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鼠

銀

黒

青

紺

茶

緑

桃

基　本：★☆☆

普　通：★★☆

やや難：★★★

【ド・モアブルの定理】
　nを整数とするとき（正負０いずれも可）
(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ

【問題1】★☆☆
　iを虚数単位とする．このとき，${\displaystyle (-\sqrt{3}+i{)}^{-10}}$を計算せよ．

${\displaystyle -\sqrt{3}+i=2(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)=2(\cos \frac{5\pi }{6}+i\sin \frac{5\pi }{6})}$
だから
${\displaystyle (-\sqrt{3}+i{)}^{-10}=2^{-10}(\cos \frac{5\pi }{6}+i\sin \frac{5\pi }{6}{)}^{-10}}$
${\displaystyle =\frac{\cos (\frac{-50\pi }{6})+i\sin (\frac{-50\pi }{6})}{1024}}$
${\displaystyle =\frac{\cos (\frac{-25\pi }{3})+i\sin (\frac{-25\pi }{3})}{1024}}$
${\displaystyle =\frac{\cos (\frac{-\pi }{3})+i\sin (\frac{-\pi }{3})}{1024}=\frac{\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}}{1024}}$
${\displaystyle =\frac{1-\sqrt{3}i}{2048}}$･･･（答）
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【問題2】★☆☆
　複素数${\displaystyle z=2(\cos \frac{11}{12}\pi +i\sin \frac{11}{12}\pi )}$のとき，${\displaystyle z^2,z^{-3}}$および${\displaystyle {|z-\frac{1}{z}|}^2}$を求めよ．ただし，iは虚数単位とする．

ド・モアブルの定理により
${\displaystyle z^2=2^2(\cos \frac{11}{6}\pi +i\sin \frac{11}{6}\pi )}$
${\displaystyle =4(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2})=2\sqrt{3}-2i}$･･･（答）
同様にして，ド・モアブルの定理により
${\displaystyle z^{-3}=2^{-3}\{\cos (-\frac{11}{4}\pi )+i\sin (-\frac{11}{4}\pi )\}}$
${\displaystyle =\frac{1}{8}(-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i)=-\frac{\sqrt{2}}{16}-\frac{\sqrt{2}}{16}i}$･･･（答）
右図の三角形において，余弦定理を用いて辺の長さLを表す
${\displaystyle {|z-\frac{1}{z}|}^2=L^2}$
${\displaystyle =2^2+(\frac{1}{2}{)}^2-2\times 2\times \frac{1}{2}\cos \frac{\pi }{6}}$
${\displaystyle =4+\frac{1}{4}-2\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{17}{4}-\sqrt{3}}$･･･（答）
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【問題3】★☆☆
６　複素数${\displaystyle Z=\frac{(1+i{)}^3(\sqrt{3}-i{)}^2}{(\sqrt{3}-3i{)}^2}}$について考える．${\displaystyle Z^{2n}}$が実数となるときの自然数nの最小値を求めよ．
(ア) 0　(カ) 1　(サ) 2　(タ) 3　(ナ) 4　(ハ) 5　(マ) 6　(ヤ) 7　(ラ) 8　(ワ) 9　
７
${\displaystyle A=\frac{1}{1-\alpha }+\frac{1}{1-{\alpha }^2}+\frac{1}{1-{\alpha }^3}+\frac{1}{1-{\alpha }^4}+\frac{1}{1-{\alpha }^5}+\frac{1}{1-{\alpha }^6}}$
とする．
${\displaystyle \alpha =\cos \frac{2\pi }{7}+i\sin \frac{2\pi }{7}}$であるとき，Aの値を求めよ．
(ア) 0　(カ) 1　(サ) 2　(タ) 3　(ナ) 4　(ハ) 5　(マ) 6　(ヤ) 7　(ラ) 8　(ワ) 9　

