と同じになる．（いずれも三角形ができるためには，α,β≠0が前提となっている）

【例題1.2】
　３点A(α), B(β), C(γ)を頂点とする△ABCについて
${\displaystyle \frac{\alpha -\beta }{\gamma -\beta }=\pm i}$
が成り立つとき△ABCはどのような形の三角形か述べよ．

(1)
　３点A(z1), B(z2), C(z3)を頂点とする△ABCについて
${\displaystyle \frac{z_3-z_1}{z_2-z_1}=\frac{1\pm \sqrt{3}i}{4}}$
が成り立つとき△ABCはどのような形の三角形か述べよ．

解説 やり直す

∠A=90°の直角三角形 ∠B=90°の直角三角形 ∠C=90°の直角三角形 ∠A=120°の二等辺三角形 ∠B=120°の二等辺三角形 ∠C=120°の二等辺三角形 正三角形

${\displaystyle \frac{z_3-z_1}{z_2-z_1}=\frac{1\pm \sqrt{3}i}{4}=\frac{1}{2}(\cos {60}^{\circ }\pm i\sin {60}^{\circ })}$
と変形すると，${\displaystyle \frac{CA}{BA}=\frac{1}{2}}$，∠CAB=60°になるから「${\displaystyle CA:AB:BC=1:2:\sqrt{3}}$の直角三角形」
∠C=90°の直角三角形…（答）

(2)
　３点A(z1), B(z2), C(z3)を頂点とする△ABCについて
${\displaystyle \frac{z_3-z_1}{z_2-z_3}=\frac{1\pm \sqrt{3}i}{2}}$
が成り立つとき△ABCはどのような形の三角形か述べよ．

解説 やり直す

∠A=60°の直角三角形 ∠B=60°の直角三角形 ∠C=60°の直角三角形 ∠A=120°の二等辺三角形 ∠B=120°の二等辺三角形 ∠C=120°の二等辺三角形 正三角形

２つの辺のなす角を考えるとき，（ベクトルの用語でいえば）始点をそろえた方が図形をイメージしやすくなります．
z3−z1とz2−z3のままでは，始点がそろっていませんが，
z1−z3とz2−z3にすると始点がz3にそろいます．
${\displaystyle \frac{z_1-z_3}{z_2-z_3}=\frac{-1\mp \sqrt{3}i}{2}}$
${\displaystyle =\cos {120}^{\circ }\mp i\sin {120}^{\circ }}$
だから，CA=CB，∠ACB=120°になる．（時計回りの場合と反時計回りの場合がある）
∠C=120°の二等辺三角形…（答）

(3)
　３点A(α), B(β), C(γ)を頂点とする△ABCについて
${\displaystyle \frac{\alpha -\beta }{\beta -\gamma }=-1\pm i}$
が成り立つとき△ABCはどのような形の三角形か述べよ．

解説 やり直す

∠A=90°の直角二等辺三角形 ∠B=90°の直角二等辺三角形 ∠C=90°の直角二等辺三角形 ∠A=135°の二等辺三角形 ∠B=135°の二等辺三角形 ∠C=135°の二等辺三角形 正三角形

２つの辺のなす角を考えるとき，（ベクトルの用語でいえば）始点をそろえた方が図形をイメージしやすくなります．
α−βとβ−γのままでは，始点がそろっていませんが，
α−βとγ−βにすると始点がβにそろいます．
${\displaystyle \frac{\alpha -\beta }{\gamma -\beta }=1\mp i}$
${\displaystyle =\sqrt{2}(\cos {45}^{\circ }\pm i\sin {45}^{\circ })}$
だから，${\displaystyle BA=\sqrt{2}BC}$，∠ABC=45°になる．
したがって∠C=90°の直角二等辺三角形…（答）
（時計回りの場合と反時計回りの場合がある）

${\displaystyle z}$に関する２次方程式を解の公式を使って解くと
${\displaystyle a{z}^2+bz+c=0}$
${\displaystyle \to z=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

同様にして，${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}$に関する２次方程式を解の公式を使って解くと
${\displaystyle a(\frac{\beta }{\alpha }{)}^2+b(\frac{\beta }{\alpha })+c=0}$
${\displaystyle \to \frac{\beta }{\alpha }=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$
のように表せるから，${\displaystyle \beta ,\alpha }$の「拡大比と回転角」が分かり，三角形の形状について手がかりがつかめる．

【例題2.1】
　３点O, A(α), B(β)を頂点とする△OABについて
${\displaystyle {\alpha }^2+{\beta }^2=0}$
が成り立つとき△OABはどのような形の三角形か述べよ．

(1)
　３点O(0), A(α), B(β)を頂点とする△OABについて
${\displaystyle {\alpha }^2-\alpha \beta +{\beta }^2=0}$
が成り立つとき△OABはどのような形の三角形か述べよ．

