複素数平面

二等辺三角形直角三角形

直角二等辺三角形正三角形

\frac{β}{α} = 1 \pm \sqrt{3} i = 2 (\cos 60^{\circ} \pm i \sin 60^{\circ})

と変形すると，

\frac{O B}{O A} = 2

，∠AOB=60°になるから
「

O A : A B : B O = 1 : \sqrt{3} : 2

の直角三角形」…（答）

この問題に答えるためには，辺の比が1：2で，その間の角度が60°のときは，
「1：

\sqrt{3}

：２の直角三角形になる」という中学校数学の基本が前もって分かっていなければなりません．
このことに気づかない場合は，

β = (1 \pm \sqrt{3} i) α

β - α = (1 \pm \sqrt{3} i) α - α = \pm \sqrt{3} i α

| β - α | = | \pm \sqrt{3} i α | = \sqrt{3} | α |

などと，AB間の距離も求める必要があります．

(2)
　３点O, A(α), B(β)を頂点とする△OABについて

\frac{β}{α} = \frac{1 \pm \sqrt{3} i}{2}

が成り立つとき△OABはどのような形の三角形か述べよ．

二等辺三角形直角三角形

直角二等辺三角形正三角形

\frac{β}{α} = \frac{1 \pm \sqrt{3} i}{2} = \cos 60^{\circ} \pm i \sin 60^{\circ}

と変形すると，

\frac{O B}{O A} = 1 \to O B = O A

，∠AOB=60°になるから
正三角形…（答）

この問題に答えるためには，辺の比が1：1で，その間の角度が60°のときは，正三角形になるという中学校数学の基本が前もって分かっていなければなりません．

このことに気づかない場合は，

β = \frac{1 \pm \sqrt{3} i}{2} α

β - α = \frac{1 \pm \sqrt{3} i}{2} α - α = \frac{- 1 \pm \sqrt{3} i}{2} α

| β - α | = | \frac{- 1 \pm \sqrt{3} i}{2} α | = | α |

などと，AB間の距離も求める必要があります．

≪参考≫
そもそも，複素数で書かれた１つの等式は，実数で書かれた２つの等式と同値になります．

　正三角形となるための条件は，実数（大きさ）を用いて

|α|=|β|…(*1)
|α|=|β−α|…(*2)
のように連立方程式で書いてもよいはずです．（問題の形によってはこの形の方が使いやすい場合もある）
(*1)の両辺を|α|で割ると

| \frac{β}{α} | = 1

…(*3)
(*2)の両辺を|α|で割ると

| \frac{β}{α} - 1 | = 1

…(*4)

(*1)(*2)←→(*3)(*4)であるが，(*3)(*4)は

z = \frac{β}{α}

が原点を中心とする半径1の円周上にあり，かつ，点1を中心とする半径1の円周上にあるという２つの条件で表されることを示している．
　したがって，(*1)(*2)の２つに分けて述べている事柄は

\frac{β}{α} = \frac{1 \pm \sqrt{3} i}{2}

の１つで述べられる事柄と同じになる．（いずれも三角形ができるためには，α,β≠0が前提となっている）

【例題1.2】
　３点A(α), B(β), C(γ)を頂点とする△ABCについて

\frac{α - β}{γ - β} = \pm i

が成り立つとき△ABCはどのような形の三角形か述べよ．

（解答）

\frac{α - β}{γ - β} = \pm i = \cos 90^{\circ} \pm i \sin 90^{\circ}

と変形すると，BCを点Bの周りに（時計回り，または反時計回りに）90°だけ回転する（長さは変えない）とBAに重なることが分かる．
　したがって，∠ABCが直角となる直角二等辺三角形

【問題２】

(1)
　３点A(z1), B(z2), C(z3)を頂点とする△ABCについて

\frac{z_{3} - z_{1}}{z_{2} - z_{1}} = \frac{1 \pm \sqrt{3} i}{4}

が成り立つとき△ABCはどのような形の三角形か述べよ．

∠A=90°の直角三角形 ∠B=90°の直角三角形

∠C=90°の直角三角形

∠A=120°の二等辺三角形 ∠B=120°の二等辺三角形

∠C=120°の二等辺三角形

\frac{z_{3} - z_{1}}{z_{2} - z_{1}} = \frac{1 \pm \sqrt{3} i}{4} = \frac{1}{2} (\cos 60^{\circ} \pm i \sin 60^{\circ})