各々の複素数を極形式で表すと
${\displaystyle 1+i=\sqrt{2}(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4})}$
${\displaystyle \sqrt{3}-i=2(\cos \frac{11\pi }{6}+i\sin \frac{11\pi }{6})}$
${\displaystyle \sqrt{3}-3i=2\sqrt{3}(\cos \frac{5\pi }{3}+i\sin \frac{5\pi }{3})}$
したがって，Zの絶対値は
${\displaystyle \frac{(\sqrt{2}{)}^3\times 2^2}{(2\sqrt{3}{)}^2}=\frac{2\sqrt{2}\times 4}{12}=\frac{2\sqrt{2}}{3}}$
Zの偏角は
${\displaystyle \frac{3\times \pi }{4}+\frac{2\times 11\pi }{6}-\frac{2\times 5\pi }{3}=\frac{13\pi }{12}}$
${\displaystyle Z^{2n}=(\frac{2\sqrt{2}}{3}{)}^{2n}(\cos \frac{13n\pi }{6}+\sin \frac{13n\pi }{6})}$
Z2nが実数となる条件は
${\displaystyle \frac{13n\pi }{6}=k\pi }$（n (>0), kは整数）
13n=6k（n (>0), kは整数）
13, 6は互いに素だから
n=6t (>0)
k=13t
よって，自然数nの最小値は6→(マ)･･･（答）
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${\displaystyle \alpha =\frac{2\pi }{7}+i\sin \frac{2\pi }{7}}$
だから，ド・モアブルの定理を使うと
${\displaystyle {\alpha }^7=1}$
これにより
${\displaystyle {\alpha }^6=\frac{1}{\alpha },{\alpha }^5=\frac{1}{{\alpha }^2},{\alpha }^4=\frac{1}{{\alpha }^3}}$
${\displaystyle A=\frac{1}{1-\alpha }+\frac{1}{1-{\alpha }^2}+\frac{1}{1-{\alpha }^3}+\frac{1}{1-{\alpha }^4}+\frac{1}{1-{\alpha }^5}+\frac{1}{1-{\alpha }^6}}$
${\displaystyle =\frac{1}{1-\alpha }+\frac{1}{1-{\alpha }^2}+\frac{1}{1-{\alpha }^3}+\frac{1}{1-\frac{1}{{\alpha }^3}}+\frac{1}{1-\frac{1}{{\alpha }^2}}+\frac{1}{1-\frac{1}{\alpha }}}$
${\displaystyle =\frac{1}{1-\alpha }+\frac{1}{1-{\alpha }^2}+\frac{1}{1-{\alpha }^3}+\frac{{\alpha }^3}{{\alpha }^3-1}+\frac{{\alpha }^2}{{\alpha }^2-1}+\frac{\alpha }{\alpha -1}}$
${\displaystyle =\frac{1-\alpha }{1-\alpha }+\frac{1-{\alpha }^2}{1-{\alpha }^2}+\frac{1-{\alpha }^3}{1-{\alpha }^3}=3}$→(タ)･･･（答） →解説を隠す←

【問題4】★☆☆
　２つの複素数α=i，${\displaystyle z=1-\sqrt{3}i}$について，次の問いに答えなさい．
(1)　zを極形式で表しなさい．
(2)　以下のア，イに入る値を求めなさい．
　zはαを原点を中心としてアだけ回転し，原点からの距離をイ倍したものである．
(3)　znが正の実数となる最小の自然数をnとする．このとき，nおよびznの絶対値を求めなさい．

(1)
${\displaystyle z=2(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)=2(\cos \frac{5\pi }{3}+i\sin \frac{5\pi }{3})}$･･･（答）
(2)
原点を中心として，${\displaystyle (\frac{\pi }{2}+\frac{2\pi }{3}=)\frac{7}{6}\pi }$だけ回転し，原点からの距離を２倍したもの･･･（答）
(3)
${\displaystyle z^n=2^n(\cos \frac{5n\pi }{3}+i\sin \frac{5n\pi }{3})}$
だから，これが正の実数となるには
${\displaystyle \frac{5n\pi }{3}=2k\pi }$（nは正の整数，kは整数）
${\displaystyle 5n=6k}$（nは正の整数，kは整数）
　ここで，5, 6は互いに素だから
n=6t（tは整数）
k=5t
nの最小値は6，|zn|=64･･･（答）
→解説を隠す←

【問題5】★☆☆
　複素数に関する次の問いに答えよ．ただし，iは虚数単位とする．
(1)　方程式z3=iの3つの解z1, z2, z3を求めよ．ただし，0≦argz1<argz2<argz3<2πとする．
(2)　等式${\displaystyle z\overline{z}+2(z+\overline{z})+2\sqrt{3}i(z-\overline{z})+12=0}$をみたす点z全体が表す図形を求め，その図形を複素数平面上に図示せよ．
(3)　aを正の実数とする．複素数z0はz03=iaをみたし，かつz0の表す点が(2)で求めた図形上にあるとする．このとき，aとz0の値をそれぞれ求めよ．

