結果は１つでも，様々な途中経過があり，それぞれ正しいことがあります．この問題では，次の３つの方法で解いてみます．
[1] ２文字以上が含まれる式の因数分解は，１文字について整理するのが王道です．
[2] 複２次式の因数分解では ○2−□2 に持ち込むとうまくいくことが多い．
[3] 解の公式を使って因数分解する方法があります．
[1] １文字について整理する．
たとえば
aについて整理するとは
aだけを文字と見なし，他の文字
b, cは係数,数字と見なすということです．
原式を
aについて整理すると
a4−2(b2+c2)a2+(b4+c4−2b2c2)
複２次式になっているので，
a2=Aとおくと，
Aの２次式の因数分解の問題になります．
A2−2(b2+c2)A+(b4+c4−2b2c2)
そこで，積が
b4+c4−2b2c2になり，和が
−2(b2+c2)になる２つの式を見つけたらよいことになります．
b4+c4−2b2c2=(b2−c2)2=(b+c)2(b−c)2
和の符号をマイナスにしたいので，２つともマイナスの符号にすると
−(b+c)2−(b−c)2
=−b2−2bc−c2−b2+2bc−c2=−2b2−2c2
結局
A2−2(b2+c2)A+(b4+c4−2b2c2)
={A−(b+c)2}{A−(b−c)2}
a2に戻すと
{a2−(b+c)2}{a2−(b−c)2}
=(a+b+c)(a−b−c)(a+b−c)(a−b+c)
[2] ○2−□2 に持ち込む．
まず，次の公式を思い出すことから始めます．
(a+b+c)2=a+b2+c2+2ab+2bc+2ca
(a−b+c)2=a+b2+c2−2ab−2bc+2ca
(a+b−c)2=a+b2+c2+2ab−2bc−2ca…(*)
(a−b−c)2=a+b2+c2−2ab+2bc−2ca
ところが
(−a−b−c)2=(a+b+c)2=a+b2+c2+2ab+2bc+2ca
だから，展開した結果が
a+b2+c2−2ab−2bc−2ca
となるものは，これらの中にないということが第１のポイントです．
しかし，次の例のように（実係数の範囲で考えたとき）２次式では因数分解ができない場合でも，複２次式なら「○
2−□
2 に持ち込むと」因数分解できることがあります．
a2+a+1は因数分解できないが
a4+a2+1=(a2+1)2−a2=(a2+a+1)(a2−a+1)は因数分解できる
このノリで（お笑い番組ではないので，数学の答案では「ノリ」とは言わないかもしれない．「この方法に味をしめて」でもまだまだコテコテの言い方になる．「この方法から類推して」とか「この方法の連想で」というのが上品な言い方なのかもしれない）
a2+b2+c2−2ab−2ac−2bc
では，因数分解ができないのに対して
a4+b4+c4−2a2b2−2a2c2−2b2c2
では，できるようにしてみる．（つまり，無理やり○
2−□
2を作ればよい）
a4+b4+c4−2a2b2−2a2c2−2b2c2
=(a4+b4+c4+2a2b2−2a2c2−2b2c2)−4a2b2
かっこの中は上の(*)の式に対応しているから
=(a2+b2−c2)2−(2ab)2
=(a2+2ab+b2−c2)(a2−2ab+b2−c2)
={(a+b)2−c2}{(a−b)2−c2}
=(a+b+c)(a+b−c)(a−b+c)(a−b−c)
[3] 解の公式を使って因数分解する．
２次方程式ax2+bx+c=0 (a≠0)の解は
です．
２次方程式ax2+2b'x+c=0 (a≠0)の解は
です．
２次方程式ax2+bx+c=0の解α, βが求まると，２次式ax2+bx+cは次のように因数分解できます．
ax2+bx+c=a(x−α)(x−β)
a4+b4+c4−2a2b2−2a2c2−2b2c2
において，
a2=xとおくと，
xの２次式ができる．
x2−2(b2+c2)x+b4+c4−2b2c2
そこで，次の２次方程式を解の公式を使って解く
x2−2(b2+c2)x+b4+c4−2b2c2=0
（普通だったら
とは言えないが，この問題では±の２つとも使っているから，単純にはずせる）
２つの解が，
であるから，元の２次式は次のように因数分解できる．
a2に戻すと
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これらの組合せで１次の係数が
右の組合せで１次の係数が