と変形すると，

\frac{C A}{B A} = \frac{1}{2}

，∠CAB=60°になるから「

C A : A B : B C = 1 : 2 : \sqrt{3}

の直角三角形」
∠C=90°の直角三角形…（答）

(2)
　３点A(z1), B(z2), C(z3)を頂点とする△ABCについて

\frac{z_{3} - z_{1}}{z_{2} - z_{3}} = \frac{1 \pm \sqrt{3} i}{2}

が成り立つとき△ABCはどのような形の三角形か述べよ．

∠A=60°の直角三角形 ∠B=60°の直角三角形

∠C=60°の直角三角形

∠A=120°の二等辺三角形 ∠B=120°の二等辺三角形

∠C=120°の二等辺三角形

２つの辺のなす角を考えるとき，（ベクトルの用語でいえば）始点をそろえた方が図形をイメージしやすくなります．
z3−z1とz2−z3のままでは，始点がそろっていませんが，
z1−z3とz2−z3にすると始点がz3にそろいます．

\frac{z_{1} - z_{3}}{z_{2} - z_{3}} = \frac{- 1 \mp \sqrt{3} i}{2}

= \cos 120^{\circ} \mp i \sin 120^{\circ}

だから，CA=CB，∠ACB=120°になる．（時計回りの場合と反時計回りの場合がある）
∠C=120°の二等辺三角形…（答）

(3)
　３点A(α), B(β), C(γ)を頂点とする△ABCについて

\frac{α - β}{β - γ} = - 1 \pm i

が成り立つとき△ABCはどのような形の三角形か述べよ．

∠A=135°の二等辺三角形 ∠B=135°の二等辺三角形

∠A=90°の直角二等辺三角形

∠B=90°の直角二等辺三角形

∠C=90°の直角二等辺三角形

∠C=135°の二等辺三角形正三角形

２つの辺のなす角を考えるとき，（ベクトルの用語でいえば）始点をそろえた方が図形をイメージしやすくなります．
α−βとβ−γのままでは，始点がそろっていませんが，
α−βとγ−βにすると始点がβにそろいます．

\frac{α - β}{γ - β} = 1 \mp i

= \sqrt{2} (\cos 45^{\circ} \pm i \sin 45^{\circ})

だから，

B A = \sqrt{2} B C

，∠ABC=45°になる．
したがって∠C=90°の直角二等辺三角形…（答）
（時計回りの場合と反時計回りの場合がある）

【要点】

z

に関する２次方程式を解の公式を使って解くと

a z^{2} + b z + c = 0

\to z = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

同様にして，

\frac{β}{α}

に関する２次方程式を解の公式を使って解くと

a (\frac{β}{α})^{2} + b (\frac{β}{α}) + c = 0

\to \frac{β}{α} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

のように表せるから，

β, α

の「拡大比と回転角」が分かり，三角形の形状について手がかりがつかめる．

【例題2.1】
　３点O, A(α), B(β)を頂点とする△OABについて

α^{2} + β^{2} = 0

が成り立つとき△OABはどのような形の三角形か述べよ．

（解答）
三角形だからα, β≠0, α≠β．両辺をα2で割ると

1 + (\frac{β}{α})^{2} = 0

(\frac{β}{α})^{2} = - 1

\frac{β}{α} = \pm i

OA=OB, ∠AOB=90°になるから
∠AOB=90°の直角二等辺三角形…（答）
（A,O,Bの向きは時計回りの場合と反時計回りの場合がある）

【問題３】

(1)
　３点O(0), A(α), B(β)を頂点とする△OABについて

α^{2} - α β + β^{2} = 0

が成り立つとき△OABはどのような形の三角形か述べよ．

∠OAB=90°の直角三角形 ∠ABO=90°の直角三角形

∠AOB=90°の直角三角形

∠OAB=120°の二等辺三角形 ∠ABO=120°の二等辺三角形

∠AOB=120°の二等辺三角形

三角形だからα, β≠0, α≠β．両辺をα2で割ると

(\frac{β}{α})^{2} - (\frac{β}{α}) + 1 = 0

２次方程式の解の公式を使って解くと

\frac{β}{α} = \frac{1 \pm \sqrt{3} i}{2} = \cos 60^{\circ} \pm i \sin 60^{\circ}

OA=OB, ∠AOB=60°になるから正三角形…（答）
（A,O,Bの向きは時計回りの場合と反時計回りの場合がある）

(2)
　３点O(0), A(α), B(β)を頂点とする△OABについて

α^{2} - 2 α β + 4 β^{2} = 0

が成り立つとき△OABはどのような形の三角形か述べよ．

∠OAB=90°の直角三角形 ∠ABO=90°の直角三角形

OA=OBの二等辺三角形 AB=AOの二等辺三角形

BO=BAの二等辺三角形

三角形だからα, β≠0, α≠β．両辺をβ2で割ると

(\frac{α}{β})^{2} - 2 (\frac{α}{β}) + 4 = 0

２次方程式の解の公式を使って解くと

\frac{α}{β} = 1 \pm \sqrt{3} i = 2 (\cos 60^{\circ} \pm i \sin 60^{\circ})