z=r(cosθ+isinθ)，（r≧0, 0≦θ<2π）とおく
ド・モアブルの定理により
z3=r3(cos3θ+isin3θ)
となる.
これが，iに等しくなることから
　　r=1･･･[1]
${\displaystyle 3\theta =\frac{\pi }{2}+2n\pi }$
ただし，0≦θ<2πから，0≦3θ<6πの条件を満たすのは，n=0, 1, 2のとき
ア） n=0のとき
${\displaystyle 3\theta =\frac{\pi }{2}\to \theta =\frac{\pi }{6}}$
${\displaystyle z_1=\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i}$
イ） n=1のとき
${\displaystyle 3\theta =\frac{5\pi }{2}\to \theta =\frac{5\pi }{6}}$
${\displaystyle z_2=\cos \frac{5\pi }{6}+i\sin \frac{5\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i}$
ウ） n=2のとき
${\displaystyle 3\theta =\frac{9\pi }{2}\to \theta =\frac{9\pi }{6}=\frac{3\pi }{2}}$
${\displaystyle z_3=\cos \frac{3\pi }{2}+i\sin \frac{3\pi }{2}=-i}$
以上から
${\displaystyle z_1=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i,z_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i,z_3=-i}$･･･(答)
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${\displaystyle z=x+yi}$とおくと
${\displaystyle z\overline{z}+2(z+\overline{z})+2\sqrt{3}i(z-\overline{z})+12=0}$は，x, yを用いて，次のように書ける．
${\displaystyle x^2+y^2+2(2x)+2\sqrt{3}i\times 2yi+12=0}$
${\displaystyle x^2+4x+y^2-4\sqrt{3}y+12=0}$
${\displaystyle (x+2{)}^2+(y-2\sqrt{3}{)}^2=4}$
　これは，${\displaystyle x=-2,y=2\sqrt{3}}$を中心とする半径2の円を表す．
　すなわち，複素数${\displaystyle -2+2\sqrt{3}i}$を中心とする半径2の円を表す．（右図）･･･（答）
(3)
z0の表す点が(2)で求めた図形上にあるから，z0の偏角θは，（y軸を含む）第3象限の角で，右図のPからQまでの間にある．
${\displaystyle \frac{\pi }{2}\leqq \theta \leqq \frac{5\pi }{6}}$
よって
${\displaystyle \frac{3\pi }{2}\leqq 3\theta \leqq \frac{5\pi }{2}}$
z03=ia (a>0)となるのは
${\displaystyle 3\theta =\frac{5\pi }{2}}$
のとき．このとき
${\displaystyle \theta =\frac{5\pi }{6}}$
${\displaystyle z_0=2\sqrt{3}(\frac{5\pi }{6}+i\sin \frac{5\pi }{6})=-3+\sqrt{3}i}$･･･（答）
${\displaystyle z_0^3=(2\sqrt{3}{)}^3(\frac{5\pi }{2}+i\sin \frac{5\pi }{2})=24\sqrt{3}i}$
${\displaystyle a=24\sqrt{3}}$･･･（答）
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【問題6】★☆☆
　aとbはab<0となる実数で，複素数z=a+biに対して,z12=1, z6≠1を満たすとする．このとき，${\displaystyle \frac{a}{b}=}$(e)である．ただし，${\displaystyle i=\sqrt{-1}}$である．

${\displaystyle z=r(\cos \theta +i\sin \theta )}$
とおくと，ド・モアブルの定理により
${\displaystyle z^{12}=r^{12}(\cos 12\theta +i\sin 12\theta )=1}$
これにより
${\displaystyle r=1(>0)}$･･･(1)
${\displaystyle 12\theta =2n\pi }$（nは整数）
すなわち
${\displaystyle \theta =\frac{n\pi }{6}}$（nは整数）･･･(2)
また，
${\displaystyle z^6=\cos 6\theta +i\sin 6\theta \ne 1}$
により
${\displaystyle 6\theta \ne 2n\pi }$（nは整数）
すなわち
${\displaystyle \theta \ne \frac{n\pi }{3}}$（nは整数）･･･(3)
ab<0から0≦θ<2πは第２，４象限の角で，(2)(3)から
${\displaystyle \theta =\frac{5\pi }{6},\frac{11\pi }{6}}$
${\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{\cos \frac{5\pi }{6}}{\sin \frac{5\pi }{6}}=-\sqrt{3}}$･･･（答）
（${\displaystyle \frac{11\pi }{6}}$から計算しても結果は同じになる） →解説を隠す←

【問題7】★☆☆
次の問いに答えよ． (1)　${\displaystyle z+\frac{1}{z}=\sqrt{3}}$を満たす複素数zの値を求めよ．また，このとき${\displaystyle \alpha =z^{100}+\frac{1}{z^{100}}}$の値を求めよ．
(2)　${\displaystyle z+\frac{1}{z}}$が実数となるような複素数zが表す複素数平面上の点全体は，どのような図形を表すか．
(3)　${\displaystyle z+\frac{1}{z}}$が実数となる複素数zと，${\displaystyle \mid w-(\frac{8}{3}+2i)\mid =\frac{2}{3}}$を満たす複素数wについて，|z−w|の最小値を求めよ．

