対称式の値

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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ 高卒・大学初年度
*** 単元 ***
数と式不等式二次関数二次不等式三角比三角比と図形集合・命題・証明順列・組合せ確率整数の性質

※高校数学Ⅰ・Ａの「数と式」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓単項式と多項式
↓指数法則
↓展開公式1
↓展開公式2
↓置き換えによる展開
↓展開の順序
↓展開公式の応用問題
↓対称式の値
↓２次式の因数分解
↓いろいろな因数分解
↓１文字について整理
↓たすき掛け因数分解
↓同(1文字)
↓同(1文字)2
↓たすき掛け因数分解(2文字)
↓同(2文字)2
↓３次以上の因数分解
↓因数分解の応用問題
↓因数分解の入試問題
↓実数と根号（公式と例）
↓根号計算
↓同2
↓分母の有理化
↓無理数の独立
↓式の値(無理数の対称式)
↓xⁿ+1/xⁿの値
↓センター問題平方根の計算
↓根号計算の入試問題
↓二重根号
↓文字式を含む根号計算
↓絶対値
↓絶対値2つの外し方
↓絶対値の入試問題
センター共通数と式(2013～)

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== 対称式の変形 == 〇このページでは，対称式の値を求める練習をします．内容的には，学校の定期テストや実力テストのレベルです．

【基本１】
(1.1)(a+b)2=a2+b2+2ab
(1.2)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)

（解説）
(1.1)→この関係式を使えば，
P=a+b, Q=a2+b2, R=ab
のうち２つの値が分かれば残り１つの値を求めることができます．

【例1.1】
a+b=3, a2+b2=5のときabの値を求めてください．

（解答）
(a+b)2=a2+b2+2abに代入すると

a, bそれぞれの値を求めてくださいと述べているわけではない．
指定された積abの値だけ求めるとよい．

32=5+2ab
2ab=4
ab=2…（答）

（解説）
(1.2)←
この式は，(1.1)を繰り返し適用して求めることができます．

{(a + b) + c}^{2} = (a + b)^{2} + 2 (a + b) c + c^{2}

= a^{2} + 2 a b + b^{2} + 2 a c + 2 b c + c^{2}

= a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 b c + 2 c a

(1.2)→この関係式を使えば，
P=a+b+c, Q=a2+b2+c2, R=ab+bc+ca
のうち２つの値が分かれば残り１つの値を求めることができます．

【例1.2】
a+b+c=4, ab+bc+ca=3のときa2+b2+c2の値を求めてください．

（解答）
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)に代入すると
42=a2+b2+c2+6
a2+b2+c2=16−6=10…（答）

【問題１】　次の各問いに答えてください．

選択肢の中から正しいものを１つクリック．解答すれば解説が出ます．

(1)
a+b=4, ab=1のとき，a2+b2の値を求めてください．

解説やり直す

12 14 16 18

(a+b)2=a2+b2+2abだから
16=a2+b2+2
a2+b2=14…（答）

→閉じる←

(2)
a+b+c=3, a2+b2+c2=29のとき，ab+bc+caの値を求めてください．

解説やり直す

10 20 −10 −20

(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)だから
9=29+2(ab+bc+ca)
2(ab+bc+ca)=−20
ab+bc+ca=−10…（答）

→閉じる←

【基本２】
a+b=P, ab=Qとおくと
(2.1)a2+b2=P2−2Q
(2.2)a3+b3=P3−3PQ
(2.3)a4+b4=P4−4P2Q+2Q2
(2.4)a5+b5=P5−5P3Q+5PQ2

（解説）
(2.1)は(1.1)と同じものです．
これらは，

対称式の値は，基本対称式で表せる

というよく使われる性質の例となっています．

(2.1)は覚えますが，他は必要になってからその場で作ればよいでしょう．

(2.2)←
a3+b3が登場する公式は，展開公式と因数分解公式があります．自分の得意な方からスタートして(2.2)を作ればよい．
（展開公式からスタートするとき）

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)
したがって
a3+b3=(a+b)3−3ab(a+b)=P3−3PQ

（因数分解公式からスタートするとき）

a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)
a3+b3=(a+b){(a+b)2−3ab}
したがって
a3+b3=P(P2−3Q)=P3−3PQ

(2.3)←
４次以上の展開公式や因数分解公式を覚えている人は，少ないと思います．２次や３次を手掛かりにして，求める形になるように少しずつ式の形を整えます．
（２次の展開公式からスタートするとき）