解説 やり直す

∠OAB=90°の直角三角形 ∠ABO=90°の直角三角形 ∠AOB=90°の直角三角形 ∠OAB=120°の二等辺三角形 ∠ABO=120°の二等辺三角形 ∠AOB=120°の二等辺三角形 正三角形

三角形だからα, β≠0, α≠β．両辺をα2で割ると
${\displaystyle (\frac{\beta }{\alpha }{)}^2-(\frac{\beta }{\alpha })+1=0}$
２次方程式の解の公式を使って解くと
${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }=\frac{1\pm \sqrt{3}i}{2}=\cos {60}^{\circ }\pm i\sin {60}^{\circ }}$
OA=OB, ∠AOB=60°になるから正三角形…（答）
（A,O,Bの向きは時計回りの場合と反時計回りの場合がある）

(2)
　３点O(0), A(α), B(β)を頂点とする△OABについて
${\displaystyle {\alpha }^2-2\alpha \beta +4{\beta }^2=0}$
が成り立つとき△OABはどのような形の三角形か述べよ．

解説 やり直す

∠OAB=90°の直角三角形 ∠ABO=90°の直角三角形 ∠BOA=90°の直角三角形 OA=OBの二等辺三角形 AB=AOの二等辺三角形 BO=BAの二等辺三角形 正三角形

三角形だからα, β≠0, α≠β．両辺をβ2で割ると
${\displaystyle (\frac{\alpha }{\beta }{)}^2-2(\frac{\alpha }{\beta })+4=0}$
２次方程式の解の公式を使って解くと
${\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }=1\pm \sqrt{3}i=2(\cos {60}^{\circ }\pm i\sin {60}^{\circ })}$
OA=2OB, ∠AOB=60°になる
「${\displaystyle OA:AB:BO=2:\sqrt{3}:1}$（∠OBA=90°）の直角三角形」…（答）
（A,O,Bの向きは時計回りの場合と反時計回りの場合がある）

(3)
　３点O(0), A(α), B(β)を頂点とする△OABについて
${\displaystyle {\alpha }^2+\sqrt{2}\alpha \beta +{\beta }^2=0}$
が成り立つとき△OABはどのような形の三角形か述べよ．

解説 やり直す

∠OAB=90°の直角三角形 ∠ABO=90°の直角三角形 ∠BOA=90°の直角三角形 OA=OBの二等辺三角形 AB=AOの二等辺三角形 BO=BAの二等辺三角形 正三角形

三角形だからα, β≠0, α≠β．両辺をβ2で割ると
${\displaystyle (\frac{\alpha }{\beta }{)}^2+\sqrt{2}(\frac{\alpha }{\beta })+1=0}$
２次方程式の解の公式を使って解くと
${\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }=\frac{-\sqrt{2}\pm \sqrt{-2}}{2}}$
${\displaystyle =\frac{-\sqrt{2}\pm \sqrt{2}i}{2}=\frac{-1\pm i}{\sqrt{2}}=(\cos {135}^{\circ }\pm i\sin {135}^{\circ })}$
OA=OB, ∠AOB=135°になる
OA=OB, ∠AOB=135°の二等辺三角形…（答）
（A,O,Bの向きは時計回りの場合と反時計回りの場合がある）

【例題2.2】
　３点A(α), B(β), C(γ)を頂点とする△ABCについて
${\displaystyle {\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2-\alpha \beta -\beta \gamma -\gamma \alpha =0}$
が成り立つとき△ABCはどのような形の三角形か述べよ．

上記の例題2.1では原点Oを中心とする回転・拡大を考えたが，この問題のように3点が与えられたときは，いずれか１つの頂点，例えばA(α)を中心とする回転・拡大を考えるとよい．そのためには，β, γの代わりにβ−α, γ−αを使って表せばよい． β2=(β−α)2+2βα−α2
γ2=(γ−α)2+2γα−α2
などを試してみるのも一つの手です．

(1)
　３点A(α), B(β), C(γ)を頂点とする△ABCについて
${\displaystyle {\alpha }^2+2{\beta }^2+{\gamma }^2-2\alpha \beta -2\beta \gamma =0}$
が成り立つとき△ABCはどのような形の三角形か述べよ．

解説 やり直す

∠A=90°の直角二等辺三角形 ∠B=90°の直角二等辺三角形 ∠C=90°の直角二等辺三角形 AB=BCの二等辺三角形 BC=CAの二等辺三角形 CA=ABの二等辺三角形 正三角形