分母を払って，zの２次方程式を解く
${\displaystyle z^2-\sqrt{3}z+1=0}$
${\displaystyle z=\frac{\sqrt{3}\pm \sqrt{3-4}}{2}=\frac{\sqrt{3}\pm i}{2}}$･･･（答）
zを極形式で書くと
${\displaystyle z=\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}}$･･･①
または${\displaystyle z=\cos (-\frac{\pi }{6})+i\sin (-\frac{\pi }{6})}$･･･②
①のとき
${\displaystyle z^{100}=\cos \frac{100\pi }{6}+i\sin \frac{100\pi }{6}=\cos \frac{50\pi }{3}+i\sin \frac{50\pi }{3}}$
${\displaystyle =\cos (16\pi +\frac{2\pi }{3})+i\sin (16\pi +\frac{2\pi }{3})}$
${\displaystyle =\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}}$
${\displaystyle \frac{1}{z^{100}}=\cos \frac{-100\pi }{6}+i\sin \frac{-100\pi }{6}=\cos \frac{-50\pi }{3}+i\sin \frac{-50\pi }{3}}$
${\displaystyle =\cos (-16\pi -\frac{2\pi }{3})+i\sin (-16\pi -\frac{2\pi }{3})}$
${\displaystyle =\cos (-\frac{2\pi }{3})+i\sin (-\frac{2\pi }{3})=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}}$
${\displaystyle \alpha =z^{100}+\frac{1}{z^{100}}=-1}$
②のとき，ほぼ同様にして
${\displaystyle z^{100}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}}$
${\displaystyle \frac{1}{z^{100}}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}}$
${\displaystyle \alpha =z^{100}+\frac{1}{z^{100}}=-1}$
以上により，①②のいずれの場合も，α=−1･･･（答）
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${\displaystyle z=r(\cos \theta +i\sin \theta )}$とおくと
z≠0 (r≠0)のとき
${\displaystyle z+\frac{1}{z}=r(\cos \theta +i\sin \theta )+\frac{1}{r}\{\cos (-\theta )+i\sin (-\theta )\}}$
${\displaystyle =r(\cos \theta +i\sin \theta )+\frac{1}{r}(\cos \theta -i\sin \theta )}$
${\displaystyle =(r+\frac{1}{r})\cos \theta +i(r-\frac{1}{r})\sin \theta }$
これが実数となるのは
${\displaystyle r=\frac{1}{r}}$または${\displaystyle \sin \theta =0}$のとき（ただしr≠0, r>0)）
すなわち，r=1またはθ=nπ, r>0
よって「原点を中心とする半径１の円」または「実軸（ただし，原点を除く）」･･･（答）
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　zは(2)の結果に示されるように「原点を中心とする半径１の円」または「実軸（ただし，原点を除く）」の上の点
　wは，点${\displaystyle \frac{8}{3}+2i}$を中心とする半径${\displaystyle \frac{2}{3}}$の円上の点だから，それらの距離|z−w|の最小値は，右図の赤線で示した長さ${\displaystyle 2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}}$または朱色で示した長さ${\displaystyle \sqrt{(\frac{3}{3}{)}^2+2^2}-(1+\frac{2}{3})=\frac{5}{3}}$の小さいほうを選ぶと，
${\displaystyle \frac{4}{3}}$･･･（答）
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【問題8】★☆☆
　複素数zを
${\displaystyle z=\cos \frac{2\pi }{7}+i\sin \frac{2\pi }{7}}$
とする．ただし，iは虚数単位とする．また，
${\displaystyle a=z+\frac{1}{z},b=z^2+\frac{1}{z^2},c=z^3+\frac{1}{z^3}}$
とおく．次の問(1)～(6)に答えよ．解答欄には，答えだけでなく途中経過も書くこと．
(1)　${\displaystyle z^7}$は有理数になる．その値を求めよ．
(2)　${\displaystyle z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6}$は有理数になる．その値を求めよ．
(3)　A=a+b+cは有理数になる．その値を求めよ．
(4)　B=a2+b2+c2は有理数になる．その値を求めよ．
(5)　C=ab+bc+caは有理数になる．その値を求めよ．
(6)　D=a3+b3+c3−3abcは有理数になる．その値を求めよ．

(1)
ド・モアブルの定理により
${\displaystyle z^7=\cos (2\pi )+i\sin (2\pi )=1}$･･･（答）
(2)
初項がz，公比がz (≠1)，項数が6の等比数列の和を求める
${\displaystyle z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6=\frac{z(z^6-1)}{z-1}}$
${\displaystyle =\frac{z^7-z}{z-1}}$
ここで(1)の結果を使ってz7=1とすると
${\displaystyle =\frac{1-z}{z-1}=-1}$･･･（答）
(3)
${\displaystyle A=a+b+c=z+\frac{1}{z}+z^2+\frac{1}{z^2}+z^3+\frac{1}{z^3}}$
${\displaystyle =\frac{z^4+z^2+z^5+z+z^6+1}{z^3}=\frac{1+z+z^2+z^4+z^5+z^6}{z^3}}$
${\displaystyle =\frac{1+(z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6)-z^3}{z^3}}$
ここで(2)の結果を使って
${\displaystyle z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6=-1}$
とすると
${\displaystyle A=\frac{1-1-z^3}{z^3}=\frac{-z^3}{z^3}=-1}$･･･（答）
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(4)
${\displaystyle B=(z+\frac{1}{z}{)}^2+(z^2+\frac{1}{z^2}{)}^2+(z^3+\frac{1}{z^3}{)}^2}$
${\displaystyle =z^2+2+\frac{1}{z^2}+z^4+2+\frac{1}{z^4}+z^6+2+\frac{1}{z^6}}$
${\displaystyle =6+\frac{z^8+z^4+z^{10}+z^2+z^{12}+1}{z^6}}$
ここで(1)の結果を使ってz7=1とすると
${\displaystyle B=6+\frac{z^2+z^4+z^3+z^2+z^5+1}{z^6}}$
分数の部分の分母と分子にzを掛けると
${\displaystyle B=6+\frac{z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6}{z^7}=6+\frac{-1}{1}=5}$･･･（答）
(5)
　A2=B+2Cだから
　1=5+2C
　C=−2･･･（答）
(6)
　D=a3+b3+c3−3abc
　=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)
　=A(B−C)=−1×(5+2)=−7･･･（答） →解説を隠す←