(a^{2} + b^{2})^{2} = a^{4} + 2 a^{2} b^{2} + b^{4}

左辺に(2.1)を使うと

{(a + b)^{2} - 2 a b}^{2} = a^{4} + b^{4} + 2 (a b)^{2}

(P^{2} - 2 Q)^{2} = a^{4} + b^{4} + 2 Q^{2}

したがって

a^{4} + b^{4} = (P^{2} - 2 Q)^{2} - 2 Q^{2}

= P^{4} - 4 P^{2} Q + 4 Q^{2} - 2 Q^{2}

= P^{4} - 4 P^{2} Q + 2 Q^{2}

（３次の展開公式からスタートするとき）

(a^{3} + b^{3}) (a + b) = a^{4} + b^{4} + a^{3} b + a b^{3}

a^{a} + b^{4} = (a^{3} + b^{3}) (a + b) - (a^{3} b + a b^{3})

= (a^{3} + b^{3}) (a + b) - a b (a^{2} + b^{2})

(2.1)(2.2)の結果を代入すると

a^{4} + b^{4} = (P^{3} - 3 P Q) P - Q (P^{2} - 2 Q)

= P^{4} - 3 P^{2} Q - P^{2} Q + 2 Q^{2}

= P^{4} - 4 P^{2} Q + 2 Q^{2}

(2.4)←
５次は２次と３次の組合せか４次と１次の組合せで作ることができます．
（２次と３次の組合せで作るとき）

(a^{3} + b^{3}) (a^{2} + b^{2}) = a^{5} + b^{5} + a^{3} b^{2} + a^{2} b^{3}

a^{5} + b^{5} = (a^{3} + b^{3}) (a^{2} + b^{2}) - (a^{3} b^{2} + a^{2} b^{3})

(2.2)(2.3)の結果を使うと

a^{5} + b^{5} = (P^{3} - 3 P Q) (P^{2} - 2 Q) - a^{2} b^{2} (a + b)

= (P^{3} - 3 P Q) (P^{2} - 2 Q) - P Q^{2}

= P^{5} - 2 P^{3} Q - 3 P^{3} Q + 6 P Q^{2} - P Q^{2}

= P^{5} - 5 P^{3} Q + 5 P Q^{2}

（４次と１次の組合せで作るとき）

(a^{4} + b^{4}) (a + b) = a^{5} + b^{5} + a^{4} b + a b^{4}

a^{5} + b^{5} = (a^{4} + b^{4}) (a + b) - a b (a^{3} + b^{3})

(2.2)(2.3)の結果を使うと

a^{5} + b^{5} = (P^{4} - 4 P^{2} Q + 2 Q^{2}) P - Q (P^{3} - 3 P Q)

= P^{5} - 4 P^{3} Q + 2 P Q^{2} - P^{3} Q + 3 P Q^{2}

= P^{5} - 5 P^{3} Q + 5 P Q^{2}

※「数分でできる」ということだけを覚え，結果は覚えないと割り切る方が，ストレスをためない秘訣かな

【問題２】　次の各問いに答えてください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）

(1)
a+b=2, a2+b2=8のとき，a3+b3の値を求めてください．

解説やり直す

14 16 18 20

a+b, a2+b2の値からabの値も求められます．
a+b=2, a2+b2=8から
(a+b)2=a2+b2+2ab
4=8+2ab
ab=−2
次に
a3+b3=(a+b)(a2+b2−ab)
=2×(8+2)=20 …（答）

→閉じる←

(2)
a+b=1, ab=1のとき，a4+b4の値を求めてください．

解説やり直す

−1 −2 1 2

a2+b2=(a+b)2−2ab=−1
a4+b4=(a2+b2)2−2a2b2
=1−2=−1…（答）

a2+b2やa4+b4が負になったりするのか？

数Ⅰではまだ習いませんが，a, bが虚数のとき，あり得ます． $a,\hspace{5}b=\frac{1\pm\sqrt{3}i}{2}$
ただし，問題はそれに関係なく，数Ⅰとして解けます

→閉じる←

【基本３】
３つの文字a, b, cの対称式は，基本対称式a+b+c, ab+bc+ca, abcで表せる.
(3.1)

a^{2} + b^{2} + c^{2} = (a + b + c)^{2} - 2 (a b + b c + c a)

(3.2)

a^{3} + b^{3} + c^{3}

は

a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c

= (a + b + c) (a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a)