${\displaystyle (\alpha -\beta {)}^2+(\gamma -\beta {)}^2=0}$
三角形だからα−β≠0．両辺を(α−β)2で割ると
${\displaystyle 1+(\frac{\gamma -\beta }{\alpha -\beta }{)}^2=0}$
${\displaystyle (\frac{\gamma -\beta }{\alpha -\beta }{)}^2=-1}$
${\displaystyle \frac{\gamma -\beta }{\alpha -\beta }=\pm i=\cos {90}^{\circ }\pm i\sin {90}^{\circ }}$
BA=BC, ∠B=90°になるから∠B=90°の直角二等辺三角形…（答）
（A,B,Cの向きは時計回りの場合と反時計回りの場合がある）

(2)
　３点A(α), B(β), C(γ)を頂点とする△ABCについて
${\displaystyle 3{\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2-3\alpha \beta +\beta \gamma -3\gamma \alpha =0}$
が成り立つとき△ABCはどのような形の三角形か述べよ．

解説 やり直す

∠A=90°の直角二等辺三角形 ∠B=90°の直角二等辺三角形 ∠C=90°の直角二等辺三角形 AB=AC, ∠A=120°の二等辺三角形 BC=BA, ∠A=120°の二等辺三角形 CA=CB, ∠A=120°の二等辺三角形 正三角形

${\displaystyle 3{\alpha }^2+(\beta -\alpha {)}^2+2\alpha \beta -{\alpha }^2+(\gamma -\alpha {)}^2+2\alpha \gamma -{\alpha }^2}$
${\displaystyle -3\alpha \beta +\beta \gamma -3\gamma \alpha =0}$
${\displaystyle (\beta -\alpha {)}^2+(\gamma -\alpha {)}^2+{\alpha }^2-\alpha \beta -\gamma \alpha +\beta \gamma =0}$
${\displaystyle (\beta -\alpha {)}^2+(\gamma -\alpha {)}^2+(\beta -\alpha )(\gamma -\alpha )=0}$
三角形だからβ−α≠0．両辺を(β−α)2で割ると
${\displaystyle (\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }{)}^2+(\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha })+1=0}$
解の公式を使って解くと
${\displaystyle \frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }=\frac{-1\pm \sqrt{3}i}{2}=\cos {120}^{\circ }\pm i\sin {120}^{\circ }}$
AB=AC, ∠A=120°になるから∠A=120°の二等辺三角形…（答）
（A,B,Cの向きは時計回りの場合と反時計回りの場合がある）

${\displaystyle z=a+bi,\overline{z}=a-bi}$（ただしz≠0，a, bは実数）とすると
(1) ${\displaystyle z=-\overline{z}}$ならばzは純虚数
(2) ${\displaystyle z=\overline{z}}$ならばzは実数

【例題3.1】
　３点O(0), A(α), B(β)を頂点とする△OABについて
${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }+\frac{\overline{\beta }}{\overline{\alpha }}=0}$
が成り立つとき△OABはどのような形の三角形か述べよ．

この問題は，この頁でここまで扱ってきた問題と少し違う点があることに注意．すなわち，ここまでの問題は「三角形の形が決まる」（大きさまでは決まらない）のに対して，この問題は三角形の形が完全には決まらない（不定の要素があります）．

詳しくは次の備考で示すこととして，
${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }+\frac{\overline{\beta }}{\overline{\alpha }}=0}$
の関係が成り立つとき，△OABが直角三角形になることを「長さを使って==三平方の定理で」証明してみると次のようになります．
（${\displaystyle \alpha \ne 0}$のとき）
${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }+\frac{\overline{\beta }}{\overline{\alpha }}=0\leftarrow \to \alpha \overline{\beta }+\overline{\alpha }\beta =0}$…(*1)
${\displaystyle O{B}^2+O{A}^2-A{B}^2=|\alpha {|}^2+|\beta {|}^2-|\beta -\alpha {|}^2}$
${\displaystyle =\alpha \overline{\alpha }+\beta \overline{\beta }-(\beta -\alpha )(\overline{\beta }-\overline{\alpha })}$
${\displaystyle =\alpha \overline{\alpha }+\beta \overline{\beta }-\beta \overline{\beta }+\alpha \overline{\beta }+\overline{\alpha }\beta -\alpha \overline{\alpha }}$
${\displaystyle =\alpha \overline{\beta }+\overline{\alpha }\beta }$…(*2)
(*1)(*2)を比較すると，
${\displaystyle \alpha \overline{\beta }+\overline{\alpha }\beta =0\leftarrow \to O{B}^2+O{A}^2=A{B}^2}$

≪参考≫
そもそも，複素数で書かれた１つの等式は，実数で書かれた２つの等式と同値になります．

中学校で習ったように三角形の決定条件は「３辺の長さが与えられること」「２辺とその間の角が与えられること」「１辺とその両端の角が与えられること」ですが，これらを表すためには，いずれも３つの等式が必要になります．

このうち２つだけが決まる場合には「２辺の比とその間の角は分かるが，辺の長さまでは決まらない」のように形は決まるが大きさまでは決まらない，たとえば相似図形であるための条件が指定されていることになります．