【問題9】★★☆
　θを実数とし，nを整数とする．z=sinθ+icosθとおくとき，複素数znの実部と虚部をcos(nθ)とsin(nθ)を用いて表せ．ただし，iは虚数単位である．

${\displaystyle z=\cos (\frac{\pi }{2}-\theta )+i\sin (\frac{\pi }{2}-\theta )}$
であるから，ド・モアブルの定理により
${\displaystyle z^n=\cos (\frac{n\pi }{2}-n\theta )+i\sin (\frac{n\pi }{2}-n\theta )}$
ア） n=4k(kは整数)のとき
${\displaystyle \cos (\frac{n\pi }{2}-n\theta )=\cos (2k\pi -n\theta )=\cos (n\theta )}$
${\displaystyle \sin (\frac{n\pi }{2}-n\theta )=\sin (2k\pi -n\theta )=-\sin (n\theta )}$
${\displaystyle z^n=\cos (n\theta )-i\sin (n\theta )}$･･･（答）
イ） n=4k+1(kは整数)のとき
${\displaystyle \cos (\frac{n\pi }{2}-n\theta )=\cos (\frac{\pi }{2}-n\theta )=\sin (n\theta )}$
${\displaystyle \sin (\frac{n\pi }{2}-n\theta )=\sin (\frac{\pi }{2}-n\theta )=\cos (n\theta )}$
${\displaystyle z^n=\sin (n\theta )+i\cos (n\theta )}$･･･（答）
ウ） n=4k+2(kは整数)のとき
${\displaystyle \cos (\frac{n\pi }{2}-n\theta )=\cos (\pi -n\theta )=-\cos (n\theta )}$
${\displaystyle \sin (\frac{n\pi }{2}-n\theta )=\sin (\pi -n\theta )=\sin (n\theta )}$
${\displaystyle z^n=-\cos (n\theta )+i\sin (n\theta )}$･･･（答）
エ） n=4k+3(kは整数)のとき
${\displaystyle \cos (\frac{n\pi }{2}-n\theta )=\cos (\frac{3\pi }{2}-n\theta )=-\sin (n\theta )}$
${\displaystyle \sin (\frac{n\pi }{2}-n\theta )=\sin (\frac{3\pi }{2}-n\theta )=-\cos (n\theta )}$
${\displaystyle z^n=-\sin (n\theta )-i\cos (n\theta )}$･･･（答）
${\displaystyle i^{4k}=1,i^{4k+1}=i,i^{4k+2}=-1,i^{4k+3}=-i}$
を用いて，次のようにまとめることができる．
${\displaystyle z^n=\{\cos (n\theta )-i\sin (n\theta )\}\times i^n}$ →解説を隠す←

（別解）
${\displaystyle z=\sin \theta +i\cos \theta }$
だから
${\displaystyle -iz=\cos \theta -i\sin \theta =\cos (-\theta )+i\sin (-\theta )}$
${\displaystyle (-iz{)}^n=\{\cos (-\theta )+i\sin (-\theta ){\}}^n}$
ド・モアブルの定理により
${\displaystyle (-iz{)}^n=\cos (-n\theta )+i\sin (-n\theta )}$
${\displaystyle =\cos (n\theta )-i\sin (n\theta )}$
${\displaystyle z^n=\frac{1}{(-i{)}^n}\times \{\cos (n\theta )-i\sin (n\theta )\}}$
${\displaystyle =i^n\times \{\cos (n\theta )-i\sin (n\theta )\}}$ →解説を隠す←

【問題10】★★☆
　以下の問に答えよ．ただし，iは虚数単位とする． (1)　複素数ω=${\displaystyle \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}}$とする．複素数a, bがa=3ω2+ω, b=ω2+3ωであるとき，a3+b3の値はいくらか．
　　1. −20　2. −10　3. 10　4. 20
　　5. 上の４つの答はどれも正しくない．
(2)　${\displaystyle {\left(\frac{2-\sqrt{2}+\sqrt{2}i}{2-\sqrt{2}-\sqrt{2}i}\right)}^{12}}$はいくらか．
　　1. −2　2. −1　3. 1　4. 2
　　5. 上の４つの答はどれも正しくない．
(3)　複素数${\displaystyle a_n={(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}i)}^n}$が実数となる自然数nのうち，最小のものをn0とすると，an0はいくらか．
　　1. −5096　2. −4096　3. −3096　4. −2096
　　5. 上の４つの答はどれも正しくない．