を使って変形する
(3.3)

a^{4} + b^{4} + c^{4}

は

(a^{2} + b^{2} + c^{2})^{2} - 2 (a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2})

を使って変形する

a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2} = (a b + b c + c a)^{2} - 2 a b c (a + b + c)

も求めておく

（解説）
(3.1)は(1.2)と同じものです．
(3.2)←
この公式は，大学入試では必須公式ですが，思い出せない場合でも数分で作れます．
とりあえず

(a^{2} + b^{2} + c^{2}) (a + b + c)

を展開して，不要な部分を引くことを考えます．

(a^{2} + b^{2} + c^{2}) (a + b + c)

= a^{3} + b^{3} + c^{3} + a^{2} (b + c) + b^{2} (a + c) + c^{2} (a + b)

= a^{3} + b^{3} + c^{3} + a^{2} b + a^{2} c + b^{2} a + b^{2} c + c^{2} a + c^{2} b

= a^{3} + b^{3} + c^{3} + a (a b + b c + c a) - a b c

+ b (a b + b c + c a) - a b c

+ c (a b + b c + c a) - a b c

= a^{3} + b^{3} + c^{3} + (a + b + c) (a b + b c + c a) - 3 a b c

したがって

a^{3} + b^{3} + c^{3}

= (a^{2} + b^{2} + c^{2}) (a + b + c)

- (a + b + c) (a b + b c + c a) + 3 a b c

= (a + b + c) (a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a) + 3 a b c

（やや難しい）
【問題３】　次の各問いに答えてください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）

(1)

x + y + z = 3, \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{3}

のとき，

x^{3} + y^{3} + z^{3}

の値を求めよ．（同志社大2000年入試問題）

解説やり直す

9 12 18 27

x + y + z = 3, x y + y z + z x = P, x y z = Q

とおくと

\frac{x y + y z + z x}{x y z} = \frac{1}{3}

により，

Q = 3 P

x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3 x y z

= (x + y + z) (x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - y z - z x)

…(1)
ここで

x^{2} + y^{2} + z^{2} = (x + y + z)^{2} - 2 (x y + y z + z x)

= 9 - 2 P

…(2)

条件式が２つしかないから，Ｐの値は定まらないが，問題は解けます

(2)を(1)に代入すると

x^{3} + y^{3} + z^{3} - 9 P

= 3 (9 - 2 P - P) = 27 - 9 P

x^{3} + y^{3} + z^{3} = 27

…（答）

→閉じる←

(2)
a+b+c=0, a2+b2+c2=2のとき，a4+b4+c4の値を求めてください．

解説やり直す

−1 −2 1 2

a4+b4+c4=(a2+b2+c2)2−2(a2b2+b2c2+c2a2)…(1)
だから，あらかじめa2b2+b2c2+c2a2の値を求めておくとよい．
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)だから
0=2+2(ab+bc+ca)
ab+bc+ca=−1
(ab+bc+ca)2=a2b2+b2c2+c2a2+2(ab2c+bc2a+ca2b)
=a2b2+b2c2+c2a2+2abc(a+b+c)

条件式が２つしかないから，abcの値は定まらないが，問題は解けます

1=a2b2+b2c2+c2a2+0
a2b2+b2c2+c2a2=1…(2)
(2)を(1)に代入すると
a4+b4+c4=4−2=2…（答）

→閉じる←

【基本４】
正の整数nに対して，

x^{n} + \frac{1}{x^{n}}

の値は，

x + \frac{1}{x}

の多項式で表せる．

（解説）

x \times \frac{1}{x} = 1

なので

x^{n} + \frac{1}{x^{n}}

は和

x + \frac{1}{x}

が与えられていれば，積が与えられていなくても式の値が求められることになります．

【例】

x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = (x + \frac{1}{x})^{2} - 2

x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = (x^{2} + \frac{1}{x^{2}}) (x + \frac{1}{x}) - (x + \frac{1}{x})

= {(x + \frac{1}{x})^{2} - 2} (x + \frac{1}{x}) - (x + \frac{1}{x})

x^{4} + \frac{1}{x^{4}} = (x^{3} + \frac{1}{x^{3}}) (x + \frac{1}{x}) - (x^{2} + \frac{1}{x^{2}})

