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※高校数学Ⅲの「複素数平面」について，このサイトには次の教材があります．
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↓複素数平面
↓回転と拡大
↓点Ａの周りの回転
↓三角形の形状問題
↓ド・モアブルの定理
↓ド・モアブルの定理(入試問題)
↓複素数で表される軌跡の方程式
↓同(2)
↓複素数の１次結合が表す図形
↓内分点・外分点-現在地
↓２直線の交点
↓内分点の内分点
↓２直線の平行条件・垂直条件
↓複素数平面の入試問題1
↓複素数平面の入試問題2
↓複素数平面の入試問題3
複素数平面の入試問題4

== 複素数の内分点，外分点 ==
【内分点】
　m, nを正の数とするとき，異なる２点z1 , z2をm:nに<内分する点を表す複素数は
.nz1+mz2m+nnnnnnn
特に，1：1に内分する点（中点）を表す複素数は
.z1+z22nnnn
（解説）
図１
（初歩的な注意１）
　z1からの比率がmで，z2からの比率がnのときに，この公式の分子は
nz1+mz2
という形で，「遠い方の比率と掛ける」ようになっていることに注意
（初歩的な注意２）
　この内分点の公式の公式で与えられる複素数は，上の図１において青の矢印で示したようなものを表しているのではなく，赤の矢印で示したように原点からその内分点に向けられたものを表していることに注意
　原点からz1 , z2をm:nに<内分する点まで進むには，図１のように，まずz1まで進み，次に内分点まで進めばいよい．
　ここで，z1からz2に向かう移動は（終点）-（始点）により
z2−z1
だから，z1から内分点に向かう移動は，それを
.mm+nnnnn倍にしたもの．
したがって，
.mm+nnnnn(z2−z1 )倍
結局
z=z1+.mm+nnnnn(z2−z1 )
=.(m+n)z1+m(z2−z1 )m+nnnnnnnnnnnnnnnn
=.nz1+mz2m+nnnnnnn
【例１】
　２点z1=1+2i，z2=4−iを1:2に内分する点を表す複素数は
z=.2(1+2i)+(4−i)1+2nnnnnnnnnnnn=.6+3i3nnnn=2+i
図は次の通り
【例２】
　２点z1=−1−3i，z2=3+iの中点を表す複素数は
z=.(−1−3i)+(3+i)2nnnnnnnnnnnnn=.2−2i2nnnn=1−i
図は次の通り

問題１次の各点を表す複素数として，正しいものを選んでください．
(1)２点z1=−1+3i，z2=2+3iを2:1に内分する点を表す複素数は


3 3i 3+i 1+3i
(2)２点z1=3−i，z2=−2+4iを2:3に内分する点を表す複素数は


i 1+i 2i 1+2i
(3)２点z1=2−3i，z2=−4+7iの中点を表す複素数は


−1+2i −2+4i 3−5i −3+5i

問題２次の図において青で示した点はz1を，赤で示した点はz2を表しています．このとき，各々指定された点をポイントしてください．
全部で５題あります→ [第1問 / 全5問] NEXT

z1=−1+4i, z2=3の中点

問題３次の図において青で示した点はz1を，赤で示した点はz2を表しています．このとき，各々指定された点を『目分量で』ポイントしてください．
全部で５題あります→ [第1問 / 全5問] NEXT

z1=0.5+0.5i, z2=4.2+4.2iの中点

【外分点】
　m, nを正の数とするとき，異なる２点z1 , z2をm:nに外分する点を表す複素数は
.−nz1+mz2m−nnnnnnnn
（ただし，外分については，1:1の外分は考えない．）
（解説）
　例えば，線分ABを2:1に外分する点Pとは，線分ABのBの延長上（外側）に点をとって，AP:BP=2:1となる点Pのことをいいます．
図２のような間違いがよく見られますので注意してください．「ABを2:1に外分する点P ⇒ AP:BP=2:1」というとき，片足は必ずPになっていなければなりません．
図２
　一般に，線分ABをm:nに外分する点は
ア）　m>n　（ただし，m>0, n>0）のとき
図３のように，線分ABの延長上でAP>BPとなる点Pは，Bの外側にきます．
A(z1), B(z2), P(z)とおくと，
z=z1+.mm−nnnnn(z2−z1 )=.mz1−nz1+mz2−mz1m−nnnnnnnnnnnnnnn
=.−nz1+mz2m−nnnnnnnn
図３
イ）　m<n　（ただし，m>0, n>0）のとき
図４のように，線分ABの延長上でAP<BPとなる点Pは，Aの外側にきます．
A(z1), B(z2), P(z)とおくと，
z=z1+.mn−mnnnn(z1−z2 )=.nz1−mz1+mz1−mz2n−mnnnnnnnnnnnnnn
=.nz1−mz2n−mnnnnnnn=.−nz1+mz2m−nnnnnnnn
図４
※外分比が等しいとき（すなわちm=nのとき ⇒ 1:1, 2:2など）は，分母が0となって，「おかしい」ことがわかる．
　図３の場合はmの方が大きくなり，図４の場合はnの方が大きくなり，どちらの場合でもmとnが等しくなることはない．
　このように，1:1の外分だけはない．
【分点の公式のまとめ】
　m, nを実数とするとき，異なる２点z1 , z2をm:nに分ける点を表す複素数は
.nz1+mz2m+nnnnnnn
m,nが同符号の場合は内分点を表し，異符号の場合は外分点を表す. （ただし，m=−nの場合は考えない．）
※（覚え方）
　上の図のように，m, nのうち１つだけマイナスにすれば外分公式になる．（mをマイナスにしてもよい．）
（参考）
m:nをk:1で表したときのkの値と分点の場所
（ア）　k>0のときは内分点になる．
（イ）　−1<k<0のときはz1の外側の外分点になる．
（イ）　−∞<k<−1のときはz2の外側の外分点になる．

問題４次の各点を表す複素数として，正しいものを選んでください．
(1)２点z1=1+i，z2=−2+3iを2:1に外分する点を表す複素数は


−5+5i 5−5i −4+i 4−i
(2)２点z1=2i，z2=4を1:3に外分する点を表す複素数は


2−3i −2+3i 6−i −6+i

問題５次の図において青で示した点はz1を，赤で示した点はz2を表しています．このとき，各々指定された点を『目分量で』ポイントしてください．
全部で５題あります→ [第1問 / 全5問] NEXT

z1=−1+i, z2=1を1:2に外分する点

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