(1) ωは１の虚数３乗根（のうちの１つ）であるから，次の式が成り立つ． a+b=3ω2+ω+ω2+3ω=4(ω2+ω)=−4
ab=(3ω2+ω)(ω2+3ω)=3ω4+10ω3+3ω2
=3ω+10+3ω2=3(ω2+ω)+10=−3+10=7
a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)=(a+b){(a+b)2−3ab}
=−4×(16−21)=20 → 4.･･･（答）
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(2)
${\displaystyle \frac{2-\sqrt{2}+\sqrt{2}i}{2-\sqrt{2}-\sqrt{2}i}=\frac{\sqrt{2}-1+i}{\sqrt{2}-1-i}=\frac{(\sqrt{2}-1+i{)}^2}{(\sqrt{2}-1{)}^2+1}}$
${\displaystyle =\frac{2-2\sqrt{2}+1+2(\sqrt{2}-1)i-1}{2-2\sqrt{2}+1+1}}$
${\displaystyle =\frac{2-2\sqrt{2}+2(\sqrt{2}-1)i}{4-2\sqrt{2}}=\frac{1-\sqrt{2}+(\sqrt{2}-1)i}{2-\sqrt{2}}}$
${\displaystyle =\frac{-(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{2}-1)i}{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}=\frac{-1+i}{\sqrt{2}}}$
${\displaystyle =\cos \frac{3\pi }{4}+i\sin \frac{3\pi }{4}}$
ド・モアブルの定理により
${\displaystyle {\left(\frac{2-\sqrt{2}+\sqrt{2}i}{2-\sqrt{2}-\sqrt{2}i}\right)}^{12}=\cos (12\times \frac{3\pi }{4})+i\sin (12\times \frac{3\pi }{4})}$
${\displaystyle =\cos 9\pi +i\sin 9\pi =-1}$ → 2.･･･（答）
(3)
${\displaystyle \alpha =\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}i=r(\cos \theta +i\sin \theta )}$
を極形式にするために，まず絶対値を計算しておく
${\displaystyle |\alpha {|}^2=(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}{)}^2+(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}{)}^2}$
${\displaystyle =\frac{6+2-2\sqrt{12}}{4}+\frac{6+2+2\sqrt{12}}{4}=\frac{16}{4}=4}$
${\displaystyle |\alpha |=2=r}$
${\displaystyle \alpha =2(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}i)}$
ここで
${\displaystyle \cos \theta =\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4},\sin \theta =\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$
とおくと
${\displaystyle \cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta }$
${\displaystyle =(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}{)}^2-(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}{)}^2}$
${\displaystyle =\frac{6+2-2\sqrt{12}}{16}-\frac{6+2+2\sqrt{12}}{16}}$
${\displaystyle =-\frac{4\sqrt{12}}{16}=-\frac{8\sqrt{3}}{16}=-\frac{\sqrt{3}}{2}}$
${\displaystyle \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta }$
${\displaystyle =2\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\times \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=\frac{2\times (6-2)}{16}=\frac{1}{2}}$
以上から${\displaystyle 2\theta ={150}^{\circ }=\frac{5\pi }{6}}$とおけるから
${\displaystyle \theta ={75}^{\circ }=\frac{5\pi }{12}}$
${\displaystyle \alpha =2(\cos \frac{5\pi }{12}+i\sin \frac{5\pi }{12})}$
${\displaystyle a_n=2^n(\cos \frac{5n\pi }{12}+i\sin \frac{5n\pi }{12})}$
これが実数となるには，${\displaystyle \frac{5n\pi }{12}}$が整数となることが必要十分条件
${\displaystyle n_0=12}$
このとき
${\displaystyle a_{n_0}=2^{12}\cos 5\pi =-4096}$ → 2.･･･（答）
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【問題11】★★☆
　ωは複素数でω5=1を満たし，ω=cosθ+isinθ (0≦θ<2π)と極形式表示したとき，cosθ>0, sinθ>0であるとする．このとき，θ=アとなり，1+ω+ω2+ω3+ω4=イである．
　複素数zに対して
(1−ωz)(1−ω2z)(1−ω3z)(1−ω4z)
=1+ウz+エz2+オz3+カz4
であるので，αが複素数であるとき，z=α, ωα, ω2α, ω3α, ω4αを代入することによって
(1−ωα)(1−ω2α)(1−ω3α)(1−ω4α)
+(1−ωα)(1−ω2α)(1−ω3α)(1−ω5α)
+(1−ωα)(1−ω2α)(1−ω4α)(1−ω5α)
+(1−ωα)(1−ω3α)(1−ω4α)(1−ω5α)
+(1−ω2α)(1−ω3α)(1−ω4α)(1−ω5α)
=キ　･･･(＊)
となる．
　特に，${\displaystyle \alpha =\cos \frac{\pi }{15}+i\sin \frac{\pi }{15}}$であるとき，
(1−ωα)(1−ω2α)(1−ω3α)(1−ω4α)(1−ω5α)
=ク−iケ　･･･(＊＊)
となる．このとき，式(＊)，(＊＊)に注意すると
${\displaystyle \frac{1}{1-\omega \alpha }+\frac{1}{1-{\omega }^2\alpha }+\frac{1}{1-{\omega }^3\alpha }+\frac{1}{1-{\omega }^4\alpha }+\frac{1}{1-{\omega }^5\alpha }}$
=コ+iサ
となる．
（ア～サには実数をいれること）