これに対して，（実数の内容として）１つだけ等式が与えられた場合には，さらに形も定まらないことがあります．

(1)
　３点O(0), A(α), B(β)を頂点とする△OABについて
${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }+\frac{\overline{\beta }}{\overline{\alpha }}=2}$
が成り立つとき△OABはどのような形の三角形か述べよ．

解説 やり直す

∠OAB=90°の直角三角形 ∠ABO=90°の直角三角形 ∠BOA=90°の直角三角形 OA=ABの二等辺三角形 AB=BOの二等辺三角形 BO=OAの二等辺三角形 正三角形

${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }=a+bi}$とおく（△OABは三角形だからα,β≠0）
${\displaystyle \overline{(\frac{\beta }{\alpha })}=\frac{\overline{\beta }}{\overline{\alpha }}=a-bi}$
${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }+\frac{\overline{\beta }}{\overline{\alpha }}=2a=2}$
したがって
a=1（bは任意の実数，ただしb=0ならα=βとなって三角形にならないからb≠0）
${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }=1+bi}$
右図のようにOA:OB=1:${\displaystyle \sqrt{1+b^2}}$, ∠OAB=90°の直角三角形になります．
（別解）三平方の定理を使って証明する場合
${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }+\frac{\overline{\beta }}{\overline{\alpha }}=2}$ならば${\displaystyle \alpha \overline{\beta }+\overline{\alpha }\beta =2\alpha \overline{\alpha }}$
このとき
${\displaystyle |\alpha {|}^2+|\beta -\alpha {|}^2-|\beta {|}^2}$
${\displaystyle =\alpha \overline{\alpha }+(\beta -\alpha )(\overline{\beta }-\overline{\alpha })-\beta \overline{\beta }}$
${\displaystyle =\alpha \overline{\alpha }+\beta \overline{\beta }-\alpha \overline{\beta }-\overline{\alpha }\beta +\alpha \overline{\alpha }-\beta \overline{\beta }}$
${\displaystyle =2\alpha \overline{\alpha }-\alpha \overline{\beta }-\overline{\alpha }\beta =0}$
だから∠OAB=90°の直角三角形
（別解）複素数を使って垂直であることを証明する場合
${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }=1+bi}$
のとき
${\displaystyle \frac{\beta -\alpha }{\alpha }=\frac{\beta }{\alpha }-1=bi}$は純虚数となるから
OA⊥AB

(2)
　３点O(0), A(α), B(β)を頂点とする△OABについて
${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }+\frac{\overline{\beta }}{\overline{\alpha }}=1}$
が成り立つとき△OABはどのような形の三角形か述べよ．

解説 やり直す

∠OAB=90°の直角三角形 ∠ABO=90°の直角三角形 ∠BOA=90°の直角三角形 OA=ABの二等辺三角形 AB=BOの二等辺三角形 BO=OAの二等辺三角形 正三角形

${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }=a+bi}$とおく（△OABは三角形だからα, β≠0）
${\displaystyle \overline{(\frac{\beta }{\alpha })}=\frac{\overline{\beta }}{\overline{\alpha }}=a-bi}$
${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }+\frac{\overline{\beta }}{\overline{\alpha }}=2a=1}$
したがって
${\displaystyle a=\frac{1}{2}}$
${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }=\frac{1}{2}+bi}$
$\beta =\frac{1}{2}\alpha +bi\times \alpha$
（OAの中点：$\beta =\frac{1}{2}\alpha$まで行ってから，$\alpha$に垂直な複素数$bi\times \alpha$を足す）
（bは任意の実数，ただしb=0ならα=2βとなって三角形にならないからb≠0）
右図のようにOAの中点から垂直な直線上にBがあることになり，OB=ABの二等辺三角形になります．
（別解）複素数の長さを使って証明する場合
${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }+\frac{\overline{\beta }}{\overline{\alpha }}=1}$ならば${\displaystyle \alpha \overline{\beta }+\overline{\alpha }\beta =\alpha \overline{\alpha }}$
このとき
${\displaystyle |\beta -\alpha {|}^2-|\beta {|}^2}$
${\displaystyle =(\beta -\alpha )(\overline{\beta }-\overline{\alpha })-\beta \overline{\beta }}$
${\displaystyle =\beta \overline{\beta }-\alpha \overline{\beta }-\overline{\alpha }\beta +\alpha \overline{\alpha }-\beta \overline{\beta }}$
${\displaystyle =\alpha \overline{\alpha }-\alpha \overline{\beta }-\overline{\alpha }\beta =0}$
だからOB=ABの二等辺三角形

問題5(2)の答えの選択肢が解説と相違しています。解説のOB=ABではなくOA=ABを選択しないと丸がつきません(T-T)
＝＞［作者］：連絡ありがとう．選択肢の番号を訂正しました．