OA=2OB, ∠AOB=60°になる
「

O A : A B : B O = 2 : \sqrt{3} : 1

（∠OBA=90°）の直角三角形」…（答）
（A,O,Bの向きは時計回りの場合と反時計回りの場合がある）

(3)
　３点O(0), A(α), B(β)を頂点とする△OABについて

α^{2} + \sqrt{2} α β + β^{2} = 0

が成り立つとき△OABはどのような形の三角形か述べよ．

∠OAB=90°の直角三角形 ∠ABO=90°の直角三角形

OA=OBの二等辺三角形 AB=AOの二等辺三角形

BO=BAの二等辺三角形

三角形だからα, β≠0, α≠β．両辺をβ2で割ると

(\frac{α}{β})^{2} + \sqrt{2} (\frac{α}{β}) + 1 = 0

２次方程式の解の公式を使って解くと

\frac{α}{β} = \frac{- \sqrt{2} \pm \sqrt{- 2}}{2}

= \frac{- \sqrt{2} \pm \sqrt{2} i}{2} = \frac{- 1 \pm i}{\sqrt{2}} = (\cos 135^{\circ} \pm i \sin 135^{\circ})

OA=OB, ∠AOB=135°になる
OA=OB, ∠AOB=135°の二等辺三角形…（答）
（A,O,Bの向きは時計回りの場合と反時計回りの場合がある）

【例題2.2】
　３点A(α), B(β), C(γ)を頂点とする△ABCについて

α^{2} + β^{2} + γ^{2} - α β - β γ - γ α = 0

が成り立つとき△ABCはどのような形の三角形か述べよ．

上記の例題2.1では原点Oを中心とする回転・拡大を考えたが，この問題のように3点が与えられたときは，いずれか１つの頂点，例えばA(α)を中心とする回転・拡大を考えるとよい．そのためには，β, γの代わりにβ−α, γ−αを使って表せばよい．

β2=(β−α)2+2βα−α2
γ2=(γ−α)2+2γα−α2
などを試してみるのも一つの手です．

（解答）
β2=(β−α)2+2βα−α2
γ2=(γ−α)2+2γα−α2
を代入すると
α2+(β−α)2+2βα−α2+(γ−α)2+2γα−α2−αβ−βγ−γα=0
(β−α)2+(γ−α)2−(β−α)(γ−α)=0
三角形だからβ−α≠0．両辺を(β−α)2で割ると

(\frac{γ - α}{β - α})^{2} - (\frac{γ - α}{β - α}) + 1 = 0

解の公式を使って解くと

\frac{γ - α}{β - α} = \frac{1 \pm \sqrt{3} i}{2} = \cos 60^{\circ} \pm i \sin 60^{\circ}

AB=AC, ∠CAB=60°になるから正三角形…（答）
（A,B,Cの向きは時計回りの場合と反時計回りの場合がある）
【問題４】

(1)
　３点A(α), B(β), C(γ)を頂点とする△ABCについて

α^{2} + 2 β^{2} + γ^{2} - 2 α β - 2 β γ = 0

が成り立つとき△ABCはどのような形の三角形か述べよ．

∠A=90°の直角二等辺三角形

∠B=90°の直角二等辺三角形

∠C=90°の直角二等辺三角形

AB=BCの二等辺三角形 BC=CAの二等辺三角形

CA=ABの二等辺三角形正三角形

(α - β)^{2} + (γ - β)^{2} = 0

三角形だからα−β≠0．両辺を(α−β)2で割ると

1 + (\frac{γ - β}{α - β})^{2} = 0

(\frac{γ - β}{α - β})^{2} = - 1

\frac{γ - β}{α - β} = \pm i = \cos 90^{\circ} \pm i \sin 90^{\circ}

BA=BC, ∠B=90°になるから∠B=90°の直角二等辺三角形…（答）
（A,B,Cの向きは時計回りの場合と反時計回りの場合がある）

※このように変形しなければ問題が解けないということではない．αの回りの回転を調べて(γ−α):(β−α)で表した場合は

(γ - α)^{2} - 2 (γ - α) (β - α) + 2 (β - α)^{2} = 0

(\frac{γ - α}{β - α})^{2} - 2 (\frac{γ - α}{β - α}) + 2 = 0

より

\frac{γ - α}{β - α} = 1 \pm i = \sqrt{2} (\cos 45^{\circ} \pm i \sin 45^{\circ})