　ド・モアブルの定理により
ω5=cos5θ+isin5θ=1
また
0≦θ<2π, cosθ>0, sinθ>0 により，θは第1象限の角
${\displaystyle 5\theta =2\pi }$
${\displaystyle \theta =\frac{2\pi }{5}}$→ア
　1+ω+ω2+ω3+ω4は，初項が1，公比がω (≠1)，項数が5の等比数列の和だから
1+ω+ω2+ω3+ω4=${\displaystyle \frac{{\omega }^5-1}{\omega -1}}$
ここで，仮定によりω5=1だから
1+ω+ω2+ω3+ω4=0→イ
(1−ωz)(1−ω2z)(1−ω3z)(1−ω4z)
=(1−ωz)(1−ω4z)×(1−ω2z)(1−ω3z)
=(1−ωz−ω4z+ω5z2)×(1−ω2z−ω3z+ω5z2)
ω5=1を使う
={1−(ω+ω4)z+z2}×{1−(ω2+ω3)z+z2}
=1−(ω+ω4+ω2+ω3)z+(1+1+ω3+ω6+ω4+ω7)z2
−(ω+ω4+ω2+ω3)z3+z4
z, z3の係数は
イ→
−(ω+ω4+ω2+ω3)=−(1+ω+ω2+ω3+ω4)+1=0+1=1
z2の係数は
2+ω3+ω6+ω4+ω7=2+(ω3+ω+ω4+ω2)
=2+(0−1)=1
結局
(1−ωz)(1−ω2z)(1−ω3z)(1−ω4z)=1+z+z2+z3+z4→ウエオカ
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ウエオカの結果に対して
•z=α,を代入すると
(左辺)=(1−ωα)(1−ω2α)(1−ω3α)(1−ω4α)･･･左辺第1式
(右辺)=1+α+α2+α3+α4
•z=ωα,を代入すると
(左辺)=(1−ω2α)(1−ω3α)(1−ω4α)(1−ω5α)…左辺第5式
(右辺)==1+ωα+ω2α2+ω3α3+ω4α4
•z=ω2α,を代入すると
(左辺)=(1−ω3α)(1−ω4α)(1−ω5α)(1−ω6α)
=(1−ω3α)(1−ω4α)(1−ω5α)(1−ωα)･･･左辺第4式
(右辺)==1+ω2α+ω4α2+ω6α3+ω8α4
=1+ω2α+ω4α2+ωα3+ω3α4
•z=ω3α,を代入すると
(左辺)=(1−ω4α)(1−ω5α)(1−ω6α)(1−ω7α)
=(1−ω4α)(1−ω5α)(1−ωα)(1−ω2α)･･･左辺第3式
(右辺)==1+ω3α+ω6α2+ω9α3+ω12α4
=1+ω2α+ω4α2+ωα3+ω3α4
•z=ω4α,を代入すると
(左辺)=(1−ω5α)(1−ω6α)(1−ω7α)(1−ω8α)
=(1−ω5α)(1−ωα)(1−ω2α)(1−ω3α)･･･左辺第2式
(右辺)==1+ω4α+ω8α2+ω12α3+ω16α4
=1+ω4α+ω3α2+ω2α3+ω3α4
(右辺の和)=5+α(1+ω+ω2+ω3+ω4)
+α2(1+ω+ω2+ω3+ω4)
+α3(1+ω+ω2+ω3+ω4)
+α4(1+ω+ω2+ω3+ω4)
ここで，イの結果から1+ω+ω2+ω3+ω4=0だから
(右辺の和)=5→キ
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ウエオカの結果から
(1−ωα)(1−ω2α)(1−ω3α)(1−ω4α)=1+α+α2+α3+α4
${\displaystyle =\frac{{\alpha }^5-1}{\alpha -1}}$
(1−ωα)(1−ω2α)(1−ω3α)(1−ω4α)(1−α)=1−α5
(1−ωα)(1−ω2α)(1−ω3α)(1−ω4α)(1−ω5α)=1−α5
ド・モアブルの定理により
${\displaystyle {\alpha }^5=\cos \frac{5\pi }{15}+i\sin \frac{5\pi }{15}=\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}}$
${\displaystyle =\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i}$
${\displaystyle 1-{\alpha }^5=1-(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i}$→クケ
(＊)式の辺々を(＊＊)で割ると
${\displaystyle \frac{1}{1-\omega \alpha }+\frac{1}{1-{\omega }^2\alpha }+\frac{1}{1-{\omega }^3\alpha }+\frac{1}{1-{\omega }^4\alpha }+\frac{1}{1-{\omega }^5\alpha }}$
${\displaystyle =\frac{5}{1-(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3})}=\frac{5}{1-(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)}}$
${\displaystyle =\frac{5}{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i}=5(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)}$
${\displaystyle =\frac{5}{2}+\frac{5\sqrt{3}}{2}i}$→コサ
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【問題12】★★★
　次の(1),(2),(3)においては，　内の１つのカタカナに0から9までの数字が１つあてはまる．その数字を解答用マークシートに（省略）にマークしなさい．与えられた枠数より少ない桁の数があてはまる場合は，上位の桁を0として，右に詰めた数値としなさい．分数は既約分数とし，値が整数の場合は分母を１としなさい．根号を含む方とで解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい．
(1) 複素数αを，α=4+4iとおく．また，複素数平面上で|z−α|=${\displaystyle 2\sqrt{2}}$を満たす複素数z (0≦arg z<2π)を考える．このような複素数zのうち，偏角が最大となるものをβ，偏角が最小となるものをγとする．ただし，iは虚数単位とする．以下の問いに答えなさい．