= \dots \dots

　一般に，正の整数n以下のすべての自然数について，

P_{n} (x) = x^{n} + \frac{1}{x^{n}}

が

P_{1} (x) = x + \frac{1}{x}

の多項式で表されるならば，

P_{n + 1} (x) = x^{n + 1} + \frac{1}{x^{n + 1}}

も

P_{1} (x) = x + \frac{1}{x}

の多項式で表される．（数学的帰納法で示せます．）

P_{n + 1} (x) = x^{n + 1} + \frac{1}{x^{n + 1}}

= (x^{n} + \frac{1}{x^{n}}) (x + \frac{1}{x}) - (x^{n - 1} + \frac{1}{x^{n - 1}})

= P_{n} P_{1} - P_{n - 1}

ここで，

P_{n}, P_{1}, P_{n - 1}

は各々

P_{1} (x)

の多項式だから，それらの積の差は

P_{1} (x)

の多項式だと言える．

【問題４】　次の各問いに答えてください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）

(1)

x + \frac{1}{x} = 4

のとき，

x^{2} + \frac{1}{x^{2}}

の値を求めてください．

解説やり直す

12 14 16 18

x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = (x + \frac{1}{x})^{2} - 2 = 14

…（答）

→閉じる←

(2)

x + \frac{1}{x} = \sqrt{6}

のとき，

x^{4} + \frac{1}{x^{4}}

の値を求めてください．

解説やり直す

12 14 16 18

x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = (x + \frac{1}{x})^{2} - 2 = 4

x^{4} + \frac{1}{x^{4}} = (x^{2} + \frac{1}{x^{2}})^{2} - 2 = 14

…（答）

→閉じる←

(3)

x^{2} - 3 x + 1 = 0

の１つの解をαとするとき，

α^{3} + \frac{1}{α^{3}}

の値を求めてください．

解説やり直す

12 14 16 18

x=0は解でないから，α≠0

α^{2} - 3 α + 1 = 0

の両辺をαで割ると

α - 3 + \frac{1}{α} = 0

α + \frac{1}{α} = 3

このとき

α^{3} + \frac{1}{α^{3}} = (α + \frac{1}{α}) {(α + \frac{1}{α})^{2} - 3} = 18

…（答）

→閉じる←

(4)

x - \frac{1}{x} = 1

のとき，

x^{3} - \frac{1}{x^{3}}

の値を求めてください．

解説やり直す

2 4 6 8

条件式も求めるべき式も対称式ではありませんが，対称式と同様の変形で進めるところまで進みます．

(x - \frac{1}{x})^{2} = x^{2} - 2 + \frac{1}{x^{2}}

だから

x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = 3

x^{3} - \frac{1}{x^{3}} = (x - \frac{1}{x}) (x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 1)

= 1 \times (3 + 1) = 4

…（答）

→閉じる←

【2022年共通テスト問題.数学ⅠA】第１問（引用）

［1］
　実数a, b, cが
a+b+c=1･･･①
および
a2+b2+c2=13･･･②
を満たしているとする。

(1)　(a+b+c)2を展開した式において，①と②を用いると
ab+bc+ca=アイ
であることがわかる。よって
(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2=ウエ
である。

(2)　

a - b = 2 \sqrt{5}

の場合に，(a−b)(b−c)(c−a)の値を求めてみよう。
b−c=x, c−a=yとおくと
x+y=オカ

\sqrt{5}

である。また，(1)の計算から
x2+y2=キク
が成り立つ。
　これらより
(a−b)(b−c)(c−a)=ケ

\sqrt{5}

である。

(1)≪解説を見る≫

(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)
に，a+b+c=1, a2+b2+c2=13を代入すると
1=13+2(ab+bc+ca)
ab+bc+ca=−6→アイ

(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2
=a2−2ab+b2+b2−bc+c2+c2−2ca+a2
=2(a2+b2+c2)−2(ab+bc+ca)
=26+12=38→ウエ
→閉じる←

(2)≪解説を見る≫

x+y=b−a=−2

\sqrt{5}

→オカ
である。また，(1)の計算から
(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2
=

(2 \sqrt{5})^{2}

+x2+y2=38
x2+y2=38−20=18→キク

x+y=b−a=−2

\sqrt{5}

x2+y2=38−20=18
より

x y = \frac{(x + y)^{2} - (x^{2} + y^{2})}{2} = \frac{20 - 18}{2} = 1

(a - b) (b - c) (c - a) = 2 \sqrt{5} \times x y = 2 \sqrt{5}

→ケ
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