となってAB:AC=1:

\sqrt{2}

，∠CAB=45°の形で同じ結果が得られる．

(2)
　３点A(α), B(β), C(γ)を頂点とする△ABCについて

3 α^{2} + β^{2} + γ^{2} - 3 α β + β γ - 3 γ α = 0

が成り立つとき△ABCはどのような形の三角形か述べよ．

∠A=90°の直角二等辺三角形

∠B=90°の直角二等辺三角形

∠C=90°の直角二等辺三角形

AB=AC, ∠A=120°の二等辺三角形

BC=BA, ∠A=120°の二等辺三角形

CA=CB, ∠A=120°の二等辺三角形

3 α^{2} + (β - α)^{2} + 2 α β - α^{2} + (γ - α)^{2} + 2 α γ - α^{2}

- 3 α β + β γ - 3 γ α = 0

(β - α)^{2} + (γ - α)^{2} + α^{2} - α β - γ α + β γ = 0

(β - α)^{2} + (γ - α)^{2} + (β - α) (γ - α) = 0

三角形だからβ−α≠0．両辺を(β−α)2で割ると

(\frac{γ - α}{β - α})^{2} + (\frac{γ - α}{β - α}) + 1 = 0

解の公式を使って解くと

\frac{γ - α}{β - α} = \frac{- 1 \pm \sqrt{3} i}{2} = \cos 120^{\circ} \pm i \sin 120^{\circ}

AB=AC, ∠A=120°になるから∠A=120°の二等辺三角形…（答）
（A,B,Cの向きは時計回りの場合と反時計回りの場合がある）

γを中心とする回転・拡大で考えても解ける．

(β - γ)^{2} + 3 (α - γ)^{2} - 3 (β - γ) (α - γ) = 0

(\frac{β - γ}{α - γ})^{2} - 3 (\frac{β - γ}{α - γ}) + 3 = 0

と変形すれば

\frac{β - γ}{α - γ} = \frac{3 \pm \sqrt{3} i}{2} = \sqrt{3} (\cos 30^{\circ} \pm i \sin 30^{\circ})

となって，CA:CB=1:

\sqrt{3}

，∠BCA=30°となる．

【要点】

z = a + b i, \bar{z} = a - b i

（ただしz≠0，a, bは実数）とすると
(1)

z = - \bar{z}

ならばzは純虚数

a+bi=−(a−bi)ならば2a=0
a=0
となって，z=biとなるからである．
（純虚数という場合，z=0は除外する）

(2)

z = \bar{z}

ならばzは実数

a+bi=a−biならば2b=0
b=0
となって，z=aとなるからである．

【例題3.1】
　３点O(0), A(α), B(β)を頂点とする△OABについて

\frac{β}{α} + \frac{\bar{β}}{\bar{α}} = 0

が成り立つとき△OABはどのような形の三角形か述べよ．

（解答）
上記の【要点】(1)により

\frac{β}{α} + \frac{\bar{β}}{\bar{α}} = 0

ならば

\frac{β}{α} = b i

（bは0以外の任意の実数）
とおけるから∠BOA=90°の直角三角形になる．

この問題は，この頁でここまで扱ってきた問題と少し違う点があることに注意．すなわち，ここまでの問題は「三角形の形が決まる」（大きさまでは決まらない）のに対して，この問題は三角形の形が完全には決まらない（不定の要素があります）．

詳しくは次の備考で示すこととして，

\frac{β}{α} + \frac{\bar{β}}{\bar{α}} = 0

の関係が成り立つとき，△OABが直角三角形になることを「長さを使って==三平方の定理で」証明してみると次のようになります．
（

α \neq 0

のとき）

\frac{β}{α} + \frac{\bar{β}}{\bar{α}} = 0 \leftarrow\to α \bar{β} + \bar{α} β = 0

…(*1)

O B^{2} + O A^{2} - A B^{2} = | α |^{2} + | β |^{2} - | β - α |^{2}

= α \bar{α} + β \bar{β} - (β - α) (\bar{β} - \bar{α})

= α \bar{α} + β \bar{β} - β \bar{β} + α \bar{β} + \bar{α} β - α \bar{α}

= α \bar{β} + \bar{α} β

…(*2)
(*1)(*2)を比較すると，

α \bar{β} + \bar{α} β = 0 \leftarrow\to O B^{2} + O A^{2} = A B^{2}

≪参考≫
そもそも，複素数で書かれた１つの等式は，実数で書かれた２つの等式と同値になります．

中学校で習ったように三角形の決定条件は「３辺の長さが与えられること」「２辺とその間の角が与えられること」「１辺とその両端の角が与えられること」ですが，これらを表すためには，いずれも３つの等式が必要になります．