2021という数字に数学的に特別な意味があるわけではなく，適当に大きな数字の中から，入学試験の年度を使って，ジョークとして使われているものと考えられる．
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ギリシャ文字の読み方：αアルファ, βベータ, γガンマ

　α=4+4iを中心とする半径${\displaystyle 2\sqrt{2}}$の円に対して，原点Ｏと複素数βを表す点を結んだ直線OBは，円の接線になり，∠ABO=90°になる．
　この直角三角形ABOにおいて，三平方の定理を用いてOBの長さを求めると，${\displaystyle OB=2\sqrt{6}}$，AB:AO:OB=${\displaystyle 1:2:\sqrt{3}}$となるから，∠AOB=${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$
　したがって，βの偏角は${\displaystyle \frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{6}=\frac{5}{12}\pi }$→ケコサ
　γの偏角は${\displaystyle \frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{6}=\frac{1}{12}\pi }$→シスセ
　${\displaystyle \beta =2\sqrt{6}\{\cos (\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{6})+i\sin (\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{6})\}}$
ここで，三角関数の加法定理により
${\displaystyle \cos (\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{6})=\cos \frac{\pi }{4}\cos \frac{\pi }{6}-\sin \frac{\pi }{4}\sin \frac{\pi }{6}}$
${\displaystyle =\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$
${\displaystyle \sin (\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{6})=\sin \frac{\pi }{4}\cos \frac{\pi }{6}+\cos \frac{\pi }{4}\sin \frac{\pi }{6}}$
${\displaystyle =\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$
${\displaystyle \beta =2\sqrt{6}(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}i)}$
${\displaystyle =3-\sqrt{3}+(3+\sqrt{3})i}$→アイウエ
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　${\displaystyle \gamma =2\sqrt{6}\{\cos (\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{6})+i\sin (\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{6})\}}$
ここで，三角関数の加法定理により
${\displaystyle \cos (\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{6})=\cos \frac{\pi }{4}\cos \frac{\pi }{6}+\sin \frac{\pi }{4}\sin \frac{\pi }{6}}$
${\displaystyle =\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$
${\displaystyle \sin (\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{6})=\sin \frac{\pi }{4}\cos \frac{\pi }{6}-\cos \frac{\pi }{4}\sin \frac{\pi }{6}}$
${\displaystyle =\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$
${\displaystyle \gamma =2\sqrt{6}(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}i)}$
${\displaystyle =3+\sqrt{3}+(3-\sqrt{3})i}$→オカキク
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γの偏角は${\displaystyle \frac{1}{12}\pi }$だからγnの偏角は${\displaystyle \frac{n}{12}\pi }$(1≦n≦2021)
${\displaystyle {\gamma }^n=(2\sqrt{6}{)}^n(\cos \frac{n}{12}\pi +i\sin \frac{n}{12}\pi )}$
これが純虚数になるのは
${\displaystyle \frac{n}{12}\pi =\frac{\pi }{2}+k\pi }$(kは整数, 1≦n≦2021)
のとき．すなわち
n=12k+6(kは整数, 1≦n≦2021)
1≦12k+6≦2021(kは整数)
${\displaystyle -5\leqq 12k\leqq 2015}$
${\displaystyle -\frac{5}{12}\leqq k\leqq \frac{2015}{12}}$
${\displaystyle -0.41\cdot \cdot \cdot \leqq k\leqq 167.9\cdot \cdot \cdot }$
kは整数だから
${\displaystyle 0\leqq k\leqq 167}$
　　168個→ソタチ
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