このうち２つだけが決まる場合には「２辺の比とその間の角は分かるが，辺の長さまでは決まらない」のように形は決まるが大きさまでは決まらない，たとえば相似図形であるための条件が指定されていることになります．

これに対して，（実数の内容として）１つだけ等式が与えられた場合には，さらに形も定まらないことがあります．

○例えば，３点O(0), A(α), B(β)を頂点とする△OABについて
|α|=|β|
のように指定された場合，実数で１つの条件が与えられただけなので，二等辺三角形ではあるが細かな形は決まらず，大きさも全然決まらないことになります．

○例えば，３点O(0), A(α), B(β)を頂点とする△OABについて
|α|2+|β|2=|α−β|2
のように指定された場合，実数で１つの条件が与えられただけなので，直角三角形ではあるが細かな形は決まらず，大きさも全然決まらないことになります．

【問題５】

(1)
　３点O(0), A(α), B(β)を頂点とする△OABについて

\frac{β}{α} + \frac{\bar{β}}{\bar{α}} = 2

が成り立つとき△OABはどのような形の三角形か述べよ．

∠OAB=90°の直角三角形

∠ABO=90°の直角三角形

OA=ABの二等辺三角形 AB=BOの二等辺三角形

BO=OAの二等辺三角形正三角形

\frac{β}{α} = a + b i

とおく（△OABは三角形だからα,β≠0）

\overset{―}{(\frac{β}{α})} = \frac{\bar{β}}{\bar{α}} = a - b i

\frac{β}{α} + \frac{\bar{β}}{\bar{α}} = 2 a = 2

したがって
a=1（bは任意の実数，ただしb=0ならα=βとなって三角形にならないからb≠0）

\frac{β}{α} = 1 + b i

右図のようにOA:OB=1:

\sqrt{1 + b^{2}}

, ∠OAB=90°の直角三角形になります．

（別解）三平方の定理を使って証明する場合

\frac{β}{α} + \frac{\bar{β}}{\bar{α}} = 2

ならば

α \bar{β} + \bar{α} β = 2 α \bar{α}

このとき

| α |^{2} + | β - α |^{2} - | β |^{2}

= α \bar{α} + (β - α) (\bar{β} - \bar{α}) - β \bar{β}

= α \bar{α} + β \bar{β} - α \bar{β} - \bar{α} β + α \bar{α} - β \bar{β}

= 2 α \bar{α} - α \bar{β} - \bar{α} β = 0

だから∠OAB=90°の直角三角形

（別解）複素数を使って垂直であることを証明する場合

\frac{β}{α} = 1 + b i

のとき

\frac{β - α}{α} = \frac{β}{α} - 1 = b i

は純虚数となるから
OA⊥AB

(2)
　３点O(0), A(α), B(β)を頂点とする△OABについて

\frac{β}{α} + \frac{\bar{β}}{\bar{α}} = 1

が成り立つとき△OABはどのような形の三角形か述べよ．

∠OAB=90°の直角三角形

∠ABO=90°の直角三角形

OA=ABの二等辺三角形 AB=BOの二等辺三角形

BO=OAの二等辺三角形正三角形

\frac{β}{α} = a + b i

とおく（△OABは三角形だからα, β≠0）

\overset{―}{(\frac{β}{α})} = \frac{\bar{β}}{\bar{α}} = a - b i

\frac{β}{α} + \frac{\bar{β}}{\bar{α}} = 2 a = 1

したがって

a = \frac{1}{2}

\frac{β}{α} = \frac{1}{2} + b i

β = \frac{1}{2} α + b i \times α

（OAの中点：

β = \frac{1}{2} α

まで行ってから，

α

に垂直な複素数

b i \times α

を足す）
（bは任意の実数，ただしb=0ならα=2βとなって三角形にならないからb≠0）

右図のようにOAの中点から垂直な直線上にBがあることになり，OB=ABの二等辺三角形になります．

（別解）複素数の長さを使って証明する場合

\frac{β}{α} + \frac{\bar{β}}{\bar{α}} = 1

ならば

α \bar{β} + \bar{α} β = α \bar{α}

このとき

| β - α |^{2} - | β |^{2}

= (β - α) (\bar{β} - \bar{α}) - β \bar{β}

= β \bar{β} - α \bar{β} - \bar{α} β + α \bar{α} - β \bar{β}

= α \bar{α} - α \bar{β} - \bar{α} β = 0

だからOB=ABの二等辺三角形